精品解析：宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市第一中学2026届高三考前模拟考试数学试题

青铜峡市第一中学2026届高三第四次模拟考试 数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数组1，2，2，4，5中加入3，6两个数之后，不变的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 2. 设集合，，若 ，则由实数组成的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的实轴长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知正项等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为（ ） A. B. － C. D. － 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为 ，乙组的合格率为 ．已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的 ， ．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件表示选取的该人测试合格，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，x为实数，下列选项中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在点处取得极大值 C. 的值域为 D. 在区间上单调递增 11. 设抛物线的焦点为，准线为.过的直线交于两点，过，作的垂线，垂足分别为，则（ ） A. B. 的最小值为2 C. 若为的中点，则 D. 点到上点的距离的最小值为3 三､填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分． 12. 设i是虚数单位，计算：______． 13. 若定义在上的奇函数满足时，，则________． 14. 如图，已知三棱锥和三棱锥均为正三棱锥，其中， ，则其内部能放入的最大的球的半径________． 四､解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，数列是等差数列，且． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 如图，在几何体中，四边形是菱形，，且，三角形是正三角形，平面 平面.点在平面上的投影为与的交点，且. （1）证明： 平面 ； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面 的距离. 17. 已知函数 （1）当时，求的极值； （2）当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交椭圆于、 ．两点，且在轴上方． （1）求的方程； （2）若，求直线的方程； （3）设点与点 关于坐标原点对称，直线与直线相交于点，求面积的最大值． 19. 2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于 的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为 ，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布的角度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）； ①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则 ， ， ．） （2）（ⅰ）从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件的利润是 元，一件B等品部件的利润是元，根据（1）的计算结果，试求x的值，使得每箱产品的利润最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青铜峡市第一中学2026届高三第四次模拟考试 数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数组1，2，2，4，5中加入3，6两个数之后，不变的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算原数组和加入3、6后的新数组的四个统计量，对比判断. 【详解】原数组（排序后），共个数据； 加入后新数组（排序后），共 个数据， 对于A：原平均数； 新平均数，平均数改变，A错误； 对于B：原数组共个数据，中位数为第 个数据，即 ； 新数组共 个数据，中位数为第个数据，即， 中位数改变，B错误； 对于C：原数组中 出现 次，其余数都只出现 次，众数为 ； 新数组中依然只有 出现 次，其余数都只出现 次，众数仍为 ，众数不变，C正确； 对于D：原数组方差， 新数组方差，D错误. 2. 设集合，，若 ，则由实数组成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合 ，列出方程，即可求解. 【详解】当时，方程无解，即 ，满足 ； 当时，由方程，解得，即， 因为 ，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 3. 双曲线的实轴长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求得，进而求得实轴长. 【详解】双曲线，对应， 所以，所以实轴长为. 4. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】根据平面向量平行的坐标性质，若，， 则，代入，得：， 即，解得或， 判断充分必要性：若，一定能推出，充分性成立； 若，还可以取，不能推出，必要性不成立， 因此是的充分而不必要条件. 5. 已知正项等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】令正项等比数列的公比为， 由题有，消得，解得 或， 又，所以 ，，则. 6. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理边化角，求出角，利用公式求面积即可. 【详解】由余弦定理得，又 得，又， 从而，又，所以 从而的面积. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性与函数值的正负，使用排除法求解. 【详解】令函数，定义域为， ，故是奇函数， 其图象关于原点对称，排除选项、， 当时， ，排除选项， 所以函数的图象大致为选项. 8. 已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为（ ） A. B. － C. D. － 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系以及两角差的余弦公式即可求解. 【详解】∵α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－， ∴sin α＝，sin(α＋β)＝， ∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为 ，乙组的合格率为 ．已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的 ， ．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件表示选取的该人测试合格，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先明确已知的先验概率和条件概率，结合乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式逐项分析判断. 【详解】由题意可得：，，，. 对于A，根据乘法公式，，故A正确. 对于B，根据乘法公式，，故B错误. 对于C，根据全概率公式，，故C正确. 对于D，根据条件概率公式，，故D错误. 10. 已知函数，x为实数，下列选项中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在点处取得极大值 C. 的值域为 D. 在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用二倍角正弦公式化简函数为，再结合正弦函数的性质逐一判断各选项. 【详解】， 对于A：，A正确； 对于B：当时，，，即此时，是函数的极小值，并非极大值，B错误； 对于C：的值域为，因此的值域为，C正确； 对于D：当时，，正弦函数在上单调递增， 因此在该区间单调递增，D正确. 11. 设抛物线的焦点为，准线为.过的直线交于两点，过，作的垂线，垂足分别为，则（ ） A. B. 的最小值为2 C. 若为的中点，则 D. 点到上点的距离的最小值为3 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，因为抛物线的焦点为，准线为， 所以，由抛物线的定义可知：，故A正确； 对于B，设直线的方程为 ， 联立，设， 所以 ， 由抛物线的定义可知： ， 当 时，的最小值为4，故B错误； 对于C，若为的中点，,, 因为所以，所以， 又因为 所以，故C正确； 对于D，设上任意一点为，则该点到的距离为： ， 当时，，故D错误. 三､填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分． 12. 设i是虚数单位，计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法及复数的乘方求解即可. 【详解】， 所以. 13. 若定义在上的奇函数满足时，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数的性质求出a， 再利用函数的奇偶性及题中所给解析式进行求解. 【详解】由题意知，解得， 因为，所以． 故答案为： 14. 如图，已知三棱锥和三棱锥均为正三棱锥，其中， ，则其内部能放入的最大的球的半径________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得该几何体内部能放入的最大的球为该几何体的内切球，利用等体积法可知：，分别计算出该几何体的体积以及表面积即可求解. 【详解】取的中心O，连接DO，EO，则DO，EO即分别为两个正三棱锥的高，易知D，O，E三点共线，连接AO，延长后与BC相交于点M，则为中点， ，，， ，，， 该几何体内部能放入的最大的球为该几何体的内切球，其半径为， 由题意可得：， 又， 则， 由等体积法可知：，所以可得． 四､解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，数列是等差数列，且． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，， 当时，， 经检验，时符合上式， 所以，． 由上可知，， 设的公差为，则， 所以，， 即． 【小问2详解】 由(1)得， 则数列的前项和为： ， ， ， ， 所以，数列的前项和． 16. 如图，在几何体中，四边形是菱形，，且，三角形是正三角形，平面 平面.点在平面上的投影为与的交点，且. （1）证明： 平面 ； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面 的距离. 【答案】（1）证明：在菱形中，对角线互相垂直，所以， 因为 在底面上的投影为，所以 平面， 又 平面，故 . 又平面 ，平面 ， ， 所以 平面 . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由菱形性质得 ,再由投影得 底面 ,故 ；因 与 交于 且共面,从而证得 平面 . （2）方法一:以菱形对角线交点 为原点, 分别为轴建立空间直角坐标系,求出各点坐标与 等向量,设平面 的法向量 并由线线垂直列方程求解,再利用线面角公式 计算正弦值. 方法二:作 得正三角形 的高 ，利用 将 与平面 的线面角转化为 与平面 的线面角,用等体积法 求点 到平面 的距离 ，再由线面角定义 计算正弦值. （3）方法一：先设出平面 的法向量,根据法向量与平面内两向量 、 垂直列出方程组,对未知量赋值求出具体法向量,再选取从平面内一点指向点 的向量 ，最后代入点到平面的向量距离公式,计算模长与数量积得到点 到平面 的距离. 方法二：先由 得四点共面,将点 到平面 的距离转化为到平面 的距离；取 中点 ，证明面面垂直,作 得到垂线段 即为所求距离；再用余弦定理与等面积法求出 、 ，最后在三角形中算得 . 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一： 由 ，，得，，， 如图1，作于点，则. 因为平面 平面，交线为，所以平面. 以为原点，，，所在的直线分别为，， 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，， ， . 所以 ， ， . 设平面的法向量为 ， 则，即 令，得 ，故 . 设直线与平面所成的角为 ，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 方法二： 如图2，过点作 于点，因为三角形为正三角形，所以为中点. 由平面 平面 ，平面 平面 , 平面 .故 平面 . 由 平面 ， 平面 ，故 . 由勾股定理得 ，可得. 连接，则. 因为 面， 面. 所以 且 ，即四边形 为平行四边形. 所以 ，因为、分别为、中点 所以 ，所以 . 所以与平面所成角的正弦值即为与平面所成角的正弦值.， 在中， . 所以. 设点 到平面的距离为，则. 即 ，所以. 故所求正弦值为. 【小问3详解】 方法一： 设平面 的法向量为 ， 则即 令，得 ，故 ， 又 ， 所以点 到平面 的距离. 方法二： 由（2）方法二可得 ，所以， ， ， 四点共面， 所以点 到平面 的距离即为点 到平面 的距离. 如图2，取的中点，连接，. 因为三角形和三角形 都是正三角形 所以，所以 ，同理 ， 又 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 . 作 于，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，所以 即为所求距离. 在中， ，由（2）方法二可得 在中由余弦定理可得 . 解得，所以. 解得，同理在中由余弦定理和等面积法可得. 所以. 设边上的高为，则. 解得. 17. 已知函数 （1）当时，求的极值； （2）当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2）当时，在上单调递减，最小值是；当 时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为 ；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是 . 【解析】 【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性，结合极值定义可求得结果； （2）求导后，分别讨论、和时在上的单调性，进而确定最小值. 【小问1详解】 当时，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由得：， ，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； ①当，即时，在上单调递减， 此时的最小值为； ②当，即 时，在上单调递增，在上单调递减； ，，， 当时，，此时； 当时，，此时； ③当，即时，在上单调递增， 此时的最小值为； 综上所述：当时，在上单调递减，最小值是；当 时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为 ；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是 . 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交椭圆于、．两点，且在轴上方． （1）求的方程； （2）若，求直线的方程； （3）设点与点关于坐标原点对称，直线与直线相交于点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 或 （3） 【解析】 【分析】（1）求出、的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）分析可知直线不与轴重合，设直线的方程为 ，设点、，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程； （3）由题意可知，设点，将直线、的方程联立，可求出点的纵坐标，结合韦达定理可求得的取值范围，结合三角形的面积公式可求得结果. 【小问1详解】 由题意可得，该椭圆的离心率为，可得， 所以， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 若直线与轴重合时，则轴经过，，不符合题意； 设直线的方程为 ，设点、， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以 ，解得， 故直线的方程为或， 即 或. 【小问3详解】 由题意可知，设点， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立可得，即， 解得， 由（2）可得， 所以， 当且仅当 时，等号成立，即， 故的面积为， 即面积的最大值为. 19. 2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为 ，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布的角度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）； ①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则 ， ， ．） （2）（ⅰ）从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件的利润是 元，一件B等品部件的利润是元，根据（1）的计算结果，试求x的值，使得每箱产品的利润最大. 【答案】（1） （2）（ⅰ） 期望 ；（ⅱ）时利润最大. 【解析】 【分析】（1）根据直方图先算出平均值，进而得到正态分布，利用正态曲线的对称性求出概率 即可； （2）（ⅰ）求出指标值在和的总件数，在的件数，然后根据步骤结合超几何分布的公式计算； （ⅱ）设设每箱产品的利润为，其中有件等品，用表示出的关系式，得到利润表达式，最后利用导数的工具求出关于利润函数时取最大值时的取值. 【小问1详解】 根据直方图可得， ， 由题知 ， ，则， 等品的质量指标值不小于， 即 . 【小问2详解】 （ⅰ）指标值在和的总件数为 ， 指标值在的件数是， 由题知，可能的取值是 . ，， ，， 分布列为： . （ⅱ）设每箱产品的利润为，其中有件等品， 由题知， ， 由（1）知，等品的概率为 ， 则 ，于是 ， ， 记 ， 则 ， 则 递增， 递减， 故当时利润最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $