专题13 与球有关的切、接问题20种常见考法归类（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 以20种常考模型为核心，系统梳理球的切接问题，通过模型化分类构建解题方法体系，培养空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |外接球（正方体/长方体等15模型）|3-6题/模型|基于几何体结构特征，运用补形、找球心等方法|从特殊（正方体）到一般（棱台/二面角），构建“模型→性质→公式”推理链条| |内切球（正方体/圆柱等5模型）|2-4题/模型|利用相切关系建立方程，结合等体积法|从单一内切球到多球相切，深化空间想象与运算能力|

专题13 与球有关的切、接问题20种常考考法归类 题型一 外接球之正方体、长方体模型 题型十一 外接球之正棱台模型 题型二 外接球之墙角模型 题型十二 外接球之共斜边拼接模型 题型三 外接球之正四面体模型 题型十三 外接球之垂面模型 题型四 外接球之对棱相等模型 题型十四 外接球之二面角模型 题型五 外接球之圆柱模型 题型十五 外接球之侧棱为球的直径模型 题型六 外接球之直棱柱模型 题型十六 正方体与内切球 题型七 外接球之直棱锥模型 题型十七 圆柱、圆锥、圆台内切球 题型八 外接球之圆锥模型 题型十八 正多面体内切球 题型九 外接球之正锥体模型 题型十九 多内切球问题 题型十 外接球之圆台模型 题型二十 棱切球 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 外接球之正方体、长方体模型 1．（2026高一·吉林·期末）已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为，则球的表面积为________． 【答案】 【分析】由正方体的体对角线即为外接球的直径，从而得到外接球的半径与正方体棱长之间的关系为，从而求出半径，再根据球的表面积公式计算可得. 【详解】解：该球为正方体外接球，其半径与正方体棱长之间的关系为， 由，可得，所以球的表面积. 答案： 2．（2026高一·云南昆明·期末）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为____________ 【答案】 【分析】正方体外接球直径为该正方体体对角线. 【详解】设正方体的棱长为，因为正方体的表面积为，可得，解得， 则正方体的对角线长为， 设正方体的外接球的半径为，可得，解得， 所以外接球的表面积为. 故答案为：. 3．（2026高一·湖南长沙·期中）长方体的外接球的表面积为，，，则长方体的体积为__________. 【答案】 【分析】由球的表面积公式得出，进而由外接球的直径求出，再根据勾股定理得出，进而由体积公式求解即可. 【详解】因为长方体的外接球的表面积为， 设球的半径为，由题意，，， 长方体的外接球的一条直径为. 因为，，所以，， 则长方体的体积为. 故答案为： 4．（2026高二·上海·期中）长方体的8个顶点都在同一个球面上，且，，则球的表面积为___________． 【答案】 【分析】利用长方体的体对角线就是外接球直径，从而可求球的表面积. 【详解】    由题可得：， 因为长方体的外接球的一条直径是，所以外接球的半径为， 由球的表面积公式可得：， 故答案为： 5．（2026高二·云南昭通·开学考试）在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设长方体外接球的半径为． 因为，所以，该长方体外接球的体积． 6．（2026·山西晋城·模拟预测）如图，在底面为正方形的长方体中，为底面ABCD内的一个动点（包括边界），且满足，若四面体的体积的最小值为，则长方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得点的轨迹是平面ABCD内以点为圆心、圆心角为且半径为1的圆弧，分析可得点到BD的距离的最小值为，进而可得面积的最小值为，再根据棱锥的体积公式结合题设可求得，进而求解即可. 【详解】由，则点的轨迹是平面ABCD内以点为圆心、圆心角为且半径为1的圆弧， 如图，连接AC交BD于点四边形ABCD为正方形，为AC的中点，且， ． 设点到BD的距离为，则， 面积的最小值为． 平面，解得， 设长方体的外接球的半径为， ， 长方体的外接球的表面积为． 题型2 外接球之墙角模型 7．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）一个三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，且长度分别为，，，已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，把三棱锥补成一个长方体，结合长方体的对角线就是球的直径，求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】三棱锥中，共顶点S的三条棱两两相互垂直，且其长分别为， 因为三棱锥的四个顶点同在一个球面上， 则三棱锥是长方体的一个角，可扩展为长、宽、高分别为的长方体， 三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，长方体的对角线就是球的直径， 设长方体的外接球的半径为，可得 所以外接球的半径为，可得外接球的表面积为． 8．（2026高三·广东深圳·期末）在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 【答案】A 【分析】四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同，进而求得直径，再由球的表面积公式即可求解. 【详解】根据题意得四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同， 所以外接球的直径为， 所以外接球的表面积为， 故选：A. 9．（2026高二·四川内江·阶段检测）已知三棱锥，，、两两垂直，，，，则其外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知根据墙角模型可把三棱锥补形成长方体，求长方体外接球即可． 【详解】因，、两两垂直，故三棱锥的外接球，即是以，，为棱长的长方体的外接球， 故球的半径为，则球的表面积为. 故选：B 10．（2026高一·贵州六盘水·期末）已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知根据墙角模型可把三棱锥补形成长方体，求长方体外接球即可． 【详解】因两两垂直， 故三棱锥的外接球即是以，，，为棱长的长方体的外接球， 故球的半径为，则球的表面积为. 故选：A. 11．（2026高二·贵州贵阳·阶段检测）如图，在三棱锥中，两两垂直，，.    (1)求三棱锥外接球的表面积. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体，得到三棱锥外接球即为长方体的外接球即可求解； （2）设点O到平面的距离为d，由求出d即可由求解. 【详解】（1）由题可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体，    所以三棱锥外接球即为长方体的外接球， 所以所求外接球半径为， 三棱锥外接球的表面积为； （2）设点O到平面的距离为d，， 所以，， 则由， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 题型3 外接球之正四面体模型 12．（2026·天津和平·模拟预测）已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，该圆锥的内切球也是棱长为a的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长a为（    ） . A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】先利用四面体内接于圆锥的内切球，由圆锥的轴截面进行分析，求出正四面体的外接球的半径，再利用正四面体可以从正方体中截得，确定正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，列式求解即可． 【详解】由题意可知，该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为，球的半径为，圆锥的底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图所示， 由已知可得， 所以△SAB为等边三角形，故点P是△SA B的中心， 连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO= 30°，故， 解得，故正四面体的外接球的半径. 又正四面体可以从正方体中截得，如图所示， 从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的正方体的棱长为，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球， 所以，解得, 故选：A 13．（2026高一·陕西西安·期中）已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】先求出外接球的半径，然后设正四面体的边长为，然后求出四面体的高，进行计算即可． 【详解】解：正四面体的外接球表面积为， ，解得（负值舍去）， 设四面体的棱长为，取的中点，连接， 设顶点在底面的射影为，则是底面的重心，连接，则外接球的球心在上，设为，连接， 则，， 则， 所以， 在直角中，，即， 即，得，得（舍或. 故选：D 14．（2026高三·河北石家庄·阶段检测）如图所示，正四面体中,是棱的中点,是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将侧面和沿边展开成平面图形为菱形,可得到的长即为的最小值,设,在中,利用勾股定理可得,则棱长为,进而可求得正四面体的外接球的表面积 【详解】将侧面和沿边展开成平面图形,如图所示,菱形, 在菱形中,连接,交于点,则的长即为的最小值,即, 因为正四面体,所以,所以, 因为是棱的中点,所以， 所以, 设,则, 所以,则,所以, 则正四面体的棱长为, 所以正四面体的外接球半径为, 所以该正四面体外接球的表面积为, 故选：A 【点睛】本题考查线段和最短问题,考查外接球问题,考查运算能力 15．【多选】（2026高一·江苏南京·期末）已知正四面体的各棱长均为2，各顶点均在球的球面上，则（    ） A．正四面体的高为 B．正四面体的体积为 C．二面角的余弦值为 D．球的表面积为 【答案】ACD 【分析】选项A：做出在中求解即可， 选项B:结合三棱锥的体积计算公式求解即可， 选项C：求出正四面体的高，结合正四面体的体积公式求解即可, 选项D:正四面体的外接球球心在正四面体的高上，由可构建外接球半径与棱长的关系，求出半径． 【详解】    如图，是正四面体的高，是外接球球心，设外接球半径为， ∵正四面体棱长为，∴，， 故选项A正确. 选项B：正四面体的体积为： 故选项B错误， 选项C:取线段中点，连结因为在正四面体中， 所以分别为的高， 所以为二面角的平面角， 又因为棱锥长为 所以 在中，由余弦定理知： 故选项C正确，    选项D： ，， 由得， 解得，∴故选项D正确 故选：ACD. 16．（2026高一·安徽合肥·期中）如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体.若该多面体的表面积是，则该多面体外接球的表面积是__________. 【答案】 【分析】求出原正四面体外接球的半径，从而可求出多面体外接球的球心到底面的距离，求出多面体的棱长，即可求出其外接球的半径，从而可求出外接球的表面积. 【详解】解：由题意可得多面体的棱长为原正四面体棱长的，设原正四面体的棱长为， 则其表面积为，由图易知该多面体与原正四面体相比较， 表面积少了8个边长为的正三角形的面积， 所以该多面体的表面积为，所以. 如图，是下底面正六边形的中心，是上底面正三角形的中心， 由正四面体的对称性可知截角四面体的外接球的球心在原正四面体的高上， . 设球的半径为，在中，，所以， 在中，， 所以， 所以，解得，所以， 所以该多面体外接球的表面积. 题型4 外接球之对棱相等模型 17．（2026·河南·模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造一个长方体，四面体四个顶点在长方体顶点上，利用长方体的对角线为外接球直径求解即可. 【详解】设四面体的外接球的半径为, 则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图， 则 故， 故四面体ABCD外接球的体积为， 故选：C 18．（2026高二·广东揭阳·期中）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，然后求出球表面积即可． 【详解】因为， 所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，如图所示：    设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 则有，整理得， 则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径， 所以有， 所以所求的球体表面积为：． 故选：A． 19．（2026·四川凉山·模拟预测）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用割补法及勾股定理，结合长方体的体对角线是外接球的直径及球的表面积公式即可求解. 【详解】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示， 所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得. 所以四面体外接球表面积是. 故答案为：B. 20．（2026高一·湖北荆州·阶段检测）在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将三棱锥补为如下图所示的长方体，三棱锥的棱分别为长方体的面对角线，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球. 设长方体的长宽高分别为，外接球半径为，根据题意可得： ， 三式相加得：，即， 长方体的体对角线即为外接球直径，因此，即， 外接球表面积. 题型5 外接球之圆柱模型 21．（2026高三·江西·阶段检测）已知某圆柱的高为，底面半径为1，且其上、下底面圆周均在以为球心的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得圆柱的上、下底面圆心连线的中点为球心，根据题中条件，结合勾股定理，可得半径R，代入公式，即可得答案. 【详解】因为圆柱上、下底面圆周均在以为球心的球面上， 所以圆柱的上、下底面圆心连线的中点为球心， 且与底面圆心的连线垂直底面， 因为圆柱底面半径为，高为， 所以球心到底面的距离， 因为底面圆周上一点到球心的距离为球的半径， 所以由勾股定理得， 则球的表面积． 故选：C． 22．（2026高三·河南·开学考试）已知某圆柱的高为，且上､下底面均在以为球心的球面上，若该圆柱的底面半径为1，则球的体积为__________. 【答案】/ 【分析】作圆柱的轴截面，求出球的半径，根据球的体积公式求球的体积. 【详解】作圆柱的轴截面，如图： 由题意可知：，， 则球的半径，且， 所以. 所以球的体积为：. 故答案为： 23．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合球和圆柱的表面积公式求解. 【详解】如图，作半球O的轴截面，记半球半径为R，圆柱半径为r 由题意，圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高为2r，则有，故 所以剩余几何体的表面积为. 24．（2026高一·浙江嘉兴·期中）如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点． (1)求圆柱的侧面积； (2)求圆柱的外接球的表面积； (3)证明：平面． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用圆柱的侧面积公式，即可求解； （2）根据条件，求出外接球的半径，即可求解； （3）取的中点．连接，根据条件得，再由线面平行的判定定理，即可求解. 【详解】（1）因为，所以圆柱的母线长为，底面半径为， 则圆柱的侧面积 （2）取的中点，连接，易求得， 即圆柱的外接球的半径为，故该球的表面积为. （3）取的中点．连接．因为为的中点，所以， 又，所以，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，所以平面． 题型6 外接球之直棱柱模型 25．（2026高三·全国·专题练习）已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则该三棱柱的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直三棱柱的对称性得到其外接球的球心为的中点，再利用正余弦定理求得底面外接圆的半径，结合球的截面性质求得外接球的半径，从而得解. 【详解】设的外心为，的外心为，连接，如图所示， 由题意可得该三棱柱的外接球的球心为的中点． 在中，由余弦定理可得 ，则， 由正弦定理可得外接圆的直径，则， 而球心O到截面ABC的距离， 设直三棱柱的外接球半径为， 由球的截面性质可得，故， 所以该三棱柱的外接球的体积为， 故选：B． 26．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设底面的外接圆的半径为，由正、余弦定理求得，再设外接球的半径为，结合球的截面圆的性质，求得，利用求得表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，在中，，且， 由余弦定理得， 设底面的外接圆的半径为，由正弦定理得，即 再设直三棱柱外接球的球心为，外接球的半径为， 在直角中，可得， 所以球的表面积为. 故选：B.    27．（2026·吉林长春·模拟预测）已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边长为3，侧棱长为4，则其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出长方体的体对角线长，从而可知外接球的半径，即可求出外接球的表面积. 【详解】正四棱柱即长方体，其体对角线长为， 因此其外接球的半径为，则其表面积为， 故选:B. 28．（2026高三·河南·开学考试）据《九章算术》记载：将底面钝角为的菱形的直棱柱对角面斜割一分为二得到的两个一模一样的三棱柱体，古人称之为堑堵．若堑堵的所有棱长都为，则其外接球的表面积为________． 【答案】 【分析】结合三棱柱的几何特征求出球心所在的位置，进而结合勾股定理即可求出结果. 【详解】球心到下底面的距离，， 其外接球的半径， 其外接球的表面积为. 故答案为： 29．（2026高二·全国·课后作业）表面积为81π的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是7，则这个正四棱柱的底面边长为______． 【答案】4 【分析】先判断出正四棱柱的体对角线即为球的直径，利用球的表面积求出球的半径，再由勾股定理求边长即可. 【详解】由题意知：正四棱柱的体对角线即为球的直径，设球的半径为，则，解得， 设正四棱柱的底面边长为，则，解得. 故答案为：4. 题型7 外接球之直棱锥模型 30．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知三棱锥，⊥平面，，=90o，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（     ） A．20 B．18 C．16 D．12 【答案】A 【分析】根据已知体积求出三棱锥各棱长，利用三棱锥三条棱两两垂直的特点将其补为长方体，通过长方体体对角线求出外接球半径，进而计算外接球表面积. 【详解】已知，，设，则， 由题意，又平面， 所以，已知， 解得，即，得， 因此， 将三棱锥补成一个长方体，如图，则为三棱锥外接球的直径， 在中，，外接球半径， 则，外接球表面积. 31．（2026高三·辽宁大连·期中）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为______. 【答案】 【分析】设，在等腰中，求得，设的外心是，外接圆半径是，由正弦定理得，设外接球球心是，可得是直角梯形，设可得，把（）也用表示，然后可表示出外接球半径，利用三角恒等变换，换元法，变形后由基本不等式求得最小值，从而得球表面积的最小值． 【详解】设，在等腰中，， 设的外心是，外接圆半径是， 则，∴， 设外接球球心是，则平面，平面，则， 同理，， 又平面，所以，是直角梯形， 设，外接球半径为，即， 则，所以， 在直角中，，， ，，∴， ， 令，则， ， 当且仅当，时等号成立， 所以的最小值是． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是用一个变量表示出球的表面积，前提是选定一个参数，由已知设，其他量都用表示，并利用三角函数恒等变换，换元法，基本不等式等求得最小值．考查了学生的运算求解能力，逻辑思维能力，属于难题． 32．（2026高三·贵州·开学考试）在三棱锥中，，，D为AC的中点，平面ABC，且，则三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【分析】由已知，利用余弦定理可得，再由正弦定理可得的外接圆的半径为，结合立体图形，设三棱锥的外接球球心到平面的距离为，设外接球的半径为，在中和直角梯形中，由等量关系建立方程组，解出，即可得到三棱锥外接球的表面积. 【详解】在中，，， 由余弦定理得， 所以，设的外接圆的半径为， 则由正弦定理得，解得 结合图形分析：      因为D为AC的中点，平面ABC，且， 在中，，， 又，则圆心到点的距离为， 另设三棱锥的外接球球心到平面的距离为，设外接球的半径为， 则中，，即， 直角梯形中，，即， 解得，，所以. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：球的性质：①球的任何截面均为圆面；②球心和截面圆心的连线垂直于该截面. 33．（2026·河南开封·模拟预测）在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三棱锥可以补成长方体，从而得到为三棱锥的外接球的直径，要想体积最小，则最小即可，设，表达出，从而得到，进而求出外接球体积的最小值. 【详解】根据题意三棱锥可以补成分别以为长、宽、高的长方体，其中为长方体的对角线， 则三棱锥的外接球球心即为的中点，要使三棱锥的外接球的体积最小，则最小． 设，则，，， 所以当时，，则有三棱锥的外接球的球半径最小为， 所以． 故选：A 34．（2026高三·贵州贵阳·阶段检测）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，已知“鳖臑”中，平面，，，，则“鳖臑”外接球体积的最小值为______． 【答案】 【分析】利用割补法及长方体的体对角线为外接球的直径，结合二次函数的性质及球的体积公式即可求解. 【详解】根据题意三棱锥可以补成分别以，，为长、宽、高的长方体，如图所示， 其中为长方体的对角线，则三棱锥的外接球球心即为的中点， 要使三棱锥的外接球的体积最小，则最小． 设，则，，， 所以当时，，则有三棱锥的外接球的球半径最小为， 所以． 故答案为：. 35．（2026·山东·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称之为“堑堵”，如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面中，，且，，点在棱上，当时，三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【分析】设，由已知可得，即可求出，再求出的外接圆半径，根据勾股关系求得三棱锥外接球半径，即可求得表面积. 【详解】由题，，，，平面， 平面，， 设，（），，，， 则，， 连接，则， ，, 即，解得，即， 是直角三角形，的外接圆半径为， 设三棱锥外接球半径为，则， 则三棱锥外接球的表面积为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用求得，正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解球半径. 题型8 外接球之圆锥模型 36．（2026·江西上饶·模拟预测）已知某圆锥底面半径为，高为，则该圆锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，设圆锥外接球的半径为，则有，解得， 则该圆锥的外接球表面积． 37．（2026高三·河北衡水·期末）高和底面圆直径均为2的圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设外接球的半径为，依题意可得，求出，再由球的表面积公式计算可得. 【详解】设外接球的半径为，依题意可得，解得， 所以圆锥的外接球的表面积. 故选：C 38．【多选】（2026高一·湖北武汉·阶段检测）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．圆锥的体积为 C．圆锥的外接球的表面积为 D．圆锥的内切球的体积为 【答案】AC 【分析】对于选项，求出圆锥的母线长和高，即可求出侧面积和体积；对于选项，求出外接球半径，即可得出外接球体积；对于选项，求出内切球半径，即可得出内切球表面积． 【详解】设圆锥的底面半径，母线长为， 则侧面展开图半圆的弧长等于圆锥底面周长，即，解得， 圆锥的高， 选项A：圆锥侧面积，故A正确； 选项B：圆锥体积，故B错误； 选项C：设外接球的半径为，球心在圆锥的高上， 由勾股定理得，，即，解得， 圆锥的外接球的表面积，故C正确； 选项D：设内切球半径为，圆锥轴截面为边长为2的等边三角形， 则，解得， 内切球的体积为，故D错误． 39．【多选】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，AC为圆锥SO底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥SO的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为4 C．圆锥SO外接球的表面积为 D．若，为线段AB上的动点，则的最小值为 【答案】AC 【分析】先求母线，利用侧面积公式可判断A，利用体积公式可判断B，利用勾股定理求出球的半径可判断C，利用展开图结合余弦定理可判断D. 【详解】对于A，因为，，所以,其侧面积为，A正确； 对于B，三棱锥的底面积最大为，所以三棱锥体积的最大值为，B不正确； 对于C，设外接球的球心为，半径为，因为圆锥的外接球球心在高上，所以,因为，所以,解得， 所以圆锥SO外接球的表面积为，C正确； 对于D，因为，，所以，把绕边旋转，使其与共面，如图，连接，交于点，此时取得最小值， 在中，,所以， 所以, 由余弦定理， 所以的最小值为，D不正确. 题型9 外接球之正锥体模型 40．（2026·黑龙江·模拟预测）已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方形中心为，取中点，连接、、，由正四棱锥的性质可知，，平面，则为二面角的平面角，设正方形的边长为，利用锐角三角函数求出，即可求出，，再设球心为，则球心在直线上，设球的半径为，利用勾股定理求出，最后再由球的表面积公式计算可得. 【详解】设正方形中心为，取中点，连接、、， 则，，平面， 所以为二面角的平面角，即， 设正方形的边长为，则， 又，，所以， 即，解得（负值已舍去）， 则，，设球心为，则球心在直线上，设球的半径为， 则，解得， 所以外接球的表面积. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是确定二面角的平面角，利用锐角三角函数求出底面边长与高，再由正四棱锥的性质确定球心在上. 41．（2026高三·浙江·阶段检测）已知正三棱锥满足，，则的外接球表面积为______． 【答案】 【分析】设为三棱锥的高，得到球的球心在上，结合三棱锥的几何特征和球的截面的性质，求得外接球的半径，利用表面积公式，即可求解. 【详解】因为三棱锥为正三棱锥，又， 所以，又， 设为三棱锥的高，则其外接球的球心在上，且为等边的中心， 如图所示，设外接球的半径为，延长交于点，则， 在等边中，可得，则， 所以， 所以，即，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：.    42．（2026高三·山西晋中·期末）已知正三棱锥与正三棱锥的底面重合，且，分别在底面的两侧，，两个三棱锥的体积之比为，若点，，，，都在球的球面上，则球的表面积为__________. 【答案】 【分析】由题意得到为球的直径，由两个三棱锥的体积之比为得到， 从而得到，在中，利用勾股定理建立的等式，解出，利用球的表面积公式求解. 【详解】正三棱锥与正三棱锥的底面重合，且，分别在底面的两侧， 点，，，，都在球的球面上， 为球的直径， 设球的半径为，则， 设为的中心，则平面，平面， 两个三棱锥的体积之比为，， ， 在中，连接并延长交于点，，则， 为的中心，为的重心，， 在中，， ，，， . 故答案为： . 题型10 外接球之圆台模型 43．（2026高一·河北邢台·期中）已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用圆台的结构特征，结合球的截面圆性质列式求出球半径，再求出球的表面积. 【详解】设球的半径为，球心到上底面圆距离为，而球心在圆台两底面圆圆心确定的直线上， 则球心到下底面圆距离为，因此，解得， 所以球O的表面积为. 44．（2026·河北沧州·模拟预测）已知一圆台的上､下底面半径分别为2，4，体积为，则该圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆台的体积公式求出该圆台的高，进而求出其外接球的半径即可. 【详解】由题可知，圆台上底面面积，下底面面积， 设该圆台的高为，外接球的半径为， 则体积，解得， 可得解得 所以该圆台的外接球的表面积为. 45．（2026·河南·模拟预测）如图所示的半圆扇环是一个圆台的侧面展开图（B为扇形所在圆的圆心），且该圆台的母线长为4，若该圆台存在内切球O（球O和圆台底面、侧面均相切），则该圆台的表面积为________；球O的表面积为________． 【答案】 【分析】利用圆台的侧面展开图确定圆台上下底面半径与母线长之间的数量关系，利用圆台内切球的性质建立方程求解. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为. 由题意，圆台的母线长. 由于圆台的侧面展开图是半圆扇环，其圆心角. 设大扇形的半径为，小扇形的半径为. 可得圆台的下底面周长为，，同理. 圆台的母线长等于大扇形半径与小扇形半径之差，即，①. 设圆台的高为. 当圆台存在内切球时，圆台的轴截面是一个等腰梯形且该梯形有一个内切圆. 如图所示，，，②. 联立①②解得. ，内切球半径. 圆台的表面积. 球的表面积 46．（2026高一·湖南邵阳·期中）已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的外接球表面积为__________． 【答案】/ 【分析】先根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线，再结合勾股定理求出圆台的高，再设外接球的半径为，外接球的球心到圆台下底的距离为，则球心到圆台上底的距离为，从而结合勾股定理列出方程组，求出，进而根据球的表面积公式即可求解． 【详解】由圆台的上底面半径为，下底面的半径为，其侧面积为， 设该圆台的母线为，高为， 则，解得， 则， 设外接球的半径为，外接球的球心到圆台下底的距离为，则球心到圆台上底的距离为，（若球心在下底的上方，则为正值，反之为负值） 所以，解得， 所以该圆台的外接球表面积为．    47．（2026·全国·模拟预测）已知某圆台的上底面圆心为，半径为，下底面圆心为，半径为，高为，若该圆台的外接球球心为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，进而求得的值. 【详解】由圆台的上底面圆心为，半径为，下底面圆心为，半径为，高为， 如图所示，因为，所以， 所以，解得，所以. 故选：B. 48．（2026·重庆·模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为和，球的体积为，则该圆台的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，计算出圆台的母线长，再利用圆台的侧面积公式可求得该圆台的侧面积. 【详解】设球的半径为，则，所以，， 取圆台的轴截面，如下图所示：    设圆台的上、下底面圆心分别为、，则、分别为、的中点， 连接、、、、、，则， 由垂径定理可知，，， 所以，，， 因为，，，所以，， 所以，，所以，， 所以，，则， 因此，圆台的侧面积为， 故选：D. 题型11 外接球之正棱台模型 49．（2026高三·江西鹰潭·阶段检测）已知正三棱台的高为2，上､下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以， 即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为， 所以，，故或， 即， 又，即， 即， 平方可得：，解得； 即，即， 平方得，无解， 所以球的表面积为． 故选：B． 50．（2026高一·贵州铜仁·期末）已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，则正三棱台的体积为______；若此正三棱台的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______． 【答案】 【分析】求出正三棱台的上下底面的面积，代入棱台体积公式求解第一空，利用正三棱台的几何性质计算出球心到下底面的距离，可求出外接球的半径，结合球体表面积公式可得第二空. 【详解】因为正三棱台的上下底面的边长分别为和， 所以上下底面的面积分别为，， 又正三棱台的高为1，故正三棱台的体积为； 如下图，设正三棱台的上、下底面的中心分别为、， 由正三棱台的几何性质可知，外接球球心在直线上， 正的外接圆半径为， 正的外接圆半径为， 设，若球心在线段上，则，， 设外接球的半径为，则， 即，解得，不合乎题意； 故球心在射线上，则， 同理 由，即，解得. 所以，故该正三棱台的外接球表面积为. 故答案为：，. 51．（2026高三·辽宁·期中）正三棱台高为1，上下底边长分别为3和6，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正三棱台的结构特征求出上、下底面所在平面截球所得圆的半径，然后根据正三棱台高为1求出球的半径，最后根据球的表面积公式求出结果. 【详解】由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为， 下底面所在平面截球所得圆的半径为，如图， 设球的半径为，则轴截面中由几何知识可得, 因为， 所以球心在的延长线上，则， 故， 故，整理得， 化简解得. 所以该球的表面积为. 故选：A. 52．（2026高二·重庆·阶段检测）已知正三棱台的体积为，底面的面积为，三条侧棱的延长线交于点M，且为AM中点，则该三棱台外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过体积公式求出正三棱台的高，利用相似三角形确定上下底面边长，结合外接球半径的计算，最终得到外接球的表面积. 【详解】因为三条侧棱的延长线交于点M，且为AM中点，所以上下底面边长比为1:2.设上底边长为，则下底边长为， 所以，得到， 所以下底边长为，设下底面面积为,则， 已知正三棱台 的体积为，上底面的面积为， 根据体积公式： ，得到， 因为上底面外接圆半径，下底面外接圆半径， ①假设球心在上下底面之间， 设球心到下底面距离为，则到上底面距离为.由勾股定理得 ，解得，不存在； ②当球心不在上下底面中间时， 设球心到下底面距离为，则到上底面距离为.由勾股定理得 ，解得，符合题意， 所以该三棱台外接球的表面积为. 故答案选：B. 53．（2026高一·福建·阶段检测）若一个正四棱台的上下底面分别是边长和正方形，且体积为，则该台体的外接球的表面积为_________. 【答案】 【分析】根据条件作图，利用求得，即可求出外接球半径，求出外接球表面积. 【详解】根据条件，作出正四棱台如图所示， 则其外接球球心在直线上， 设，，设， 因为该棱台的体积为， 所以， 所以，， 当球心在线段延长线时，由，设， 可得，即， 解得， 所以外接球半径即， 当球心在线段上时， 同理可得，即， 解得舍去， 所以其外接球表面积为. 54．（2026·重庆渝中·模拟预测）将一个半径为 1 的铁球熔化后， 浇铸成一个正四棱台形状的铁锭， 若这个铁锭的上、下底面边长分别为 1 和 2 ， 则它的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可． 【详解】球的体积为，设铁锭的高为，则正四棱台的体积为， 由球和正四棱台的体积相等，可得，解得. 55．【多选】（2026·安徽·模拟预测）已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且，则下列说法正确的有（   ） A．该四棱台的体积为14 B．侧棱与底面夹角的正切值为 C．若为的中点，则平面BDE D．该四棱台的外接球表面积为 【答案】ACD 【分析】求出正四棱台体积判断A；求出侧棱与底面夹角正切判断B；利用线面平行判定推理判断C；求出外接球半径求解判断D. 【详解】设棱台的上下底面中心分别为， 对于A选项，因为正方形ABCD的边长为，正方形的边长为， 所以 ，台体的高为， 由台体体积公式可知，该正四棱台的体积为，A正确； 对于B选项，侧棱与底面夹角的正切值为，B错误； 对于C选项，当点为的中点时，易知为AC的中点，则， 因为平面平面BDE，故平面，C正确； 对于D选项，易知该正四棱台外接球球心在直线上，设球的半径为， ， 则，由可得， 解得，故， 因此，该四棱台的外接球表面积为，D正确． 题型12 外接球之共斜边拼接模型 56．（2026高二·江西·阶段检测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析图中的四棱锥，找出内部的几何关系，即可求解. 【详解】解：∵底面ABCD为菱形，∴ ，又 底面ABCD，∴ ， ∴ 平面PBD，∴，即， 取PC的中点M，如下图： 连结BM，OM，在中，MB=MC=MP=PC， 在中MO=PC， ∴点M为三棱锥P-BOC的外接球的球心， 在 中，由于 ，O是AC的中点，所以是等腰三角形，    ， 外接球半径为 ，外接球的体积为 ； 故选：B. 57．（2026高二·安徽芜湖·期中）已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用勾股定理，分别证得，，和，进而求得外接球的半径，结合表面积公式，即可求解. 【详解】因为，，，则，所以， 又因为，，，则，所以， 由，，，则,所以， 又由，，，则，所以， 可得为三棱锥的外接球的直径， 又由， 所以此三棱锥的外接球半径为， 所以球的表面积为. 故选：C.    58．（2026高三·河南·阶段检测）在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设SC的中点为O，AB的中点为D，连接OA、OB、OD，根据，得到 ，则O为其外接球的球心，易证平面AOB，由，求得半径即可. 【详解】如图所示： 设SC的中点为O，AB的中点为D，连接OA、OB、OD， 因为， 所以, 则， 所以O为其外接球的球心，设球的半径为R， 因为，， 所以， 所以， 因为， 所以平面AOB， 所以， 解得， 所以其外接球的体积为， 故选：D 题型13 外接球之垂面模型 59．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的体积为（    ）     A． B． C． D． 【答案】D 【分析】补形成长方体模型来解即可. 【详解】由于二面角为直二面角，且和都是直角三角形， 故可将三棱锥补形成长方体来求其外接球的半径R， 即，解得， 从而三棱锥外接球的体积． 故选：D    60．（2026高三·江苏南通·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，平面平面，是的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定球心位置，求出三棱锥的外接球的半径，由球的表面积公式即可求解． 【详解】依题意，为等边三角形，且高，则， 而，又，则为等边三角形， 平面平面，，平面平面，平面，于是平面， 令的外心为，三棱锥外接球的球心为，则平面， 又三棱锥的外接球球心在线段的中垂面上，此平面平行于平面， 因此，等边外接圆半径， 三棱锥的外接球，则， 所以三棱锥的外接球的表面积， 故选：C 61．（2026·江西鹰潭·模拟预测）在菱形中，，，将沿对角线折起，使点到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，确定三棱锥的外接球的球心位置，再求出球半径即可计算作答. 【详解】如图所示： 由题意在菱形中，互相垂直且平分，点为垂足， ， 由勾股定理得， 所以， 设点为外接圆的圆心， 则外接圆的半径为，， 设点为外接圆的圆心，同理可得外接圆的半径为， ， 如图所示： 设三棱锥的外接球的球心、半径分别为点， 而均垂直平分， 所以点在面，面内的射影分别在直线上， 即， 由题意，且二面角为直二面角， 即面面，， 所以，即，可知四边形为矩形，所以， 由勾股定理以及， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 62．（2026·四川·模拟预测）如图，在梯形中，，将沿对角线折起，使得点翻折到点，若面面，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为的中点，为的中点，为的外心，为三棱锥的外接球球心，利用球的截面性质得到四边形为矩形，然后设外接球半径为，由求解. 【详解】解：如图， 设为的中点，为的中点，为的外心，为三棱锥的外接球球心， 则面面. 由题意得为的外心， 在中，， 所以， 又四边形为矩形， ，设外接球半径为， 则外接球表面积， 故选：B. 63．（2026·贵州贵阳·模拟预测）在三棱锥中，已知，且平面平面ABC，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过面面垂直确定球心的大致位置，在直角三角形中利用勾股定理可求球的半径，结合表面积公式可得答案. 【详解】如图，设外接球的半径为R，取AB的中点，连接，则由，得， 因为平面平面ABC，平面平面，平面， 所以平面ABC，则球心O在直线上． 连接OA，则， 因为，所以； 因为，所以. 因为，所以球心在线段上． 在中，由勾股定理，得， 即，解得， 所以三棱锥的外接球表面积为. 故选：B． 64．（2026·河北唐山·模拟预测）四面体ABCD中，平面平面，，，，，则该四面体外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设的外心为，过点作于点，连接、、， 取的中点，连接，则. 因为面面，面面，平面， 所以，面， 因为平面，所以. 在直角三角形中，，，,得. 在中，由正弦定理得，，解得，. 在直角三角形中，，则， 在直角三角形中，由面积公式得，，解得，， 则，. 在直角三角形中，则， 在直角三角形中，则， 即， 所以，点为该四面体外接球的球心，故其体积为. 65．（2026高二·浙江·开学考试）四棱锥，平面平面，四边形为正方形，，则四棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用面面垂直可得平面，再利用棱长可求得得到球心，进而可求解. 【详解】 如图，设，取的中点，连接， ，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，， 在中，，，， ， 为中点，，， 又在正方形中，，， ，， 点为四棱锥外接球的球心，且半径为， 四棱锥的外接球的体积为. 故选：A. 66．（2026高三·全国·专题练习）在三棱锥中，，，平面平面，若，四点共球，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，由题意，根据面面垂直的性质可得平面，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据和球的体积公式计算即可求解. 【详解】如图，设外接圆的圆心为，半径为，过作直线平面， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面. 设三棱锥外接球的球心为，半径为， 则在直线上，取的中点，连接， 则. 在中，， 由正弦定理得， 所以，得， 所以三棱锥外接球的体积为. 故选：C 题型14 外接球之二面角模型 67．（2026高一·浙江绍兴·期中）在三棱锥中，二面角的大小为，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为____________． 【答案】 【分析】，故只需求的最小值，则在四边形中计算即可. 【详解】 取外心，外心，中点为， 则，，面，面 所以，， 设， 由正弦定理得， 余弦定理得，所以， 所以由正弦定理得，即， 所以，，， 在四边形中， ， ， 当且仅当时等号成立， 所以三棱锥外接球表面积最小值为， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是用一个变量表示出球的表面积，前提是选定一个参数，由已知设，其他量都用表示，并利用三角函数恒等变换，换元法，基本不等式等求得最小值． 68．（2026高三·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为________. 【答案】/ 【分析】先确定球心位置，再建立半径R的方程求解即可. 【详解】取和的中点分别为，，过点作面于点， 连结，，,平面,故， 又，则又平面, 故平面，平面，故 则为二面角的补角， ， 因为，，则，且， 易知， 因为为等腰直角三角形，所以是的外心. 设三棱锥的外接球的球心为，则面，易知， 作，易知为矩形，， 设，，则在中，， 且中，，解得， 所以外接球表面积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查外接球问题，关键是利用球的性质确定球心位置. 69．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为________． 【答案】 【分析】依题意可得，球心在过的中点与平面垂直的直线上， 同时也在过的中心与平面垂直的直线上，即可得到，求出，从而求出三棱锥的外接球的半径为，即可得到外接球的体积. 【详解】解：如图，∵，即，∴. ∴球心在过的中点与平面垂直的直线上， 同时也在过的中心与平面垂直的直线上，. ∴这两条直线必相交于球心. ∵二面角的大小为， 易知，， ，， ， ∴三棱锥的外接球的半径为. ∴三棱锥的外接球的体积为. 故答案为： 70．（2026高三·河南·期末）在边长为1的菱形中，将沿折起，使二面角的平面角等于，连接，得到三棱锥，则此三棱锥外接球的表面积为_________.      【答案】/ 【分析】设菱形中心为，则，为等边三角形，利用球的截面性质确定球心位置，根据二面角定义，等边三角形的性质求出球的半径可得答案. 【详解】取的中点，连接， 因为为菱形，所以即为二面角的平面角， 因为，所以和均为正三角形， 取靠近的三等分点，取靠近的三等分点， 过点作平面，过点作平面，交于点， 则为三棱锥外接球的球心，连接， 由对称性知，则，， 因为， 所以， 所以外接球的半径， 所以外接球的表面积为. 故答案为：    71．（2026高一·广东茂名·阶段检测）如图1，在中，，，，、分别为、的中点，将沿折起来，使得二面角为（如图2），则______，三棱锥的外接球体积为______.    【答案】 3 【分析】由题意可知：二面角的平面角为，利用余弦定理运算求解；根据题意可证平面，进而求外接球的半径和体积. 【详解】由题可知：，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角为， 由余弦定理可得， 因为，，，，平面， 可知平面， 且，所以平面， 因为外接圆半径， 则三棱锥的外接球半径为， 所以三棱锥的外接球体积为. 故答案为：；. 72．（2026高二·黑龙江齐齐哈尔·期末）等腰三角形ABC的腰，，将它沿高AD翻折，使二面角成60°，此时四面体ABCD外接球的体积为______． 【答案】/ 【分析】根据题意，作出翻折前后的图形如图，由题设二面角迅速判断是等边三角形，作出其外心和四面体ABCD外接球球心，通过直角梯形，列方程组即可求得外接球半径. 【详解】 如图所示，图1为等腰三角形ABC，是底边上的高，现沿着高翻折，使二面角成60°，得到图2. 因平面，则平面， 且即二面角的平面角，即， 因,故是等边三角形， 设的外心为点,过点作平面,使点为四面体ABCD外接球球心， 设外接球半径为,由正弦定理，,解得，，则,, 在直角梯形中, ,解得，， 故四面体ABCD外接球的体积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查对折产生的四面体的外接球体积的求法，属于难题. 解题关键在于，弄清翻折前后的不变的边和角，由二面角迅速判断底面形状，借助于直角梯形或直角三角形列方程即可求得. 73．（2026高三·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，，是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为的二面角，则四面体的外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，取的中点，找到的外心，然后平面，根据二面角的平面角为找到球心，然后计算长度求出，最后根据球的体积公式计算即可. 【详解】如图，取的中点，连接，    设为正的外心，则点在上，且． 设为四面体的外接球球心，则平面． ，则为的外心，平面． 二面角的大小为，则直线与平面成角，． 是边长为3的正三角形，则，． 在中，． 在中，，则， 四面体的外接球半径，. 故选：B． 题型15 外接球之侧棱为球的直径模型 74．（2026·山东·模拟预测）如图①，将两个直角三角形拼在一起得到四边形，且，，现将沿折起，使得点到达点处，且二面角的大小为，连接，如图②，若三棱锥的所有顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作且，连接、，即可得到是二面角的平面角，从而求出，即可得到，则平面，则为三棱锥的外接球的直径，即可求出外接球的表面积. 【详解】过点作且，连接、，则四边形为平行四边形， 所以，因为，所以，又， 所以是二面角的平面角，即， 在中，由余弦定理可得， 即，所以，所以， 又，，所以，，平面， 所以平面，平面，所以， 所以为三棱锥的外接球的直径， 所以外接球的半径， 所以外接球的表面积. 故选：B    【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是作辅助线过点作且，连接、，确定是二面角的平面角. 75．（2026高二·贵州黔东南·期中）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，可证平面，利用几何体的体积，求解球的半径，然后求解球的体积． 【详解】解：取的中点，连接， 因为，，所以，. 因为平面平面，所以平面. 设， 所以， 所以球的体积为. 故选： 【点睛】本题考查球的内接体，三棱锥的体积以及球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题． 76．（2026高三·四川巴中·期末）已知三棱锥的体积为，，，若是其外接球的直径，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由是其外接球的直径，得中点是外接球球心，设是的外心，则平面，且等于到平面的距离的一半．求出中长（用余弦定理），由正弦定理求得外接圆半径，求出面积，求体积求出，从而可得外接圆半径，得表面积． 【详解】如图，是中点，则是外接球球心，设是的外心，则平面，且等于到平面的距离的一半． ∵，，∴， ，， ，， ， ∴， ． 故选：D. 【点睛】本题考查球的表面积，考查三棱锥与外接球的关系．三棱锥外接球球心一定在过它的各面外心且与此面垂直的直线上． 77．（2026·安徽阜阳·模拟预测）已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，，，则三棱锥的体积为______. 【答案】/ 【分析】所求体积可表示为，故只需求出三角形的面积即可，其中，由对称性也有，由于是已知的，所以只要求得即可进一步求解. 【详解】如图，易知，，所以， 作于点，易知，所以， ， ， 故三棱锥的体积为 . 故答案为：. 题型16 正方体与内切球 78．（2026·广东·模拟预测）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，过直线的平面截该正方体的内切球，所得截面圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设是线段的中点，则，利用勾股定理求出，进而求出，找出当垂直于过的平面时，截得该正方体的内切球所得截面圆的面积最小，再利用弦长公式和面积公式即可求得结果. 【详解】设是线段的中点，则， 由勾股定理， 球心到距离为， 当垂直于过的平面时，截得该正方体的内切球所得截面圆的面积最小， 被球截得的弦长为， 此时圆的半径就是，面积为. 故选：A. 79．【多选】（2026高一·安徽六安·期末）如图，已知正方体的棱长为1，E为线段上的动点，线段与平面交于点F，则下列说法正确的是（   ） A．直线与所成角的范围为 B．三棱锥内切球半径为 C．的最小值为 D．面截该正方体内切球所得的截面面积为 【答案】ABD 【分析】根据平行关系可得异面直线与所成的角为（或其补角），由点位置求角的取值范围判断A，分割后利用等体积法求内切圆的半径判断B，翻折后转化为平面上两点间距离最小，利用余弦定理求解判断C，根据正方体内切圆与面上对角线的关系可得所求为三角形的内切圆，即可求出半径判断D. 【详解】对于A，因为，所以异面直线与所成的角为（或其补角）， 在等边三角形中， 当点E为中点时，最大为； 当点E与重合时，最小，为；当点E与B重合时，的补角为， 综上直线与所成角的范围为，故A正确； 对于B，设内切圆半径为r，则， 即，解得，故B正确； 对于C，将沿直线翻折，使其与平面共面，连接点A和翻折后的点，交于，如图， 在等边三角形中，为中心，所以，所以翻折后， 在中，，， 故当重合时，即的最小值为，故C错误； 对于D，平面截正方体内切球的截面为的内切圆，如下图： 因为正方体的棱长为1，所以对角线， 内切圆半径， 所以截面面积，故D正确. 故选：ABD. 80．（2026高二·陕西咸阳·期中）已知正方体的棱长为，点是正方体外接球的球面上一点，为正方体内切球的球面上的两点，若，则__________. 【答案】 【分析】根据的长度判断出其为内切球的直径，然后通过化简可得，代入外接球和内切球的半径可计算出结果. 【详解】因为正方体棱长为，所以外接球的半径为，内切球的半径， 因为，所以是内切球的直径，如图所示，设两个球心均为， 所以， 所以， 故答案为：. 题型17 圆柱、圆锥、圆台内切球 81．（2026高一·内蒙古包头·期末）已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆柱内切球的特性可知，然后求体积计算比值即可. 【详解】根据题意，设圆柱内切球半径为，底面半径为，高为， 又圆柱存在内切球，所以， ， 所以. 故选：C. 82．（2026高一·广东·阶段检测）已知EF为圆柱的下底面圆的一条直径，D为上底面圆上任意一点，，球O内切于圆柱，则球O的体积为__________，平面DEF截球O所得截面面积的最小值为________ 【答案】 【分析】由球内切于圆柱得到球的半径可得第一空答案；过点在平面内作，垂足为点，分析可知当平面时，截面圆的半径最小，求解可得第二空答案. 【详解】如图：因为圆柱的高为2，且球O内切于圆柱， 所以球O的半径，故球O的体积. 设过点D的圆柱的轴截面为ABCD，过点O在平面ABCD内作，垂足为G，如图： 易知，，，由勾股定理可得， 因为与相似，所以，即， 设O到平面DEF的距离为，平面DEF截得球的截面圆的半径为， 因为平面DEF，当平面DEF时，取最大值OG，即， 所以， 所以平面DEF截得球的截面面积最小值为. 故答案为：；. 83．（2026高一·全国·专题练习）如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到三角形相似，表达出各边，根据相似得到方程，求出答案. 【详解】由题意得⊥，⊥，故∽， 故， 其中， 故，， 所以，即，解得. 故选：D 84．（2026高三·江苏南京·阶段检测）已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出轴截面，根据直角三角形的知识计算出底面半径和高，再根据圆锥的体积计算公式即可. 【详解】作出轴截面如图所示，为内切球的圆心，为圆锥底面圆的圆心，为切点，由已知条件可知，内切球的表面积等于，即，而，在中，，所以，在中，所以圆锥的体积. 故选：C 85．（2026高一·浙江·期中）已知圆台的一个底面面积为，且有半径为的内切球，则该圆台体积为________． 【答案】/ 【分析】作出圆台的轴截面，依题意可得圆台的高，又，，，设，利用勾股定理求出，再由圆台的体积公式计算可得. 【详解】因为圆台的一个底面面积为，则该底面圆的半径，不妨令其为上底面， 如图为该几何体的轴截面，其中圆为等腰梯形的内切圆， 设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底分别切于点，，球的半径， 则圆台的高，又，，， 设，则，所以，解得， 所以圆台的体积. 故答案为： 86．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知圆台内切球的表面积为，母线与底面圆直径所成角为，则圆台的体积为_____. 【答案】 【分析】由条件根据球的表面积公式求出球的半径，作圆台的轴截面，结合条件解三角形求出圆台的上下底面半径和高，结合圆台体积公式求结论. 【详解】设圆台内切球的半径为， 由已知，所以， 作圆台的轴截面可得 由已知，，， 所以， 因为圆为等腰梯形的内切圆，所以，，， 所以，所以，又， 所以， 在中，，，， 所以， 因为，，， 所以，所以，又， 所以， 在中，，，， 所以， 所以圆台的底面圆的半径为，面积为， 底面圆的半径为，面积为，又圆台的高为， 所以圆台的体积， 故答案为：. 87．（2026高三·河北·期中）已知圆台的轴截面等腰梯形的下底边长是上底边长的2倍，若该圆台的内切球表面积为，则此圆台的体积为__________. 【答案】 【分析】先由圆台内切球求出圆台的高，再利用轴截面为等腰梯形的性质结合勾股定理求出上下底面半径，然后利用圆台的体积公式求解可得. 【详解】由该圆台的内切球表面积为，设内切球半径为则， 所以等腰梯形的高为， 又圆台的轴截面等腰梯形的下底边长是上底边长的2倍，设上底为，腰长为，则下底为， 由等腰梯形的内切圆性质可得， 所以，可解， 所以圆台的体积为. 故答案为：. 题型18 正多面体内切球 88．（2026·云南·模拟预测）若底面边长为6的正三棱柱存在内切球（球与正三棱柱的所有面均相切），则该正三棱柱的体积为（    ） A．27 B．54 C．18 D． 【答案】B 【分析】先求出边长为6的正三角形的内切圆半径，再由棱柱的体积公式计算可得. 【详解】易知边长为6的正三角形的内切圆半径为，所以若正三棱柱存在内切球， 则该正三棱柱的高为，所以该正三棱柱的体积. 故：B. 89．（2026·陕西汉中·模拟预测）在正三棱锥中，侧棱与底面所成的角为，记三棱锥内切球、外接球的半径分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据计算可得，求出外接圆半径，再结合勾股定理可求出外接球的半径. 【详解】设正三棱锥底面边长为，底面正三角形的中心为，则顶点在底面的投影点为， 因为侧棱与底面所成的角为， 即， 在中，，，， ，， 正四棱锥体积为：, 因为，所以， 在正三棱锥中，外接球的球心在，设球心为， 设，根据球心到顶点距离相等可得，， 即，解得，所以， 所以. 故选：D 90．（2026高二·四川内江·期中）在正四棱锥中，分别为的中点，平面恰好与正四棱锥的内切球相切，则正四棱锥的高为___________． 【答案】 【分析】借助内切球性质可得和相似，则有计算即可得内切球的半径，即可得高. 【详解】在正四棱锥中，分别为的中点， 平面恰好与正四棱锥的内切球相切， 设AC与BD相交于点Q，取AB的中点为M连接PM,PQ,MQ， 取PQ与平面交于点N，连接NG ，作于S，设内切球的半径为r，则，设PQ=h， 平面与平面ABCD平行，平面PQC与两个平面的交线为NG、QC 所以 ，所以和相似，由G为PC中点， 所以点N是PQ中点,所以 ； 又和相似，故，易得， 则 ，得到，所以 即正四棱锥P-ABCD的高为.； 故答案为： 91．（2026高三·陕西西安·开学考试）正三棱台的上､下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上､下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为__________. 【答案】 【分析】利用内切球的性质，从截面形状分析数量关系，进而求出棱台表面积. 【详解】 如图，上底面边上的中线为，下底面边上的中线为. 根据内切球的性质可知，球与三个平面的切点分别在、、上. 考察截面 . 根据勾股定理易知，，. 圆与相切于,其中 分别为棱台上下底面的中心，为斜高， 因，， 由切线长定理，易得，，则, 上底面面积为，下底面面积为， 因此三棱台的表面积为. 故答案为： 92．（2026高三·重庆·期末）在正四棱台中，，且正四棱台存在内切球，则此正四棱台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由内切球切点的截面性质，确定内切圆的圆心与半径，从而结合勾股定理得四棱台的高度，再由外接球几何性质建立关系得外接球的半径，从而得所求. 【详解】因为正四棱台内切球存在时，内切球大圆是图中梯形的内切圆，圆心为， 设上下底面的中心分别为． 过作于，连接， 由图可知， 则， 过作于，， 即四棱台的高为， 设外接球球心为，设外接球的半径为， 则 ， 解得， 则外接球表面积为． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关于正四棱台的内切球问题，关键是要通过截面法确定内切圆的圆心与半径，从而转换为几何体的内切球，由几何性质确定正四棱台的高度，从而再根据外接球的性质求解外接球半径，即可得所求。 93．【多选】（2026·河北·模拟预测）如图，在正八面体中，所有棱长均为，为正八面体内切球球面上的任意一点，则（   ） A．正八面体内切球的表面积为 B．正八面体的体积为 C．的取值范围是 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据正四棱锥的特征，结合切点的位置，构造几何关系，即可求解A选项；根据锥体的体积公式，即可求解C选项；根据几何关系，转化向量求数量积，并结合直线与球的位置关系，求最值，可判断C选项；设球心为，由球的几何性质可知，当与球相切时，最大，结合锐角三角函数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意得，可以只分析正四棱锥，易得正四棱锥的高为， 侧面正三角形的高为，设内切球的半径为，则由面积法可得，解得， 所以表面积为，故A正确； 对于B选项，正八面体的体积为两个正四棱锥的体积之和，， 因此，故B错误； 对于C选项，取中点， ， 而点到的距离为， 因此的最小值为，最大值为， ， 代入数据可得的范围是，故C正确； 对于D选项，设球心为， 由球的几何性质可知，当与球相切时，最大， 此时为锐角，如下图所示： 易知，，， 则， 所以，D对. 故选：ACD. 题型19 多内切球问题 94．（2026高一·河南商丘·期中）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用轴截面图来研究两球关系，利用等体积法来求内切球的半径，再利用相似来求小内切球的半径即可. 【详解】解：如图所示： 依题意得， 底面的外接圆半径为， 点到平面的距离为， 所以， 所以， 设球的半径为，所以， 则，得， 设球的半径为，则， 又，得， 所以球的表面积为． 故选：A． 95．（2026高三·广东深圳·开学考试）已知正三棱锥的侧面与底面所成角为，球为该三棱锥的内切球，球在三棱锥内，与球相外切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设底面正三角形的边长为，设出球和的半径为，，利用等体积法表示出，利用三角形相似表示出，即可得到答案. 【详解】设正三棱锥的底面正三角形的中心为，取中点，连接, 因为正三棱锥的性质，底面，， 所以就是侧面与底面所成二面角的平面角，即, 设底面正三角形的边长为，则， 在中，，已知， 所以， 设球的半径为，根据正三棱锥的体积公式，以及正三棱锥的表面积公式， 底面正三角形的面积，正三棱锥的体积， 正三棱锥的侧面积，在中，， 所以，，则正三棱锥的表面积， 根据正三棱锥的体积还可以表示为，即，解得. 设球的半径为，因为球与球相外切，且与该三棱锥的三个侧面也相切， 所以球的球心在上，且， 由于球与三个侧面相切，根据正三棱锥的对称性，球的球心到三个侧面的距离相等，且等于， 设球与侧面的切点为，则点在上，, 得相似于，则，即，解得， 所以球与球的半径之比. 故选：B.      96．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为______.    【答案】 【分析】根据题干信息画出示意图，根据正四面体的特征分别计算出大小球半径即可求出小球的体积. 【详解】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为， 连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高， ∴， ∴小球的体积为：， 故答案为：. 题型20 棱切球 97．（2026高一·山东青岛·期中）已知球与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球，则球与球的表面积之比为（    ） A．2：3 B．3：2 C． D． 【答案】A 【分析】设正方体棱长为，分别求出与正方体的各条棱相切的球的半径以及正方体外接球的半径，再求其表面积之比. 【详解】设正方体棱长为， 因为球与正方体的各条棱相切，所以球的直径大小为正方体的面对角线长度， 即半径； 正方体内接于球，则球的直径大小为正方体的体对角线长度，即半径； 所以球与球的表面积之比为. 故选：A. 98．（2026·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则______． 【答案】 【分析】由几何关系求出外接球和棱切球半径，再由球的表面积公式求出表面积，最后求出比值. 【详解】 设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心， 则外接球的半径，， 所以， 因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径， 所以. 故答案为： $专题13 与球有关的切、接问题20种常考考法归类 题型一 外接球之正方体、长方体模型 题型十一 外接球之正棱台模型 题型二 外接球之墙角模型 题型十二 外接球之共斜边拼接模型 题型三 外接球之正四面体模型 题型十三 外接球之垂面模型 题型四 外接球之对棱相等模型 题型十四 外接球之二面角模型 题型五 外接球之圆柱模型 题型十五 外接球之侧棱为球的直径模型 题型六 外接球之直棱柱模型 题型十六 正方体与内切球 题型七 外接球之直棱锥模型 题型十七 圆柱、圆锥、圆台内切球 题型八 外接球之圆锥模型 题型十八 正多面体内切球 题型九 外接球之正锥体模型 题型十九 多内切球问题 题型十 外接球之圆台模型 题型二十 棱切球 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 外接球之正方体、长方体模型 1．（2026高一·吉林·期末）已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为，则球的表面积为________． 2．（2026高一·云南昆明·期末）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为____________ 3．（2026高一·湖南长沙·期中）长方体的外接球的表面积为，，，则长方体的体积为__________. 4．（2026高二·上海·期中）长方体的8个顶点都在同一个球面上，且，，则球的表面积为___________． 5．（2026高二·云南昭通·开学考试）在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山西晋城·模拟预测）如图，在底面为正方形的长方体中，为底面ABCD内的一个动点（包括边界），且满足，若四面体的体积的最小值为，则长方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型2 外接球之墙角模型 7．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）一个三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，且长度分别为，，，已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．（2026高三·广东深圳·期末）在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 9．（2026高二·四川内江·阶段检测）已知三棱锥，，、两两垂直，，，，则其外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 10．（2026高一·贵州六盘水·期末）已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 11．（2026高二·贵州贵阳·阶段检测）如图，在三棱锥中，两两垂直，，.    (1)求三棱锥外接球的表面积. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型3 外接球之正四面体模型 12．（2026·天津和平·模拟预测）已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，该圆锥的内切球也是棱长为a的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长a为（    ） . A． B． C．3 D． 13．（2026高一·陕西西安·期中）已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．2 14．（2026高三·河北石家庄·阶段检测）如图所示，正四面体中,是棱的中点,是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 15．【多选】（2026高一·江苏南京·期末）已知正四面体的各棱长均为2，各顶点均在球的球面上，则（    ） A．正四面体的高为 B．正四面体的体积为 C．二面角的余弦值为 D．球的表面积为 16．（2026高一·安徽合肥·期中）如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体.若该多面体的表面积是，则该多面体外接球的表面积是__________. 题型4 外接球之对棱相等模型 17．（2026·河南·模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 18．（2026高二·广东揭阳·期中）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 19．（2026·四川凉山·模拟预测）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 20．（2026高一·湖北荆州·阶段检测）在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 题型5 外接球之圆柱模型 21．（2026高三·江西·阶段检测）已知某圆柱的高为，底面半径为1，且其上、下底面圆周均在以为球心的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 22．（2026高三·河南·开学考试）已知某圆柱的高为，且上､下底面均在以为球心的球面上，若该圆柱的底面半径为1，则球的体积为__________. 23．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 24．（2026高一·浙江嘉兴·期中）如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点． (1)求圆柱的侧面积； (2)求圆柱的外接球的表面积； (3)证明：平面． 题型6 外接球之直棱柱模型 25．（2026高三·全国·专题练习）已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则该三棱柱的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 26．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 27．（2026·吉林长春·模拟预测）已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边长为3，侧棱长为4，则其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 28．（2026高三·河南·开学考试）据《九章算术》记载：将底面钝角为的菱形的直棱柱对角面斜割一分为二得到的两个一模一样的三棱柱体，古人称之为堑堵．若堑堵的所有棱长都为，则其外接球的表面积为________． 29．（2026高二·全国·课后作业）表面积为81π的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是7，则这个正四棱柱的底面边长为______． 题型7 外接球之直棱锥模型 30．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知三棱锥，⊥平面，，=90o，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（     ） A．20 B．18 C．16 D．12 31．（2026高三·辽宁大连·期中）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为______. 32．（2026高三·贵州·开学考试）在三棱锥中，，，D为AC的中点，平面ABC，且，则三棱锥外接球的表面积为______． 33．（2026·河南开封·模拟预测）在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 34．（2026高三·贵州贵阳·阶段检测）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，已知“鳖臑”中，平面，，，，则“鳖臑”外接球体积的最小值为______． 35．（2026·山东·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称之为“堑堵”，如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面中，，且，，点在棱上，当时，三棱锥外接球的表面积为______． 题型8 外接球之圆锥模型 36．（2026·江西上饶·模拟预测）已知某圆锥底面半径为，高为，则该圆锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 37．（2026高三·河北衡水·期末）高和底面圆直径均为2的圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 38．【多选】（2026高一·湖北武汉·阶段检测）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．圆锥的体积为 C．圆锥的外接球的表面积为 D．圆锥的内切球的体积为 39．【多选】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，AC为圆锥SO底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥SO的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为4 C．圆锥SO外接球的表面积为 D．若，为线段AB上的动点，则的最小值为 题型9 外接球之正锥体模型 40．（2026·黑龙江·模拟预测）已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 41．（2026高三·浙江·阶段检测）已知正三棱锥满足，，则的外接球表面积为______． 42．（2026高三·山西晋中·期末）已知正三棱锥与正三棱锥的底面重合，且，分别在底面的两侧，，两个三棱锥的体积之比为，若点，，，，都在球的球面上，则球的表面积为__________. 题型10 外接球之圆台模型 43．（2026高一·河北邢台·期中）已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 44．（2026·河北沧州·模拟预测）已知一圆台的上､下底面半径分别为2，4，体积为，则该圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 45．（2026·河南·模拟预测）如图所示的半圆扇环是一个圆台的侧面展开图（B为扇形所在圆的圆心），且该圆台的母线长为4，若该圆台存在内切球O（球O和圆台底面、侧面均相切），则该圆台的表面积为________；球O的表面积为________． 46．（2026高一·湖南邵阳·期中）已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的外接球表面积为__________． 47．（2026·全国·模拟预测）已知某圆台的上底面圆心为，半径为，下底面圆心为，半径为，高为，若该圆台的外接球球心为，且，则（    ） A． B． C． D． 48．（2026·重庆·模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为和，球的体积为，则该圆台的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 题型11 外接球之正棱台模型 49．（2026高三·江西鹰潭·阶段检测）已知正三棱台的高为2，上､下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 50．（2026高一·贵州铜仁·期末）已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，则正三棱台的体积为______；若此正三棱台的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______． 51．（2026高三·辽宁·期中）正三棱台高为1，上下底边长分别为3和6，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 52．（2026高二·重庆·阶段检测）已知正三棱台的体积为，底面的面积为，三条侧棱的延长线交于点M，且为AM中点，则该三棱台外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 53．（2026高一·福建·阶段检测）若一个正四棱台的上下底面分别是边长和正方形，且体积为，则该台体的外接球的表面积为_________. 54．（2026·重庆渝中·模拟预测）将一个半径为 1 的铁球熔化后， 浇铸成一个正四棱台形状的铁锭， 若这个铁锭的上、下底面边长分别为 1 和 2 ， 则它的高为（    ） A． B． C． D． 55．【多选】（2026·安徽·模拟预测）已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且，则下列说法正确的有（   ） A．该四棱台的体积为14 B．侧棱与底面夹角的正切值为 C．若为的中点，则平面BDE D．该四棱台的外接球表面积为 题型12 外接球之共斜边拼接模型 56．（2026高二·江西·阶段检测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 57．（2026高二·安徽芜湖·期中）已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 58．（2026高三·河南·阶段检测）在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外球的体积为（    ） A． B． C． D． 题型13 外接球之垂面模型 59．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的体积为（    ）     A． B． C． D． 60．（2026高三·江苏南通·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，平面平面，是的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 61．（2026·江西鹰潭·模拟预测）在菱形中，，，将沿对角线折起，使点到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 62．（2026·四川·模拟预测）如图，在梯形中，，将沿对角线折起，使得点翻折到点，若面面，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 63．（2026·贵州贵阳·模拟预测）在三棱锥中，已知，且平面平面ABC，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 64．（2026·河北唐山·模拟预测）四面体ABCD中，平面平面，，，，，则该四面体外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 65．（2026高二·浙江·开学考试）四棱锥，平面平面，四边形为正方形，，则四棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 66．（2026高三·全国·专题练习）在三棱锥中，，，平面平面，若，四点共球，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 题型14 外接球之二面角模型 67．（2026高一·浙江绍兴·期中）在三棱锥中，二面角的大小为，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为____________． 68．（2026高三·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为________. 69．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为________． 70．（2026高三·河南·期末）在边长为1的菱形中，将沿折起，使二面角的平面角等于，连接，得到三棱锥，则此三棱锥外接球的表面积为_________.      71．（2026高一·广东茂名·阶段检测）如图1，在中，，，，、分别为、的中点，将沿折起来，使得二面角为（如图2），则______，三棱锥的外接球体积为______.    72．（2026高二·黑龙江齐齐哈尔·期末）等腰三角形ABC的腰，，将它沿高AD翻折，使二面角成60°，此时四面体ABCD外接球的体积为______． 73．（2026高三·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，，是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为的二面角，则四面体的外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 题型15 外接球之侧棱为球的直径模型 74．（2026·山东·模拟预测）如图①，将两个直角三角形拼在一起得到四边形，且，，现将沿折起，使得点到达点处，且二面角的大小为，连接，如图②，若三棱锥的所有顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 75．（2026高二·贵州黔东南·期中）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 76．（2026高三·四川巴中·期末）已知三棱锥的体积为，，，若是其外接球的直径，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 77．（2026·安徽阜阳·模拟预测）已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，，，则三棱锥的体积为______. 题型16 正方体与内切球 78．（2026·广东·模拟预测）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，过直线的平面截该正方体的内切球，所得截面圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 79．【多选】（2026高一·安徽六安·期末）如图，已知正方体的棱长为1，E为线段上的动点，线段与平面交于点F，则下列说法正确的是（   ） A．直线与所成角的范围为 B．三棱锥内切球半径为 C．的最小值为 D．面截该正方体内切球所得的截面面积为 80．（2026高二·陕西咸阳·期中）已知正方体的棱长为，点是正方体外接球的球面上一点，为正方体内切球的球面上的两点，若，则__________. 题型17 圆柱、圆锥、圆台内切球 81．（2026高一·内蒙古包头·期末）已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 82．（2026高一·广东·阶段检测）已知EF为圆柱的下底面圆的一条直径，D为上底面圆上任意一点，，球O内切于圆柱，则球O的体积为__________，平面DEF截球O所得截面面积的最小值为________ 83．（2026高一·全国·专题练习）如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ） A． B． C． D． 84．（2026高三·江苏南京·阶段检测）已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 85．（2026高一·浙江·期中）已知圆台的一个底面面积为，且有半径为的内切球，则该圆台体积为________． 86．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知圆台内切球的表面积为，母线与底面圆直径所成角为，则圆台的体积为_____. 87．（2026高三·河北·期中）已知圆台的轴截面等腰梯形的下底边长是上底边长的2倍，若该圆台的内切球表面积为，则此圆台的体积为__________. 题型18 正多面体内切球 88．（2026·云南·模拟预测）若底面边长为6的正三棱柱存在内切球（球与正三棱柱的所有面均相切），则该正三棱柱的体积为（    ） A．27 B．54 C．18 D． 89．（2026·陕西汉中·模拟预测）在正三棱锥中，侧棱与底面所成的角为，记三棱锥内切球、外接球的半径分别为，则（    ） A． B． C． D． 90．（2026高二·四川内江·期中）在正四棱锥中，分别为的中点，平面恰好与正四棱锥的内切球相切，则正四棱锥的高为___________． 91．（2026高三·陕西西安·开学考试）正三棱台的上､下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上､下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为__________. 92．（2026高三·重庆·期末）在正四棱台中，，且正四棱台存在内切球，则此正四棱台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 93．【多选】（2026·河北·模拟预测）如图，在正八面体中，所有棱长均为，为正八面体内切球球面上的任意一点，则（   ） A．正八面体内切球的表面积为 B．正八面体的体积为 C．的取值范围是 D．的最大值为 题型19 多内切球问题 94．（2026高一·河南商丘·期中）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 95．（2026高三·广东深圳·开学考试）已知正三棱锥的侧面与底面所成角为，球为该三棱锥的内切球，球在三棱锥内，与球相外切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 96．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为______.    题型20 棱切球 97．（2026高一·山东青岛·期中）已知球与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球，则球与球的表面积之比为（    ） A．2：3 B．3：2 C． D． 98．（2026·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则______． $