解三角形期末备考训练02——判断三角形解的个数-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦三角形解的个数判断，通过代数几何双角度方法体系构建，结合教材例题与分层训练，培养逻辑推理与几何直观，实现知识逻辑与解题能力的系统提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|2道教材例题+几何分类表格|代数法（正弦定理+正弦函数有界性）、几何法（角类型分类+边长关系判断）|从教材例题抽象方法→双角度系统梳理→分层题型应用巩固| |跟踪训练|14题（单选6/多选2/填空3/解答3）|解的个数判定流程（角类型→边长关系→代数验证）|覆盖一解/两解/无解全场景，通过变式训练强化方法迁移|

永年二中高一数学必修二解三角形期末备考02 测试范围：判断三角形解的个数 【回归教材】 【人教A版2019年数学必修二P47页例8】在中，已知，，，解这个三角形. 【人教B版数学必修四第9.1.1节例3】在中，，求A、C及三角形的面积. 【知识梳理】 三角形解的个数的判断： （1）已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. （2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无 解的情况，三角形不能被唯一确定. ①从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况， 下面以已知a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： 若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； 若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； 若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大 角”、“三角形内角和等于”等，此时需进行讨论. ②从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 【跟踪训练】 一、单选题 1．在中，角，，的对边分别为，，，，，，则此三角形解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，满足条件的有两解，则边长a的可能取值为（   ） A．3 B． C． D．4 3．在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知在中，对的边分别为，则下列有关三角形解的情况判断正确的是 A．有两解 B．有一解 C．有两解 D．无解 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，，满足条件的△ABC有两个，则b可能为（    ） A．2 B． C． D．3 6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有两解 B．，有一解 C．，无解 D．，有一解 二、多选题 7．已知内角所对的边分别为下列条件中，能使的形状唯一确定的有（    ） A． B． C． D． 8．在中，角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 三、填空题 9．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则解的个数为________． 10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则使有两解的k的取值范围是__________. 11．有一道解三角形的问题，缺少一个条件，具体如下：“在中，已知，，_______，求角A的大小．”经推断缺少的条件为三角形一边的长度，且正确答案为，试将所缺的条件补充完整． 四、解答题 12．在△ABC中，已知c= ，A=45°，试判断当a分别取10，5，时，角C的解的个数． 13．已知一三角形中，，，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形． 14．在中，，. (1)请你给出一个值，使该三角形有唯一解； (2)请你给出一个值，使该三角形两解. (3)请你给出一个值，使该三角形无解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二解三角形期末备考02 测试范围：测试范围：判断三角形解的个数 【回归教材】 【人教A版2019年数学必修二P47页例8】在中，已知，，，解这个三角形. 解：由正弦定理，得.因为，，所以. 于是，或. （1）当时，. 此时. （1）当时，. 此时. 【人教B版数学必修四第9.1.1节例3】在中，，求A、C及三角形的面积. 解：由已知及正弦定理，得.因为，所以，或. （1） 当时，. 而， 所以三角形的面积为, （2）当时，.不合题意，应舍去. 【知识梳理】 三角形解的个数的判断： （1）已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. （2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无 解的情况，三角形不能被唯一确定. ①从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况， 下面以已知a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： 若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； 若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； 若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大 角”、“三角形内角和等于”等，此时需进行讨论. ②从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 【跟踪训练】 一、单选题 1．在中，角，，的对边分别为，，，，，，则此三角形解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据和的关系确定正确答案. 【详解】由于，所以，所以三角形解的个数为. 2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，满足条件的有两解，则边长a的可能取值为（   ） A．3 B． C． D．4 【答案】C 【详解】若有两解，则，即：，所以. 3．在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，.有两解的充要条件是： 得 ，即. 4．已知在中，对的边分别为，则下列有关三角形解的情况判断正确的是 A．有两解 B．有一解 C．有两解 D．无解 【答案】B 【分析】比较与的大小从而判断三角形解的个数来判断A；由得为钝角三角形，又由，得只有一个解，从而判断B；由=得，即为直角三角形，从而得只有一个解，判断C；由得从而得三角形有两个解，从而判断D. 【详解】解：选项A，因为=，即，故无解；选项B: 因为,所以为钝角三角形，又因为，故只有一解；选项C: 因为=，所以，即为直角三角形，只有一解；选项D: 因为，即，故有两个解.故选：B. 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，，满足条件的△ABC有两个，则b可能为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】已知边a与其对角A，求边b可利用正弦定理，建立边b与角B之间的关系，因为△ABC有两个，故角B有两个，根据正弦函数图象确定范围即可． 【详解】由正弦定理可得：，因为a＝2，，故，故， 因为△ABC有两个，故存在两个不同的角B满足题意，则（否则角B不满足有两个三角形的条件），（否则B只能有直角一个值），故且，则， 故，解得．故只有B选项符合题意． 6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有两解 B．，有一解 C．，无解 D．，有一解 【答案】D 【详解】对于A,由正弦定理，则，则三角形是直角三角形，只有1解，故A错误；对于B,由正弦定理，则，，故，可能是锐角或钝角，故三角形有两解，故B错误；对于C,由正弦定理，则，，故，三角形只有1解，故C错误； 对于D,，为钝角且，故必为锐角，三角形有1解，故D正确． 二、多选题 7．已知内角所对的边分别为下列条件中，能使的形状唯一确定的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据三角形中大边对大角的思想，可知选项中该三角形有两个解，而中可确定三边长度则三角形唯一． 【详解】解：选项，因为，，所以，根据正弦定理，，即，解得．，，或，所以该三角形不唯一确定； 、选项，因为，，所以，即，根据余弦定理，，三边确定，所以该三角形唯一；选项，根据题意，可知，根据正弦定理，，即可求得和的值，三边确定，所以该三角形唯一； 选项，根据题意，三边确定，所以该三角形唯一；故选：． 8．在中，角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【分析】对于选项A，B使用三角形全等判定定理即可判断；对于选项C，利用正弦定理判断；对于D使用余弦定理计算即可判断. 【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确；对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确；对于C，由正弦定理，可得，，因，则，因，结合正弦函数的图象可知角B有两解，一个是锐角，另一个是钝角，故C错误；对于D，由余弦定理得，，故仅有一解，即D正确． 三、填空题 9．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则解的个数为________． 【答案】1 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，结合，得到只有一解，即可得到答案. 【详解】在中，因为，由正弦定理，可得，因为，所以只有一个解，所以解的个数为1个. 10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则使有两解的k的取值范围是__________. 【答案】 【详解】在中，由正弦定理及有两解，得且，解得，所以所求的取值范围是. 11．有一道解三角形的问题，缺少一个条件，具体如下：“在中，已知，，_______，求角A的大小．”经推断缺少的条件为三角形一边的长度，且正确答案为，试将所缺的条件补充完整． 【答案】 【分析】＞，因此用正弦定理求解会出现两解的情形，因此考虑用余弦定理，这样应该已知，这样在已知的情况下去求得即可． 【详解】由，，得，但若已知去求，有两解，不合题意；再计算，，，，若再已知，可用余弦定理求，再求，这时是唯一解，满足题意． 【点睛】本题考查解三角形，考查正弦定理和余弦定理．在用正弦定理解三角形时要注意可能有两解的情形，而用余弦定理只会出现一解．由于题中只有一解，故应该考虑是先用余弦定理求解，这样条件不是，而应该是． 四、解答题 12．在△ABC中，已知c= ，A=45°，试判断当a分别取10，5，时，角C的解的个数． 【答案】答案见解析 【分析】根据给定的每一个a值，利用正弦定理解“已知两边及一边的对角解三角形”的方法逐一计算判断作答. 【详解】(1)当a=10时，因c=，A=45°，有a>c，则角C比角A小，角C是锐角，所以角C有一解； (2)当a=5时，因c=，A=45°，有c>a，则，而，则，所以角C有一解； (3)当时，因c=，A=45°，有c>a，则，而，则或，所以角C有两解； (4)当时，因c=，A=45°，有c>a，则，无解，所以角C无解. 13．已知一三角形中，，，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形． 【答案】答案见解析 【分析】法一：直接由即可判断，法二：先由余弦定理求得，进而可求解. 【详解】（方法一）由，，，可得：，有两解． ，或 （1）当时，，， （2）当时，，，． （方法二）由得，．， ，即或． 当时，有，，． 当，，，．即有两解．. 14．在中，，. (1)请你给出一个值，使该三角形有唯一解； (2)请你给出一个值，使该三角形两解. (3)请你给出一个值，使该三角形无解. 【答案】(1)(答案不唯一，满足即可) (2)(答案不唯一，满足即可) (3)(答案不唯一，满足即可) 【分析】（1）由正弦定理求得，再结合的取值范围或值，使该三角形有唯一解. （2）由（1）知，结合正弦的意义可得的取值范围，使该三角形两解. （3）由（1）知，结合正弦的意义可得的取值范围，使该三角形无解. 【详解】（1）在中，，， 由正弦定理，可得，因为，可得. （1）当时，，即，此时由唯一的解；当时，可得，此时有唯一的解，所以时，由唯一的解. （2）由（1）知，当时，由且，此时可能为锐角，也可能为钝角， 即角有两解，即当时，此时有两解. （3）由（1）知，当时，此时，此时无解，即当时，此时无解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $