专题21.2《平行四边形》11大题型专项突破（期末复习）2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 以11大题型系统覆盖平行四边形性质、判定及三角形中位线应用，构建“概念理解-性质应用-判定推理-综合拓展”的完整逻辑链，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形性质应用|3题型/12题|含角度计算、周长面积求解、性质证明及实际作图|从边、角、对角线性质切入，层层递进至性质综合应用| |平行四边形判定应用|3题型/13题|包含判定条件选择、添加条件及构点成平行四边形|基于性质逆向推导判定方法，强化逻辑推理与空间观念| |性质与判定综合|2题型/8题|结合性质与判定进行复杂几何证明与计算|打通性质与判定的双向转化，提升综合解题能力| |三角形中位线应用|3题型/11题|涉及长度计算、证明及实际测量应用|以平行四边形为桥梁，延伸中位线定理的应用场景，培养应用意识|

专题21.2 平行四边形 【11大题型专项突破】 【题型1 利用平行四边形的性质求解】..................................................................................................... 【题型2 利用平行四边形的性质证明】..................................................................................................... 【题型3 平行四边形性质的其他应用】..................................................................................................... 【题型4 判断是否构成平行四边形】......................................................................................................... 【题型5 添一个条件成为平行四边形】..................................................................................................... 【题型6 与已知三点构成平行四边形的点】............................................................................................. 【题型7 利用平行四边形的性质与判定求解】......................................................................................... 【题型8 利用平行四边形的性质与判定证明】......................................................................................... 【题型9 与三角形中位线有关的求解问题】............................................................................................ 【题型10 与三角形中位线有关的证明】.................................................................................................. 【题型11 三角形中位线的实际应用】...................................................................................................... 题型1 利用平行四边形的性质求解 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在平行四边形中，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行四边形对角相等的性质，结合已知条件即可求出的度数． 【详解】解： 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 2．（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图在中，对角线，交于点O，且，，则的周长是_______． 【答案】18 【分析】由平行四边形的性质得到，，，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∵ ∴ ∴的周长是． 3．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，的周长为，，则的面积是____． 【答案】 【分析】根据平行四边形可设，再根据周长和面积建立二元一次方程组求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴ 设 ∵的周长为 ∴，则 ∵ ∴ ∴ 解得 ∴． 4．（2026·云南楚雄·一模）如图，E是平行四边形内部一点，连接，，，，若，则平行四边形的面积为____． 【答案】16 【分析】根据平行四边形的性质得到，，作，交AB于点F，延长交于点G，可知，根据面积法得到，即可求出平行四边形的面积． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 如图，作，交AB于点F，延长交于点G， ∴， ∴ ， ∴平行四边形的面积为． 题型2 利用平行四边形的性质证明 1．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点O，过点O且与分别交于点E、F．求证：． 【答案】见解析 【分析】先结合平行四边形的性质得，再证明，故，即可作答． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，点E、F分别为延长线上的点，且，连接，分别与相交于点G、H．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据平行四边形的性质得,可得，再证明，然后根据“角角边”证明结论即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形 , ． ， ，即． 在与中 ． 3．（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）如图，已知平行四边形，是的平分线，交于点E． (1)求证：； (2)若点E是的中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)55° 【分析】（1）由平行四边形和平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，等量代换可得，即可得出； （2）由平行四边形和平行线的性质得出，利用（1）中结论通过等量代换得出，根据等边对等角和三角形内角和定理可得，进而可得的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点O任意作直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形的周长为24 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，而，即要根据证明； （2）由全等三角形的性质得，，则，，再根据四边形的周长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，对角线，交于点O， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为24． 题型3 平行四边形性质的其他应用 1．（25-26八年级下·新疆昌吉·期中） 平行四边形具备多种独特的几何性质，在普通平行四边形中，下列说法错误的一项是（    ） A．两组对边互相平行 B．两组对边长度相等 C．相邻两个内角角度相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】根据平行四边形的定义和性质，判断各选项说法的正误即可. 【详解】解：∵根据平行四边形的定义和性质，平行四边形的两组对边互相平行，两组对边长度相等，对角线互相平分， ∴选项A 、B 、D说法均正确. ∵平行四边形相邻两个内角互补，和为，普通平行四边形不满足相邻内角相等，只有特殊平行四边形才具备该性质， ∴选项C说法错误. 2．（2026八年级下·上海徐汇·专题练习）兄弟俩共同承包一块平行四边形的土地，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口水井P，如图所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？请作图说明． 【答案】见解析 【分析】关键是掌握平行四边形是中心对称图形．先找出平行四边形的对称中心，过中心和P作直线即可． 【详解】解：如图所示 连接、相交于点O，则点O是平行四边形的对称中心。 过O、P作直线分别交、于E、F，则一人分四边形，另一人分四边形． 3．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）用圆规和无刻度的直尺完成下列作图（写出必要的作图说明．） 如图，P是内的一点，过点P作直线l交，于点M，N，使得． 【答案】见解析 【分析】作出平行四边形，使得点P是对角线的交点即可得解． 【详解】解：连接并延长，截取， 过点C作、; 得到，， 则四边形是平行四边形； 直线即满足． 4．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，的顶点坐标分别为，，，将平移至，使点与点重合． (1)画出平移后的，并写出点的坐标为_____； (2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是_____． 【答案】(1)图见解析， (2)或或 【分析】（1）先根据点和点的坐标确定平移方式，再描出点、，连接成三角形即可； （2）分类讨论，由平行四边形的性质结合平移方式确定点的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴平移方式为：向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， 如图所示： 由图可知，点的坐标为； （2）解：如图， ①当点在点的对面时， 由图可知，，， ∴点向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点， ∵， ∴点的坐标为； ②当点在点的对面时， 同理，点的坐标为； ③当点在点的对面时， 同理，点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 题型4 判断是否构成平行四边形 1．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：A、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C、有一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故此选项符合题意； D、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列条件中，能确定四边形是平行四边形的是（） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理，结合“同旁内角互补，两直线平行”的性质，逐项判断能否推出四边形两组对边分别平行即可得到结果． 【详解】解：、∵， ∴， ∵， ∴， 仅能得到一组对边平行，无法判定四边形是平行四边形，不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， 仅能得到一组对边平行，无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形两组对边分别平行， ∴四边形是平行四边形，故符合题意. 、由，，无法推出两组对边分别平行，也不满足平行四边形的判定条件，无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面给出四边形中，，，的度数之比，其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用到“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，只需判断四个选项中，对角所占的份数是否相等，即可得出结论． 【详解】解：两组对角分别相等的四边形是平行四边形， 若四边形为平行四边形，需要满足，，即四个角度数之比中，与的份数相等，与的份数相等， 观察四个选项，只有选项D满足上述条件，因此能判定四边形是平行四边形． 4．（25-26八年级下·四川广元·期中）下列条件：①；②；③；④．其中能判定四边形为平行四边形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐个分析判断即可． 【详解】解：如图： ① ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴四边形是平行四边形，故①符合要求， ② 四边形内角和为，∵，， ∴ ， ∴， ∴ ， 同理可得， ∴四边形是平行四边形，故②符合要求， ③ ，仅说明邻边相等，不能判定四边形是平行四边形，故③不符合要求． ④ ∵， ∴四边形是平行四边形，故④符合要求， 综上，符合条件的有个． 题型5 添一个条件成为平行四边形 1．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在四边形中，已知，添加一个条件，可使四边形是平行四边形．下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加，结合，可以根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B、添加，结合，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C、添加，结合，不可以判定四边形是平行四边形，例如等腰梯形也满足一组对边相等，另一组对边平行，故此选项符合题意； D、∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意． 2．（25-26八年级下·云南怒江·期中）如图，在四边形中，，请添加一个条件使四边形是平行四边形，可添加的条件是_____（只填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可． 【详解】解：添加， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 3．（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）如下图，在四边形中，，添加一个条件________，使四边形是平行四边形．（不需作其它辅助线） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：根据平行四边形的判定方法，可添加条件（或、等，合理即可）． 4．（25-26八年级下·北京·期中）如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 【答案】 （或或） 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当添加或或时， 可证得，， ∴四边形是平行四边形． 题型6 与已知三点构成平行四边形的点 1．（25-26八年级下·广东潮州·期中）如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合网格特点，利用平移的性质即可求解． 【详解】解：点B与点M，N，P，Q共线， ， 的长等于三个单位长度， 的对边长也应为三个单位长度， 由图可知，点M，N，P，Q中，只有的长等于三个单位长度， 能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是点N． 2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，D是平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D不可能在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先根据题意画出符合条件的三种情况，然后根据图形判断即可． 【详解】解：如图，分别过点A、B、C作对边的平行线，分别交于点， ∴可得， 由图可知，点D不可能在第三象限． 3．（25-26八年级下·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，．若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______________________． 【答案】或或 【分析】分三种情况，得出点的坐标，即可解决问题． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 4．（25-26八年级下·山东临沂·期中）平面直角坐标系中一个平行四边形的三个顶点的坐标分别，则第四个顶点的坐标可能是______． 【答案】 或或 【分析】本题分三种情况讨论，利用平行四边形的对边平行且相等，利用平移思想进行求解即可. 【详解】解：设已知三个顶点分别为，如图， 当以为平行四边形的一条边时，根据平行四边形的对边平行且相等， 可知，将点向左或向右移动3个单位长度，得到第四个点，分别为或； 当以为对角线时，则为平行四边形的一条边，将点先向左移动1个单位，再向下移动3个单位，得到点， 故点先向左移动1个单位，再向下移动1个单位，得到第四个点； 综上：第四个点的坐标可能为或或. 题型7 利用平行四边形的性质与判定求解 1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）平行四边形中，两条邻边长分别为6和10，与的平分线交于点，点是的中点，连接，则______． 【答案】或 【分析】分两种情形分别求解即可解决问题：①如图1中，当，时，延长交于．②如图2中，当，时；由三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质可以得出答案． 【详解】解：①如图1中，当，时，延长交于，过点F作，交于点G，交的延长线于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； ②如图2中，当，时，延长，交于点M，过点F作，交于点G，交的延长线于点H， 同理可证：，， ∴， ∵中，即， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∵，，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； 综上所述，的长为7或1． 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在等腰梯形中，，，，的周长为22．求：梯形的周长． 【答案】36 【分析】首先证明四边形是平行四边形，得到，，求出，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵的周长为22 ∴ ∴ ∴梯形的周长． 3．（2026·北京密云·一模）如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，得出，再证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得出，从而得出，根据，，得出，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴． 4．（25-26八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥，天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短，并计算由A经过天桥走到B的最短路线的长为______．（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直） 【答案】85 【分析】过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由经过天桥走到的路程为, 根据两点之间线段最短可知，此时路程最短． ∴， 过点作于点，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴由经过天桥走到的最短路线的长为． 题型8 利用平行四边形的性质与判定证明 1．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在平行四边形中，、分别是、上的点且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定的应用．解题的关键是利用平行四边形的性质得到平行关系和相等关系，再结合已知条件证明四边形的对边平行且相等，从而证明它是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， 又， ， 即，， 四边形是平行四边形． 2．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在平行四边形中，点和点是对角线上的两点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】连接交于点，根据平行四边形的性质可得，，结合已知得出，即可得证． 【详解】证明：连接交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先证明，得出，，再由平行线的判定可得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得结论； （2）根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到，，求得，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∵ ∴，即 在和中， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， 四边形是平行四边形，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ． 4．（25-26八年级下·吉林长春·期中）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②、过点C、M分别作的平行线，并交于点P．作射线． 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)证明：； (2)的大小为_______度，线段长度的最小值为_______ (3)如图③，长方形中，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值． 【答案】(1)证明：∵过点C、M分别作的平行线，并交于点P， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴. (2)； (3)10 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，结合已知条件即可得证； （2）根据平行线的性质，结合三角形的外角的性质，等边对等角，求出，根据垂线段最短得到当时，最短，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可； （3）过点作，交于点，延长至点，使，连接，则即为的最小值，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）证明：略. （2）解：∵在等边中，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ∵， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，最短，此时的值最小， ∵， ∴当时，， ∴线段长度的最小值为； （3）解：过点作，交于点，延长至点，使，连接， ∵长方形，，G是的中点， ∴，，，，， ∴四边形是平行四边形，垂直平分， ∴，，， ∴，， ∴当三点共线时，的值最小为的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为. 题型9 与三角形中位线有关的求解问题 1．（2026·陕西榆林·二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的顶点均在格点上，点、分别是、的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】、分别是、的中点， 为的中位线， ， 又， ． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，点为边上任意一点，点，点分别是，的中点，若，则的长为________． 【答案】3 【分析】根据平行四边形的性质可得，再根据中点的定义判定是的中位线，利用三角形中位线定理计算即可. 【详解】解：四边形是平行四边形， ； 点，点分别是，的中点， 是的中位线； . 3．（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的中点，如果，那么的周长是________． 【答案】10 【分析】由平行四边形性质可得，，，即是中点，从而可得是中位线，所以，求得，然后求周长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴是中点， ∵点是的中点， ∴是中位线， ∴， ∴， ∴的周长是． 4．（25-26八年级下·山东临沂·期中）已知：如图，在中，平分，，垂足为D，点G是的中点．若，，则长为多少？ 【答案】9 【分析】延长交于，证明，再证明，可得，结合点是中点，可得是的中位线，根据中位线的性质与全等三角形的性质可得结论． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中 ， ， ， 又点是中点， 是的中位线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型10 与三角形中位线有关的证明 1．（25-26八年级下·北京西城·期中）已知：在中，点D、E分别是、上的点，，且．求证：是的中位线． 【答案】 证明：延长到点，使，连接， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴是的中位线． 【分析】延长到点，使，连接，证明四边形是平行四边形，进而证明得出，，进而可得，结合，即可得证． 【详解】略 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）证明三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图，在中，，，． 求证：与互相平分． 【答案】 证明：如图，连接，， 在中，，，， ∴点，，分别是，，边上的中点， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 【分析】由三角形中位线定理得到，，，四边形是平行四边形，从而证得与互相平分，平行四边形对角线互相平分． 【详解】略． 3．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，点、分别是、的中点，点是延长线上的一点，且，连接、、，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据中位线的性质可得，结合已知可得，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得证 【详解】证明：∵点、分别是、的中点， ∴， ∵点是延长线上的一点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 4．（2026·河南安阳·二模）如图：在中，，点是的中点，点是的中点． (1)请用无刻度的直尺和圆规，在上作一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)所作图形如图所示， (2)∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【分析】（1）以点E为顶点，为一边，作即可； （2）证明是的中位线，得到，再利用等边对等角和等量代换求得，得到，根据平行四边形的判定定理即可证明． 【详解】（1）解：略； （2）证明：略． 题型11 三角形中位线的实际应用 1．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，然后测出的中点D，E，并测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约_____m． 【答案】36 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线． ∴根据三角形的中位线定理，得． 2．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A、B间的距离为（     ）m A．52 B．13 C．18 D．20 【答案】B 【分析】根据题意可得，是的中位线，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是的中位线，即， B选项符合题意． 3．（2026·四川南充·二模）用两个图钉将一根橡皮筋的两个端点，固定在墙面，拉动橡皮筋构成，，分别为，的中点，拉动点至的过程中，的长度（    ） A．增长 B．缩短 C．不变 D．增长或缩短 【答案】C 【分析】根据中点定义可知为的中位线，由定理可知．由于固定，长度不变，故长度不变． 【详解】解：点、点分别为，的中点， 是的中位线， ， ，为固定点， 的长度不变， 拉动点至的过程中，的长度不变． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.2 平行四边形 【11大题型专项突破】 【题型1 利用平行四边形的性质求解】..................................................................................................... 【题型2 利用平行四边形的性质证明】..................................................................................................... 【题型3 平行四边形性质的其他应用】..................................................................................................... 【题型4 判断是否构成平行四边形】......................................................................................................... 【题型5 添一个条件成为平行四边形】..................................................................................................... 【题型6 与已知三点构成平行四边形的点】............................................................................................. 【题型7 利用平行四边形的性质与判定求解】......................................................................................... 【题型8 利用平行四边形的性质与判定证明】......................................................................................... 【题型9 与三角形中位线有关的求解问题】............................................................................................ 【题型10 与三角形中位线有关的证明】.................................................................................................. 【题型11 三角形中位线的实际应用】...................................................................................................... 题型1 利用平行四边形的性质求解 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在平行四边形中，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图在中，对角线，交于点O，且，，则的周长是_______． 3．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，的周长为，，则的面积是____． 4．（2026·云南楚雄·一模）如图，E是平行四边形内部一点，连接，，，，若，则平行四边形的面积为____． 题型2 利用平行四边形的性质证明 1．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点O，过点O且与分别交于点E、F．求证：． 2．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，点E、F分别为延长线上的点，且，连接，分别与相交于点G、H．求证：． 3．（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）如图，已知平行四边形，是的平分线，交于点E． (1)求证：； (2)若点E是的中点，，求的度数． 4．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点O任意作直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 题型3 平行四边形性质的其他应用 1．（25-26八年级下·新疆昌吉·期中） 平行四边形具备多种独特的几何性质，在普通平行四边形中，下列说法错误的一项是（    ） A．两组对边互相平行 B．两组对边长度相等 C．相邻两个内角角度相等 D．对角线互相平分 2．（2026八年级下·上海徐汇·专题练习）兄弟俩共同承包一块平行四边形的土地，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口水井P，如图所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？请作图说明． 3．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）用圆规和无刻度的直尺完成下列作图（写出必要的作图说明．） 如图，P是内的一点，过点P作直线l交，于点M，N，使得． 4．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，△ABC的顶点坐标分别为，，，将△ABC平移至，使点与点重合． (1)画出平移后的，并写出点的坐标为_____； (2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是_____． 题型4 判断是否构成平行四边形 1．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列条件中，能确定四边形是平行四边形的是（） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面给出四边形中，，，的度数之比，其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·四川广元·期中）下列条件：①；②；③；④．其中能判定四边形为平行四边形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型5 添一个条件成为平行四边形 1．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在四边形中，已知，添加一个条件，可使四边形是平行四边形．下列错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·云南怒江·期中）如图，在四边形中，，请添加一个条件使四边形是平行四边形，可添加的条件是_____（只填一个即可）． 3．（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）如下图，在四边形中，，添加一个条件________，使四边形是平行四边形．（不需作其它辅助线） 4．（25-26八年级下·北京·期中）如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 题型6 与已知三点构成平行四边形的点 1．（25-26八年级下·广东潮州·期中）如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，D是平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D不可能在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26八年级下·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，．若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______________________． 4．（25-26八年级下·山东临沂·期中）平面直角坐标系中一个平行四边形的三个顶点的坐标分别，则第四个顶点的坐标可能是______． 题型7 利用平行四边形的性质与判定求解 1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）平行四边形中，两条邻边长分别为6和10，与的平分线交于点，点是的中点，连接，则______． 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在等腰梯形中，，，，的周长为22．求：梯形的周长． 3．（2026·北京密云·一模）如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 4．（25-26八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥，天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短，并计算由A经过天桥走到B的最短路线的长为______．（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直） 题型8 利用平行四边形的性质与判定证明 1．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在平行四边形中，、分别是、上的点且，求证：四边形是平行四边形． 2．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在平行四边形中，点和点是对角线上的两点，，求证：四边形是平行四边形． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的度数． 4．（25-26八年级下·吉林长春·期中）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②、过点C、M分别作的平行线，并交于点P．作射线． 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)证明：； (2)的大小为_______度，线段长度的最小值为_______ (3)如图③，长方形中，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值． 题型9 与三角形中位线有关的求解问题 1．（2026·陕西榆林·二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的顶点均在格点上，点、分别是、的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，点为边上任意一点，点，点分别是，的中点，若，则的长为________． 3．（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的中点，如果，那么的周长是________． 4．（25-26八年级下·山东临沂·期中）已知：如图，在中，平分，，垂足为D，点G是的中点．若，，则长为多少？ 题型10 与三角形中位线有关的证明 1．（25-26八年级下·北京西城·期中）已知：在中，点D、E分别是、上的点，，且．求证：是的中位线． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）证明三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图，在中，，，． 求证：与互相平分． 3．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，点、分别是、的中点，点是延长线上的一点，且，连接、、，求证：． 4．（2026·河南安阳·二模）如图：在中，，点是的中点，点是的中点． (1)请用无刻度的直尺和圆规，在上作一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)求证：四边形是平行四边形． 题型11 三角形中位线的实际应用 1．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，然后测出的中点D，E，并测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约_____m． 2．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A、B间的距离为（     ）m A．52 B．13 C．18 D．20 3．（2026·四川南充·二模）用两个图钉将一根橡皮筋的两个端点，固定在墙面，拉动橡皮筋构成，，分别为，的中点，拉动点至的过程中，的长度（    ） A．增长 B．缩短 C．不变 D．增长或缩短 1 学科网（北京）股份有限公司 $