25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过回顾一般形式及求根公式，引导学生观察具体方程的根与和积，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于采用“问题探究—公式推导—实例应用”路径，结合抽象能力与推理意识。如通过解方程填表格发现规律，再用求根公式和因式分解推导公式，分层练习巩固知识。学生能发展运算能力，教师可提升教学效率。

25.2　降次——解一元二次方程 25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 人教版 九年级 数学（上） 第25章 一元二次方程 新课导入 (1)一元二次方程的一般形式： ___________________________________； (2)一元二次方程的求根公式： ___________________________________； ax2＋bx＋c＝0(a≠0) (b2－4ac≥0) 2 (3)一元二次方程的系数与根有着密切的关系，今天让我们进一步研究一元二次方程的根与系数a，b，c之间的关系． 探究新知 1．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1＋x2，x1x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？ 一元二次方程 x1 x2 x1＋x2 x1x2 x2＋6x－16＝0 x2－2x－5＝0 2x2－3x＋1＝0 5x2＋4x－1＝0 −8 2 −6 −16 ＋1 −＋1 2 −5 1 − − −1 思考： 观察求根公式 ，它有什么特点？ 由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ 提出问题： (1)公式完全由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的系数__________构成，无需额外运算即可表示方程的根； a，b，c (2)“±”符号决定了方程在有实数根时，通常有两个根x1＝______________，x2＝______________； (3)通过对两个根进行代数运算，你能得到根与系数有怎样的关系吗？ 整体上看，两个根分别是“m+n”和“m−n”的形式，而且式子“n”中含有根号，这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁. 因为 ， ， 所以 += + = · = = −， = = . 由此得出，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，与其系数a，b，c有如下关系： += − = 上述关系还可以用如下方法得出. 我们知道，如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的左边可以分解因式为a(−)(−)，那么方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为和. 反过来，如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为和，那么 ax2＋bx＋c＝ a(−)(−)， 即 ax2＋bx＋c ＝ ax2 − a(+) + a . 由此可得 − a(+) = b , a = c . 因此 += − = 知识归纳 若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则有x1＋x2＝－，x1x2＝. 即：任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于______________________ _____________，两个根的积等于_____________ _____________． 一次项系数与二次项系数的比的相反数 常数项与二次项系数的比 方程的根是由什么决定的？ 在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ＝b2－4ac ≥ 0呢？为什么？ 例 1 例题与练习 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x2-6x-15=0； 解：+ = − = −(−6) = 6, = = −15 . (2) 3x2+7x-9=0； 解：+ = − = − , = = =−3 . (3) 5x−1=4x2 . + = − = − = , = = . 解： 4x2− 5x +1 = 0 例 2 已知a，b为实数，且满足a2－2a－1＝0，b2－2b－1＝0，求＋的值． 解：当a＝b时，＋＝2. 当a≠b时，a，b可看作方程x2－2x－1＝0的两根， 则a＋b＝2，ab＝－1， 因此＋＝＝＝－6. 因此＋的值为2或－6. (1) x2−3x=15； (2) 3x2+2=1−4x； 解：x1+x2 = 3 解：化简得 3x2+4x+1=0 1. 不解方程，求下列方程两个根的和与积： x1x2 = −15 x1+x2 = − x1x2 = (3) 5x2−1=4x2−x； (4) 2x2−x+2=3x+1. 解：化简得 x2+x−1=0 x1+x2 = −1 x1x2 = 解：化简得 2x2−4x+1=0 x1+x2 = 2 x1x2 = 2．已知一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两根为m，n，则m2＋n2＝_______． 3.设一元二次方程x2－7x＋3＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝______，x1x2＝______，(x1－2)(x2－2)＝______． 7 3 －7 4．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1，x2. (1)求实数m的取值范围； 解：(1)∵原方程有两个实数根， ∴Δ＝(2m－1)2－4m2＝4m2－4m＋1－4m2＝－4m＋1≥0， 解得m≤. (2)假使存在实数m使得x12－x22＝0， (2)是否存在m使得x12－x22＝0成立？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． ∴x1＋x2＝0或x1＝x2. 当x1＋x2＝0时，－(2m－1)＝0， 与(1)中m≤相矛盾，舍去． 当x1＝x2时，Δ＝0， ∴m＝. 解得m＝＞， 课堂小结 一元二次方程根与系数的关系： 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1＋x2＝－，x1x2＝. 随堂检测 1、以2和 为根的一元二次方程可以是( ) A. B. C. D. C 2、已知，是关于的方程的两个根，且 ，则 ( ) A. B. 1 C. D. 4 C 3、设x1，x2是一元二次方程x2−7x-5=0的两个实数根，则的值为 . 4、设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，则： （1）x12 x2 + x1 x22 = ； （2）(x1 − x2)2 = . 3 10 − 解：设其中一个数为x，则另一个数为(8-x). 5、已知两个数的和为8，积为9.75，求这两个数. 根据题意，得x(8-x)=9.75， 整理，得x2-8x+9.75=0. 解得x1=6.5, x2=1.5. 当x=6.5时，8-x=1.5；当x=1.5时，8-x=6.5 . ∴这两个数是6.5和1.5. 作业布置 (1)教材P17　习题25.2第7题； (2)对应课时练习． $