精品解析：2025年山东省淄博市博山区中考二模数学试卷

2025年淄博市博山区中考二模数学试卷 一．选择题（共10小题） 1. 3的算术平方根是（ ） A. B. C. 9 D. 2. 如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的俯视图是（　　） A B. C. D. 3. 国产电影《哪吒之魔童闹海》自春节上映以来，创造出令人惊叹的奇迹，截止2025年3月20日，全球票房已突破151亿元，跻身全球电影票房榜前五，将数据15100000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，是的延长线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　） A. B. 3 C. 2 D. 7. 掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时．则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点C，D的连线交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，菱形ABCD的边长是2厘米，∠BAD＝120°，动点M以1厘米/秒的速度自A点出发向B移动，动点N以2厘米/移的速度自B点出发向D移动，两点中任一个到达线段端点移动便告结束．若点M、N同时出发运动了t秒，记△BMN的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（　　） A. B. C D. 10. 如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题） 11. 的值等于_________． 12. 如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为______． 13. 已知实数a，b，满足，，则的值为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形是位似图形且点与点C是一对对应点，点的坐标为（1，1），点的坐标为（4，2），则它们的位似中心的坐标是______． 15. 如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝∠AOC，且AD＝CD，则图中阴影部分的面积等于______． 三．解答题（共8小题） 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 17. 解方程或方程组： （1）； （2）． 18. 如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，，． （1）求证：≌； （2）若，，求的度数． 19. 如图是由若干棱长为小正方体搭成的几何体． （1）请你在网格中分别画出它从左面看和从上面看的图形； （2）求这个几何体表面积（含底面）； （3）若你手边还有一些相同的小立方块，如果保持从上面和左面观察到的形状图不变，那么最多可以添加多少块小立方块． 20. 根据以下调查报告解决问题． 调查主题 学校八年级学生视力健康情况 背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校八年级学生视力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据． 调查结果 八年级学生右眼视力领数分布表 右眼视力 频数 3 24 18 12 9 9 15 合计 90 建议：…… （说明：以上仅展示部分报告内容）． （1）本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）： （2）视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：，这组数据的中位数是________； （3）视力低于属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为_______人； （4）视力在“”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的概率是________； （5）请为做好近视防控提一条合理的建议． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）过点B作平行于x轴，交于点D，求梯形的面积． 22. 如图，在中，，点是边上动点，以点为圆心，为半径的圆交边于点．设． （1）当点是边的中点时，求的值； （2）已知点是线段AE的中点（规定：当点与点重合时，点也与点重合），以点为圆心、为半径作 ①当与边有公共点时，求的取值范围； ②如果经过边的中点，求此时与的公共弦长． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点． （1）求拋物线的解析式； （2）当点P在直线上方的拋物线上时，连接交于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连结，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年淄博市博山区中考二模数学试卷 一．选择题（共10小题） 1. 3的算术平方根是（ ） A. B. C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用算术平方根的求法计算即可得到结果． 详解】解：， 的算术平方根为． 故选：A． 【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根求法是解本题的关键． 2. 如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从几何体的上面看到的图形进行作答即可． 【详解】解：依题意，该几何体的俯视图是 故选：B． 3. 国产电影《哪吒之魔童闹海》自春节上映以来，创造出令人惊叹的奇迹，截止2025年3月20日，全球票房已突破151亿元，跻身全球电影票房榜前五，将数据15100000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故选：B． 4. 光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，是的延长线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补．根据，得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 5. 若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， ∴； 故选B． 6. 如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得MN垂直平分AD，AB=10，则有AD=4，AF=2，然后可得， 进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：MN垂直平分AD，， ∴， ∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°， ∴， ∴AD=4，AF=2，， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数是解题的关键． 7. 掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时．则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出等量关系．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两队合作小时完成，可得出方程． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时， 依题意得， 故选：B． 8. 如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点C，D的连线交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、、，由，可知是直径且值为，可知，根据勾股定理逆定理可判断出是等腰直角三角形，求出，可知的长是圆周长的，利用圆周长公式求解即可． 【详解】解：如图所示：连接、、， ∵， ∴是直径， ∴， 根据网格图形可知： ， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴所对的圆心角是， ∴的长为以为直径的圆周长的， 即． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理、圆周角定理及其推论、弧长的计算公式、利用网格求线段长等知识，准确的作出辅助线构造出直角三角形和正确的计算是解决本题的关键． 9. 如图所示，菱形ABCD的边长是2厘米，∠BAD＝120°，动点M以1厘米/秒的速度自A点出发向B移动，动点N以2厘米/移的速度自B点出发向D移动，两点中任一个到达线段端点移动便告结束．若点M、N同时出发运动了t秒，记△BMN的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC与BD交于点O，作MH⊥BD，垂足为H，根据菱形的性质以及题目给出的条件可得BO＝cm，进而得出BD＝cm，根据题意可知AM＝tcm，BN＝2tcm，根据题意得出t的取值范围，再根据三角形的面积公式得出S与t之间的函数关系式即可得出正确选项． 【详解】解：如图，连接AC与BD交于点O，作MH⊥BD，垂足为H， ∵ABCD是菱形，∠BAD＝120°， ∴∠BAC＝60°，∠ABO＝30°， ∴BO＝AB•cos30°＝＝（cm）， ∴BD＝（cm）， 根据s＝vt可知，AM＝t（cm），BN＝2t（cm）， ∵0≤AM≤2，得0≤t≤2，， ∴， ∵在△BMH中，BN＝2t，MH＝BM•sin30°＝， ∴＝＝（）， 此函数的图象为开口方向向下的抛物线的一部分，且图象两个端点的横坐标分别为0，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键． 10. 如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题是平面直角坐标系下的坐标规律探究题，解答关键是利用数形结合解决问题．分析点的运动规律找到循环规律即可． 【详解】解：点坐标运动规律可以看做每运动四次一个循环，每个循环向右移动个单位， 因为 所以，前次循环运动点共向右运动个单位，剩余一次运动向右走个单位，且纵坐标为． 故点坐标为 故选：C． 二．填空题（共5小题） 11. 的值等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊的三角值的混合运算．根据即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，掌握直角三角形的性质是解题的关键，根据直角三角形的性质可知，再根据已知条件即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：． 13. 已知实数a，b，满足，，则的值为______． 【答案】42 【解析】 【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可． 【详解】 ． 故答案为：42． 【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形是位似图形且点与点C是一对对应点，点的坐标为（1，1），点的坐标为（4，2），则它们的位似中心的坐标是______． 【答案】（-2，0） 【解析】 【分析】利用待定系数法求出直线CF的解析式，根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F与点C是一对对应点， ∴点B与点E是对应点， ∴它们的位似中心在x轴上，且与直线CF相交，交点为H，如图： 设直线CF的解析式为， 则， 解得：， ∴直线CF的解析式为， 当y=0时，x=-2， ∴它们的位似中心的坐标是（-2，0）， 故答案为：（-2，0）． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、一次函数解析式的确定，掌握如果两个图形是相似图形，它们的对应顶点的连线相交于一点是解题的关键． 15. 如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝∠AOC，且AD＝CD，则图中阴影部分的面积等于______． 【答案】π﹣ 【解析】 【分析】根据题意可以得出三角形ACD是等边三角形，进而求出∠AOD，再根据直角三角形求出OE、AD，从而从扇形的面积减去三角形AOD的面积即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接AC，OD，过点O作OE⊥AD，垂足为E， ∵∠ABC＝∠AOC，∠AOC＝2∠ADC，∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°， ∵AD＝CD， ∴△ACD是正三角形， ∴∠AOD＝120°，OE＝2×cos60°＝1，AD＝2×sin60°×2＝2， ∴S阴影部分＝S扇形OAD﹣S△AOD＝×π×22﹣×2×1＝π﹣， 故答案为：π﹣． 【点睛】本题主要考查扇形的面积和三角形的面积，熟练掌握面积公式及计算法则是解题关键. 三．解答题（共8小题） 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数的取值和实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握锐角三角函数以及实数的混合运算法则，分式运算法则即可解题． （1）代入锐角三角函数值，根据实数的混合运算法则计算即可； （2）运用分解因式化简分式，再代入的值即可解题． 【详解】（1）解：原式； 解：原式 ； 当时，原式． 17. 解方程或方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解出，最后验根，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 则得：， 把代入②得， 则， ∴方程组解为； 【小问2详解】 解：∵， ∴原方程去分母得：， ∴， ∴， 解得：， 检验：当时，， 则是方程的根 18. 如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，，． （1）求证：≌； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）先根据得，进而证明； （2）由（1）得，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 即， 和中， ， ∴≌； 【小问2详解】 解：∵，， 由（1）可知：≌， ∴， ∴． 19. 如图是由若干棱长为的小正方体搭成的几何体． （1）请你在网格中分别画出它从左面看和从上面看的图形； （2）求这个几何体的表面积（含底面）； （3）若你手边还有一些相同的小立方块，如果保持从上面和左面观察到的形状图不变，那么最多可以添加多少块小立方块． 【答案】（1）画图见解析 （2） （3）块 【解析】 【分析】（）根据几何体画图即可； （）分别数出每个面正方形的个数，再乘以正方形的面积即可； （）由图可得，要保持从上面和左面观察到的形状图不变，则从前面看，从左到右第列第行最多可增加块小正方体，第列第行最多可增加块小正方体，第列第行最多可增加个块正方体，据此即可求解； 本题考查了从不同方向看几何体，求几何体的表面积，正确识图是解题的关键． 【小问1详解】 解：画图如下： 【小问2详解】 解：几何体的表面积为； 【小问3详解】 解：要保持从上面和左面观察到的形状图不变，则从前面看，从左到右第列第行最多可增加块小正方体，第列第行最多可增加块小正方体，第列第行最多可增加个块正方体， ∴最多可以添加块小立方块． 20. 根据以下调查报告解决问题． 调查主题 学校八年级学生视力健康情况 背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校八年级学生视力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据． 调查结果 八年级学生右眼视力领数分布表 右眼视力 频数 3 24 18 12 9 9 15 合计 90 建议：…… （说明：以上仅展示部分报告内容）． （1）本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）： （2）视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：，这组数据的中位数是________； （3）视力低于属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为_______人； （4）视力在“”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的概率是________； （5）请为做好近视防控提一条合理的建议． 【答案】（1）抽样调查； （2）； （3）； （4）； （5）建议学校加强电子产品进校园及使用的管控． 【解析】 【分析】（1）根据普查和抽样调查区别即可判断； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）根据600乘以视力低于的人数所占的百分比即可求解； （4）根据题意画出树状图，再根据概率公式求解即可； （5）根据学生近视程度较为严重，提出合理化建议即可． 本题考查了条形统计图和频数分布表，样本估计总体，中位数的定义，简单概率公式计算等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可知，本次调查采用的调查方式为抽样调查， 故答案为：抽样调查； 【小问2详解】 解：把9个数据按从小到大的顺序排列为：，排在第5位的数是， ∴这组数据的中位数是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：调查数据中，视力低于的人数有：（人）， ∴估计该校八年级右眼视力不良的学生约为： （人） 故答案为：； 【小问4详解】 解：把两个男生标记为男1，男2，画树状图如下： 共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种， ∴恰好抽到两位男生的概率是：， 故答案为：； 【小问5详解】 解：由表中数据说明该校学生近视程度较严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）过点B作平行于x轴，交于点D，求梯形的面积． 【答案】（1）反比例函数为：，一次函数为． （2） （3）9 【解析】 【分析】（1）利用可得反比例函数为，再求解，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得答案； （3）求解的解析式为：，结合过点B作平行于x轴，交于点D，，可得，，由为，可得，，再利用梯形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数过， ∴， ∴反比例函数为：， 把代入可得：， ∴， ∴，解得：， ∴一次函数为． 【小问2详解】 由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得 不等式的解集为：． 【小问3详解】 ∵，同理可得的解析式为：， ∵过点B作平行于x轴，交于点D，， ∴， ∴，即， ∴， ∵为， 当，则，即， ∴， ∴梯形的面积为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，利用图象解不等式，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 22. 如图，在中，，点是边上的动点，以点为圆心，为半径的圆交边于点．设． （1）当点是边的中点时，求的值； （2）已知点是线段AE的中点（规定：当点与点重合时，点也与点重合），以点为圆心、为半径作 ①当与边有公共点时，求的取值范围； ②如果经过边的中点，求此时与的公共弦长． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）过作于点H，由垂径定理可得，再利用三角函数求解即可； （2）①当点E与A重合时可知，过作于点M，求出，可知在点运动过程中，与边始终有公共点，进而即可得出r的范围； ②利用建立方程求解，得到，即此时与A重合，进而即可得解． 【小问1详解】 如图，过作于点H，则， ∵， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴， ∴，即， 解得； 【小问2详解】 ①当点E与点A重合时， 此时与A重合，， ∵， ∴， ∴， ∴，即此时， 过作于点M， ∵， ∴， ∴， ∴在点运动过程中，与边始终有公共点， ∴； ②如图，记中点为F，过F作，过作于点H， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，即， 解得； ∵， ∴在中，， ∵， 解得（负值舍去）， ∴此时E和A重合，即与A重合，如图所示，为公共弦， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即与的公共弦长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、圆的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点． （1）求拋物线的解析式； （2）当点P在直线上方的拋物线上时，连接交于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连结，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，求点M的坐标． 【答案】（1）该抛物线的解析式为； （2）点P的坐标为，的最大值为； （3）点M的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式； （2）过点P作轴交直线于点E，设，进而表示出点的坐标，证明，列出比例式，将转化为二次函数求最值即可； （3）设，则，根据折叠的性质，平行线的性质，推出，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵拋物线与x轴交于点，两点 ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 当时， ∴ 设直线的解析式为，把A，C两点代入解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 过点P作轴交直线于点E，如图，设， ∵轴， ∴点E的纵坐标为 则 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵轴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为， 此时点P的坐标为， 【小问3详解】 如图，设，则 ∴，， ∵沿直线翻折，M对应点为点，落在y轴上，而轴 ∴，，， ∴ ∴， ∴， ∴ 当时，解得：（舍去），， 此时点 当时，解得：（舍去），， 此时点， 综上，点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$