精品解析：江苏苏州常熟市中学2025-2026学年高二下学期5月学习效果阶段调研数学试卷

2025~2026学年第二学期学习效果阶段调研卷（5月） 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 随机变量的方差是2，则随机变量的方差是（ ） A. 2 B. 8 C. 5 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，，. 2. 展开式中的系数为（ ） A. 504 B. 84 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，通过赋值法即可求得结果. 【详解】对，其展开式的通项公式，令，故的系数为. 故选：C. 3. 在空间直角坐标系内，已知平面经过点，且平面的一个法向量，则下列各点中，位于平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点位于平面内,可得,依次检验选项即可. 【详解】设点位于平面内,则,因为平面的一个法向量，， 所以, 即若点位于平面内,满足， 对于A，若，代入，不为，故A不正确； 对于B，若，代入，故B正确； 对于C，若，代入，不为，故C不正确； 对于D，若，代入，不为，故D不正确； 4. 将2个完全相同的黑球和4个完全相同的白球排成一排的排法种数是（ ） A. 15 B. 20 C. 30 D. 12 【答案】A 【解析】 【详解】将2个完全相同的黑球和4个完全相同的白球排成一排相当于将个球放入个位置中. 先从个位置中选个位置放入黑球，余下的个位置放入白球，所以共有种排法. 5. 函数存在大于1的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数导数，将问题转化为存在大于1的根，即存在大于1的解，即存在大于1的解，结合二次函数性质即可求得答案. 【详解】由题意知的定义域为， 则， 由存在大于1的极值点，可知存在大于1的根， 即存在大于1的解，即存在大于1的解， 而时，随x增大而增大，故， 故， 故选：B 6. 有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若表示取得次品的件数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用超几何分布即可求解. 【详解】由题意知的可能取值为，，，，服从超几何分布， 则. 7. 设为两个事件，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得，解得， 因为， 所以. 8. 苏州旅游局在中小学生春假期间选出6名学生去苏州博物馆、拙政园、虎丘做志愿者，规定：每名学生只能去一个地方，每个地方至少安排一名志愿者，若甲、乙两名学生去拙政园，则不同的安排方法的种数有（ ） A. 38 B. 42 C. 50 D. 56 【答案】C 【解析】 【详解】将甲、乙安排到拙政园，则剩余的4名学生需分配到苏州博物馆、拙政园、虎丘三个地方，且苏州博物馆和虎丘各至少有一人， 总分配方式有种，其中苏州博物馆为空的情况有种，虎丘为空的情况有种，苏州博物馆和虎丘都为空的情况有1种， 因此满足条件的不同的安排方法有种. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知离散型随机变量的分布列为： 且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用分布列的性质和期望公式可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可判断AB选项，可得出的分布列，利用方差公式可判断C选项，利用分布列的性质可判断D选项. 【详解】由分布列的性质和期望公式可得，解得， 所以离散型随机变量的分布列为 故， ，BCD都对，A错. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是函数定义域内的极小值点 B. 的单调减区间是 C. 若方程有两个不同的实根，则 D. 在定义域内有最小值，无最大值 【答案】AC 【解析】 【分析】先求导数，利用导数求解单调性，极值点，最值即可. 【详解】对于A，定义域为，，令可得， 当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以是函数的极小值点，A正确； 对于B，由A可知当时，，为减函数，所以的单调减区间是和，B不正确； 对于C，由前面分析，的单调减区间是和，增区间为，极小值为， 简图如下，由图可知，方程有两个不同的实根，则，C正确； 对于D，由选项C可知，在定义域内无最小值，也无最大值，D不正确. 11. 给定正整数，，进行次独立重复试验，每次试验成功的概率为，设事件表示第1次试验成功，事件表示前2次试验中恰有1次成功，事件表示次试验中恰有次成功，事件表示次试验中至少成功次，下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 对任意，事件与事件都不独立 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，，事件表示第1次试验成功，第2次失败，则， 故，A正确； 对于B，，事件表示第1次试验成功，剩余次恰有次成功， , 故，B正确； 对于C，表示第1次已成功，剩余次至少次成功的概率； 表示第 1 次已失败，剩余次至少次成功的概率； 显然在剩余次试验中需要达标次数越少越容易发生，故，C错误； 对于D，第1次成功且n次试验至少成功次剩余次试验至少成功次， 次试验至少成功次， 显然剩余次试验至少成功次次试验至少成功次， 故，即对任意，事件与事件都不独立，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，，两两之间夹角都是，展开后利用数量积的定义直接运算再开方即可得解. 【详解】由题意得单位向量，，且两两之间夹角为， 所以， ， 所以. 13. 甲乙兄弟二人与其他六位朋友以随机顺序排成一排照相，则两兄弟之间恰有三人的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先由排列数公式可得甲乙兄弟二人与其他六位朋友共8人排成一排的情况数目，进而分3步计算两兄弟之间恰有三人的情况数目，①甲乙兄弟二人，②从6名朋友中选3个，插在甲乙兄弟二人之间，③把甲乙兄弟二人和3名朋友看成一个整体和余下的3个朋友排列，由分步计数原理可得其情况数目，由等可能事件的概率计算可得答案． 【详解】甲乙兄弟二人与其他六位朋友共8人排成一排，有种情况， 要使得两兄弟之间恰有三人的，可以先排甲乙兄弟二人有种方法， 再从6名朋友中选3个，插在甲乙兄弟二人之间，有种方法， 再把甲乙兄弟二人和3名朋友看成一个整体和余下的3个朋友排列共种方法， 所以两兄弟之间恰有三人的情况有种， 所以其概率为. 14. 若一条直线经过曲线上一点，且与曲线在处的切线垂直，则称该直线为曲线在处的法线，已知存在一条直线，既是曲线的切线，又是该曲线的法线，则的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设该直线是曲线在点处的切线，同时是曲线在点处的法线，先对曲线求导，结合题意可得；同时切线斜率为，可推出，代入后整理得到，利用换元法整理为一元二次方程，结合判别式，即可求得答案. 【详解】由，得， 设存在一条直线，是曲线在处的切线，又是该曲线在处的法线，且， 则可得， 又这条直线的斜率为，即得， 化简得，即， 则，结合，得，即， 代入到中，得， 令，则，即，该方程存在非负实数根， 由于，故方程的两根为正数， 故，得， 解得， 故的最大值是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知且满足各项的二项式系数之和为256． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）448 （2）255 【解析】 【分析】（1）先由各项的二项式系数之和为256．可得，求得，再利用通项求解即可； （2）利用赋值法令，得，再令，得，再减去即可． 【小问1详解】 因为各项的二项式系数之和为256，所以，所以， 二项式展开式的通项为， 所以； 【小问2详解】 令，得， 令，得， 所以． 16. 甲，乙两小朋友参加“欢乐六一”游戏比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分，设一轮比赛中甲赢的概率为，乙赢的概率为，求： （1）在一轮比赛中，甲的得分的概率分布列（列表表示）； （2）在两轮比赛中，甲的得分的均值与方差． 【答案】（1）答案见解析 （2）甲的得分的均值与方差分别为 【解析】 【分析】（1）根据题意一轮比赛中，甲得分的可能取值为，分别求解概率即可得分布列； （2）甲在二轮比赛中的得分可能取值为，分别求解概率，根据均值与方程的定义求解即可得结论. 【小问1详解】 一轮比赛中，甲得分的可能取值为， ， 则的概率分布列为： 【小问2详解】 甲在二轮比赛中的得分可能取值为， ， ， ， ， 所以甲的得分的均值为， 甲的得分的方差为， 甲的得分的均值与方差分别为. 17. 如图，在直三棱柱中，平面，，为棱的中点，且． （1）求证：； （2）若平面和平面所成角为，求； （3）若三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且变化时，球的体积取到最小值，求此时直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）在直三棱柱中，平面，又平面，可得， 已知，且，故平面． 因为平面，所以． （2）1； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理求证； （2）设，结合空间向量知识，用表示平面和平面所成角的余弦值，进而列方程求解； （3）设外接球心，半径为，由表达与的关系，进而求出球的体积取到最小值时的值，在用向量法求直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 设，则，，，． 易求得平面的一个法向量为．平面的一个法向量为． 由题意： 解得，因，故，即． 【小问3详解】 直角的外接圆心为斜边中点． 设外接球心，半径为， 由可得： 解得． 球半径，当且仅当时，取得最小值，体积最小． 此时，且球心．所以，代入（2）中求出的法向量可得平面的法向量． 设所求角为，则： 直线与平面所成角的正弦值为． 18. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响． （1）当时，若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； （2）当时，甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望； （3）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望为； （3） 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式求解；（2）求出的可能值，再利用二项分布的概率求出分布列及期望. （3）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式求出概率，再结合已知建立不等式求解. 【小问1详解】 记事件为“甲答对了某道题”，事件为“甲自己答对”， 则，， 所以. 【小问2详解】 可能取值为0，1，2，3，4，甲答对某道题的概率， 则， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望. 【小问3详解】 记事件为“甲答对了道题”，事件为“乙答对了道题”， 其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为， 则， ， ， 所以甲答对题数比乙多的概率为： ，解得， 所以甲的亲友团答对的概率的最小值为. 19. 已知函数，其中，． （1）若，求的单调区间； （2）设，令，已知满足对任意都有两个不同的零点， （i）求的取值范围； （ii）若，1，成等差数列，证明． 【答案】（1）当时，在单调递减．当时，的单调减区间是，单调增区间是． （2）（i）； （ii）由（i）知先减后增，且由于，因此，结合题意知． 设，，则，代入得： 解之得 相加得 ． 因此等价于 ． 令，， 因此递减，因此成立． 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，结合导数研究函数单调性即可； （2）（i）由题可得，利用导数研究函数单调性，结合零点存在定理讨论即可求解； （ii）根据题意将问题转化为，结合导数研究函数的最值证明即可. 【小问1详解】 此时，． 若，则，在递减． 若，令，则，且时，时． 综上，当时，在单调递减． 当时，的单调减区间是，单调增区间是． 【小问2详解】 （i）由题意． ，设，则．因此递增． 又因为，且在上的值域是．因此有唯一解， 设为． 则时，时，因此在上单调递减，在上单调递增．且． 由于和时，因此有两个零点等价于，即对任意恒成立． 又，且满足，将代入得． 由于和一一对应，因此对任意恒成立． 令．则，从而在上，在上， 因此．因此．即的取值范围是． （ii）略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期学习效果阶段调研卷（5月） 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 随机变量的方差是2，则随机变量的方差是（ ） A. 2 B. 8 C. 5 D. 9 2. 展开式中的系数为（ ） A. 504 B. 84 C. D. 3. 在空间直角坐标系内，已知平面经过点，且平面的一个法向量，则下列各点中，位于平面内的是（ ） A. B. C. D. 4. 将2个完全相同的黑球和4个完全相同的白球排成一排的排法种数是（ ） A. 15 B. 20 C. 30 D. 12 5. 函数存在大于1的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若表示取得次品的件数，则（ ） A. B. C. D. 7. 设为两个事件，已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 苏州旅游局在中小学生春假期间选出6名学生去苏州博物馆、拙政园、虎丘做志愿者，规定：每名学生只能去一个地方，每个地方至少安排一名志愿者，若甲、乙两名学生去拙政园，则不同的安排方法的种数有（ ） A. 38 B. 42 C. 50 D. 56 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知离散型随机变量的分布列为： 且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是函数定义域内的极小值点 B. 的单调减区间是 C. 若方程有两个不同的实根，则 D. 在定义域内有最小值，无最大值 11. 给定正整数，，进行次独立重复试验，每次试验成功的概率为，设事件表示第1次试验成功，事件表示前2次试验中恰有1次成功，事件表示次试验中恰有次成功，事件表示次试验中至少成功次，下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 对任意，事件与事件都不独立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 13. 甲乙兄弟二人与其他六位朋友以随机顺序排成一排照相，则两兄弟之间恰有三人的概率是__________． 14. 若一条直线经过曲线上一点，且与曲线在处的切线垂直，则称该直线为曲线在处的法线，已知存在一条直线，既是曲线的切线，又是该曲线的法线，则的最大值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知且满足各项的二项式系数之和为256． （1）求的值； （2）求的值． 16. 甲，乙两小朋友参加“欢乐六一”游戏比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分，设一轮比赛中甲赢的概率为，乙赢的概率为，求： （1）在一轮比赛中，甲的得分的概率分布列（列表表示）； （2）在两轮比赛中，甲的得分的均值与方差． 17. 如图，在直三棱柱中，平面，，为棱的中点，且． （1）求证：； （2）若平面和平面所成角为，求； （3）若三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且变化时，球的体积取到最小值，求此时直线与平面所成角的正弦值． 18. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响． （1）当时，若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； （2）当时，甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望； （3）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值． 19. 已知函数，其中，． （1）若，求的单调区间； （2）设，令，已知满足对任意都有两个不同的零点， （i）求的取值范围； （ii）若，1，成等差数列，证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $