精品解析：山东省济南市历下区2026年九年级学业水平第二次模拟考试数学试题

2026年九年级学业水平第二次模拟考试 数 学 试 题 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 25的算术平方根是（　　） A. 5 B. C. ﹣5 D. ±5 【答案】A 【解析】 【详解】一个正数的正的平方根为这个数的算术平方根．因为=25，则25的算术平方根为5． 故选：A． 2. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 球 【答案】A 【解析】 【详解】解：由三视图得，该几何体是三棱柱． 3. 鹊山调蓄水库是济南市最大的城市供水基础设施，总库容量约万立方米．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 如图，已知直线，平分，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出，然后由角平分线的定义求出，然后利用平行线的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 5. 如果一个多边形的内角和等于900°，这个多边形是（　　） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）•180°得到（n﹣2）•180°＝900°，然后解方程即可． 【详解】解：设所求正n边形边数为n， 则（n﹣2）•180°＝900°， 解得n＝7． 故选D． 【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． 6. 已知是关于的一元二次方程，其中为实数，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 7. 呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（ ） A. 当时， B. 随的增大而减小 C. 是的函数 D. 图中曲线是反比例函数的图象 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图象得，当时，，故A正确； 由图象得，随的增大而减小，故B正确； 由图象得，的值都有唯一确定的的值与之对应， ∴是的函数，故C正确； 由图象得，当时，，即； 当时，，即； ∵ ∴图中曲线不是反比例函数的图象，故D错误． 8. 周末，小明和小亮乘坐同一辆出租车去科技馆，该车可供乘客乘坐的座位有三个：副驾驶座，后排左座和后排右座，如图所示．若小明和小亮每人随机选择其中一个座位，则他们恰好同坐后排座位的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用列表法列出所有等可能的结果，找出两人恰好同坐后排座位的情况数，即可求出概率． 【详解】解：列表如下： 小亮 小明 由表可知，共有种等可能的结果，其中两人恰好同坐后排座位（即都在，座）的结果有，，共种， 他们恰好同坐后排座位的概率为． 9. 如图，在中，，，，按如下步骤作图： ①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点； ②以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点． 根据以上作图，若点是直线上的动点，点是线段上的动点，连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由勾股定理得，由线段垂直平分线的性质得，设，则，利用勾股定理可得，即得，即得到，作点关于直线的对称点为，连接交于点，连接，则，可得，可知当点共线且时，的值最小，最小值即为垂线段的长，再利用相似三角形的性质求出的长即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，  ，  由作图步骤①可知垂直平分，  ，  设，则，  在中，，  ∴， 解得，  ，  由作图步骤②可知， 作点关于直线的对称点为，连接交于点，连接，则， ∴， 当点共线且时，可知此时的值最小，最小值即为垂线段的长， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为． 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，其顶点坐标为．有以下结论：；；若，则的取值范围为或；；若对任意实数恒成立，则的取值范围为． 其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置确定，，的符号及数量关系，逐一判断各结论即可． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向上， ， 其顶点坐标为， 对称轴为直线， ，即， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ，故错误； 抛物线过点， ， 将代入得，即，故正确； 当时，，且对称轴为， 点关于对称轴的对称点为， ， 当时，或，故正确； ， ， ， 顶点坐标为， ， ， ， ，故错误； 若，对任意实数恒成立，则恒成立，即， 整理得， ， 需满足， ，解得，故错误； 综上所述，正确的结论有，共个． 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 要使分式有意义，则x的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式有意义，则要求分式分母不为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵要使分式有意义， ∴，即． 故答案为：． 12. 投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图： 据此估计小新投壶一次投中的概率为________（结果精确到小数点后一位）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了模拟试验，由频率估计概率，近似数等知识点，掌握用频率估计概率是解题的关键．结合折线统计图，随着试验次数的增加，投中的频率逐渐稳定在附近，据此即可估计小新投壶一次投中的概率． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，投中的频率逐渐稳定在附近，投中的概率约为，结果保留到小数点后一位为， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，若以原点为位似中心作一个四边形，使它与四边形位似，且它与四边形的相似比为，则顶点在第一象限内的对应点的坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质求出点B的坐标，然后根据位似变换中对应点坐标的变化规律，结合相似比和点所在的象限，即可求出点的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴点B的坐标为， ∵以原点O为位似中心作一个四边形，且它与四边形的相似比为， ∴点的坐标是点B的坐标乘以或， ∵顶点B在第一象限内的对应点， ∴点的横、纵坐标均为正数， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 14. 甲、乙两人计划沿同一条笔直公路匀速骑行，甲先出发，骑行千米后，乙再从同一出发地沿同一方向出发．甲、乙两人各自到出发地的距离（）与乙的骑车时间（）的关系如图所示，则当乙追上甲时，乙到出发地的距离为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据图像信息求出甲、乙两人的距离与乙的骑行时间的函数关系式，再通过求两个函数的交点来确定追及时的时间，最后计算乙到出发地的距离． 【详解】解：设甲、乙两人的距离与乙的骑行时间的函数解析式分别为，根据图像信息：甲的图像过点和，代入得： ， 解得：， 所以， 乙的图像过点，代入得：， 解得， 所以， 当乙追上甲时，，即：， 解得，． 将代入，得 ， 答：当乙追上甲时，乙到出发地的距离为． 15. 如图，在菱形纸片中，，点是其对角线的中点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在点处，点落在线段上的点处，若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，，求出，连接，由等腰三角形的性质可得，连接，由折叠的性质可得，，从而可得，连接，则为等腰直角三角形，从而可得，求出，则，作于，则，，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵， ∴，即， 连接， 由折叠的性质可得，， ∴， ∵点是其对角线的中点， ∴， 连接，则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 作于，则，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算乘方、立方根、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可得出结果． 【详解】解： ． 17. 解不等式组：，并写出它的最小整数解． 【答案】 不等式组的解集为，最小整数解为 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再从不等式组的解集中找出最小整数解． 【详解】解：， 解不等式①，， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； 解不等式②，， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 不等式组的解集为， 不等式组的最小整数解为． 18. 如图，矩形中，点在上，，且，垂足为．证明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用矩形的性质结合证明≌，由全等三角形的性质可得出结论． 【详解】证明：在矩形中，，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ． 19. 图1是我们在野餐、露营等户外活动中常用的装备——天幕帐篷．图2为某款天幕帐篷搭建完成后的侧面示意图，支撑杆与地面垂直，右侧幕布与支撑杆的夹角为，右侧风绳与幕布在同一直线上，太阳光线与地面的夹角为，幕布与遮挡太阳光线形成影子．已知，． （1）求右侧幕布边缘点到支撑杆的距离； （2）求支撑杆右侧的影子的长度．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图，过点N作于点E，在中解直角三角形求解即可； （2）如图，过点N作于点F，解直角三角形求出，证明四边形是矩形，得到，，然后解直角三角形求出，进而求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点N作于点E， ∵，， ∴在中，， ∴右侧幕布边缘点到支撑杆的距离为； 【小问2详解】 解：如图，过点N作于点F， ∵，， ∴在中，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴在中，， ∴． 20. 如图，为的直径，，为上不同于，的两点，连接，，，．过点作的切线，交延长线于点，延长，交于． （1）求证：； （2）当，时，求半径的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴， ∴； （2）15 【解析】 【分析】（1）连接，得到，求出，等量代换得到，推出，然后由切线的性质得到，进而求解即可； （2）根据题意得到，解直角三角形求出，然后得到，然后解直角三角形求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴半径的长为15． 21. 历下区积极推动校园体育场地向社会开放，让居民在家门口就能享受到优质、安全的健身环境．为了解学校体育场地的使用情况，某校数学兴趣小组在本校体育场内随机抽取部分来健身的居民进行调查，获得了他们在该体育场内每周的平均锻炼时长（锻炼时长用表示，单位：），并对数据进行统计整理．数据分为组：A组：；B组：；C组：；D组：；E组：．下面给出了部分信息： a．不完整的居民每周平均锻炼时长的频数分布直方图和扇形统计图如下： b．C组的数据：，，，，，，，，，，，． 请根据以上信息完成下列问题： （1）求本次随机调查的居民总人数； （2）请补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中E组所对应的圆心角为____度； （4）本次抽取居民的每周平均锻炼时长的中位数为____小时； （5）若附近有名居民来本校体育场锻炼，估计每周平均锻炼时长不少于小时的居民人数． 【答案】（1）40 （2）解：补全图形如下： （3） （4）3.6 （5）840 【解析】 【分析】（1）由频数分布直方图和扇形统计图可知，A组人数为4人，占总体的，即可求解； （2）分别求出C组的人数和D组的人数后即可补全图形； （3）将E组所占的比例乘以即可求解； （4）将样本数据按照从小到大排列后取第20个与第21个数据的平均数即可求解； （5）将样本中平均锻炼时长不少于小时的居民人数所占比例乘以1200即可求解． 【小问1详解】 解：由频数分布直方图和扇形统计图可知，A组人数为4人，占总体的， （人） ∴总人数为40人． 【小问2详解】 解：∵C组的数据为，，，，，，，，，，，， ∴C组的人数一共有12个， 由频数分布直方图可知，A组、B组、E组人数分别为4、8和5， ∴D组人数为（人）， 补全图形略． 【小问3详解】 解：， 答：扇形统计图中E组所对应的圆心角为． 【小问4详解】 解：因为一共抽取了40人， 所以将数据按照从小到大排列后，第20个与第21个数据的平均数即为中位数， ∵A组、B组、C组人数分别为4、8、12， ∴第20个与第21个数据位于C组，分别为3.5和3.7， ∴中位数． 【小问5详解】 解：因为样本中有（人）每周平均锻炼时长不少于小时，且一共抽取了40人， ∴（人）， ∴附近名居民估计每周平均锻炼时长不少于小时的居民人数为840人． 22. 为扎实推进校园劳动教育实践活动，某校决定采购绿植A与绿植B，用于开展班级绿植栽培、校园绿化养护等劳动实践课程．已知购买2盆绿植A和1盆绿植B共需50元，购买5盆绿植A和3盆绿植B共需130元． （1）求每盆绿植A的价格和每盆绿植B的价格； （2）学校计划购买绿植A和绿植B共60盆，绿植A的盆数不少于绿植B的盆数的，且商家给出了两种绿植均打八折的优惠．问购买绿植A多少盆时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）每盆绿植A的价格为20元，每盆绿植B的价格为10元 （2）购买绿植A 15盆时花费最少，最少花费是600元 【解析】 【分析】（1）设每盆绿植A的价格为x元，每盆绿植B的价格为y元，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）设购买绿植A盆，则购买绿植B盆，根据题意列出关于的不等式并求解，可得；设总花费为元，则，根据一次函数的性质，即可获得答案． 【小问1详解】 解：设每盆绿植A的价格为x元，每盆绿植B的价格为y元， 根据题意，可得，解得， 答：每盆绿植A的价格为20元，每盆绿植B的价格为10元． 【小问2详解】 设购买绿植A盆，则购买绿植B盆， 根据题意，可得， 解得， 设总花费为元，则， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，且（元）， 答：购买绿植A 15盆时花费最少，最少花费是600元． 23. 正比例函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数表达式； （2）平移线段得线段，其中点的对应点为点，点的对应点为． ①如图1，若点在轴上，线段与反比例函数的图象交于点，当时，求的坐标； ②如图2，若点在反比例函数的图象上，连接，，当四边形的面积为时，求的坐标． 【答案】（1） （2）①；②的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将代入求出，然后将代入求解即可； （2）①过点C作轴于点D，过点作轴于点E，利用勾股定理求出，由平移得，，，利用勾股定理求出，证明，得到，代入求出，，然后求出，进而求解即可； ②分两种情况讨论，当点在点A右侧时，连接，过点A作轴于点F，交于点H，过点作轴于点G，首先得到的面积为9，然后推出，设，表示出，，然后列方程求解；当点在点A左侧时，得到，同理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得，， 解得， ∴， 将代入得，， 解得， ∴反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：①如图，过点C作轴于点D，过点作轴于点E， ∵， ∴， ∵轴， 由平移得，，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， 将代入得，， 解得， ∴， ∴， ∴； ②当点在点A右侧时，如图，连接，过点A作轴于点F，交于点H，过点作轴于点G， 由平移得，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积为， ∴的面积为9， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设， ∴，， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 解得（舍去）或， ∴； 如图，当点在点A左侧时， ∴， 同理可得，， ∴， 整理得，， 解得（舍去）或， ∴； 综上所述，的坐标为或． 24. 二次函数的图象经过点，点． （1）求二次函数的表达式和顶点的坐标； （2）过点作轴的平行线，与二次函数的图象在第四象限内交于点．动点从点开始沿线段向点运动，速度为每秒个单位长度；动点从点开始沿线段向点运动，速度为每秒1个单位长度．已知，两动点同时运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． ①如图1，作直线，当直线与轴垂直时，判断直线是否经过点，并说明理由； ②如图2，连接，点是的中点，点是抛物线上一动点，当四边形是平行四边形时，求的值． 【答案】（1）； （2）①直线经过点；理由如下： 设直线交x轴于点G，如图所示： ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点，点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点C的横坐标为1， ∴点C在直线上； ② 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）①设直线交x轴于点G，证明四边形为矩形，得出，根据，求出，从而得出，求出t的值，进行判定即可； ②根据四边形为平行四边形，得出，点M在对称轴的左侧，连接，过点G作，交抛物线于点M，过点E作于点H，根据中点坐标公式求出，待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，求出点M的坐标为，再根据中点坐标公式求出结果即可． 【小问1详解】 解：把点，点代入得： ， 解得：， ∴二次函数解析式为：， ∵， ∴顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：①略 ②∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点C为抛物线的顶点， ∴点M在对称轴的左侧， 连接，过点G作，交抛物线于点M，过点E作于点H，如图所示： 根据①可得：，， 则 ， ∴ ， ∴点E的坐标为， 根据题意得：点F的坐标为， ∴点G的坐标为，即， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立， 解得：或（舍去） ∴点M的坐标为， ∵平行四边形的对角线互相平分， ∴根据中点坐标公式得：， 解得：． 25. 在矩形中，，点在边上（不与点重合），点在边上，点在边的延长线上，且． （1）如图1，当点与点重合时，连接，求的值； （2）当点不与点重合时，在线段上取一点，使得，连接． ①如图2，求证：； ②如图3，连接，若，求的值． 【答案】（1） （2）①见解析② 【解析】 【分析】（1）证，则 ，可得； （2）①过点F作于J，证，则，可得；②过点H作于T，过点E作于K，交于K，先证，则．设，则．设，则可得，通过等量代换可得的值． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ． ． ． ，， ． ． ． ． 【小问2详解】 ①证明：过点F作于J， ， 四边形是矩形， ． 则． 四边形是矩形． ． ， ． ． ． ， ． ， ． ． ， ， ，即． ②过点H作于T，过点E作于K， ． ， 四边形是矩形． ，，． ，， ． ． ． 设，则． ． ． 设，则． ． ． ． ． ， ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级学业水平第二次模拟考试 数 学 试 题 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 25的算术平方根是（　　） A. 5 B. C. ﹣5 D. ±5 2. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 球 3. 鹊山调蓄水库是济南市最大的城市供水基础设施，总库容量约万立方米．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线，平分，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如果一个多边形的内角和等于900°，这个多边形是（　　） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 6. 已知是关于的一元二次方程，其中为实数，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 7. 呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（ ） A. 当时， B. 随的增大而减小 C. 是的函数 D. 图中曲线是反比例函数的图象 8. 周末，小明和小亮乘坐同一辆出租车去科技馆，该车可供乘客乘坐的座位有三个：副驾驶座，后排左座和后排右座，如图所示．若小明和小亮每人随机选择其中一个座位，则他们恰好同坐后排座位的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，按如下步骤作图： ①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点； ②以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点． 根据以上作图，若点是直线上的动点，点是线段上的动点，连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，其顶点坐标为．有以下结论：；；若，则的取值范围为或；；若对任意实数恒成立，则的取值范围为． 其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 要使分式有意义，则x的取值范围为_______． 12. 投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图： 据此估计小新投壶一次投中的概率为________（结果精确到小数点后一位）． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，若以原点为位似中心作一个四边形，使它与四边形位似，且它与四边形的相似比为，则顶点在第一象限内的对应点的坐标是____________． 14. 甲、乙两人计划沿同一条笔直公路匀速骑行，甲先出发，骑行千米后，乙再从同一出发地沿同一方向出发．甲、乙两人各自到出发地的距离（）与乙的骑车时间（）的关系如图所示，则当乙追上甲时，乙到出发地的距离为____________． 15. 如图，在菱形纸片中，，点是其对角线的中点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在点处，点落在线段上的点处，若，则____________． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 解不等式组：，并写出它的最小整数解． 18. 如图，矩形中，点在上，，且，垂足为．证明：． 19. 图1是我们在野餐、露营等户外活动中常用的装备——天幕帐篷．图2为某款天幕帐篷搭建完成后的侧面示意图，支撑杆与地面垂直，右侧幕布与支撑杆的夹角为，右侧风绳与幕布在同一直线上，太阳光线与地面的夹角为，幕布与遮挡太阳光线形成影子．已知，． （1）求右侧幕布边缘点到支撑杆的距离； （2）求支撑杆右侧的影子的长度．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 20. 如图，为的直径，，为上不同于，的两点，连接，，，．过点作的切线，交延长线于点，延长，交于． （1）求证：； （2）当，时，求半径的长． 21. 历下区积极推动校园体育场地向社会开放，让居民在家门口就能享受到优质、安全的健身环境．为了解学校体育场地的使用情况，某校数学兴趣小组在本校体育场内随机抽取部分来健身的居民进行调查，获得了他们在该体育场内每周的平均锻炼时长（锻炼时长用表示，单位：），并对数据进行统计整理．数据分为组：A组：；B组：；C组：；D组：；E组：．下面给出了部分信息： a．不完整的居民每周平均锻炼时长的频数分布直方图和扇形统计图如下： b．C组的数据：，，，，，，，，，，，． 请根据以上信息完成下列问题： （1）求本次随机调查的居民总人数； （2）请补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中E组所对应的圆心角为____度； （4）本次抽取居民的每周平均锻炼时长的中位数为____小时； （5）若附近有名居民来本校体育场锻炼，估计每周平均锻炼时长不少于小时的居民人数． 22. 为扎实推进校园劳动教育实践活动，某校决定采购绿植A与绿植B，用于开展班级绿植栽培、校园绿化养护等劳动实践课程．已知购买2盆绿植A和1盆绿植B共需50元，购买5盆绿植A和3盆绿植B共需130元． （1）求每盆绿植A的价格和每盆绿植B的价格； （2）学校计划购买绿植A和绿植B共60盆，绿植A的盆数不少于绿植B的盆数的，且商家给出了两种绿植均打八折的优惠．问购买绿植A多少盆时花费最少？最少花费是多少元？ 23. 正比例函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数表达式； （2）平移线段得线段，其中点的对应点为点，点的对应点为． ①如图1，若点在轴上，线段与反比例函数的图象交于点，当时，求的坐标； ②如图2，若点在反比例函数的图象上，连接，，当四边形的面积为时，求的坐标． 24. 二次函数的图象经过点，点． （1）求二次函数的表达式和顶点的坐标； （2）过点作轴的平行线，与二次函数的图象在第四象限内交于点．动点从点开始沿线段向点运动，速度为每秒个单位长度；动点从点开始沿线段向点运动，速度为每秒1个单位长度．已知，两动点同时运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． ①如图1，作直线，当直线与轴垂直时，判断直线是否经过点，并说明理由； ②如图2，连接，点是的中点，点是抛物线上一动点，当四边形是平行四边形时，求的值． 25. 在矩形中，，点在边上（不与点重合），点在边上，点在边的延长线上，且． （1）如图1，当点与点重合时，连接，求的值； （2）当点不与点重合时，在线段上取一点，使得，连接． ①如图2，求证：； ②如图3，连接，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $