精品解析：2026年江西泰和县灌溪镇初级中学初中学业水平考试数学考前模拟试题卷(一)

江西省2026年初中学业水平考试 数学考前模拟试题卷（一） 说明： 1.本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2.请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 与和为的数是（ ） A. 2026 B. 0 C. D. 2. 灵巧手是人形机器人的重要部件．有关部门预测，2035年全球灵巧手市场容量预计为743.8万只，对应的市场规模约967亿元．其中数据“967亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 斗方杯，明代嘉靖朝兴起，明清持续流行，其器型多为倒方台形，口大底小，口、底均为正方形．如图是一个倒置在茶台上的斗方杯和由它抽象出的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 某种化合物的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法中正确的是（） A. 该化合物的溶解度随着温度的升高而增大 B. 当化合物的溶解度为时，温度为 C. 当温度为时，该化合物的溶解度最大，是 D. 当温度为时，该化合物的溶解度为 6. 如图1，矩形中，点E为的中点，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：a3－a=______． 8. 不等式组的解集是_________． 9. 已知关于x的一元二次方程 的两个实数根为，，若，则的值为______． 10. 小亮利用杠杆原理（动力动力臂=阻力阻力臂）制作了如图所示的天平（杠杆、托盘质量忽略不计），然后用它来称取物品质量．如图1，当天平左盘放置质量为的物品，右盘中放置砝码时，天平平衡．如图2，将某物品放在右盘后，左盘放置砝码，才可使天平再次平衡，则该物品的质量是_____g． 11. 如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为________． 12. 在中，，，，点在上，，点在上，连接，是的中点．若是等腰三角形，则的长为_____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，在中，，是边上一点，过点作交于点，在边上取点，使．求证：四边形是平行四边形． 14. 下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 （1）以上化简过程是从第_____步开始出现错误的，这一步出错的原因是_____； （2）请写出正确的化简过程． 15. “记录永恒经典，传承非遗文化”，雯雯组织并拍摄了4部非遗传承短视频，并利用自媒体平台展示和传播，记录内容分别为“A．西安鼓乐”“B．秦腔”“C．凤翔木版年画”“D．华县皮影戏”．为保证视频质量，雯雯邀请淇淇从4部作品中随机选择一部试看后，再从剩下的3部中随机选择一部试看．（淇淇选择每部短视频的可能性相同） （1）淇淇第一次选中“B．秦腔”试看的概率为___________； （2）请用列表法或画树状图法，求淇淇选择“A．西安鼓乐”和“D．华县皮影戏”两个短视频试看的概率． 16. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作出边上的高； （2）在图2中作出线段的三等分点，． 17. 某中学科技社团准备还原物理课堂上的光的折射实验，选择一水槽进行，具体的操作步骤如下． 【实验操作】①将长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处射入到水槽底部处．②向水槽注水，水面上升到边的处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】如图，所有点都在同一平面内，测得，，．（参考数据：，，） 【数据应用】 （1）求折射角的度数； （2）求水面的高度． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 2026马年春晚以“骐骥驰骋势不可挡”为主题，推出了四款吉祥物骏马徽章，分别是“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”．某校组织师生观看春晚后，计划购买“骐骐”“骥骥”这两款徽章共40枚作为活动纪念品．已知“骐骐”徽章每枚22元，“骥骥”徽章每枚16元． （1）若该校购买这两款徽章共花费760元，求购买“骐骐”徽章的数量； （2）如果学校购买“骐骐”徽章的数量不少于“骥骥”徽章数量的，求至少购买“骐骐”徽章多少枚？ 19. 面向教育强国新征程，人工智能将进一步为赋能教育改革创新、促进教育高质量发展注入强劲动能．某校为更好推动数字化教育，组织七、八年级的学生进行人工智能技术水平竞赛，每个年级有15名同学参加初赛，成绩如下．（满分：100分，测试成绩x的单位：分） 【收集数据】 七年级：86，96，90，86，79，84，71，91，84，90，73，85，83，91，86． 八年级：88，85，76，84，86，90，78，90，91，87，93，75，87，87，78． 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 a 86 41.9 八年级 85 87 b 30.1 根据表中的信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）你认为哪个年级的学生人工智能技术的总体水平较好？请从中位数，众数，方差中选择两个角度说明理由； （3）复赛中，小凡和小乐两位同学各项成绩的平均分相同，但只能从两人中选择一人代表学校参赛，现将编程设计、创意构思、结构搭建、实践调试按的比例确定最后成绩，两人中成绩高的同学入选，请通过计算说明最终谁入选． 项目 编程设计 创意构思 结构搭建 实践调试 小凡 82 91 88 79 小乐 84 83 87 86 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为，直线与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数及直线的解析式； （2）判断点B是否在该反比例函数的图象上，并说明理由． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，点，分别在边，上，以为半径作，交于点． （1）判断与的位置关系，并证明； （2）当是的中点时， 若，求的长． 当满足什么条件时，四边形是正方形？请直接写出来． 22. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标3倍，则称这个点为“三倍点”．如：等都是“三倍点”． （1）已知二次函数．①若该函数图象向左平移5个单位，其顶点刚好是三倍点，求该函数表达式；②点在该函数图象上，其中，若的最小值是，求的值； （2）若二次函数的图象上不存在“三倍点”，令，求的取值范围． 六、解答题（本大题共12分） 23. （1）【问题探索】如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． （2）【类比发现】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．请你判断与的数量关系，并证明你结论． （3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接，． ①求的值； ②延长交于点，交于点．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省2026年初中学业水平考试 数学考前模拟试题卷（一） 说明： 1.本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2.请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 与和为的数是（ ） A. 2026 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，求解即可． 【详解】解：的相反数为， 根据互为相反数的两个数的和为0可得，与和为的数是， A选项符合． 2. 灵巧手是人形机器人的重要部件．有关部门预测，2035年全球灵巧手市场容量预计为743.8万只，对应的市场规模约967亿元．其中数据“967亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵亿， ∴亿． 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的除法运算，幂的运算，同底数幂的除法运算，掌握各知识点是解题的关键． 由完全平方公式判断A；由二次根式的除法法则即可判断B；利用幂的、积的乘方计算公式判断C；利用同底数幂的除法计算公式判断D． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，写法正确，符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：B． 4. 斗方杯，明代嘉靖朝兴起，明清持续流行，其器型多为倒方台形，口大底小，口、底均为正方形．如图是一个倒置在茶台上的斗方杯和由它抽象出的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：它的俯视图是． 5. 某种化合物的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法中正确的是（） A. 该化合物的溶解度随着温度的升高而增大 B. 当化合物的溶解度为时，温度为 C. 当温度为时，该化合物的溶解度最大，是 D. 当温度为时，该化合物的溶解度为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，明确题意，准确从图象获取信息是解题的关键．直接观察图象，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．观察图象得：当温度在时，该化合物的溶解度随着温度的升高先增大，然后逐渐减小，最后不变，原说法错误，不符合题意； B．当化合物的溶解度为时，温度不低于，原说法错误，不符合题意； C．当温度为时，该化合物的溶解度最大，是，原说法正确，符合题意； D．当温度为时，该化合物的溶解度为至之间某个数值，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 6. 如图1，矩形中，点E为的中点，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可知，当P在B点时，，根据两点之间线段最短，得到，再根据图象可知，勾股定理得到，结合，求出的长，即可得出结果． 【详解】解：由函数图象知：当，即P在B点时，． 利用两点之间线段最短，得到． ∴y的最大值为， ∴． 在中，由勾股定理得：， 设的长度为t， 则， ∴， 即， ∴， 解得或， 由于， ∴． ∴， ∵点E为的中点， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查动点的函数图象．从图象中有效的获取信息，是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：a3－a=______． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键． 8. 不等式组的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到原不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①： 移项得 ， 合并同类项得， 系数化为得， 由②得， ∴原不等式组的解集为． 9. 已知关于x的一元二次方程 的两个实数根为，，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，先根据求得，再利用根与系数的关系即可求解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 原方程为， ， 故答案为：． 10. 小亮利用杠杆原理（动力动力臂=阻力阻力臂）制作了如图所示的天平（杠杆、托盘质量忽略不计），然后用它来称取物品质量．如图1，当天平左盘放置质量为的物品，右盘中放置砝码时，天平平衡．如图2，将某物品放在右盘后，左盘放置砝码，才可使天平再次平衡，则该物品的质量是_____g． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 设该药品质量为x克，根据“动力×动力臂=阻力×阻力臂”得，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设该药品质量为x克， 由题意可得： 解得． 故答案为：． 11. 如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了七巧板问题，正方形的判定和性质，三角函数． 在图1中连接，证明四边形是正方形，得到，，在图2中可得，，根据三角函数计算即可． 【详解】解：如图1，连接， 由七巧板可知，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴，， 如图2，连接、，则， ∴， 由七巧板可知，， 则， ∴． 故答案为：． 12. 在中，，，，点在上，，点在上，连接，是的中点．若是等腰三角形，则的长为_____． 【答案】6，或 【解析】 【分析】需分三种情况讨论：①当时，连接，过点C作于点F，根据已知得结合平行四边形的性质求得，，进一步得，，，即可求得； ②当时，过点F作于点N，交于点M，过点C作于点H，则，有，同理可得，，，再证明得，进一步求得，，利用勾股定理求得和，则； ③当时，过点F作于点N，交于点M，过点C作于点H，同理可得，，，求得，利用即可． 【详解】解：若是等腰三角形，需分三种情况讨论． ①当时，连接，过点C作于点H，如答图1， ∵是的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∵在中，， ∴， ∵，，， ∴，，， 则； ②当时，过点F作于点N，交于点M，过点C作于点H，如答图2， 则， ∴， 同理可得，，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 在中，，则， ， 则； ③当时，过点F作于点N，交于点M，过点C作于点H，如答图3， 同理可得，，，，解得， ． 故答案为：6，或． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及含30度角的直角三角形的性质等知识点，解题的关键是熟悉平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，以及分类讨论思想的应用． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，在中，，是边上一点，过点作交于点，在边上取点，使．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）5；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据计算即可； （2）利用平行四边形的定义证明即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）证明：， ． ， ． ． ． 又， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质，算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握判定和公式是解题的关键． 14. 下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 （1）以上化简过程是从第_____步开始出现错误的，这一步出错的原因是_____； （2）请写出正确的化简过程． 【答案】（1）三，括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据分式的混合运算法则逐步分析即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可得出答案； 【小问1详解】 解：以上化简过程是从第三步开始出现错误的．这一步出错的原因是括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号， 故答案为：三，括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号； 【小问2详解】 解： ． 15. “记录永恒经典，传承非遗文化”，雯雯组织并拍摄了4部非遗传承短视频，并利用自媒体平台展示和传播，记录内容分别为“A．西安鼓乐”“B．秦腔”“C．凤翔木版年画”“D．华县皮影戏”．为保证视频质量，雯雯邀请淇淇从4部作品中随机选择一部试看后，再从剩下的3部中随机选择一部试看．（淇淇选择每部短视频的可能性相同） （1）淇淇第一次选中“B．秦腔”试看的概率为___________； （2）请用列表法或画树状图法，求淇淇选择“A．西安鼓乐”和“D．华县皮影戏”两个短视频试看的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率，用列表法或画树状图法求概率． （1）根据概率公式计算即可； （2）列表或画树状图得出所有可能出现的结果，再得出符合条件的结果，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：一共有4种可能出现的结果，“B．秦腔”只有1种， 所以淇淇第一次选中“B．秦腔”试看的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) 由上表可以得出，共有12种等可能的结果，其中淇淇选择“A．西安鼓乐”和“D．华县皮影戏”的结果有2种， ∴（选择“A．西安鼓乐”和“D．华县皮影戏”两个短视频试看）． 16. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作出边上的高； （2）在图2中作出线段的三等分点，． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了格点作图，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是： （1）取格点M、N，连接、相交于O，连接并延长交于H即可； （2）取格点M、N、P、Q，连接、交于E、F即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 理由：如图，， 由网格可知：，，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴； 【小问2详解】 解：如图，点E、F即为所求， 理由： 由网格知，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴E、F为的三等分点． 17. 某中学科技社团准备还原物理课堂上的光的折射实验，选择一水槽进行，具体的操作步骤如下． 【实验操作】①将长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处射入到水槽底部处．②向水槽注水，水面上升到边的处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】如图，所有点都在同一平面内，测得，，．（参考数据：，，） 【数据应用】 （1）求折射角的度数； （2）求水面的高度． 【答案】（1） （2）水面高度为 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质可得，由对顶角相等可得，利用作差求出即可； （2）设，根据题意可得，，利用三角函数表示出，，结合，构造方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设， 根据题意，矩形中，， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得． 答：水面高度为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 2026马年春晚以“骐骥驰骋势不可挡”为主题，推出了四款吉祥物骏马徽章，分别是“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”．某校组织师生观看春晚后，计划购买“骐骐”“骥骥”这两款徽章共40枚作为活动纪念品．已知“骐骐”徽章每枚22元，“骥骥”徽章每枚16元． （1）若该校购买这两款徽章共花费760元，求购买“骐骐”徽章的数量； （2）如果学校购买“骐骐”徽章的数量不少于“骥骥”徽章数量的，求至少购买“骐骐”徽章多少枚？ 【答案】（1）购买“骐骐”徽章20枚 （2）至少购买“骐骐”徽章18枚 【解析】 【分析】（1）设购买“骐骐”徽章枚，则购买“骥骥”徽章枚，根据题意列出方程求解； （2）设购买“骐骐”徽章枚，则购买“骥骥”徽章枚，根据题意列出不等式求解． 【小问1详解】 解：设购买“骐骐”徽章枚，则购买“骥骥”徽章枚． 根据题意，得， 解得． 答：购买“骐骐”徽章20枚． 【小问2详解】 解：设购买“骐骐”徽章枚，则购买“骥骥”徽章枚． 根据题意得，， 解得． 又∵为正整数， ∴的最小值为18． 答：至少购买“骐骐”徽章18枚． 19. 面向教育强国新征程，人工智能将进一步为赋能教育改革创新、促进教育高质量发展注入强劲动能．某校为更好推动数字化教育，组织七、八年级的学生进行人工智能技术水平竞赛，每个年级有15名同学参加初赛，成绩如下．（满分：100分，测试成绩x的单位：分） 【收集数据】 七年级：86，96，90，86，79，84，71，91，84，90，73，85，83，91，86． 八年级：88，85，76，84，86，90，78，90，91，87，93，75，87，87，78． 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 a 86 41.9 八年级 85 87 b 30.1 根据表中的信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）你认为哪个年级的学生人工智能技术的总体水平较好？请从中位数，众数，方差中选择两个角度说明理由； （3）复赛中，小凡和小乐两位同学各项成绩的平均分相同，但只能从两人中选择一人代表学校参赛，现将编程设计、创意构思、结构搭建、实践调试按的比例确定最后成绩，两人中成绩高的同学入选，请通过计算说明最终谁入选． 项目 编程设计 创意构思 结构搭建 实践调试 小凡 82 91 88 79 小乐 84 83 87 86 【答案】（1）86，87 （2）八年级，理由见解析 （3）小凡 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求解； （2）根据中位数、众数、方差的意义即可判断； （3）根据加权平均数的公式分别计算小凡和小乐的最后成绩，再比较大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：将七年级的测试成绩从小到大排列，第8位的成绩为86分， ∴； 八年级的测试成绩出现次数最多的是87分，故众数为87分， ∴； 【小问2详解】 解：八年级的学生人工智能技术的总体水平较好，理由： 从中位数看，八年级成绩的中位数比七年级的高； 从众数看，八年级成绩的众数比七年级的高； 从方差看，八年级成绩的方差比七年级的小，即八年级的测试成绩更稳定； 所以八年级的学生人工智能技术的总体水平较好； 【小问3详解】 解：小凡的最后成绩为， 小乐的最后成绩为， ∵， ∴小凡的最后成绩较高， 即最终入选的是小凡． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为，直线与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数及直线的解析式； （2）判断点B是否在该反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）； （2）点B在反比例函数的图象上，理由如下： ∵直线的解析式为， ∴． ∵四边形是平行四边形，， ∴, 由（1）知反比例函数的解析式为， ∵， ∴点B在该反比例函数的图象上． 【解析】 【分析】（1）因为点在双曲线上，所以代入点坐标即可求出双曲线的函数关系式，又因为点在双曲线上，代入即可求出的值； （2）先求出点的坐标，判断即可得出结论． 【小问1详解】 解：将代入，得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴， ∵直线过点， ，解得， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 略． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，点，分别在边，上，以为半径作，交于点． （1）判断与的位置关系，并证明； （2）当是的中点时， 若，求的长． 当满足什么条件时，四边形是正方形？请直接写出来． 【答案】（1）与相切，见解析； （2）；． 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、正方形的性质、切线的判定和性质． 连接，根据等边对等角可得：、，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：，从而可得，所以可知与相切； 当是的中点时，可知是的直径，所以，根据，可得，从而可知，根据直角三角形斜边上的中线等于线段的一半可知； 根据正方形的性质可知，，又因为，所以可知，所以可得． 【小问1详解】 解：与相切， 证明：如下图所示，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 又是的半径， 与相切； 【小问2详解】 解：如下图所示， 由题意得是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， 当满足时，四边形是正方形． 22. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标3倍，则称这个点为“三倍点”．如：等都是“三倍点”． （1）已知二次函数．①若该函数图象向左平移5个单位，其顶点刚好是三倍点，求该函数表达式；②点在该函数图象上，其中，若的最小值是，求的值； （2）若二次函数的图象上不存在“三倍点”，令，求的取值范围． 【答案】（1）①，②； （2） 【解析】 【分析】（1）①该函数图象向左平移5个单位，解析式为：，顶点坐标为，再结合新定义求解即可； ②先判断顶点在的范围内，求得，从而求得抛物线的表达式及的值； （2）由二次函数的图象上不存在“三倍点”，可得无解，进一步可得，最后根据二次函数的性质，可求得答案． 【小问1详解】 解：①∵二次函数， ∴该函数图象向左平移5个单位，解析式为：， ∴顶点坐标为， ∵顶点刚好是三倍点， ∴， 解得：， ∴该函数解析式为：； ②∵， 抛物线的对称轴为直线， ∵， 当时，的最小值是， ， ， ，抛物线的表达式为， 当时，； 【小问2详解】 解：二次函数的图象上不存在“三倍点”， ∴无解， 整理得：， 判别式， 解得：， 而 ， 当时，， ∵，则图象开口向上， 当时，随的增大而减小， ∴时，． 六、解答题（本大题共12分） 23. （1）【问题探索】如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． （2）【类比发现】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．请你判断与的数量关系，并证明你结论． （3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接，． ①求的值； ②延长交于点，交于点．求的值． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据“”证明，即可得出； （2）证明，根据相似三角形的性质得出即可； （3）①先证明，得出，，再证明，得出即可； ②根据，得出，根据，得出，得出． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，，， ， ∴， ； （2）； 证明：和都是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ； （3）①∵，， ， ，， ， ， ； ②由①得：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，求角的正弦值，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $