精品解析：2025年山东省潍坊市寿光市中考二模数学试题

2025年山东省潍坊市寿光市中考二模数学试题 2025.05 注意事项： 1．本场考试时间120分钟，共22小题，满分150分； 2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上面的项目填涂清楚； 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、单选题（共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的．请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，错选、不选均记0分） 1. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较、负整数指数幂、有理数的乘方运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先计算和化简各个选项的数，然后根据正有理数都大于0，负有理数都小于0，正有理数大于一切负有理数，两个负有理数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：，，，， ， ， 最小． 故选：A． 2. 下列图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C不符合题意； D．不轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解答本题的关键．根据合并同类项、积的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式逐项计算即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，故本选项不符合题意； B．，原式计算错误，故本选项不符合题意； C．，原式计算正确，故本选项符合题意； D．，原式计算错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 四边形是平行四边形，下列尺规作图不能确保是等腰三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，角平分线的定义及其尺规作图，平行四边形的性质，根据作图方法可得，据此可判断A；根据作图方法可得点E在线段的垂直平分线，故，据此可判断B；根据作图痕迹可知，为的角平分线，则可证明得到，据此可判断C；D作图无法证明为等腰三角形，据此可判断D． 【详解】解：A．根据作图痕迹可知，点，在以为圆心，的长为半径的圆上，故，即为等腰三角形，A不符合题意； B．根据作图痕迹可知，点E在线段的垂直平分线，故，即为等腰三角形，B不符合题意； C．根据作图痕迹可知，为的角平分线，故， 根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，即， 故，即为等腰三角形，D不符合题意； D．该作图无法证明为等腰三角形，D符合题意． 故选：D． 5. 如图，每个小正方形的边长为，的顶点在格点上．以点为位似中心，画，使与位似，A，B的对应点分别为，且与的位似比为，则下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标是 B. 与的周长之比为 C. D. 一定在第一象限内 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质，根据位似的性质画出，可得点的坐标为或．根据位似的性质可得与的周长之比为，与的边长之比为，由勾股定理得，则，进而可得答案． 【详解】解：画出如图，有两种画法： 由图可得，点的坐标是或， 故A选项错误，不符合题意； ∵与位似，位似比为， ∴与的周长之比为，与的边长之比为， 故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴， 故C选项正确，符合题意； 由图可知，在第一象限或第三象限， 故D选项错误，不符合题意． 故选：C． 6. 如图1，在中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4.8 D. 4.4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，根据点运动规律，结合函数图象解题是解题关键．根据平行四边形的性质，再结合运动时随的变化的关系图象，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图1，过点作于，连接， 根据图2知：当点与点重合时，， 当与重合时，， ， ， 当点到达点时，， ， ． 故选：B． 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分．每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，错选、多选均记0分） 7. 如图是一个几何体的三视图，那么这个几何体可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】本题考查由三视图还原几何体，解题关键是依据主视图、左视图、俯视图所呈现的形状特征，逐一分析选项与三视图的匹配情况． 主视图是由四个小正方形组成的大正方形，这表明从正面看，几何体有两层，每层左右各一个小正方体．左视图是从物体左面看得到的视图，左视图同样是由四个小正方形组成的大正方形，说明从左面看，几何体也是有两层，每层前后各一个小正方体．俯视图是从物体上面看得到的视图，俯视图是由三个小正方形组成，呈“L”形，意味着从上面看，几何体底层是“L”形分布． 【详解】解：A．其俯视图不符合题目所给俯视图的“L”形特征，本选项错误，不符合题意； B．俯视图也不符合题目所给的“L”形，本选项错误，不符合题意； C．从主视图看，有两层，每层左右各一个小正方体；左视图有两层，每层前后各一个小正方体；俯视图是“L”形，符合三视图要求，本选项正确，符合题意； D．主视图有两层，每层左右各一个小正方体；左视图有两层，每层前后各一个小正方体；俯视图是“L”形，也符合三视图要求，本选项正确，符合题意． 故选：． 8. 小颖和小亮进行射击比赛，各射击6次，根据成绩绘制的两幅折线统计图如下，则下列判断正确的是（ ） A. 两人成绩的中位数相同 B. 两人成绩的众数相同 C. 小亮的成绩比小颖的成绩更稳定 D. 两人的平均成绩不相同 【答案】AC 【解析】 【分析】根据折线统计图得出两人成绩的波动幅度，结合众数、平均数和方差的定义逐一判断即可得．本题考查了折线统计图，方差，平均数，众数等，弄清题意，正确把握相关概念以及求解方法是解本题的关键． 【详解】小颖成绩的中位数为次，小亮成绩的中位数为次，两人成绩的中位数相同，故A选项正确， 小颖人成绩的众数是10次,小亮人成绩的众数是9次, 两人成绩的众数不相同，故B选项错误， 小颖成绩的平均数为， 小颖成绩方差为：， 小亮的平均成绩为， 小亮成绩的方差为：， 小亮的成绩更稳定，C选项正确，D选项错误； 故选AC． 9. 在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像相交于两点，与轴交于点，下列结论正确的是（ ） A. B. 点的坐标是 C. 随的增大而增大 D. 当时，的最大值是7 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是求出各自的函数解析式，然后依次对选项进行判断，注意反比例函数需要再各象限内，判断随的增减情况． 【详解】解：，则，得， ，解得：，故A正确； ，则，解得：，则， 当时，，则点的坐标是，故B正确， ，故在各象限内，随的增大而增大，选项C错误； 当时，一次函数随的增大而减小，随的增大而增大，故当时，的最大值，为，故D正确； 故选：ABD． 10. 二次函数的图像如图所示，顶点为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 关于的方程（为常数）有实数根 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称轴，顶点坐标公式，二次函数和一元二次方程的关系等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 利用二次函数的图象和性质，抛物线的对称轴，顶点坐标公式，二次函数和一元二次方程的关系等性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.根据抛物线图象可得，开口向下，所以，对称轴在轴的右侧，所以，抛物线交轴的正半轴，所以，所以，该选项错误，不符合题意； B.因为抛物线对称轴为直线，即，，所以3与是两个对称点的横坐标，当时，，即，该选项正确，符合题意； C. 若，且，所以是两个对称点的横坐标，根据对称轴为直线，则，即，该选项正确，符合题意； D. 方程，其判别式，二次函数顶点为，则，即，对进行变形： 把代入得，因为，所以，方程有实数根，该选项正确，符合题意； 故选：BCD． 三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 11. 请写出一个大于且小于的无理数_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的概念，由于所求无理数大于且小于，则该数的平方大于小于，所以可选其中的任意一个数开平方即可． 【详解】， ， 写出一个大于且小于的无理数是， 故答案为：（答案不唯一） 12. 如图，为的直径，点C，D在上，与交于点，则的度数为______________． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，平行线的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质及圆周角定理求解即可． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 13. 如图1，与有一条公共边，则与叫做共边三角形．与交于点E，则与的面积之比为，这个性质叫共边定理． 根据共边定理和所学知识，解决下面的问题：如图2，在四边形中，，则等于______________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，连接交于O，可证明得到，再有共边定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接交于O， ∵， ∴， ∴ 由共边定理可得， 故答案为：． 14. 如图，正方形中，与直线的夹角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，依此规律，则等于_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，含直角三角形的性质，平行线的性质，熟记各性质并求出后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的倍是解题的关键． 由四边形是正方形，得到，，于是得到，根据平行线的性质得到，解直角三角形得到，，同理：，，找出规律，答案即可求出． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， ， 同理：， ， ， ． 故答案为：． 四、解答题（共8小题，共90分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内异分母的分式加法，再将除法化为乘法化简，然后求出，再代入计算． 【详解】解：原式 ∴原式． 16. 近年来，环保教育越来越受到重视．为了提高学生的环保意识和参与度，某中学计划开展一系列环保活动，在活动开始前，为了解学生对于不同环保主题的参与意愿，学校对学生进行了一次环保参与意愿调查，根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次一共调查了_____________位同学，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，请求出图中___________，“垃圾分类”对应的圆心角度数为___________； （3）为了进一步提升学生水资源保护意识，学校从愿意参与“水资源保护”的同学中随机抽取4人（两男两女）参与“水资源保护”知识竞赛，主办方将从4位同学中选出2名水资源保护小达人，请用列表法或画树状图的方法求水资源保护小达人中恰好是两名男生的概率． 【答案】（1）200，图见解析 （2）30， （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，求扇形统计图的圆心角，列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上知识点并从题中获取准确的信息是解题的关键． （1）根据统计图中信息得到愿意参与“水资源保护”的学生人数和占比，即可计算总人数；然后根据选择“节能减排”的占比计算其人数，根据总人数减去其它项目得到选择“植树造林”的人数，即可补全条形统计图； （2）根据选择“植树造林”的人数除以总人数即可得到值；根据选择“垃圾分类”的人数为30人，利用计算对应的圆心角度数即可； （3）根据题意列出表格，得到全部等可能的结果数和其中2人恰好都是男生的结果数，然后利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：根据统计图信息可知，选择 “水资源保护”的学生有20人，占比， 所以本次一共调查了（位）； 选择“节能减排”的人数为（人）； 选择“植树造林”的人数为（人）； 补全条形统计图如图所示： 故答案为：200． 【小问2详解】 解：由（1）可知选择“植树造林”的有60人， 所以“植树造林”对应的百分比为，所以； 选择“垃圾分类”的有30人， 所以“垃圾分类”对应的圆心角度数为； 故答案为：30；． 小问3详解】 解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女1） 男2 （男1，男2） （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1）| （女1，男1） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 共有12种等可能的结果，其中2人恰好都是男生的结果有2种， 人恰好都是男生的概率为． 17. 桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，为固定张角大小的绳索，设，为保证安全，的调整范围是． （1）当时，测得米，求的长； （2）在安全使用范围下，求桑梯顶端到地面的距离范围．（结果精确到米）（参考数据：，，，，，，，） 【答案】（1）米 （2）大于等于米且小于等于米． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过A作于E，由等边对等角和三角形内角和定理可得，由三线合一定理得到，再解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）过点D作，垂足为F，分别求出和时，的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过A作于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米） ∴的长为米； 【小问2详解】 解：过点D作，垂足为F， 当时， ∵， ∴， 由（2）知（米）， 在中，（米） 当时， ∵， ∴， 在中，（米）． ∴在安全使用范围下，桑梯顶端D到地面的距离范围为大于等于米且小于等于米． 18. 如图，点A，B是反比例函数的图象上的点，过点A作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，连接，，，线段交于点，，． （1）求反比例函数的表达式； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形性质． （1）先求求出，的长，确定A点的坐标，再求出k的值即可； （2）证明得，进而可得，再根据反比例函数系数k的几何意义得，再得，再由计算可得答案． 【小问1详解】 解：在中， ， 可设，则， 由勾股定理得：， 解得或（舍去）， ，， ， ， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 即四边形的面积为18． 19. 春节期间，《哪吒2》热映，某文创公司推出一款成本价为每卷3元的哪吒贴纸投放到市场，售价范围为4元至7元．经过一段时间销售发现：每天销售贴纸的数量y（卷）与每卷售价x（元）满足如图所示的函数关系． （1）求与的函数表达式； （2）公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元？ （3）当每卷售价为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）公司将该贴纸每卷售价定为5元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元 （3）当每卷售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2800元 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，读懂题意得到等量关系列出方程是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）设定价为元，则每卷利润元，根据每卷利润乘以销售量等于总利润列出方程，解之即可得到答案； （3）设利润为元，则，然后根据二次函数的性质求得当时的最大值即可． 【小问1详解】 解：根据题意设， 代入已知数据点和得 ， 解得：， 与的函数关系式为， 【小问2详解】 解：设定价为元，则每卷利润元， 由（1）知销售量， 依题意，得， 解得：（舍去），， 答：公司将该贴纸每卷售价定为5元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元． 【小问3详解】 解：设利润为元，根据题意可得：， 整理得， ，对称轴为， 由于对称轴超出售价范围，在这个范围内函数值随增大而增大， 时，取得最大值，最大值为（元）， 答：当每卷售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2800元． 20. 小颖在数学实践课上进行折纸操作，将圆形纸片连续对折两次后展开，将直径四等分，其四等分点分别记为，如图1所示．（虚线为折痕） （1）如图2，若折叠后点恰与点重合，折痕为，顺次连接，得到四边形．请判断四边形的形状并证明； （2）如图3，若折叠后点恰与点重合，折痕仍记为，连接．请判断直线与所在圆的位置关系，并简述理由． 【答案】（1）四边形为菱形，理由见解析 （2）与所在圆的位置关系是相交，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，圆与直线的位置关系，熟练掌握菱形的判定和性质，圆与直线的位置关系判定是解题的关键． （1）由对折可知，垂直平分，所以，所以被平分（依据垂径定理，关键步骤），所以，由菱形的判定定理即可判断四边形的形状； （2）由轴对称性可知，所在圆的圆心为点，连接，可知，所以与相切，说明与所在圆的位置关系是相交． 【小问1详解】 解：四边形为菱形，证明如下： 由对折可知，垂直平分， 所以，， 所以被平分（依据垂径定理，关键步骤）， 所以， 所以四边形为菱形； 【小问2详解】 解：与所在圆的位置关系是相交．理由如下： 由轴对称性可知，所在圆的圆心为点， 连接，可知，所以与相切， 说明与所在圆的位置关系是相交． 21. 我们学过直角三角形的性质定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）如图1，中，是的中点，连接．请证明直角三角形的性质定理2． （2）如图2，在，点是上一点，过点作，连接并取其中点，连接．求证：． （3）如图3，在（2）的基础上将图2中绕顶点旋转至，连接，取其中点，连接．请判断与是否相等？并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）相等，理由见解析 【解析】 【分析】（1）延长至点E，使得，连接．证明，得出，，，再证明，得出，即可证明． （2）在直角中，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得出，同理，在中有，即可证明． （3）取的中点G，和的中点H，连接，，，，根据是的中位线，是的中位线，得出，，，，平行线的性质和等量代换证明，根据旋转得，，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得，，即，，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得出，，即可得，即，证明，即可得． 【小问1详解】 证明：延长至点E，使得，连接． ∵点D是的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， 即是直角三角形， 又∵点F是的中点， ∴， 同理，在中有， ∴． 【小问3详解】 解：成立，理由如下： 取的中点G，和的中点H，连接，，，， ∵点F是中点，点G是的中点，点H是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵在（2）的基础上将图2中绕顶点A旋转至，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理，平行线的性质等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 22. 小亮喜欢思考，善于运用信息化工具研究数学问题．在中考复习中，他运用DeepSeek和几何画板研究了动点最值问题．以下为研究笔记的部分内容：DeepSeek梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题． 分类 项目 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 基本原理 两点之间，线段最短 直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短 点到的距离为l，则有 基本图形 【直接应用】 （1）已知在中，，点为边上一动点． ①线段的最小值为________________； ②若点为的中点，则线段绕点顺时针旋转，的最小值为_______________： 【迁移运用】 （2）如图，一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点，点．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．求PA最小值； 【问题解决】 （3）在矩形中，．小亮使用几何画板探究发现：四边形为平行四边形；四边形与矩形重合时周长最大，最大值为28．请证明四边形为平行四边形，并用模型观念探究其周长的最小值．（答案不唯一） 【答案】（1）①②；（2）PA最小值为；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）①在直角三角形中，求斜边上一点到直角顶点线段的最小值，需根据“点到直线的距离，垂线段最短”这一原理，利用三角形面积公式求解； ②先确定点绕点旋转后的轨迹，再根据“点到圆的距离”相关原理求最小值； （2）通过作辅助线构造等腰直角三角形，将的长度与建立联系，利用二次函数的性质求最小值，进而得到最小值； （3）先通过三角形全等证明四边形是平行四边形，再利用“将军饮马”模型或勾股定理结合几何直观求其周长最小值． 【详解】解：（1）①在中，当时，最短 由三角形面积公式， ∵，，， ∴， 解得 故答案为：； ②∵点为中点，， ∴， 线段绕点顺时针旋转，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆。当，，三点共线且在线段上时，最小 此时，由①知最小值为， ∴最小值为 故答案为： （2）过点作轴，交直线AC于点 由题意得，点 ∴ ∴三角形为等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴三角形为等腰直角三角形 设的横坐标为，则，则 ∴ ∴，当时，取最小值为 此时，取最小值，值为． （3）解：∵四边形为矩形 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 同理可得， ∴四边形为平行四边形 四边形周长最小值为20 四边形周长为邻边之和的2倍， ∴平行四边形周长最小时，即是邻边之和最小，． 作点关于的对称点，连接，则， ∴当三点共线时，取最小值 ∵边形为平行四边形 ∴， ∴四边形周长最小值为20． 【点睛】本题综合考查了初中几何中距离相关的多个知识点，包括点到直线的距离、点到圆的距离，三角形全等、等腰直角三角形的性质、二次函数的最值以及平行四边形的判定和“将军饮马”模型等。解题关键在于准确理解各种距离的基本原理，合理运用几何图形的性质和判定定理，通过作辅助线、建立函数关系等方法将问题转化为可求解的形式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年山东省潍坊市寿光市中考二模数学试题 2025.05 注意事项： 1．本场考试时间120分钟，共22小题，满分150分； 2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上面的项目填涂清楚； 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、单选题（共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的．请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，错选、不选均记0分） 1. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 四边形是平行四边形，下列尺规作图不能确保是等腰三角形的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，每个小正方形的边长为，的顶点在格点上．以点为位似中心，画，使与位似，A，B的对应点分别为，且与的位似比为，则下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标是 B. 与的周长之比为 C. D. 一定在第一象限内 6. 如图1，在中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4.8 D. 4.4 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分．每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，错选、多选均记0分） 7. 如图是一个几何体的三视图，那么这个几何体可能是（ ） A. B. C. D. 8. 小颖和小亮进行射击比赛，各射击6次，根据成绩绘制的两幅折线统计图如下，则下列判断正确的是（ ） A. 两人成绩的中位数相同 B. 两人成绩的众数相同 C. 小亮成绩比小颖的成绩更稳定 D. 两人的平均成绩不相同 9. 在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数图像相交于两点，与轴交于点，下列结论正确的是（ ） A. B. 点的坐标是 C. 随的增大而增大 D. 当时，的最大值是7 10. 二次函数的图像如图所示，顶点为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 关于的方程（为常数）有实数根 三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 11. 请写出一个大于且小于的无理数_______． 12. 如图，为的直径，点C，D在上，与交于点，则的度数为______________． 13. 如图1，与有一条公共边，则与叫做共边三角形．与交于点E，则与的面积之比为，这个性质叫共边定理． 根据共边定理和所学知识，解决下面问题：如图2，在四边形中，，则等于______________． 14. 如图，正方形中，与直线的夹角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，依此规律，则等于_____________． 四、解答题（共8小题，共90分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 近年来，环保教育越来越受到重视．为了提高学生的环保意识和参与度，某中学计划开展一系列环保活动，在活动开始前，为了解学生对于不同环保主题的参与意愿，学校对学生进行了一次环保参与意愿调查，根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次一共调查了_____________位同学，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，请求出图中___________，“垃圾分类”对应的圆心角度数为___________； （3）为了进一步提升学生水资源保护意识，学校从愿意参与“水资源保护”的同学中随机抽取4人（两男两女）参与“水资源保护”知识竞赛，主办方将从4位同学中选出2名水资源保护小达人，请用列表法或画树状图的方法求水资源保护小达人中恰好是两名男生的概率． 17. 桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，为固定张角大小的绳索，设，为保证安全，的调整范围是． （1）当时，测得米，求的长； （2）在安全使用范围下，求桑梯顶端到地面的距离范围．（结果精确到米）（参考数据：，，，，，，，） 18. 如图，点A，B是反比例函数的图象上的点，过点A作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，连接，，，线段交于点，，． （1）求反比例函数的表达式； （2）求四边形的面积． 19. 春节期间，《哪吒2》热映，某文创公司推出一款成本价为每卷3元的哪吒贴纸投放到市场，售价范围为4元至7元．经过一段时间销售发现：每天销售贴纸的数量y（卷）与每卷售价x（元）满足如图所示的函数关系． （1）求与的函数表达式； （2）公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元？ （3）当每卷售价为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 20. 小颖在数学实践课上进行折纸操作，将圆形纸片连续对折两次后展开，将直径四等分，其四等分点分别记为，如图1所示．（虚线为折痕） （1）如图2，若折叠后点恰与点重合，折痕为，顺次连接，得到四边形．请判断四边形的形状并证明； （2）如图3，若折叠后点恰与点重合，折痕仍记为，连接．请判断直线与所在圆的位置关系，并简述理由． 21. 我们学过直角三角形的性质定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）如图1，中，是的中点，连接．请证明直角三角形的性质定理2． （2）如图2，在，点是上一点，过点作，连接并取其中点，连接．求证：． （3）如图3，在（2）的基础上将图2中绕顶点旋转至，连接，取其中点，连接．请判断与是否相等？并说明理由． 22. 小亮喜欢思考，善于运用信息化工具研究数学问题．在中考复习中，他运用DeepSeek和几何画板研究了动点最值问题．以下为研究笔记部分内容：DeepSeek梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题． 分类 项目 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 基本原理 两点之间，线段最短 直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短 点到的距离为l，则有 基本图形 【直接应用】 （1）已知在中，，点为边上一动点． ①线段的最小值为________________； ②若点为的中点，则线段绕点顺时针旋转，的最小值为_______________： 【迁移运用】 （2）如图，一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点，点．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．求PA最小值； 【问题解决】 （3）在矩形中，．小亮使用几何画板探究发现：四边形为平行四边形；四边形与矩形重合时周长最大，最大值为28．请证明四边形为平行四边形，并用模型观念探究其周长的最小值．（答案不唯一） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$