精品解析：北京市怀柔区2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷

怀柔区2023--2024学年度第二学期高二质量检测 数 学 2024.7 注意事项： 1．考生要认真填写姓名和考号． 2．本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共150分，考试时间120分钟． 3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡的对应位置，在试卷上作答无效．第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答． 4．考试结束后，考生应将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回． 第一部分 选择题 （共40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求集合A，再结合交集运算求解. 【详解】由题意可知：， 所以. 故选：A. 2. 等比数列，，，，……，则数列的第七项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察等比数列的前几项，确定该数列的首项和公比，由此确定第7项. 【详解】设该等比数列为，数列的公比为， 由已知，，， 所以， 所以数列的通项公式为， 所以. 故选：A. 3. 在二项式的展开式中，常数项为（ ） A. 20 B. C. 80 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式的通项解决问题. 【详解】二项式的通项为 ， 要使其为常数，则，即， 故常数项为. 故选：D 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导后，将代入导函数中计算即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：B 5. 某次考试学生甲还有四道单选题不会做，假设每道题选对的概率均为，则四道题中恰好做对2道的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式列式计算即得. 【详解】依题意，四道题中恰好做对2道的概率. 故选：C 6. 2021年7月20日，公布了《中共中央、国务院关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》，决定实施一对夫妻可以生育三个子女的政策及配套的支持措施．假设生男、生女的概率相等，如果一对夫妻计划生育三个小孩，在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列出前两个孩子是男孩的所有基本事件，再由古典概型求解即可. 【详解】这个家庭已经有两个男孩的下，计划生育三个小孩的所有可能为（男男女）、（男男男）， 所以在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为. 故选：D 7. 已知函数的图象如图所示，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义及函数图象判断即可. 【详解】设，，， 则表示函数在点处的切线的斜率， 则表示函数在点处的切线的斜率， 表示，两点连线的斜率， 又在上单调递增，且增长趋势越来越快， 则函数在点、的切线与过、的直线的草图如下所示： 由图可知，所以. 故选：C 8. 若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合等比数列性质判断“”和“单调递增”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】由题意可知是公比为的等比数列， 当，时，则， 由于，，且随n的增大而减小，故单调递增， 当，时，也单调递增，推不出， 故“”是“单调递增”的充分而不必要条件， 故选：A 9. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导后，由题意可得，得到关于的方程，再由得到关于的方程，解方程组可得结果. 【详解】由，得， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，， 解得. 故选：B 10. 若函数，则根据下列说法选出正确答案是（ ） ① 当时，在上单调递增； ② 当时，有两个极值点； ③ 当时，没有最小值． A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数，结合导数与函数的单调性的关系，极值与导数的关系验证各命题. 【详解】， 设，， 当时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以， 当时，，即， 所以函数在上单调递增，则没有最小值，① ③正确； 当时，，即， 设，由上面的研究可知， 当时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以， 且当时，，且，时，， 所以此时方程有两个解，即有两个零点， 所以有两个极值点，②正确， 所以正确答案是①②③. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查由函数的极值点个数求参数范围，用导数证明不等式．解题关键是问题的转化，极值点的个数问题转化为方程的实根的个数，再转化为函数的性质（函数图象）． 第二部分 非选择题 （共110分） 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分．） 11. 已知等差数列的前项和，若，则________；前项和的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 16 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，利用即可求得，从而求得，从二次函数的角度思考，可求出的最大值. 【详解】设等差数列的公差为，则 ，解得， 所以，， 当时，的最大值为, 故答案为：，16. 12. 若随机变量X的分布列为（如表）， X 1 2 3 则______；若随机变量Y=2X+1，则随机变量Y的数学期望E(Y)=__________．（用数字作答） 【答案】 ①. ##0.5 ②. ## 【解析】 【分析】利用概率和等于1以及数学期望的计算公式、性质求解. 【详解】 Y=2X+1 . 故答案为：；. 13. 若，则=______. 【答案】32 【解析】 【分析】利用赋值法求解. 【详解】根据题意，， 令，得， 令，得， 两式相加得：， 所以. 故答案为：32. 14. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．例如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3），则第三个图形的边数________；第个图形的周长________． 【答案】 ①. 48 ②. 【解析】 【分析】根据已知，结合图形，寻找规律，再利用等比数列的通项公式求解. 【详解】由题知，下个图形的边长是上一个图形的，边数是上一个图形4倍， 因为第1个图形的边数3，所以第2个图形的边数12，第3个图形的边数48. 设第个图形的周长为，则周长之间的关系为， 所以数列是首项为3，公比为的等比数列，所以. 故答案为：48；. 15. 已知数列的通项公式，则下列各项说法正确的是________．( 填写所有正确选项的序号) ①当时，数列的前n项和； ②若数列是单调递增数列，则； ③，数列的前n项积既有最大值又有最小值； ④若恒成立，则． 【答案】①④ 【解析】 【分析】对于①，利用裂项相消求和法求解判断，对于②，由求解的范围，对于③，举例判断，对于④，由题意得，利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】对于①，当时，，所以， 所以 ，所以①正确， 对于②，若数列是单调递增数列，则，即， 所以，所以， 因为，所以，所以②错误， 对于③，当时，，则数列的前n项积没有最大值，所以③错误， 对于④，由，得，得， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2，所以，所以④正确. 故答案为：①④ 三、解答题（本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 16. 某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了200名学生进行调查，获取数据如下： 满意度 性别 满意 不满意 弃权 男生 80 30 10 女生 50 20 10 （1）用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率； （2）用分层抽样的方法从上表中不满意的50人中抽取5人征求整改建议，再从这5个人中随机抽取2人参与食堂的整改监督，则抽取的2人中女生的人数X，求X的分布列和期望． 【答案】（1）. （2）分布列见解析；期望为. 【解析】 【分析】（1）根据已知，计算该校学生对食堂饭菜质量满意的频率即可. （2）根据已知，利用超几何分布计算公式、期望的计算公式求解. 【小问1详解】 设“对食堂饭菜质量满意”为事件A． 在200人中对饭菜质量满意的有130人， . 【小问2详解】 分层抽取比例 男生抽取人，女生抽取人 抽取的2人中女生人数X的所有可能为0，1，2 - - - X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望. 17. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求等差数列的通项公式； （2）若各项均为正数的数列其前项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，设，求数列的通项公式和数列的前项和. 条件①：； 条件②：； 条件③：且都有成立，. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）设出首项和公差，建立方程求解基本量，求出通项公式即可. （2）条件①利用数列前项和和通项公式的关系求出，再利用分组求和法求和即可，条件②利用等比数列的定义求出，再利用分组求和法求和即可，条件③设出首项和公比，求出，再利用分组求和法求和即可. 【小问1详解】 已知等差数列中，满足. 设首项为，公差为， 得到，解得， 【小问2详解】 选条件① .当时，， 当时，， 当时，， ， 是以2为首项，3为公比的等比数列， 设的前项和为， . 选条件② ，是以2为首项，3为公比的等比数列， ，设的前项和为， . 选条件③ 且都有成立，是等比数列，且设公比为， ，， (负根舍去)， 是以2为首项，3为公比的等比数列， ，设的前项和为， . 18. 设函数， （1）求曲线y=在点（0，）处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值与最小值； （3）若方程在有三个不同的根，求的取值范围． 【答案】（1） （2）最大值为10；最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义及直线的点斜式方程求解. （2）根据导数与函数单调性的关系，求出区间端点处的函数值、极值进行比较. （3）利用导数确定函数的单调性以及求出函数的极值、最值，把函数的根的个数问题转化为两个函数的交点个数问题. 【小问1详解】 代入得到，即切点坐标（0，1） 由，得 ． - 所以曲线y=在点（0，）处的切线方程为. 【小问2详解】 由，得 ． 令，得，解得或 与在区间上的情况如下： -4 -3 1 3 ↗ 10 ↘ ↗ 10 所以在区间上，当x=-3或x=3时，最大值为10； 当x=1时，最小值为． 【小问3详解】 若方程在上有三个不同的根，可得y=的图象与直线y=有3个交点 由（2）可知： -3 1 ↗ 10 ↘ ↗ 又当；当 所以时，方程有三个不同根． 19. 为了了解高三学生的睡眠情况，某校随机抽取了部分学生，统计了他们的睡眠时间，得到以下数据（单位：小时）： 男生组：5， 5.5， 6， 7， 7， 7.5， 8， 8.5， 9； 女生组：5.5， 6， 6， 6， 6.5， 7， 7， 8． 用频率估计概率，且每个学生的睡眠情况相互独立． （1）世界卫生组织建议青少年每天最佳睡眠时间应保证在8-10（含8小时）小时，估计该校高三学生睡眠时间在最佳范围的概率； （2）现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人，表示这2个人中睡眠时间在最佳范围的人数，求的分布列和数学期望； （3）原女生组睡眠时间的样本方差为，若女生组中增加一个睡眠时间为6.5小时的女生，并记新得到的女生组睡眠时间的样本方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）直接计算该校高三学生的睡眠时间在最佳范围的频率； （2）的所有可能取值为0，1，2，求出分布列，再由期望公式求解； （3）直接判断写出与的大小关系． 【小问1详解】 设“该校高三学生的睡眠时间在最佳范围”为事件A， 在随机抽取的17人中有4人的睡眠时间在最佳范围， 所以； 【小问2详解】 由题意，“从男生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件B， 则， “从女生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件C， ， 由条件可知，的所有可能取值为0，1，2， ，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 ； 【小问3详解】 ． 20. 已知函数 ，其中 （1）求函数的单调区间； （2）当曲线在点处的切线与直线垂直时，若函数的图象总在函数图象的上方，则的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，对函数进行求导，分别讨论当和这两种情况，进而根据导函数符号可得函数的单调区间； （2）对函数进行求导，利用导数的几何性质求出，设出切点坐标，构造函数，得到切点坐标，进而可得的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以函数的定义域为 当时，对任意的恒成立， 所以函数的增区间为，无减区间； 当时，令，得舍负， — 极小值 所以的减区间为，增区间为． 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，的单调减区间为，单调增区间为． 【小问2详解】 ， 曲线在点的切线与直线垂直， ， 是一条过原点的直线， 假设直线 与曲线相切，设切点坐标， 则 所以， 令 则恒成立， 在单调递增， ，所以有且仅有一解 ，即切点坐标， 当直线 与曲线相切时，切点 ， 此时直线的斜率为1，即， 所以当函数的图象总在图象的上方时， 【点睛】利用导数判断函数单调性的步骤：1.对原函数求导；2.判断导函数的符号；3.根据导函数符号判断单调性. 21. 已知数集（），若对任意的（），与两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P． （1）分别判断数集B=与数集C=是否具有性质，并说明理由； （2）若数集A具有性质P． ①当时，证明，且成等比数列； ②证明：． 【答案】（1）数集具有性质，不具有性质，理由见解析 （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据性质P的定义带入数值判断即可； （2）①根据题意分析可得，即可得结果；②采用构造对应的方法构造一个新的相等的集合，对其元素进行排序后对应相等可解. 【小问1详解】 数集具有性质，不具有性质，理由如下： 因为，，，，，都属于数集，所以具有性质； 因为，都不属于数集，所以不具有性质． 【小问2详解】 ①当时，，． 因为，所以，，所以与都不属于A， 因此，，所以． 因为，且，所以， 且，所以，所以成等比数列． ②因为具有性质，所以，至少有一个属于A， 因为，所以，，因此，． 因为，所以（）， 故当时，，，（）， 又因为， 则，，，，， 可得， 所以. 【点睛】关键点点睛：对于新定义题目，必须先看清楚题目是如何定义的，然后依据定义小心验证自己的理解是否有偏差.题目了解之后再考虑提炼第二问的解决方法，本题采用了构造一个新的集合与原集合相等，得到答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀柔区2023--2024学年度第二学期高二质量检测 数 学 2024.7 注意事项： 1．考生要认真填写姓名和考号． 2．本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共150分，考试时间120分钟． 3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡的对应位置，在试卷上作答无效．第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答． 4．考试结束后，考生应将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回． 第一部分 选择题 （共40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 集合， ，则（ ） A. B. C. D. 2. 等比数列，，，，……，则数列的第七项为（ ） A. B. C. D. 3. 在二项式的展开式中，常数项为（ ） A. 20 B. C. 80 D. 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 某次考试学生甲还有四道单选题不会做，假设每道题选对的概率均为，则四道题中恰好做对2道的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 2021年7月20日，公布了《中共中央、国务院关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》，决定实施一对夫妻可以生育三个子女的政策及配套的支持措施．假设生男、生女的概率相等，如果一对夫妻计划生育三个小孩，在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象如图所示，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则值分别为（ ） A. B. C. D. 10. 若函数，则根据下列说法选出正确答案是（ ） ① 当时，在上单调递增； ② 当时，有两个极值点； ③ 当时，没有最小值． A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 第二部分 非选择题 （共110分） 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分．） 11. 已知等差数列的前项和，若，则________；前项和的最大值为______． 12. 若随机变量X的分布列为（如表）， X 1 2 3 则______；若随机变量Y=2X+1，则随机变量Y的数学期望E(Y)=__________．（用数字作答） 13. 若，则=______. 14. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．例如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3），则第三个图形的边数________；第个图形的周长________． 15. 已知数列的通项公式，则下列各项说法正确的是________．( 填写所有正确选项的序号) ①当时，数列的前n项和； ②若数列是单调递增数列，则； ③，数列的前n项积既有最大值又有最小值； ④若恒成立，则． 三、解答题（本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 16. 某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了200名学生进行调查，获取数据如下： 满意度 性别 满意 不满意 弃权 男生 80 30 10 女生 50 20 10 （1）用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率； （2）用分层抽样的方法从上表中不满意的50人中抽取5人征求整改建议，再从这5个人中随机抽取2人参与食堂的整改监督，则抽取的2人中女生的人数X，求X的分布列和期望． 17. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求等差数列的通项公式； （2）若各项均为正数的数列其前项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，设，求数列的通项公式和数列的前项和. 条件①：； 条件②：； 条件③：且都有成立，. 18. 设函数， （1）求曲线y=在点（0，）处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值与最小值； （3）若方程在有三个不同的根，求的取值范围． 19. 为了了解高三学生的睡眠情况，某校随机抽取了部分学生，统计了他们的睡眠时间，得到以下数据（单位：小时）： 男生组：5， 5.5， 6， 7， 7， 7.5， 8， 8.5， 9； 女生组：5.5， 6， 6， 6， 6.5， 7， 7， 8． 用频率估计概率，且每个学生的睡眠情况相互独立． （1）世界卫生组织建议青少年每天最佳睡眠时间应保证在8-10（含8小时）小时，估计该校高三学生睡眠时间在最佳范围的概率； （2）现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人，表示这2个人中睡眠时间在最佳范围的人数，求的分布列和数学期望； （3）原女生组睡眠时间的样本方差为，若女生组中增加一个睡眠时间为6.5小时的女生，并记新得到的女生组睡眠时间的样本方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明） 20. 已知函数 ，其中 （1）求函数的单调区间； （2）当曲线在点处的切线与直线垂直时，若函数的图象总在函数图象的上方，则的取值范围． 21. 已知数集（），若对任意的（），与两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P． （1）分别判断数集B=与数集C=是否具有性质，并说明理由； （2）若数集A具有性质P． ①当时，证明，且成等比数列； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $