精品解析：北京市怀柔区2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年北京市怀柔区高二（下）期末数学试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以 2. 已知命题：，，则为（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【详解】命题：， 则为：，． 3. 在的展开式中，的系数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理的性质. 【详解】设的通项，则，化简得， 令，则的系数为，即A正确. 故选：A 4. 已知函数，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 所以． 5. 已知，且，则下列不等式中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，结合特例法，可得判定ABC，结合指数函数的单调性，可判定D正确. 【详解】由题意知，，且， 对于A，当时，，此时，所以A不正确； 对于B，当时，，所以B不正确； 对于C，当时，；当时，， 综上可得，若，则所以C不正确； 对于D，因为函数在上为单调递增函数， 因为，所以，所以D正确. 6. 五一黄金周，某市对该市内的六个旅游景点接待游客数量进行统计，数据如表： 景点 游客数量 景点1 景点2 景点3 景点4 景点5 景点6 游客人数（万） 80.3 47.6 56.2 30.7 77.2 65.3 现从这6个景点中任取3个，则这3个景点中恰有2个景点的游客人数突破50万人的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用组合数公式计算“这6个景点中任取3个”和“选出的3个景点中恰有2个景点的游客人数突破50万人”的取法数目，由古典概型公式计算可得答案． 【详解】根据题意，这个景点中任取个，有种选法， 个景点中，游客人数突破万人的有个，若选出的个景点中恰有个景点的游客人数突破万人，有种选法， 故这个景点中恰有个景点的游客人数突破万人的概率． 7. 甲、乙两人独立解一道数学题，甲独立解出的概率为，乙独立解出的概率为，则在这道题被解出的条件下，甲、乙同时解出这道题的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由独立事件同时发生的概率乘法公式和条件概率公式，计算可得所求值． 【详解】这道题被解出的概率为, 甲、乙同时解出这道题的概率为， 则在这道题被解出的条件下，甲、乙同时解出这道题的概率为． 8. 设函数的定义域为，则“在区间上的最大值为，最小值为”是“在区间上单调递增”的（　　） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】若在区间上的最大值为，最小值为，此时在区间上不一定单调，充分性不成立； 但当在区间上单调递增时，在区间上的最大值为，最小值为，必要性成立 综上所述：“在区间上的最大值为，最小值为”是“在区间上单调递增”的必要不充分条件. 9. 设函数的导函数为，则下列关系式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意，函数，其导数， 则，， ， 由于，则有． 10. 设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（ ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【详解】根据笛卡尔积的定义逐一分析：①和③可举反例判定为假；②可通过证明集合相等判定为真；④可根据定义确定元素个数即可. 【解答】解：对于①，根据新定义，设，， 根据定义且， 则 ，而，显然，所以①错误． 对于②， 对于任意的，根据定义可知且， 即或者．若，则； 若，则．所以， 即 ． 反之，对于任意的， 则或者， 若，则且， 若，则且， 所以且，即， 所以． 综上，，②正确． 对于③， 设，，， 则，， ，， 所以，所以③错误． 对于④， 已知集合中有个元素，集合中有个元素． 对于且，从中取一个元素有种取法， 从中取一个元素有种取法．所以中元素的个数为，所以④正确． 综上，正确的命题有②④. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 设离散型随机变量的分布列如表，则“”的概率为 __ ． 0 1 2 【答案】 【解析】 【详解】由分布列可得 ，解得， 所以“”的概率为． 12. 当时，函数的最小值为 ________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解． 【详解】当时，函数， 当且仅当，即x时,等号成立，所以的最小值为. 13. 在的展开式中，若所有项的二项式系数和为32，则 _____ ；其展开式中所有项的系数和为 ________ ．（用数字作答） 【答案】 ①. 5 ②. 243 【解析】 【详解】由题意可得：，解得， 可得，令，得， 所以展开式中所有项的系数之和为243． 14. 三名老师和四名学生去北京半程马拉松比赛的3个补给站参加志愿活动，每个人去一个补给站，每个补给站至少一名老师和一名学生，则不同的安排方法有 __ 种．（用数字作答） 【答案】216 【解析】 【详解】依题意分两步完成：先分配教师，由于有3名教师和3个补给站，且每个补给站至少1名教师，因此每个补给站恰好分配1名教师，有种情况； 再分配学生，将4名学生分配到3个补给站，且每个补给站至少1名学生，所以分组方式是“2，1，1”，有种情况， 根据分步乘法计数原理，可得不同的安排方法有种． 15. 已知函数，则下列结论中所有正确结论的序号是 ________ ． ①当时，恒成立； ②，使得函数有两个零点； ③，函数总有一个极值点； ④若函数在区间上单调递增，则． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①：当时，，求导分析单调性，最值，即可判断①是否正确；对于②：令，得，分析根的个数，即可判断②是否正确；对于③：求导分析单调性，极值，即可判断③是否正确；对于④：根据题意可得，在上，，即在上，恒成立，进而可判断④是否正确． 【详解】对于①：当时，，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，取得极小值， 故对恒成立，故①正确； 对于②：令，得，即， 因，则得，解得， 又因在上单调递增，值域为， 故方程有唯一解，即函数只有一个零点， 不存在，使得函数有两个零点，故②错误； 对于③：，令，得， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 函数在处取得极小值，无极大值，即函数总有一个极值点，故③正确； 对于④：若函数在区间上单调递增，则在上，恒成立， 即在上恒成立，也即在上恒成立， 当时，函数为增函数，则有， ，即a的取值范围为，故④正确． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 1995年联合国教科文组织宣布4月23日为“世界读书日”，致力于向全世界推广阅读、出版和对知识产权的保护．某校为了解男生与女生在一学年内的阅读情况，从全校学生中采用分层抽样的方法抽取了20名学生，统计了他们的阅读量并整理得到茎叶图（单位：本）．假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立． （1）根据样本数据，估计该校学生一学年内的阅读量超过10本的概率； （2）现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人，记X为选出的2名学生中一学年内的阅读量超过10本的人数，求X的分布列和数学期望E（X）； （3）在样本中，男生阅读量的方差为，女生阅读量的方差为．写出方差与的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） X 0 1 2 P E（X）＝． （3） 【解析】 【分析】（1）通过观察茎叶图，结合古典概型概率公式计算即可； （2）分别求出男生和女生阅读量超过10本的概率，列出X的可能取值，分别求出对应的概率，再求解分布列与数学期望； （3）通过方差的意义，作比较即可． 【小问1详解】 通过茎叶图可知，男生中阅读量超过10本的有6人，女生中阅读量超过10本的有3人， 所以这20名学生一学年内的阅读量超过10本的概率为， 故根据样本数据，估计该校学生一学年内的阅读量超过10本的概率为． 【小问2详解】 用频率估计概率，可得男生中阅读量超过10本的概率为， 女生中阅读量超过10本的概率为， 所以X的可能取值为0，1，2， 则， ， ． 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 所以． 【小问3详解】 ． 通过观察茎叶图可知，男生的数据相对更分散，女生的数据相对更集中， 根据方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，数据越分散，方差越大， 所以． 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间与极值． 【答案】（1）； （2）函数的单调递增区间是和；函数的单调递减区间是；在处取得极大值，极大值为；在处取得极小值，极小值为. 【解析】 【分析】（1）结合切线方程性质求解； （2）求导，结合导函数判断单调区间和极值． 【小问1详解】 由题意，则， 当时，可得，， 所以切线方程为，即． 【小问2详解】 由（1）可得，， 令，即，即，解得或， 当时，可得，所以函数在上单调递增， 当时，可得，所以函数在上单调递减， 当时，可得，所以函数在上单调递增， 所以在处取得极大值，则， 在处取得极小值，则. 综上所述，函数的单调递增区间是和；函数的单调递减区间是；在处取得极大值，极大值为；在处取得极小值，极小值为. 18. 在人工智能时代，教育部门积极推动与传统教学模式的“深度融合”，实现教学模式的变革．某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）在样本中，从评分大于80分的学生中随机抽取2人，用表示其评分在，范围的人数，求的分布列； （3）假设用频率估计概率，从全校学生中随机抽取2人，用表示其评分在，范围的人数，求的分布列． 【答案】（1） （2） 0 1 2 0 1 2 0.49 0.42 0.09 （3）【解析】 【分析】（1）由频率和为1列方程求参数值； （2）可知的可能取值为，结合超几何分布求分布列； （3）分析可知，结合二项分布求分布列. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，解得； 【小问2详解】 因为评分在的频率为，抽取的人数为， 评分在的频率为，抽取的人数为， 所以的可能取值为，则，，， 所以的分布列为 0 1 2 【小问3详解】 因为评分在的频率为，用频率估计概率， 则全校学生评分在的频率为0.3，所以的可能取值为，且， 所以，，， 所以的分布列为 0 1 2 0.49 0.42 0.09 19. 年中购物节，某快递公司将一批冷鲜产品用冷藏汽车从甲地运往相距公里处的乙地，司机工资为每小时元，装卸费为元，假设车辆运输过程中燃油消耗取决于速度：当速度为公里/小时（注公里/小时）时，单位距离的燃油消耗为升/公里，燃油价格为每升元．假设汽车匀速行驶，且不计其他成本．运输的总费用＝司机工资+装卸费+燃油成本． （1）当运输的总费用不超过元时，求汽车行驶速度的范围； （2）若要使运输的总费用最小，则汽车应以多少公里/小时的速度行驶？ 【答案】（1）； （2）公里/小时. 【解析】 【分析】（1）通过建立总费用函数并求解不等式即可； （2）利用基本不等式计算即可得出． 【小问1详解】 已知司机工资为每小时元，行驶时间为小时，所以司机工资为元， 装卸费为元， 燃油成本为单位距离燃油消耗×距离×燃油价格，即元， 则运输总费用， 化简可得，（）， 由，可得， 移项得到，即， 两边同时乘以得到， 移项化为标准二次函数形式， 两边同时除以得， 因式分解得，则有或， 第一种情况，即，无解， 第二种情况，即，结合，可得； 【小问2详解】 由（1）得，汽车运输的总费用与汽车行驶速度的关系为（）， 则根据基本不等式，可得， 则， 当且仅当时，等号成立， 解方程，，解得（公里/小时）， 因为，符合条件． 所以要使运输的总费用最小，则汽车应以公里/小时的速度行驶. 20. 已知函数． （1）若函数在处的切线与直线平行，求的值； （2）当时，证明； （3）若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：当时，， 要证，即证恒成立， 令， 则， 当时，，当时，， ∴在单调递减，在单调递增， ∴当时，取得极小值，也是最小值，即， 即恒成立，故原结论成立； （3） 【解析】 【分析】（1）依题意，得，解之可得的值； （2）要证，即证恒成立，通过构造函数，结合求导分析，可证得结论成立； （3）由题意，当时，恒成立，通过分离参数，构造函数及求导分析，可得的取值范围． 【小问1详解】 易知函数的定义域为， ∵， ∴. ∴. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 若函数在区间上单调递增， 即当时，恒成立恒成立， 即恒成立，即， 令， 当时，，当时，， ∴在单调递增，在单调递减， 又当时，，当时，， ∴， ∴， 即的取值范围为． 21. 已知n是正整数，集合，对集合A中的任意元素，记． （1）当时，若，求和的值； （2）当时，若，且，求β； （3）设集合，若集合C的所有元素之和不小于，求n的最小值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中所给定义直接求解； （2）根据定义求出所有可能的β即可； （3）根据定义结合分类讨论即可得解． 【小问1详解】 ； ． 【小问2详解】 ，则， ，故， 即β的分量中恰好有2个“1”，1个“0”， 所有可能的β为． 【小问3详解】 记有个位置分量取值不同，则， 当且仅当，否则为0， 故，， ， 的元素和， 由题意，即， 解方程，，， 当时，， 当时，， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年北京市怀柔区高二（下）期末数学试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则为（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 在的展开式中，的系数为 （ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（　　） A. B. C. D. 5. 已知，且，则下列不等式中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 6. 五一黄金周，某市对该市内的六个旅游景点接待游客数量进行统计，数据如表： 景点 游客数量 景点1 景点2 景点3 景点4 景点5 景点6 游客人数（万） 80.3 47.6 56.2 30.7 77.2 65.3 现从这6个景点中任取3个，则这3个景点中恰有2个景点的游客人数突破50万人的概率为（　　） A. B. C. D. 7. 甲、乙两人独立解一道数学题，甲独立解出的概率为，乙独立解出的概率为，则在这道题被解出的条件下，甲、乙同时解出这道题的概率为（　　） A. B. C. D. 8. 设函数的定义域为，则“在区间上的最大值为，最小值为”是“在区间上单调递增”的（　　） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 设函数的导函数为，则下列关系式正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（ ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 设离散型随机变量的分布列如表，则“”的概率为 __ ． 0 1 2 12. 当时，函数的最小值为 ________________ ． 13. 在的展开式中，若所有项的二项式系数和为32，则 _____ ；其展开式中所有项的系数和为 ________ ．（用数字作答） 14. 三名老师和四名学生去北京半程马拉松比赛的3个补给站参加志愿活动，每个人去一个补给站，每个补给站至少一名老师和一名学生，则不同的安排方法有 __ 种．（用数字作答） 15. 已知函数，则下列结论中所有正确结论的序号是 ________ ． ①当时，恒成立； ②，使得函数有两个零点； ③，函数总有一个极值点； ④若函数在区间上单调递增，则． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 1995年联合国教科文组织宣布4月23日为“世界读书日”，致力于向全世界推广阅读、出版和对知识产权的保护．某校为了解男生与女生在一学年内的阅读情况，从全校学生中采用分层抽样的方法抽取了20名学生，统计了他们的阅读量并整理得到茎叶图（单位：本）．假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立． （1）根据样本数据，估计该校学生一学年内的阅读量超过10本的概率； （2）现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人，记X为选出的2名学生中一学年内的阅读量超过10本的人数，求X的分布列和数学期望E（X）； （3）在样本中，男生阅读量的方差为，女生阅读量的方差为．写出方差与的大小关系．（结论不要求证明） 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间与极值． 18. 在人工智能时代，教育部门积极推动与传统教学模式的“深度融合”，实现教学模式的变革．某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）在样本中，从评分大于80分的学生中随机抽取2人，用表示其评分在，范围的人数，求的分布列； （3）假设用频率估计概率，从全校学生中随机抽取2人，用表示其评分在，范围的人数，求的分布列． 19. 年中购物节，某快递公司将一批冷鲜产品用冷藏汽车从甲地运往相距公里处的乙地，司机工资为每小时元，装卸费为元，假设车辆运输过程中燃油消耗取决于速度：当速度为公里/小时（注公里/小时）时，单位距离的燃油消耗为升/公里，燃油价格为每升元．假设汽车匀速行驶，且不计其他成本．运输的总费用＝司机工资+装卸费+燃油成本． （1）当运输的总费用不超过元时，求汽车行驶速度的范围； （2）若要使运输的总费用最小，则汽车应以多少公里/小时的速度行驶？ 20. 已知函数． （1）若函数在处的切线与直线平行，求的值； （2）当时，证明； （3）若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 21. 已知n是正整数，集合，对集合A中的任意元素，记． （1）当时，若，求和的值； （2）当时，若，且，求β； （3）设集合，若集合C的所有元素之和不小于，求n的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $