解三角形期末备考训练01——正（余）弦定理的基本应用-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以教材回归为基础，通过系统梳理正余弦定理体系，结合多题型训练实现定理应用能力的阶梯式提升，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|6题（含人教A版例7、苏教版练习）|教材基础应用与证明|定理本源回归，强化概念生成| |知识梳理|正弦定理（变形/推论）、余弦定理（公式/应用）|正弦定理边角互化/比例关系、余弦定理两类应用分类|从定理内容到变形推导，再到应用场景构建逻辑链条| |跟踪训练|15题（单选7/多选2/填空2/解答4）|多题型综合应用（含区域期中题）|基础计算到综合解答，实现知识迁移与问题解决|

永年二中高一数学必修二解三角形期末备考01 测试范围：正（余）弦定理的基本应用 【回归教材】 1、人教A版2019年数学必修二P47页例7：在中，已知，，，解这个三角形. 2、苏教版2019年数学必修二P94页练习第4题：在中，若，则（ ） A.2 B. C. D. 3、苏教版2019年数学必修二P87页练习第4题：在中，已知，求C． 4、苏教版2019年数学必修二P87页练习第5题：在中，已知，求B． 5、苏教版2019年数学必修二P89页习题11.1的第7题：用余弦定理证明：在△中. (1)；(2)；(3). 6、苏教版2019年数学必修二P92页练习第4题：判断下列结论是否正确，若不正确，试举例说明；若正确，请说明理由。 （1）若且，则；（2）若是三角形的两个内角，且，则； 【知识梳理】 1、正弦定理 (1)正弦定理：在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=kA，b=kB，c=kC，由此可 得正弦定理的下列变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系：由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 二、余弦定理 1、在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余 弦 定 理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C 推论 cos A＝，cos B＝，cos C＝ 2、余弦定理可以用于两类解三角形问题 （1）已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角. （2）已知三角形的三边，求三角形的三个角. 跟踪训练： 一、单选题 1．在三角形ABC中，AB=1，，A=45°，则BC=（    ） A．1 B． C． D． 2．在三角形中，，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26高一下·河北唐山·期中）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，已知，，则=（ ） A． B． C． D． 4．在三角形中，若三个内角的对边分别是，，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 5．在三角形ABC中，已知三边之比为，则的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 6．（25-26高二下·广西南宁·阶段检测）在三角形中，内角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）在中，若，，其面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 8．在中，角、、的对边分别为、、.已知，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D．边上的高为 9．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 三、填空题 10．在三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则______． 11．在三角形中，角，，的对边分别为，，，已知，则角=_________． 四、解答题 12．在三角形中，内角，，所对的边分别是，，，其中， (1)若，则等于多少. (2)求. 13．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若2bcosB＝acosC+ccosA （1）求角B的大小； （2）若线段BC上存在一点D，使得AD＝2，且AC，CD1，求AB. 14．（25-26高一·贵州遵义·期中）如图，在三角形中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，，点D在上，且，.    (1)求B的大小； (2)若，求的长. 15．在三角形ABC中，． (1)求角A； (2)若，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二解三角形期末备考01 测试范围：正（余）弦定理的基本应用 【回归教材】 1、人教A版2019年数学必修二P47页例7：在中，已知，，，解这个三角形. 解：由三角形内角和定理，得. 由正弦定理，得 ，. 2、苏教版2019年数学必修二P94页练习第4题：在中，若，则（ ） A.2 B. C. D. 【答案】A 【解析】由正弦定理得， 3、苏教版2019年数学必修二P87页练习第4题：在中，已知，求C． 【答案】 【解析】由已知得，再由余弦定理得 4、苏教版2019年数学必修二P87页练习第5题：在中，已知，求B． 【答案】 【解析】由已知，整理得， 再由余弦定理得，。 5、苏教版2019年数学必修二P89页习题11.1的第7题：用余弦定理证明：在△中. (1)；(2)；(3). 【详解】（1）由，，∴，得证. （2）由，，∴，得证. （3）由，，∴，得证. 6、苏教版2019年数学必修二P92页练习第4题：判断下列结论是否正确，若不正确，试举例说明；若正确，请说明理由。 （1）若且，则；（2）若是三角形的两个内角，且，则； 【答案】（1）不正确；（2）正确 【解析】(1) 举反例：，，，。 (2) 三角形中大角对大边，；由正弦定理， 。 【知识梳理】 1、正弦定理 (1)正弦定理：在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=kA，b=kB，c=kC，由此可 得正弦定理的下列变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系：由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 二、余弦定理 1、在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余 弦 定 理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C 推论 cos A＝，cos B＝，cos C＝ 2、余弦定理可以用于两类解三角形问题 （1）已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角. （2）已知三角形的三边，求三角形的三个角. 跟踪训练： 一、单选题 1．在三角形ABC中，AB=1，，A=45°，则BC=（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理计算可得； 【详解】因为，，，所以，即， 解得故选：A 2．在三角形中，，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由正弦定理求得或，再结合三角形内角和及，即可求解． 【详解】由正弦定理得，，解得，因为，所以或， 又因为，所以，故选：A． 3．（25-26高一下·河北唐山·期中）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，已知，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由，得，即.由余弦定理得.中，，所以. 4．在三角形中，若三个内角的对边分别是，，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在三角形中，根据，，，利用余弦定理求得边b,再利用正弦定理求解. 【详解】在三角形中， ，，，由余弦定理得，，所以，由正弦定理得，所以，故选：B 【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 5．在三角形ABC中，已知三边之比为，则的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据三边关系求出，根据二倍角公式结合正弦定理即可得解. 【详解】三角形ABC中，已知三边之比，可设，由余弦定理可得，由正弦定理可得，故选：C 6．（25-26高二下·广西南宁·阶段检测）在三角形中，内角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用正弦定理把角化为边，再通过余弦定理求角，最终结合特殊角的三角函数值即可求得. 【详解】在中，对于，由正弦定理得，即，由余弦定理得：，又，所以，故． 7．（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）在中，若，，其面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意知，，所以. 由余弦定理知，，所以. 由正弦定理得，，则，，. 所以. 二、多选题 8．在中，角、、的对边分别为、、.已知，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D．边上的高为 【答案】ACD 【分析】利用余弦定理可判断AB选项；利用三角形的面积公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，由余弦定理可得， 故，A对；对于B选项，由余弦定理可得， 因为，故，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，设边上的高为，则，解得，D对. 故选：ACD. 9．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 【答案】BD 【分析】由正弦定理得到，再结合三角形面积公式逐项判断即可. 【详解】因为，，，所以，由正弦定理可得，即，则，得，则，所以，所以的周长，所以 的面积为,由上可知AC错误，BD正确，故选：BD 三、填空题 10．在三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则______． 【答案】5 【分析】利用余弦定理，将，，，代入计算可得到. 【详解】在中，已知，，，由余弦定理得，得， 即，解得或，而， 所以. 11．在三角形中，角，，的对边分别为，，，已知，则角=_________． 【答案】 【详解】试题分析：由，根据正弦定理可得 ，又因为， 所以，又因为，所以，所以，又因为，所以，所以. 四、解答题 12．在三角形中，内角，，所对的边分别是，，，其中， (1)若，则等于多少. (2)求. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用正弦定理的边角变换即可得解； （2）由正弦定理化角为边，代入得，再由余弦定理即可得解. 【详解】（1）因为，，所以由正弦定理得. （2）因为，所以由正弦定理可得， 又，所以，所以. 13．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若2bcosB＝acosC+ccosA （1）求角B的大小； （2）若线段BC上存在一点D，使得AD＝2，且AC，CD1，求AB. 【答案】（1）；（2）2. 【分析】（1）根据正弦定理边化角即可求出； （2）在中由余弦定理可求出角，再根据正弦定理即可解出. 【详解】（1）∵2bcosB＝acosC+ccosA， ∴根据正弦定理，可得2sinBcosB＝sinAcosC+sinCcosA， 即2sinBcosB＝sin（A+C）.       又∵△ABC中，sin（A+C）＝sin（180°﹣B）＝sinB＞0 ∴2sinBcosB＝sinB，两边约去sinB得2cosB＝1，即cosB， ∵B∈（0，π），∴B. （2）∵在△ACD中，AD＝2，且AC，CD1， ∴由余弦定理可得：cosC，而, ∴C.由，可得，∴AB＝2. 14．（25-26高一·贵州遵义·期中）如图，在三角形中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，，点D在上，且，.    (1)求B的大小； (2)若，求的长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知及正弦边角关系得，应用和角正弦公式及三角形内角的性质化简求； （2）应用正弦定理求得，根据已知及余弦定理求. 【详解】（1）由题设，则， 所以，则， 所以，，故，由，则； （2）由，，，则，故， 由，则，所以，则，故， 又，则为等腰三角形，且，故， 在中，所以. 15．在三角形ABC中，． (1)求角A； (2)若，求的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后结合两角和的正弦公式计算即可得； （2）借助正弦定理将边化为角后，结合（1）中所得可得，结合三角函数基本关系、二倍角公式与两角和的余弦公式计算即可得. 【详解】（1）由正弦定理可得：， 则，即，又，所以，所以； （2）由，则由正弦定理得， 又，则，即有，即可得， 则，即有，则， 故，则， 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $