专题21.3《矩形》13大题型专项突破（期末复习）2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定，13大题型系统覆盖从基础理解到综合应用，题型分层递进，典例精选各地期中模拟题 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|题型1-5（共20题）|围绕矩形边、角、对角线性质，考查理解、角度/长度/面积计算及证明|以平行四边形性质为基础，通过直角特性构建矩形特有性质，形成"概念理解-性质应用"逻辑链，发展几何直观| |综合拓展|题型6-8（共12题）|结合坐标系、折叠变换及"斜中半"定理，考查性质在复杂情境中的迁移|从静态性质到动态变换，渗透数形结合思想，强化空间观念与推理能力| |判定应用|题型9-11（共12题）|涵盖判定定理辨析、条件补充及证明，突出矩形与平行四边形的联系|以定义为核心，通过对角线、角的条件构建判定体系，培养逻辑推理意识| |性质与判定综合|题型12-13（共8题）|综合运用性质与判定解决长度、面积问题，体现知识整合|形成"性质-判定-综合应用"完整认知链，提升综合解题能力，符合中考命题趋势|

专题21.3 矩形 【13大题型专项突破】 【题型1 矩形的性质理解】......................................................................................................................... 【题型2 利用矩形的性质求角度】............................................................................................................. 【题型3 利用矩形的性质求长度】............................................................................................................. 【题型4 利用矩形的性质求面积】............................................................................................................. 【题型5 利用矩形的性质证明】................................................................................................................. 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】......................................................................................................... 【题型7 矩形与折叠问题】......................................................................................................................... 【题型8 斜中半】......................................................................................................................................... 【题型9 矩形的判定定理】......................................................................................................................... 【题型10 添一个条件使四边形是矩形】................................................................................................... 【题型11 证明四边形是矩形】.................................................................................................................. 【题型12 根据矩形的性质与判定求长度】.............................................................................................. 【题型13 根据矩形的性质与判定求面积】.............................................................................................. 题型1 矩形的性质理解 1．（25-26八年级下·湖南娄底·期中）关于矩形的性质，下列说法不一定正确的是（    ） A．对角线互相垂直 B．对边相等 C．对角线相等 D．四个角都相等 2．（25-26八年级下·河南濮阳·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）矩形有________条对称轴，通过对边________的直线就是它的对称轴． 题型2 利用举行的性质求角度 1．（2026·浙江台州·二模）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若 ，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·北京·期中）如图，点在矩形的边的延长线上，连接，若则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏泰州·一模）如图，矩形中，的平分线交于点，为对角线和的交点，且，则______度． 题型3 利用举行的性质求长度 1．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在矩形中，对角线交于点O，垂直平分，垂足为E，若，则的长为（    ） A．4 B． C． D．5 2．（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足为点E，，且，则的长为（   ） A．8 B． C． D．9 3．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在矩形中，，，为对角线的中点，为边上一点，连接，取的中点，连接，若，则的长为________． 4．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在矩形中，，，点P在上，点Q在上，且，连接、，则的最小值为(     ) A．10 B．11 C．12 D．13 题型4 利用举行的性质求面积 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为__________． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成长为2和3两部分，则该矩形的面积为______． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ）    A．10 B．12 C．16 D．8 4．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，矩形的对角线、相交于点O，，．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型5 利用矩形的性质证明 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，矩形的两条对角线相交于点O，．求证：． 2．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点．求证：． 3．（2026·江苏扬州·二模）如图，一块矩形场地的长于点E，于点F，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求的面积 4．（2026·河北唐山·二模）如图，已知矩形，点是边的中点，过点作直线交于点（不与点，重合），交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，，若时，求证：． 题型6 求矩形在坐标系中的坐标 1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为智慧三角形．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点，使得为智慧三角形，则点的坐标为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 2．（2026·山西忻州·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·北京延庆·期中）如图，四边形是矩形，点O，A，B的坐标分别为，，，则点C的坐标为_____． 4．（25-26八年级下·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果平行于轴，那么点的坐标为____________________ ． 题型7 矩形与折叠问题 1．（2026·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，，，点为上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在对角线上，则（    ） A．6 B． C．5 D． 2．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点，，，则的面积是_____． 3．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，是上一点，将纸片沿过点E的直线翻折，使点A落在点M处，点B恰好落在CD延长线上的点N处，折痕交于点F，若，，则____________． 4．（25-26八年级下·湖南怀化·阶段检测）【问题原型】 在矩形中，，点P为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)【问题解决】如图①，当点E落在边上时，可求得的长为 ； (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点G，且， ①求证：； ②求的长． (3)【拓展提升】如图③，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，直接写出的长． 题型8 斜中半 1．（25-26八年级下·广东珠海·期中）在中，，，D为斜边的中点，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 2．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，在中，，，为中点，在上，连接，，且，，则________． 3．（25-26八年级下·全国·期末）如图，中，，点D为的中点，点E在上，且，连接，点F为的中点，连接，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在平行四边形中，对角线交于点O，，点E，F，G分别是的中点，交于点H．以下结论中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 题型9 矩形的判定定理 1．（25-26八年级下·重庆长寿·期中）下列说法错误的是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．有一个角为直角的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．四个内角都相等的四边形是矩形 2．（25-26八年级下·广西柳州·期中）以下条件中不能判定平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江西九江·二模）为了判断课桌的桌面是否为矩形，数学小组的同学对四张课桌采用了不同的测量方式，其中不一定能判断桌面是矩形的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）如图1，小明将一个直角尺紧靠平行四边形活动架的一边，调整活动架如图2，调整后的活动架的形状是矩形，判断的依据是_______． 题型10 添一个条件使四边形为矩形 1．（25-26八年级下·广东潮州·期中）如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形． 2．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，对角线，相交于点，要使得成为矩形，应添加的一个条件是________．（只需写一个条件） 3．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，点E是线段的中点，连接，，延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，当________时，四边形是矩形，并说明理由． 题型11 证明四边形是矩形 1．（2026·陕西西安·三模）如图，在平行四边形中，分别过点A作于点E，过点C作于点F．求证：四边形是矩形． 2．（25-26八年级下·四川广元·期中）如图，在中，于点E． (1)尺规作图：作于点F（保留作图痕迹，不证明）； (2)求证：四边形是矩形． 3．（2026·江苏常州·一模）已知：如图，在中，点E，F分别是边的中点，连接，相交于点O． (1)求证：． (2)连接，若，求证：四边形是矩形． 题型12 利用矩形的性质与判定求长度 1．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，的对角线相交于是等边三角形，且． (1)求的面积． (2)若点、分别是的中点，连接，求的长． 3．（25-26八年级下·湖南怀化·阶段检测）如图，在中，，E是延长线上一点，F是上一点，，，P，Q，D分别是的中点，则的长为______． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）一块梯形木板，，，，，，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当桌面面积最大时，为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型13 利用矩形的性质与判定求面积 1．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过作，分别交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，，是四边形各边的中点，如果，，那么四边形的面积为() A．48 B．30 C．15 D．60 3．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，是内部一点，，且，，依次取、、、中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是____． 4．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在平行四边形中，对角线，延长到点，使，连接，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.3 矩形 【13大题型专项突破】 【题型1 矩形的性质理解】......................................................................................................................... 【题型2 利用矩形的性质求角度】............................................................................................................. 【题型3 利用矩形的性质求长度】............................................................................................................. 【题型4 利用矩形的性质求面积】............................................................................................................. 【题型5 利用矩形的性质证明】................................................................................................................. 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】......................................................................................................... 【题型7 矩形与折叠问题】......................................................................................................................... 【题型8 斜中半】......................................................................................................................................... 【题型9 矩形的判定定理】......................................................................................................................... 【题型10 添一个条件使四边形是矩形】................................................................................................... 【题型11 证明四边形是矩形】.................................................................................................................. 【题型12 根据矩形的性质与判定求长度】.............................................................................................. 【题型13 根据矩形的性质与判定求面积】.............................................................................................. 题型1 矩形的性质理解 1．（25-26八年级下·湖南娄底·期中）关于矩形的性质，下列说法不一定正确的是（    ） A．对角线互相垂直 B．对边相等 C．对角线相等 D．四个角都相等 【答案】A 【详解】解：矩形的对边相等，对角线相等，四个角都相等，但对角线不一定互相垂直． 2．（25-26八年级下·河南濮阳·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵矩形的对角线，相交于点O ∴，，，故A，B，D正确； 根据题意无法证明，故C错误． 3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】D 【详解】解：矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）矩形有________条对称轴，通过对边________的直线就是它的对称轴． 【答案】 /两 中点 【分析】根据对称轴定义结合矩形的特征，确定对称轴的数量与位置. 【详解】解：∵若一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则该直线为图形的对称轴， ∴对于矩形，沿经过对边中点的直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合， ∴矩形共有条对称轴，过对边中点的直线即为矩形的对称轴. 题型2 利用举行的性质求角度 1．（2026·浙江台州·二模）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A，，，故选项A符合题意； 选项B，，，故选项B不符合题意； 选项C，，，故选项C不符合题意； 选项D，，，故选项D不符合题意； 2．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，，，从而可得，，由等边对等角并结合题意可得，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26八年级下·北京·期中）如图，点在矩形的边的延长线上，连接，若则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于O，由得，则可得；由矩形性质即可求得结果． 【详解】解：如图，连接交于O， 在矩形中，，； ∵， ， ， ， ∵， ． 4．（2026·江苏泰州·一模）如图，矩形中，的平分线交于点，为对角线和的交点，且，则______度． 【答案】 【分析】利用矩形的性质和角平分线的定义可得，是等边三角形，进而得到，，即得到，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴ ，， ∴，是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 题型3 利用举行的性质求长度 1．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在矩形中，对角线交于点O，垂直平分，垂足为E，若，则的长为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到，据此线段垂直平分线的性质得到，据此求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足为点E，，且，则的长为（   ） A．8 B． C． D．9 【答案】B 【分析】设，根据矩形对角线相等且互相平分的性质和已知的条件可得与x的关系，再在中根据勾股定理列出方程即可求出x的值，进一步即可求出与的长，然后在中再次运用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴设，则， ∴，， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ，即，， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在矩形中，，，为对角线的中点，为边上一点，连接，取的中点，连接，若，则的长为________． 【答案】 3 【分析】取中点，连接和，可得分别为和中位线，利用中位线定理可证得三点共线，求出后，组合计算即可． 【详解】解：取中点，连接和， 在矩形中， ， ，， ， 为对角线的中点，为的中点，为中点， 分别为和中位线， ，且， 三点共线， ． 4．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在矩形中，，，点P在上，点Q在上，且，连接、，则的最小值为(     ) A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】延长至点E，使，连接，．根据矩形的性质得到，，证得，因此，从而，根据勾股定理在中求出，即可解答． 【详解】解：延长至点E，使，连接，． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 即的最小值为10． 题型4 利用举行的性质求面积 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】3 【分析】根据矩形性质得出，，，推出，证出和的面积相等，同理可证：和的面积相等，和的面积相等，即可得出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即和的面积相等， 同理可证：和的面积相等，和的面积相等， 即阴影部分的面积等于矩形的面积的一半， ∵矩形面积是， ∴阴影部分的面积是3． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成长为2和3两部分，则该矩形的面积为______． 【答案】10或15 【分析】根据矩形的性质得到对边平行且相等，结合角平分线的定义可推出等角，进而得到，分两种情况进行讨论，分别计算矩形的面积即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， ∴， ①当，时， ，， 矩形的面积 ； ②当，时， ，， 矩形的面积 ； 综上所述：该矩形的面积为10或15． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ）    A．10 B．12 C．16 D．8 【答案】C 【分析】过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，， ， ， ，， ， ． 4．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，矩形的对角线、相交于点O，，．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】首先根据，判定四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得出，最后利用平行四边形的性质得出即可求解． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 与互相平分， ， 四边形是平行四边形， ． 题型5 利用矩形的性质证明 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，矩形的两条对角线相交于点O，．求证：． 【答案】证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 为等边三角形，即， ． 【分析】由矩形的性质先证明为等边三角形，进而得到． 【详解】略 2．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】由矩形的性质得到，，根据，推出四边形是平行四边形，因此，即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ． 3．（2026·江苏扬州·二模）如图，一块矩形场地的长于点E，于点F，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求的面积 【答案】(1)证明：在矩形中， ，且， ． ， ，， 在和中 ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）根据矩形的性质结合题意易证，得出，再结合，即可证四边形是平行四边形； （2）根据勾股定理可求出．再根据等积法可求出，从而再次利用勾股定理可求出，进而可求出，最后根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在矩形中， ， ． ， ， ． ， ， ， ． 4．（2026·河北唐山·二模）如图，已知矩形，点是边的中点，过点作直线交于点（不与点，重合），交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，，若时，求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 在和中，∵，， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，再由，可得，再由等腰三角形的性质，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 题型6 求矩形在坐标系中的坐标 1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为智慧三角形．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点，使得为智慧三角形，则点的坐标为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】由题意可知，智慧三角形是直角三角形，或，设，则，；分两种情况：①若，②若，根据勾股定理分别求出、、，并根据图形列出关于的方程，解得的值，则可得答案． 【详解】解：由题意可知，智慧三角形是直角三角形，或， 设，则，； ①若，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 又， ， ， 解得：或， 或； ②若，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得：， ． 综上，或或． 2．（2026·山西忻州·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，利用矩形对角线互相平分的性质结合中点坐标公式求出点的坐标，再计算出点的坐标． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为，即． 3．（25-26八年级下·北京延庆·期中）如图，四边形是矩形，点O，A，B的坐标分别为，，，则点C的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可知对边平行且相等，结合点、的坐标即可确定点的横纵坐标． 【详解】解：因为四边形是矩形， 所以，，且，， 因为点的坐标为，点的坐标为， 所以，， 所以，， 因为点在第一象限，则点的横坐标为，纵坐标为， 所以点的坐标为． 4．（25-26八年级下·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果平行于轴，那么点的坐标为____________________ ． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质得到，设 ，利用两点间距离公式求出点的坐标，再根据中点公式得到点的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， 平行于轴，， 纵坐标都是． 设 ， ， ， ， 解得， ∴． ∵， 设， 由中点公式：，， ，， ． 题型7 矩形与折叠问题 1．（2026·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，，，点为上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在对角线上，则（    ） A．6 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出的长，利用折叠的性质得出，，，从而求出的长，最后在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， 由折叠的性质可知：，，， ∴，， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴． 2．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点，，，则的面积是_____． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可推出，根据折叠的性质可得，进而得到，推出，最后根据勾股定理得出，则，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， 由折叠可得：， ， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ∴ ∴． 3．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，是上一点，将纸片沿过点E的直线翻折，使点A落在点M处，点B恰好落在CD延长线上的点N处，折痕交于点F，若，，则____________． 【答案】 【分析】过点F作于点G，连接，设，，由矩形的性质和折叠的性质可知，，，，，由勾股定理可得，，则有，，在中，由勾股定理可得，即，同理在中可得，即，则有，最后求解即可． 【详解】解：如图，过点F作于点G，连接， 在矩形纸片中，，，， 设，， 由折叠可知：，， 在中，， 在中，，有， 即 ， ， ， ， ， 在中，， 即， ， 在中，， 即， ， ， 解得：， 即． 4．（25-26八年级下·湖南怀化·阶段检测）【问题原型】 在矩形中，，点P为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)【问题解决】如图①，当点E落在边上时，可求得的长为 ； (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点G，且， ①求证：； ②求的长． (3)【拓展提升】如图③，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，直接写出的长． 【答案】(1) (2)①证明：四边形是矩形， ， 由翻折的性质知，、， ， 在和中， ， ， ； ②； (3)的长为1或9 【分析】（1）由矩形的性质可得、，利用折叠的性质可得，再运用勾股定理求解即可； （2）①由矩形的性质、折叠的性质证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论；②设，则，进而得到、，再在中，利用勾股定理列方程求解即可； （3）分点Q在线段上和点Q在线段的延长线上两种情况，分别利用矩形的性质、折叠的性质、勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 、， 将沿直线翻折至的位置， ， 在中，； （2）①证明：略； ②解：∵, ∴, 设，则， ， 、， 在中，， ，解得：， ∴． （3）解：分两种情况讨论： 当点Q在线段上时，如图所示： 由翻折的性质知，、、、， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； 当点Q在线段的延长线上时，如图所示： 由翻折的性质知， 、、， ， 设，则、， ， ， 在中，， ，解得：，即， 综上，的长为1或9． 题型8 斜中半 1．（25-26八年级下·广东珠海·期中）在中，，，D为斜边的中点，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】D 【分析】由勾股定理求出的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵D为斜边的中点， ∴． 2．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，在中，，，为中点，在上，连接，，且，，则________． 【答案】 【分析】先根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，从而得出，再求出的长，利用勾股定理求出的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：在中，，，， ，， ， 是直角三角形，且， ， ， ，， ， 在中，， ，为中点， ． 3．（25-26八年级下·全国·期末）如图，中，，点D为的中点，点E在上，且，连接，点F为的中点，连接，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用三角形中位线的性质求出，再利用直角三角形斜边中线的性质求出． 【详解】解：是的中点，F是的中点， ， ， ，点D为的中点， ． 4．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在平行四边形中，对角线交于点O，，点E，F，G分别是的中点，交于点H．以下结论中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等腰三角形“三线合一”得，根据三角形中位线定理可得；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得，即可得；连接，可证四边形是平行四边形，即可得，由三角形面积关系得出，即可得出结论． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ，，，，，， ， ， 点为中点， ，故A正确； 、、分别是、、的中点， ，， ，， ， ，故B正确； ，， 四边形是平行四边形， ， 即，故C正确； ，， ，， ∴ ，故D不正确． 题型9 矩形的判定定理 1．（25-26八年级下·重庆长寿·期中）下列说法错误的是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．有一个角为直角的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．四个内角都相等的四边形是矩形 【答案】A 【分析】根据矩形的定义和判定规则逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解：选项A ∵对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形，只有对角线相等的平行四边形才是矩形，∴该说法错误． 选项B 有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴该说法正确． 选项C ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，∴对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该说法正确． 选项D ∵四边形内角和为，四个内角都相等，每个内角为 ，四个角都是直角的四边形是矩形，∴该说法正确． 2．（25-26八年级下·广西柳州·期中）以下条件中不能判定平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．∵， ∴， ∴能判定平行四边形为矩形，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形，不符合题意； C．由不能判定平行四边形为矩形，符合题意； D．∵ ∴平行四边形为矩形，不符合题意． 3．（2026·江西九江·二模）为了判断课桌的桌面是否为矩形，数学小组的同学对四张课桌采用了不同的测量方式，其中不一定能判断桌面是矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．矩形的判定方法有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；由矩形的判定方法即可求解． 【详解】解：A、，同旁内角互补可知一组对边平行，且都等于，可判定是平行四边形，并且有一个角是直角，因此能判定是矩形，故A选项不符合题意； B、含角的两个三角形不一定全等，有可能相似，不能判定上下两条边一定平行，桌面有可能是等腰梯形，也有可能是矩形，因此不能判定一定是矩形，故B选项符合题意； C、由两组对边相等可判定是平行四边形，又根据可知左下和右上两个角是直角，因此能判定是矩形，故C选项不符合题意； D、对角线互相平分且相等，能判定是矩形，故D选项不符合题意． 4．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）如图1，小明将一个直角尺紧靠平行四边形活动架的一边，调整活动架如图2，调整后的活动架的形状是矩形，判断的依据是_______． 【答案】有一个角是直角的平行四边形是矩形 【分析】根据矩形的判定方法，进行求解即可． 【详解】解：小明将一个直角尺紧靠平行四边形活动架的一边，调整活动架如图2，调整后的活动架的形状是矩形，判断的依据是有一个角是直角的平行四边形是矩形． 题型10 添一个条件使四边形为矩形 1．（25-26八年级下·广东潮州·期中）如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形． 【答案】6 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得，再根据平行四边形的对角线互相平分，可得． 【详解】解：当是矩形时，， ． 2．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，对角线，相交于点，要使得成为矩形，应添加的一个条件是________．（只需写一个条件） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】依据矩形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定； 或添加，根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形即可判定． 3．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，点E是线段的中点，连接，，延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，当________时，四边形是矩形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)13，理由见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，则，证明，得，根据对边平行且相等，即可证明四边形是平行四边形； （2）当时，，由平行四边形的性质得，则，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 题型11 证明四边形是矩形 1．（2026·陕西西安·三模）如图，在平行四边形中，分别过点A作于点E，过点C作于点F．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】根据垂直得出直角，根据平行四边形的性质得出平行线，利用平行线的性质得出直角，最后根据矩形的判定定理证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 2．（25-26八年级下·四川广元·期中）如图，在中，于点E． (1)尺规作图：作于点F（保留作图痕迹，不证明）； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂线的作法作图即可； （2）根据平行四边形的性质得到，进而得到，即可证明四边形是矩形； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：由作图可知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 3．（2026·江苏常州·一模）已知：如图，在中，点E，F分别是边的中点，连接，相交于点O． (1)求证：． (2)连接，若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，由平行线的性质得，，再根据中点的定义得出，即可证明； （2）先证四边形是平行四边形，推出，再证四边形是平行四边形，根据对角线相等，可得四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 又点E，F分别是边的中点， ， ． （2）证明：如图，连接， 中，， ， 点E，F分别是边的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 同理，，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 题型12 利用矩形的性质与判定求长度 1．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，的对角线相交于是等边三角形，且． (1)求的面积． (2)若点、分别是的中点，连接，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，进而得到，可知四边形是矩形，根据勾股定理求出的值，可知的面积 （2）连接，根据矩形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，根据30度角的性质得到，根据勾股定理求出，证明是等边三角形，可知． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ，， 是等边三角形， ． ， ， ∴四边形是矩形． ， ， ； （2）解：连接， ∵矩形， ∴， ∵点F是的中点， ， 是等边三角形，点E是的中点， ， ， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ． 3．（25-26八年级下·湖南怀化·阶段检测）如图，在中，，E是延长线上一点，F是上一点，，，P，Q，D分别是的中点，则的长为______． 【答案】2 【分析】先说明是的中位线，是的中位线可得，易证，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，P，Q，D分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， 如图：延长交于G, 延长交于H, ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴,即 ∴． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）一块梯形木板，，，，，，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当桌面面积最大时，为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】作于点H，先根据已知数据证明和是等腰直角三角形，再设，则，列出矩形桌面面积关于x的函数关系式，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点H， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形中，， 是等腰直角三角形， 设，则， 矩形桌面的面积， 当时，S取最大值25， 即当时，矩形桌面面积最大． 题型13 利用矩形的性质与判定求面积 1．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过作，分别交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，，，， ， ， ，， ， ． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，，是四边形各边的中点，如果，，那么四边形的面积为() A．48 B．30 C．15 D．60 【答案】C 【分析】根据是四边形各边的中点，可得四边形是平行四边形，，再由对角线互相垂直，可得平行四边形是矩形，由矩形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：在中，点是的中点， ∴， 在中，点是的中点， ∴， ∴， 同理，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 已知对角线互相垂直，即， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴的面积为． 3．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，是内部一点，，且，，依次取、、、中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是____． 【答案】 【分析】先根据三角形中位线定理可得，，，从而可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得平行四边形是矩形，最后利用矩形的面积公式求解即可得． 【详解】解：点分别是，的中点，且， ， 同理可得：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， 平行四边形是矩形， ∴四边形的面积是． 4．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在平行四边形中，对角线，延长到点，使，连接，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，，再由勾股定理求出长，即可得出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵，， 由（1）可知，，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $