2025-2026学年高一下学期数学期末复习训练卷（1）（人教A版必修第二册）

**基本信息** 本卷覆盖人教A版必修二全册，以抗战胜利80周年知识竞赛、校园运动打卡等真实情境为载体，通过选择、填空、解答题的梯度设计，综合考查复数、统计、解三角形、立体几何等知识，培养数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数几何意义、统计估计、解三角形|结合频率分布直方图考查第85百分位数，体现数据意识| |多选|3/18|三角形解的个数、统计量性质、线面关系|通过三角形解的个数判断，培养推理能力| |填空|3/15|向量共线、古典概型、解三角形应用|校园运动打卡概率计算，联系生活实际| |解答|5/67|复数运算、向量应用、统计案例、四边形综合、立体几何探究|立体几何中探究点的位置及体积计算，发展空间观念与创新意识|

2025-2026学年高一下学期数学（人教A版）期末复习训练卷（1）（解析版） 范围：人教A版必修二全册 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数z满足，则z在复平面所对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】， 因此复数对应的点坐标为， 这个点在第二象限，故选择B选项. 2．某学校高一年级共有1 500名学生，从中随机抽取300名学生以了解学生对四大名著的阅读情况，其中只阅读两本名著的有135人，至少阅读三本名著的有96人，请估计该校高一全体1 500名学生中，至多阅读一本名著的人数约为（    ） A．350 B．345 C．450 D．485 【答案】B 【分析】先计算抽取的300名样本中至多阅读一本名著的人数，算出样本中该情况的频率，进而即得. 【详解】在这300人中，至多阅读一本名著的人数为（人）， 则高一全体名学生中，至多阅读一本名著的人数约为. 3．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某地面向全体中学生开展了以“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”为主题的知识竞赛活动．现从中随机抽取了100名学生的成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（   ）    A．85 B．86 C．86.5 D．87 【答案】B 【分析】运用频率分布直方图的性质求出，结合百分位数的定义求解即可. 【详解】由，解得. 所以前4组频率和为，前5组频率和为， 设这组数据的第85百分位数为，则，解得． 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则角C为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，结合，得到，即可求解. 【详解】因为，，， 由正弦定理，可得， 因为，可得，所以. 5．已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A．， B．， C．， D．，， 【答案】C 【详解】对于选项A：当，时，，所以本选项不符合题意； 对于选项B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意； 对于选项C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意； 对于选项D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意. 6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理及恒等变形化简得，再解三角形即可求解． 【详解】解：根据正弦定理得，． ，， ，解得， 所以为直角三角形． 7．已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，设圆锥的侧面积为，圆锥的内切球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥轴截面等边三角形的边长为，则底面圆的直径为，底面半径，圆锥的母线长，圆锥的高， 圆锥侧面积， 内切球的球心在圆锥的高上，且球与轴截面的三边都相切，所以球的半径就是这个等边三角形的内切圆半径， 对于边长为的等边三角形，其内切圆半径为高的，即，即圆锥内切球的半径为， 所以圆锥内切球的表面积， 因此. 8．已知为直线上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用共线定理可得，再由平面向量数量积的坐标公式及二次函数的最值即可求解． 【详解】由题意可得， 因为为直线上的一个动点，可设， ， 所以当时，有最小值． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在中，角的对边分别为．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BD 【分析】对各选项，先用正弦定理计算 ，再结合边的大小关系判断角的范围与解的个数；钝角选项直接由大边对大角排除矛盾情况；等腰选项直接由等边对等角求出唯一解，从而筛选出恰有一解的选项． 【详解】对于A，由，得， 因为为锐角，且，，即， 所以三角形有两解，A错误； 对于B，由，得， 因为，所以，故必为锐角，所以只有一解，B正确； 对于C，因为，则是的最大内角， 又由，得，所以无解，C错误； 对于D，由，得，，恰有一个解，D正确． 10．若是样本数据：，，，的平均数（，，，不全相等），则（   ） A．，，，的极差等于，，，，的极差 B．，，，的平均数等于，，，，的平均数 C．，，，的中位数等于，，，，的中位数 D．，，，的标准差大于，，，，的标准差 【答案】ABD 【分析】由统计中的数学特征进行计算即可． 【详解】不妨设，此时，A中极差均为，故A对； ，所以，故B对； C中前者中位数为，后者中位数为或或，故C错； D中前者标准差为， 后者标准差为，故D对. 11．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BD 【分析】结合空间中的位置关系，对每个选项进行分析、判断即可得到正确的结论． 【详解】对于A，若，，，则可能平行，可能相交或异面但不一定垂直，所以A错误； 对于B，因为，，所以，又，所以，所以B正确； 对于C，若，，则可能在平面内或与平面平行，所以C错误； 对于D，由，可得，又，所以，所以D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______. 【答案】 【分析】首先表示出，依题意根据，根据向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以，解得. 13．校园运动打卡将每日运动时长划分为1，2，3，4，5，6共6个等级，随机抽取连续2天的打卡等级，则2天运动时长等级数字之和等于5的概率为_________. 【答案】 【分析】使用列举法得出满足题意的所有情况，由此计算概率即可. 【详解】由题意得这两天共有种情况， 设第一天的等级为，第二天的等级为，2天的等级为， 则满足题意的有，共四种， 故符合题意的概率为. 14．如图，，，三点位于同一水平面，位于的北偏西方向，位于的北偏东方向，在的正西方向，且，之间的距离为50米，处正上方建有一栋楼房，处正上方建有一座塔，从处观察塔尖，测得仰角为，从楼房顶处观察塔尖，测得仰角为，则楼房的高度为__________米． 【答案】25 【分析】画出图形，通过作辅助线将空间几何问题转化为平面几何问题通过三角函数即可解决. 【详解】由题意知，，，，米，. 则米，米. 过点作，交于点， 则米，，所以米， 所以米， 故楼房的高度为25米. 四、解答题 15．（13分）已知复数. (1)若为纯虚数，求及的值； (2)若为虚数，且其在复平面内对应的点在直线上，复数满足，求的大小． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义，可得m的值，即可得，根据复数的运算性质，整理计算，即可得答案. （2）根据为虚数，可得m的范围，根据复数的几何意义，可得其坐标，根据条件，可得m的值，即可得复数，根据复数的除法法则，可得，结合求模公式，即可得答案. 【详解】（1）若为纯虚数，则，解得，即， 所以， ， 则. （2）由为虚数，得，则， 在复平面内对应的点坐标为， 因为在复平面内对应的点在直线上， 所以，即， 解得，则， 又，则， 所以， 则. 16．（15分）已知向量，． (1)若，求向量的坐标； (2)若，求向量与向量的夹角． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设，结合及向量模长的坐标运算列方程求参数，即可得； （2）根据向量的垂直关系及数量积的运算律得，再由数量积的定义求夹角即可. 【详解】（1）由题意，设，， 因为，所以，所以． 所以或； （2）因为，所以，即， 即，所以，则， 又因为，所以，即向量与向量的夹角为. 17．（15分）每年3月是中辉中学的“数学节”，在本次数学节中高三年级举行了一次“数学文化知识竞赛”．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积．请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求，的值； (2)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了名学生的分数：，，，…，，已知这个分数的平均数，若剔除其中的和两个分数，求剩余8个分数的平均数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用频率直方图的性质构造关系式，根据已知条件列方程求出，进而求出； （2）根据已知样本数据确定分层抽样比例，列举出抽取总数及符合条件的事件数，求出相关概率； （3）根据题意，先求出名学生的分数总和，再剔除后求解平均数． 【详解】（1）由频率直方图的性质得， ， 化简可得， 已知第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积，设样本容量为， 则，解得， 代入得，． （2）样本数据在组频率为：， 样本数据在组频率为：， 两组频数比为：，分层抽取6人， 则从组抽4人，记为，组抽2人，记为 从6人中选2人，总共抽法为： ， ，共计种； 两人来自不同小组的事件为： ，共计8种， 故概率为：． （3）已知这个分数的平均数，故总和为：， 剔除和后，剩余8个分数总和：， 故剩余8个分数的平均数为：． 18．（17分）如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用数量积公式求解出的度数，然后由余弦定理即可求出. （2）利用三角形的面积公式分别求出和面积，即可求出四边形的面积. （3）利用已知条件在中先求出，再由正弦定理即可求出. 【详解】（1）因为， ． ，． 在中，， ． （2）由（1）得，． ． ， ． ． 四边形的面积． （3）在中， ， ． 由正弦定理，得， ． 19．（17分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点． (1)当为的中点时，求证：平面． (2)若平面， ①试确定点的位置并说明理由； ②求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)①点为上靠近点的三等分点，理由见解析；② 【分析】（1）利用线面平行的判定证明； （2）①利用线面平行的性质得，再结合相似比得解；②先利用线面垂直的判定证得平面，再结合棱锥的体积公式计算求解. 【详解】（1）证明：如图，取的中点为，连接，． 在中，为的中点，为的中点， ，． 在平行四边形中，为的中点， ，， 且， 四边形为平行四边形， ． 平面，平面， 平面． （2）①如图，连接交于点，连接． 平面，平面，平面平面， ． ． 四边形是平行四边形，为的中点， ， ， ，即点为上靠近点的三等分点． ②在四边形中，，，， ． 取的中点，连接． 是正三角形， ，且． 平面平面，且平面平面，平面， 平面． 为上靠近点的三等分点， 点到平面的距离为． 三棱锥的体积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学（人教A版）期末复习训练卷（1） 范围：人教A版必修二全册 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数z满足，则z在复平面所对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．某学校高一年级共有1 500名学生，从中随机抽取300名学生以了解学生对四大名著的阅读情况，其中只阅读两本名著的有135人，至少阅读三本名著的有96人，请估计该校高一全体1 500名学生中，至多阅读一本名著的人数约为（    ） A．350 B．345 C．450 D．485 3．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某地面向全体中学生开展了以“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”为主题的知识竞赛活动．现从中随机抽取了100名学生的成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（   ）    A．85 B．86 C．86.5 D．87 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则角C为（    ） A． B． C．或 D．或 5．已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A．， B．， C．， D．，， 6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 7．已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，设圆锥的侧面积为，圆锥的内切球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 8．已知为直线上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在中，角的对边分别为．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．若是样本数据：，，，的平均数（，，，不全相等），则（   ） A．，，，的极差等于，，，，的极差 B．，，，的平均数等于，，，，的平均数 C．，，，的中位数等于，，，，的中位数 D．，，，的标准差大于，，，，的标准差 11．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______. 13．校园运动打卡将每日运动时长划分为1，2，3，4，5，6共6个等级，随机抽取连续2天的打卡等级，则2天运动时长等级数字之和等于5的概率为_________. 14．如图，，，三点位于同一水平面，位于的北偏西方向，位于的北偏东方向，在的正西方向，且，之间的距离为50米，处正上方建有一栋楼房，处正上方建有一座塔，从处观察塔尖，测得仰角为，从楼房顶处观察塔尖，测得仰角为，则楼房的高度为__________米． 四、解答题 15．（13分） 15．已知复数. (1)若为纯虚数，求及的值； (2)若为虚数，且其在复平面内对应的点在直线上，复数满足，求的大小． 16．（15分）已知向量，． (1)若，求向量的坐标； (2)若，求向量与向量的夹角． 17．（15分）每年3月是中辉中学的“数学节”，在本次数学节中高三年级举行了一次“数学文化知识竞赛”．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积．请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求，的值； (2)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了名学生的分数：，，，…，，已知这个分数的平均数，若剔除其中的和两个分数，求剩余8个分数的平均数． 18．（17分）如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 19．（17分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点． (1)当为的中点时，求证：平面． (2)若平面， ①试确定点的位置并说明理由； ②求三棱锥的体积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $