精品解析：2026年广东深圳市南山实验集团联考九年级 第三次阶段测试数学试题

2025-2026学年初三年级第三次学业质量监测 数学 说明：1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字连的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共6页，共20题．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回 第一卷（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 以下是四个银行标志图案，图案中既是中心对称图形又是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 某地区某日最高气温是零上，记作，最低气温是零下，应该记作（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（ ） A. B. C. D. 的度数无法确定 6. 生态优先，绿色发展，创建美丽校园活动中，八年级学生负责校园某绿化角的设计、种植与养护，年级计划购买杜鹃和三角梅两种树苗，购买杜鹃树苗花了450元，购买三角梅树苗花了700元，杜鹃的单价比三角梅的单价少25元，购买杜鹃树苗数量是购买三角梅树苗数量的2倍多5棵，试问杜鹃和三角梅两种树苗各购买了多少棵？若设买了棵三角梅树苗，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，舂臼（）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该舂臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离，且，则点A到地面的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一段抛物线，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；……如此进行下去，若是其中某段抛物线上一点，则为（ ） A. B. C. D. 第二卷（非选择题共76分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则代数式的值是_________． 10. 在如图所示的电路图中，任意合上一个开关，则小灯泡发亮的概率为___________． 11. 密度计是一种重要的密度分析仪表，用于连续测量液体的密度，进而可以计算液体浓度、固液比等工艺参数，广泛应用于化工生产装置中，其检测精度和稳定性直接影响到产品质量．如图，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的函数，其函数关系的部分对应值如下表： 密度 1 2 3 4 … 高度 18 9 6 4.5 … 当液体密度时，浸在液体中的高度______． 12. 如图是一个矩形足球球场，为球门，于点，米某球员沿带球向球门进攻，在处准备射门已知米，米已知对方门将伸开双臂后，可成功防守的范围大约为米，此时门将站在张角内，双臂伸开且垂直于进行防守，刚好能成功防守，则的长为______米． 13. 如图，在中，，，点为边上一点，连接，将沿折叠．点落至点处，连接、，线段交边于点，若．且，则_____________． 三、解答题（共7小题，满分61分） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中x满足． 16. 学校为探究辅助学习工具的反馈，从七、八年级各随机抽取20名学生进行使用满意度评分，随后将评分进行整理、描述和分析（评分为百分制且为整数，均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生评分在B组的数据为：80，83，84，85，87，88，88，89 八年级20名学生的评分是：65，68，70，72，74，76，78，80，82，82，84，86，86，86，88，90，92，93，94，94 七、八年级所抽取学生使用满意度评分统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 a 83 众数 78 b （1）上述图表中________，_______，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对辅助学习工具的满意度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级有600人，八年级有500人，请估计该校七、八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的总人数． 17. 深圳某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元．在该产品的试销期间，为促销，企业决定：商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件． （1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？ （2）设商家一次购买这种产品x件，该企业所获的利润为y元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润？最大利润是多少？ 18. 如图，是的直径，点在上，为的中点，连接，，，与相交于点H，过点作直线，交的延长线于点G． （1）求证：是的切线． （2）若，，求阴影部分的面积． 19. 若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”． （1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数； （2）已知关于的二次函数和，其中的图象经过点，与为“同簇二次函数”． ①求的值及函数的表达式； ②如图，点和点是函数图象上的点，点和点是函数图象上的点，且都在对称轴右侧，若轴，，求的值（只需直接写出答案）． 20. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知等腰直角三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，纸片绕点逆时针旋转，连接，，证明：平分； 【深入探究】 （2）在（1）条件下，如图2，延长交于，求的长； 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年初三年级第三次学业质量监测 数学 说明：1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字连的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共6页，共20题．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回 第一卷（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 以下是四个银行标志图案，图案中既是中心对称图形又是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的识别，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180度后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形，据此求解即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心轴对称图形，不符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 某地区某日最高气温是零上，记作，最低气温是零下，应该记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，根据温度零上记为正，则气温零下就记为负解题即可． 【详解】解：某日最高气温是零上，记作，最低气温是零下，则记为． 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方、完全平方公式等对应法则逐项判断即可． 【详解】解：A ∵与不是同类项，不能合并， ∴ A错误，不符合题意； B ∵， ∴ B错误，不符合题意； C ∵，计算正确， ∴ C正确，符合题意； D ∵， ∴ D错误，不符合题意． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算出两个不等式的解集，画出数轴即可． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， ∵解集在数轴上表示为： ∴不等式的解集为：． 5. 图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（ ） A. B. C. D. 的度数无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，垂线定义，过点A作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，求出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点A作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6. 生态优先，绿色发展，创建美丽校园活动中，八年级学生负责校园某绿化角的设计、种植与养护，年级计划购买杜鹃和三角梅两种树苗，购买杜鹃树苗花了450元，购买三角梅树苗花了700元，杜鹃的单价比三角梅的单价少25元，购买杜鹃树苗数量是购买三角梅树苗数量的2倍多5棵，试问杜鹃和三角梅两种树苗各购买了多少棵？若设买了棵三角梅树苗，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列分式方程，根据题意，设买了棵三角梅树苗，由杜鹃的单价比三角梅的单价少25元，建立等量关系列方程即可得到答案，读懂题意，准确找到等量关系是解决问题的关键． 【详解】解：设买了棵三角梅树苗，则根据题意可列方程为， 故选：A． 7. 如图1，舂臼（）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该舂臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离，且，则点A到地面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作垂直地面于点H，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点A作垂直地面于点H，则， ∴， ∴， ， 由题意地面知， ，即， ． 8. 如图，一段抛物线，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；……如此进行下去，若是其中某段抛物线上一点，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过前几段抛物线归纳出第段的解析式规律，再用整数除法确定点所在的段数，最后代入对应解析式求出的值． 【详解】解：已知， 则的坐标为， 将绕点旋转得，交轴于点， 则的坐标为， 可得， 将绕点旋转得，交轴于点， 则的坐标为， 可得， 故， ， 位于抛物线， ， 令，，即． 第二卷（非选择题共76分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则代数式的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值．由已知得到，再将代数式变形后代入计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 10. 在如图所示的电路图中，任意合上一个开关，则小灯泡发亮的概率为___________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查概率公式，利用概率公式求解即可． 【详解】解：由题意得，四个开关，其中只有一个开关能使得小灯泡发亮， ∴小灯泡发亮的概率为， 故答案为：． 11. 密度计是一种重要的密度分析仪表，用于连续测量液体的密度，进而可以计算液体浓度、固液比等工艺参数，广泛应用于化工生产装置中，其检测精度和稳定性直接影响到产品质量．如图，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的函数，其函数关系的部分对应值如下表： 密度 1 2 3 4 … 高度 18 9 6 4.5 … 当液体密度时，浸在液体中的高度______． 【答案】##1.5## 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式和求自变量的值等知识．利用待定系数法求出函数解析式为，再把代入求解即可． 【详解】解：∵由表格数据可知，浸在液体中的高度h是液体的密度的反比例函数， ∴可设， ∵当密度计悬浮在密度为的水中时，， ∴， 解得 ∴， ∴当时，． 故答案为：． 12. 如图是一个矩形足球球场，为球门，于点，米某球员沿带球向球门进攻，在处准备射门已知米，米已知对方门将伸开双臂后，可成功防守的范围大约为米，此时门将站在张角内，双臂伸开且垂直于进行防守，刚好能成功防守，则的长为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理；过点作于，计算和的长，根据三角函数定理可得，解直角三角形求解即可． 【详解】解：如图，过点作于， 在中，，， 在中， 在中， 米， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，点为边上一点，连接，将沿折叠．点落至点处，连接、，线段交边于点，若．且，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，，由折叠的性质可得，结合可得，进而推得，然后结合，求得、的长度，再证明推出，最后通过设未知数表示相关线段利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， 由折叠得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴． 三、解答题（共7小题，满分61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 15. 先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】， 【解析】 【分析】先把化简得，再利用整体代入法求值即可．本题考查分式的化简求值，已知代数式的值求式子的值，掌握分式的化简求值的一般方法是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 原式． 16. 学校为探究辅助学习工具的反馈，从七、八年级各随机抽取20名学生进行使用满意度评分，随后将评分进行整理、描述和分析（评分为百分制且为整数，均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生评分在B组的数据为：80，83，84，85，87，88，88，89 八年级20名学生的评分是：65，68，70，72，74，76，78，80，82，82，84，86，86，86，88，90，92，93，94，94 七、八年级所抽取学生使用满意度评分统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 a 83 众数 78 b （1）上述图表中________，_______，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对辅助学习工具的满意度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级有600人，八年级有500人，请估计该校七、八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的总人数． 【答案】（1），， （2）八年级的学生对辅助学习工具的满意度更高，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义计算即可得出结果； （2）根据中位数和众数分析即可得出结果； （3）用乘以七年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的人数所占的比例，用乘以八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的人数所占的比例，再求和即可． 【小问1详解】 解：七年级20名学生评分在A组中的数据有（人），在D组中的数据有（人），在B组中的数据有8人，在C组中的数据有， 将七年级20名学生评分按照从小到大排列后的第10和11个数据是80，83，故； ∴，即； 八年级20名学生评分中出现次数最多的是86，故， 七年级20名学生评分在C组中的数据有， 【小问2详解】 解：八年级的学生对辅助学习工具的满意度更高，理由如下： 七、八年级所抽取学生使用满意度评分统计表可得，七、八年级的平均数相等，但八年级的中位数和众数均高于七年级的中位数和众数，故八年级的学生对辅助学习工具的满意度更高； 【小问3详解】 解：（人）， 故该校七、八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的总人数人． 17. 深圳某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元．在该产品的试销期间，为促销，企业决定：商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件． （1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？ （2）设商家一次购买这种产品x件，该企业所获的利润为y元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元 （2）当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，一次函数和一元一次方程的实际应用，理解利润、售价、销售量之间的关系是解本题的关键． （1）设商家一次购买该产品x件时，销售单价恰好为2600元，列方程求解； （2）由利润（销售单价成本单价）件数，及销售单价均不低于2600元，按，，三种情形列出函数关系式，然后根据一次函数和二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 设商家一次购买该产品x件时，销售单价恰好为2600元． ，解得：； 【小问2详解】 当时，， 此时，当时，（元）． 当时， ， 此时，当时，（元）． 当时，， 此时，当时，（元）． 综上所述，当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元． 18. 如图，是的直径，点在上，为的中点，连接，，，与相交于点H，过点作直线，交的延长线于点G． （1）求证：是的切线． （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，由点D为的中点，得垂直平分，因为，所以，即可证明是的切线； （2）连接，，由是的直径，得，则，可证明四边形是矩形，所以，由，得，则和都是等边三角形，求得，则，，由，得，由，求得，由即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接，交于点， ∵为的中点， 垂直平分， ∵， ， 是的半径，且， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接，，则，设交于点H， 是的直径， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∵，D为的中点， ， ， 和都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积是． 19. 若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”． （1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数； （2）已知关于的二次函数和，其中的图象经过点，与为“同簇二次函数”． ①求的值及函数的表达式； ②如图，点和点是函数图象上的点，点和点是函数图象上的点，且都在对称轴右侧，若轴，，求的值（只需直接写出答案）． 【答案】（1）和（答案不唯一） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）顶点坐标一致、开口方向相同，写出任意两个满足要求的二次函数即可； （2）①将点代入​的解析式，解方程求出的值，再将化为顶点式，确定其顶点坐标与开口方向，根据“同簇二次函数”的定义，确定的顶点，设出​的顶点式，利用解析式的已知常数项，求出二次项系数，即可得到​的表达式；②设点的横坐标为参数（，满足对称轴右侧要求），根据点在函数图象上，写出点坐标，利用“平行于轴的直线上的点纵坐标相等、垂直于轴的直线上的点横坐标相等”的性质，结合两个函数的解析式，依次求出、、三点的坐标，根据平行于轴的线段长度两端点横坐标之差，分别算出、的长度，代入即可求的值． 【小问1详解】 解：∵和的图象的顶点均为，且开口均向上， ∴和为“同簇二次函数”（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：①把代入，得，解得， ∴； ∵与为“同簇二次函数”，且的顶点为， ∴的顶点为， 即， ∴， ∴， ∴函数的表达式为； ②设点的坐标为， ∵轴， ∴点的坐标为， ∵轴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ， ∴． 20. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知等腰直角三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，纸片绕点逆时针旋转，连接，，证明：平分； 【深入探究】 （2）在（1）条件下，如图2，延长交于，求的长； 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）能，2或或或 【解析】 【分析】（1）可证明为等边三角形，得到，，再证明得到，据此可证明结论； （2）延长交于点，由等边三角形的性质得到，则，，进而求出；过点作于，则是等腰直角三角形，则，，解中， 得到，解得到，则； （3）分①当时，②当，③当时，三种情况画出示意图讨论求解即可． 【详解】（1）证明：由旋转性质得，， ∴为等边三角形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴平分； （2）延长交于点， ∵是等边三角形，平分， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， 过点作于，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∴； （3）①当时， 如图3-1所示，则， ∴此时三点共线， ∴ ， ∴； 如图3-2所示，当点D在延长线上时，此时满足， ∴， ∴； ②如图所示，当时，则， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴此时C、B、E三点共线， ∴， ∴； ③当时，过点A作于Q，交于N， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴． 综上所述，直角三角形的面积为2或或或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $