解三角形期末备考训练03——判断三角形形状-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦解三角形中三角形形状判断，以教材为源构建“定理应用-方法提炼-题型突破”的系统化训练体系，强化逻辑推理与转化思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|跨人教B版、苏教版8道典例|立足教材基础，巩固判定本源|从教材例题出发，建立知识生长点| |知识梳理|2大定理方法体系|正弦定理化边化角、余弦定理边角互化，明确直角/锐角/钝角三角形判定条件|构建“定理应用-转化策略-结论判定”逻辑链| |跟踪训练|16题（选择/填空/解答）|针对“边边角”“角角边”等条件，训练分类讨论与综合推理能力|通过梯度题型实现方法迁移，提升应用意识|

永年二中高一数学必修二解三角形期末备考03 测试范围：判断三角形形状 【回归教材】 【人教B版必修四第9.1.2节例3】在中，若，试判断这个三角形的形状. 【人教B版必修四第9.1.2节练习A第5题】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，试判断这个三角形的形状. 【人教B版必修四第9.1.2节习题9-1A第6题】分别根据下列条件，判断的形状. (1); (2) 【人教B版必修四第9.1.2节习题9-1B第4题】在中，已知，试判断这个三角形的形状. 【人教B版必修四03复习题B组第1题】在中，则下列命题中，是真命题的有哪些？ （1）若，则为等腰三角形； （2）若，则是直角三角形； （3）若，则为钝角三角形； （4）若，则是等边三角形. 【苏教版2019年数学必修二P87页例3】用余弦定理证明：在中，当为锐角时，；当为钝角时，． 【苏教版2019年数学必修二P89页习题11.1的第5题】在中，已知，试判断的形状． 【苏教版2019年数学必修二P95页习题11.2的第5题】在中，已知，试判断的形状． 【苏教版2019年数学必修二P95页习题11.2的第6题】在中，已知，试判断的形状． 【知识梳理】 1、利用正弦定理判断三角形的形状 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： (1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝； (2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝. 2、利用余弦定理判断三角形的形状 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线： ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系. ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. (2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2. ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2. ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2. ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝. 【跟踪训练】 一、单选题 1．已知在中，，则判断的形状（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 3．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 4．在中，，则三角形的形状一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．在中，，，则一定是（   ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 6．在中，角，，的对边分别为，，，已知，则的形状是（   ） A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 二、多选题 7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 8．已知的内角的对边分别为，则能判定一定是等腰三角形的为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．在中，有，试判断的形状______（从“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中选一个填入横线中）. 10．在中，已知，则的形状为________． 11．在中，已知，则的形状为______ 12．在中，已知，且，则该三角形的形状是______． 四、解答题 13．在中，角、、的对边分别为、、，已知 (1)求角的大小； (2)若，试判断的形状并给出证明. 14．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求； (2)若，证明：是直角三角形． 15．试判断下列三角形形状 （1）在△ABC中，已知，. （2）在△ABC中，. 16．在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且． (1)求的面积； (2)若为的中线，且，判断的形状． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二解三角形期末备考03 测试范围：判断三角形形状 【回归教材】 【人教B版必修四第9.1.2节例3】在中，若，试判断这个三角形的形状. 【答案】等腰三角形或直角三角形 【分析】应用正弦边角关系及二倍角正弦公式有，结合三角形内角的性质得或，即可得答案. 【详解】法一：由已知及正弦定理可得，则，三角形中， 则或，所以三角形为等腰三角形或直角三角形. 法二、由已知及余弦定理可得，整理可得， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形， 【人教B版必修四第9.1.2节练习A第5题】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，试判断这个三角形的形状. 【答案】钝角三角形 【分析】大边对大角，判断出角C最大，再使用余弦定理求出，判断出三角形形状. 【详解】因为，所以可令，，，则角C最大， ，所以C为钝角，所以△ABC为钝角三角形. 【人教B版必修四第9.1.2节习题9-1A第6题】分别根据下列条件，判断的形状. (1); (2) 【答案】(1)等腰三角形或直角三角形;（2）等腰三角形 【分析】利用正弦定理化边为角可判断答案. 【详解】(1)由正弦定理可得，因为， 所以，即，所以或，即或， 所以的形状为等腰三角形或直角三角形. (2)由已知及正弦定理可得， 又，， 所以，又，所以，由正弦定理可得.所以是等腰三角形. 【人教B版必修四第9.1.2节习题9-1B第4题】在中，已知，试判断这个三角形的形状. 【答案】等边三角形 【解析】根据正弦定理，，，（为外接圆半径）， 代入得，即.因为，若中有一个角为钝角，则其正切值为负，那么另外两个角的正切值也为负，即均为钝角，这与三角形内角和为矛盾；若有角为直角，则分母等为0，无意义.故均为锐角.又因为正切函数在上单调递增， 所以由可得，故为等边三角形。 【人教B版必修四03复习题B组第1题】在中，则下列命题中，是真命题的有哪些？ （1）若，则为等腰三角形； （2）若，则是直角三角形； （3）若，则为钝角三角形； （4）若，则是等边三角形. 【解析】（1）因为、，则、，因为，所以或或，若，则；若，则；若，则， 这与的内角和定理矛盾.综上所述，为等腰或直角三角形，故（1）错； （2）因为，所以，即，为直角三角形； 或者，此时为钝角，不是直角三角形，（2）错误. （3） 因为且，又，所以中有且仅有一个为钝角，故为钝角三角形，（3）正确； （4）由于，所以， 故0，整理得，所以为等边三角形，故（4）正确； 【苏教版2019年数学必修二P87页例3】用余弦定理证明：在中，当为锐角时，；当为钝角时，． 【详解】证明：在中，若为锐角，则，由余弦定理， 所以，因为，所以，所以，即； 在中，若为钝角，则，由余弦定理，所以， 因为，所以，所以，即． 【苏教版2019年数学必修二P89页习题11.1的第5题】在中，已知，试判断的形状． 【答案】等腰三角形 【分析】利用正弦定理以及三角形的内角和，两角和的正弦函数化简，求出与的关系，即可判断三角形的形状． 【详解】，由正弦定理及可知，，因为， 所以，所以，即， 所以，所以，，因为、、是三角形内角，所以． 所以是等腰三角形． 【苏教版2019年数学必修二P95页习题11.2的第5题】在中，已知，试判断的形状． 【答案】等腰直角三角形 【分析】由正弦定理化边为角后求得得三角形形状． 【详解】因为，由正弦定理得，即， ，是三角形内角，所以，从而，所以是等腰直角三角形． 【苏教版2019年数学必修二P95页习题11.2的第6题】在中，已知，试判断的形状． 【答案】等腰三角形或直角三角形 【分析】先应用正弦定理边角互化再结合二倍角公式的正弦化简计算判断即可. 【详解】 由已知得，由正弦定理得，（为的外接圆半径）， 得，， ，即或，或．为等腰三角形或直角三角形． 【知识梳理】 1、利用正弦定理判断三角形的形状 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： (1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝； (2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝. 2、利用余弦定理判断三角形的形状 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线： ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系. ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. (2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2. ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2. ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2. ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝. 【跟踪训练】 一、单选题 1．已知在中，，则判断的形状（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】C 【分析】利用余弦定理可得答案. 【详解】由余弦定理得，所以， 可得，所以是直角三角形.故选：C. 2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 【答案】B 【分析】通过正弦定理将角化为边得，再结合余弦定理即可得结果. 【详解】由，可得，则， 则，则A为钝角，故的形状是钝角三角形. 3．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】使用余弦定理角化边求解. 【详解】由，得，即，由余弦定理，，因为，所以，由，得， 整理得，所以是等边三角形 4．在中，，则三角形的形状一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性及余弦定理推理判断. 【详解】在中，，则，即， 因此，即，由余弦定理，得，则是锐角，而是最大角，所以是锐角三角形. 5．在中，，，则一定是（   ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】由正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得，然后由余弦定理及已知求得，结合角大小得三角形形状． 【详解】在中，对于， 由正弦定理得，即，由余弦定理得， 又，所以，又，所以由余弦定理可得， 所以，即，所以，结合，可得一定是等边三角形. 6．在中，角，，的对边分别为，，，已知，则的形状是（   ） A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】由条件，利用正弦定理化边为角，再利用二倍角公式及两角和公式化简可得，化简可得或，，再判断三角形形状. 【详解】设的外接圆半径为，则，，，因为，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以或，又，，，，所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故选：A. 二、多选题 7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】AB 【分析】解法1：根据余弦定理和正弦定理进行边角关系转化可得，从而可得或，进而可判断三角形形状；解法2：对已知等式化简变形，然后根据边的关系判断三角形形状. 【详解】解法1：在中由余弦定理可得,整理得， 由正弦定理得,即，故，所以， 即，所以，则，即. 因为，所以，所以或，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 解法2：因为，所以，所以， 所以，，所以， 所以或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形.故选：AB 8．已知的内角的对边分别为，则能判定一定是等腰三角形的为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用正余弦定理、和差公式逐一分析即可. 【详解】对A，由正弦定理将边化角得，即，所以为等腰三角形；对B，因为， 所以， 所以，整理得，又，所以，即，所以为等腰三角形；对C，， 所以，整理得， 所以或，即是直角三角形或等腰三角形； 对D，，当且仅当，即时等号成立，又，所以只能成立，此时为等腰三角形. 三、填空题 9．在中，有，试判断的形状______（从“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中选一个填入横线中）. 【答案】直角三角形 【分析】注意到在中，有（），结合二倍角公式即可求解. 【详解】由二倍角公式可知，， 且注意到在中，有，因此可将已知转换为，解得，因为是的一个内角，所以，即是直角三角形. 10．在中，已知，则的形状为________． 【答案】直角三角形或等腰三角形 【分析】利用余弦定理、正弦定理角化边化简给定等式即可. 【详解】在中，，由正弦定理和余弦定理得， 整理得，则或，所以是直角三角形或等腰三角形. 11．在中，已知，则的形状为______ 【答案】等腰或直角三角形 【分析】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦公式及正弦函数性质推理判断即可. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即，而，因此或，所以或，即为等腰三角形或直角三角形. 12．在中，已知，且，则该三角形的形状是______． 【答案】等边三角形 【分析】先利用余弦定理求角，再结合三角形内角和定理和两角和与差的三角函数公式探讨角的关系即可. 【详解】因为，由余弦定理可得：，又角为三角形内角，所以.再由. 即，又为三角形内角，所以即.所以为等边三角形. 四、解答题 13．在中，角、、的对边分别为、、，已知 (1)求角的大小； (2)若，试判断的形状并给出证明. 【答案】(1)；(2)为等边三角形，证明见解析 【分析】（1）由余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）解法一：利用正弦定理得出，推导出，求出的值，结合角的值，可得出结论；解法二：利用正弦定理和余弦定理可得出，化简该等式，结合角的值，可得出结论. 【详解】（1）由，可得，因为，所以. （2） 解法一：为等边三角形， 证明如下：由三角形内角和定理得，，故，由已知条件，可得，整理得，所以， 因为、，则，所以，又由（1）知，所以为等边三角形； 解法二：为等边三角形，证明如下： 因为，由正弦定理和余弦定理，得， 整理得，即.又由（1）知，所以为等边三角形. 14．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求； (2)若，证明：是直角三角形． 【答案】(1) (2) 由题设，则，所以， 即，所以，可得， 所以，则，所以， 可得，所以，故（负值舍）， 由，则，即为直角，故是直角三角形，得证. 15．试判断下列三角形形状 （1）在△ABC中，已知，. （2）在△ABC中， 【答案】（1）等边三角形；（2）直角三角形. 【分析】（1）由以及余弦定理可得，由利用两角和与差的正弦公式可得，从而可得结论； （2）利用对数知识可得，再根据正弦定理角化边可得结果. 【详解】（1）由，得，得， 得，因为，所以，由，得， 得，得，得， 因为为三角形的内角，所以， 综上所述：，△ABC为等边三角形. （2） 由，得， 得，得，得，即， 所以为直角三角形. 【点睛】判断三角形形状的思路：1、利用正余弦定理边化角，根据角的关系判断； 2、利用正弦定理角化边，根据边的关系判断. 16．在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且． (1)求的面积； (2)若为的中线，且，判断的形状． 【答案】(1)1 (2)为等腰直角三角形， 【分析】（1）由余弦定理和正弦定理得，，由三角形面积公式可得答案； （2）由（1）和面积公式得，由余弦定理得，从而求出，得到的形状. 【详解】（1），其中， 所以，，解得，，由正弦定理得， 又，所以，所以； （2）为的中线，，故，，故， ，故，所以， 在中，由余弦定理得，即，化简得， 联立与得或， 若，此时，为等腰直角三角形； 若，此时，为等腰直角三角形； 综上，为等腰直角三角形 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $