期末备考04 解三角形中的三角形面积问题训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦解三角形面积问题，通过教材溯源-公式推导-分层训练构建系统性方法体系，强化知识生成逻辑与解题迁移能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|5题（跨版本）|面积公式教材溯源，转化思想（直角三角形）|从教材基础问题出发，建立面积公式认知起点| |知识梳理|5个公式+推导|等面积法、正余弦定理转化、海伦公式推导|形成“基础公式→边角转化→特殊几何量（内外接圆）”的逻辑链条| |跟踪训练|15题（4题型）|公式选择策略（边边角/角角边等条件匹配）、最值问题不等式应用|覆盖基础计算、综合应用、开放探究，实现知识向能力转化|

永年二中高一数学必修二解三角形期末备考04 测试范围：解三角形中的三角形面积问题 【回归教材】 【人教A版数学必修二习题6.4第20题】你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗？ 【人教A版数学必修二P54页第22题】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求A；（2）若a=2，的面积为，求b，c的值. 【人教B版2019年数学必修四P20页第5题】已知的周长为，且. (1)求的长；(2)若的面积为，求. 【人教B版2019年数学必修四P20页第6题】在中，已知， （1）求；（2）若，求的面积。 【苏教版2019年数学必修二P95页习题11.2的第7题】在任意三角形中，作一边上的高，就可以将边角关系问题转化为解直角三角形问题．仿照这种方法，在中，设，，，证明三角形的面积公式，并运用这一结论解决下面的问题： (1)在中，已知，，，求； (2)在中，已知，，，求b和； (3)证明正弦定理． 【知识梳理】 三角形面积公式 ① ②其中分别为内切圆半径及的周长 推导：将分为三个分别以的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可得到上述公式 ③（为外接圆的半径） 推导：将代入可得，将代入，可得． ④． ⑤海伦公式（其中）． 推导：根据余弦定理的推论， 令，整理得． 【跟踪训练】 一、单选题 1．在锐角中，已知，，，则的面积等于（ ） A． B． C． D． 2．在中，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 3．设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，若面积的最大值为，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 4．在中，若的面积，则（   ） A． B． C． D． 5．已知的内角，，所对的边分别为，，，若的外接圆半径为，且，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 6．在中，已知，．为的中点，且，则的面积是 （    ） A． B． C． D． 7．记的内角所对的边分别为.已知的面积，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，的面积是1，则（   ） A． B． C． D．是等腰三角形 三、填空题 9．在中，角所对的边分别为已知，则的面积为___________． 10．在中，，D为的中点，，，则的面积_____________． 11．已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的最大值为______. 四、解答题 12．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若的面积为，求的值. 13．已知分别为三个内角的对边，且满足． (1)求； (2)若的周长为，求的面积． 14．记的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知，B为锐角． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的最大值． 15．的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二解三角形期末备考04 测试范围：解三角形中的三角形面积问题 【回归教材】 【人教A版数学必修二习题6.4第20题】你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗？ 【分析】在任意三角形中，作一边上的高，就可以将边角关系问题转化为解直角三角形问题． 【解析】在中，设，，， 证明：如图，设是边上的高， 如图①，若为锐角，则，； 如图②，若为钝角，则，； 如图③，若为直角，则，也符合； 综上，对任意三角形，都有， 同理可知. 【人教A版数学必修二P54页第22题】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求A；（2）若a=2，的面积为，求b，c的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由及正弦定理得. 因为，所以.由于，，所以.又，故. （2）由题得的面积，故①.而，且，故②，由①②得. 【人教B版2019年数学必修四P20页第5题】已知的周长为，且. (1)求的长；(2)若的面积为，求. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由正弦定理知，，， 的周长为，，． （2）的面积，，由（1）知，，，由余弦定理知，，． 【人教B版2019年数学必修四P20页第6题】在中，已知， （1）求；（2）若，求的面积。 【答案】（1）  （2） 【详解】（1）.又，解得. 又，是锐角，. （2）由（1）知.，， 则的面积. 【苏教版2019年数学必修二P95页习题11.2的第7题】在任意三角形中，作一边上的高，就可以将边角关系问题转化为解直角三角形问题．仿照这种方法，在中，设，，，证明三角形的面积公式，并运用这一结论解决下面的问题： (1)在中，已知，，，求； (2)在中，已知，，，求b和； (3)证明正弦定理． 【答案】(1)；(2)；；(3)证明见详解. 【详解】（1）证明：如图，是边上的高， 如图①，若为锐角，则，； 如图②，若为钝角，则，； 如图③，若为直角，则，也符合； 综上，对任意三角形，都有，同理可知. ，，，. （2），，，， 则， 由正弦定理得， . （3）证明：，两边同乘得， 则，即可证出正弦定理. 【知识梳理】 三角形面积公式 ① ②其中分别为内切圆半径及的周长 推导：将分为三个分别以的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可得到上述公式 ③（为外接圆的半径） 推导：将代入可得，将代入，可得． ④． ⑤海伦公式（其中）． 推导：根据余弦定理的推论， 令，整理得． 【跟踪训练】 一、单选题 1．在锐角中，已知，，，则的面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由余弦定理得，解得或，因为最大边为， 所以，即，即，故舍，此时． 2．在中，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用正弦定理得到，求得，再由三角函数的基本关系式，求得的值，结合面积公式，即可求解. 【详解】在中，由，即，因为，由正弦定理得，可得， 又因为，且，可得，所以的面积为. 3．设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，若面积的最大值为，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式及基本不等式可得面积的最大值，列方程可解得. 【详解】由三角形的面积公式可得，，当且仅当时取“=”，令，解得，故选：B. 4．在中，若的面积，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由面积公式求出，再由余弦定理求出，代入求解. 【详解】由，得，又由余弦定理，所以， 所以，故选：D. 5．已知的内角，，所对的边分别为，，，若的外接圆半径为，且，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合正弦定理边化角得，再由三角函数知识可得角，再由正弦定理和余弦定理可解，从而求解面积. 【详解】由及正弦定理得，且，化简得，即得，又，得．又的外接圆的半径， 由正弦定理，解得．由余弦定理得，解得，则，即的面积为． 6．在中，已知，．为的中点，且，则的面积是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得，再利用平方关系和三角形面积公式求解. 【详解】根据题意，，则，即， 则，又，所以， 所以. 7．记的内角所对的边分别为.已知的面积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据面积公式及条件，结合余弦定理，可得，根据同角三角函数的关系，即可得答案. 【详解】由面积公式得，则， 由余弦定理得，两式联立得， 由，即，又，则， 整理得，解得或（舍）. 二、多选题 8．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，的面积是1，则（   ） A． B． C． D．是等腰三角形 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用正弦定理求得，可判定A错误，B正确；再由三角形的面积公式，求得，结合余弦定理求得，可判定C正确，D正确. 【详解】因为，由正弦定理得，所以，又因为，可得，因为，所以，故A错误，B正确；又因为的面积是，可得，可得，因为，即，可得，由余弦定理得，所以，且，故C正确，D正确. 三、填空题 9．在中，角所对的边分别为已知，则的面积为___________． 【答案】/ 【详解】由正弦定理 ，代入已知可得， ，因为，三角形内角和为，所以，即由上可得，所以， 则由三角形面积公式 10．在中，，D为的中点，，，则的面积_____________． 【答案】 【分析】由三角形面积公式得的面积，由的面积是的面积的2倍，求得的面积. 【详解】因为，，，所以.又D是的中点，所以． 11．已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的最大值为______. 【答案】/ 【分析】先应用余弦定理计算，再结合基本不等式计算得出，最后应用面积公式计算求解. 【详解】在中，,，故,由余弦定理，得.又（当且仅当时取等号），所以，所以，所以面积的最大值为. 四、解答题 12．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若的面积为，求的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再借助辅助角公式求得，可求角； （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式、余弦定理求出即可作答． 【详解】（1）中，，由正弦定理得， 又，则有，由，， 则，得， 由，则，得 （2），则，由，得， 由余弦定理，得，得. 13．已知分别为三个内角的对边，且满足． (1)求； (2)若的周长为，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，再结合辅助角公式即可求解； （2）由周长条件得，结合余弦定理建立的方程，求出，代入面积公式即得结果. 【详解】（1）由正弦定理得，即， 因为，所以，故， 因为，所以，故，即，所以， 因为，所以，故，解得； （2）因为的周长为，所以，即， 由余弦定理得，即， 结合方程化简得，解得． 14．记的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知，B为锐角． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由三角恒等变换可求得，可求角B的大小； （2）方法一：利用余弦定理结合基本不等式可求得，进而可求得面积的最大值．方法二：利用正弦定理可得，，从而可得，利用三角恒等变换及辅助角公式可求得面积的最大值． 【详解】（1）因为，所以，即．因为，所以，，又已知，所以． （2）方法一：在中，由余弦定理得，又因为，，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以的面积，即的面积的最大值为． 方法二：由，及正弦定理，得，所以，， 所以的面积 ， 因为，所以，当，即时，取得最大值1， 取得最大值，即面积的最大值为． 15．的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由正弦定理，边化角结合二倍角公式求出，得解； （2）根据三角形面积公式，正弦定理可得，结合，进而求出面积的取值范围. 【详解】（1）因为，则，又，所以， 则，又，所以，因为，解得． （2）因为是锐角三角形，又，所以， 所以 ，因为，所以， 则，从而，故面积的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $