精品解析：宁夏青铜峡市宁朔中学2026届高三第二学期考前模拟数学试题

青铜峡市宁朔中学2025-2026学年第二学期 高三年级第三次模拟数学 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项正确答案.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 3. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，以及不等式的性质和充分必要条件的定义判断即可. 【详解】若，根据对数函数的单调性可知，则，即充分性成立； 若，可得，，即必要性成立. 故“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 5. 在中，内角的对边分别为，若，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由余弦定理得，则， 故的面积为. 6. 某公司为了调查员工的健康状况，用按性别比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，若样本中有21名男员工，39名女员工，女员工的平均体重为50kg，标准差为6；男员工的平均体重为70kg，标准差为4，则所抽取的所有员工的体重的方差为（ ） A. 29 B. 81 C. 120 D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求平均数，再结合分层抽样的方差公式计算样本的方差. 【详解】设女员工的平均体重为，方差为，男员工的平均体重为，方差为，则， 所以所抽取的所有员工的平均体重为， 所以所抽取的所有员工的体重的方差为： . 7. 在二项展开式中，前三项的系数成等差数列，则实数的值是（ ） A. 或7 B. 2或7 C. 或14 D. 2或14 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式先求，再由等差中项即可求解. 【详解】令，得，由， 所以，， 因为成等差数列，所以， 所以，所以，即， 解得或. 8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，设为的内切圆圆心，若的面积为，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合余弦定理和三角形面积公式得到椭圆焦点三角形的面积公式，根据已知条件即可得，再利用得到内切圆半径，最后利用三角形面积也等于半周长乘以内切圆半径得到关于的等式，求解即可得离心率. 【详解】设， 根据椭圆定义有，在中，由余弦定理可得 ， 即，整理得， 又的面积，由 可得，结合已知条件有，所以， 点为内切圆圆心，所以是的角平分线，设内切圆半径为， 作，垂足为，则， 同时由等面积法可知， 整理得，进而得到， 故的离心率为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.） 9. 在中，角的对边分别是，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】应用余弦定理计算判断A，D，应用面积公式计算判断B，应用正弦定理求解判断C. 【详解】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式，故B正确； 对于C，根据正弦定理，可得，故C不正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确. 10. 如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，为的中点，则（ ） A. 平面 B. 为等边三角形 C. 平面 D. 圆锥的侧面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由圆锥的性质和几何关系，利用中位线定理判断线面平行，结合母线长与余弦定理判断三角形形状，再通过圆锥侧面积公式直接计算；对于选项C，采用反证法，假设线面垂直推出线线垂直，再通过计算三角形边长验证矛盾，从而判定该选项错误。 【详解】 对于A，因为分别是的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面，A正确； 对于B，在中，，，， 在中，，，， 在中，，，， ， 所以，所以为等边三角形，B正确； 对于C，连接，假设平面， 因为平面，平面，所以 在中，，，， 所以，所以为等腰三角形， 故与不垂直， 这与矛盾，因此假设不成立，C错误； 对于D，根据圆锥侧面积公式，所以圆锥的侧面积为，D正确． 11. 声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为，记，则（ ） A. 在区间上有3个零点 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】令求出零点判断A，根据反例判断B，利用判断C，结合导数求最值判断D. 【详解】对于A，令，则，即， 故或，而，故，故A正确； 对于B，， 此时，， ，故的最小正周期不为，故B错误； 对于C， ， 故的图象关于点中心对称，故C正确； 对于D，， 因为， 故为周期函数，且周期为， 设，则 ， 令，则或或或或或， 当或或或时，， 当或或时，， 故在，，，上均为增函数， 在，，上均为减函数， 而，， ，， 故，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 设i是虚数单位，计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法及复数的乘方求解即可. 【详解】， 所以. 13. 已知点为函数图象上的两个相邻对称中心，则的最小正周期为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的图象与性质，分析即可得答案. 【详解】由题意可知，，则的最小正周期． 14. 已知函数．给出下列四个结论： ①曲线是中心对称图形； ②当时，曲线在曲线的上方； ③当时，； ④设正实数分别是的零点，则． 其中正确结论的序号是___________ 【答案】①②④ 【解析】 【分析】令，利用奇偶性的定义与图象的平移可判断①；令，因式分解可判断②；利用作差法比较数的大小可判断③，利用导数的意义与根的存在性定理可得，，，结合②，可得，同理判断，可判断④. 【详解】因为，所以令， 可得的定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以关于原点对称， 又的图象向下平移个单位得到的图象， 所以曲线的图象关于点成中心对称图形；故①正确； 令 ，当时，， 所以当时，曲线在曲线的上方，故②正确； 因为， 所以 ， ， 所以 ， 当时，，此时，故③错误； 因为， 所以在上单调递增，又， 所以只有唯一零点，且，同理可得， 当时，，且，， 所以函数有唯一零点，且， 由②知当时，曲线在曲线的上方，故， 当时，令 ， 即曲线在曲线的下方，故， 所以，故④正确. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.） 15. 学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： （2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： （3）若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 【答案】（1）2 （2）71， （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图各矩形所表示频率之和为1，可得，据此可得答案； （2）由频率分布直方图计算平均数，中位数方法可得答案； （3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件B，乙复赛获优秀等级为事件C，方法1，由可得答案；方法2，由对立事件概率关系可得答案. 【小问1详解】 由，得， 则成绩不高于60分的人数为：， 成绩不高于50分的人数为：， 则从不高于60分的人中抽5人，其中不高于50分人数为：； 【小问2详解】 平均数. 因为在内共有80人，则中位数位于内，设中位数为， ，解得； 【小问3详解】 记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件B，乙复赛获优秀等级为事件C，则 方法1，，则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 法二：.则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 16. 已知数列为等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）定义数列满足递推公式．求数列的前项和； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用定义求解首项，公差，可得通项公式. （2）利用错位相减法求和. 【小问1详解】 设数列首项为，公差为，依题有， 即 ，解得． 所以. 【小问2详解】 因为，即，而， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，则， 所以. 而， 则， 两式相减得： . 所以． 17. 已知椭圆E：的右焦点为，过E的右顶点A和下顶点B的直线的斜率为． （1）求E的方程． （2）若直线与E交于M，N两点（均异于点B），记直线BM和直线BN的斜率分别为，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列出关于的两个方程，再解出即可； （2）将直线和椭圆联立，利用韦达定理即可化简并求出结果. 【小问1详解】 由有；而，，故. 所以，从而，故. 所以的方程是. 【小问2详解】 设，，将直线与联立：. 将直线代入椭圆，得到. 展开即为. 故，. 由于不在直线上，故，即， 从而 . 所以. 18. 如图，在多面体中，四边形为正方形，且平面． （1）求证：； （2）若，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得多面体唯一确定，求平面与平面夹角的余弦值． 条件①：直线与平面所成角为； 条件②：的面积为; 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）证明见解析 （2）选条件①②， 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质，可证，根据线面垂直的性质定理，可证，根据线面垂直的判定及性质定理，即可得证. （2）若选条件①：如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，根据线面角的向量求法，可得F点坐标，求出平面与平面的法向量，根据二面角的向量求法，即可得答案；若选条件②：如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，根据向量夹角公式及面积公式，可得F点坐标，求出平面与平面的法向量，根据二面角的向量求法，即可得答案；若选条件③，如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，根据，列式求解，t值不唯一，不符合题意. 【小问1详解】 因为四边形为正方形，所以． 因为平面，平面，所以． 因为，所以共面． 又，平面，所以平面， 因为平面，所以． 【小问2详解】 四边形为正方形，且平面，所以易得两两垂直． 选条件①： 以为原点，分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系． 由得：， 由，设，所以， 直线与平面所成角为，易得平面的一法向量为． 故，解得（舍去负值）， 设平面的法向量．向量，． 由法向量定义得方程组：，． 解得，取，则． 设平面的法向量．向量，． 由法向量定义得方程组：，． 令，则，，即． 设平面夹角为，则． 平面与平面夹角的余弦值为 选条件②： 以为原点，分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系． 由得：， 由，设， 所以， ，， ， 解得（舍去负值） 设平面的法向量．向量，． 由法向量定义得方程组：，． 解得，取，则． 设平面的法向量．向量，． 由法向量定义得方程组：，． 令，则，，即． 设平面夹角为，则． 平面与平面夹角的余弦值为 选条件③： 以为原点，分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系． 由得：， 由，设． 由，得恒成立． 此时多面体并不唯一确定，因此条件③无效． 19. 已知函数，. （1）若，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若有两个零点，且，求证：. 【答案】（1）递减区间是，递增区间是； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间. （2）等价变形不等式并分离参数，构造函数，再利用导数求出此函数的最大值即得. （3）求出的范围，由函数零点的意义可得，两式相减并令，求得，再构造函数，利用导数探讨单调性即可推理得证. 【小问1详解】 当时，函数，求导得， 当时，，当时，，即在上递减，在上递增， 所以函数的递减区间是，递增区间是. 【小问2详解】 不等式，令， 求导得，当时，，当时，， 即函数在上递增，在上递减，因此，则， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 由，得，由（2）知，是直线与函数图象的两个交点的横坐标， 而，当时，恒成立，因此有两个零点时，， 由两边取对数得，于是， 则，整理得， 令，由，得，即有， 则，解得，由，得， 因此，令，求导得， 令，求导得，即在上单调递增， 当时，，即，函数在上单调递增，， 于是，所以. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： ①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； ②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． ③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青铜峡市宁朔中学2025-2026学年第二学期 高三年级第三次模拟数学 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项正确答案.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在中，内角的对边分别为，若，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 某公司为了调查员工的健康状况，用按性别比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，若样本中有21名男员工，39名女员工，女员工的平均体重为50kg，标准差为6；男员工的平均体重为70kg，标准差为4，则所抽取的所有员工的体重的方差为（ ） A. 29 B. 81 C. 120 D. 160 7. 在二项展开式中，前三项的系数成等差数列，则实数的值是（ ） A. 或7 B. 2或7 C. 或14 D. 2或14 8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，设为的内切圆圆心，若的面积为，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.） 9. 在中，角的对边分别是，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 10. 如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，为的中点，则（ ） A. 平面 B. 为等边三角形 C. 平面 D. 圆锥的侧面积为 11. 声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为，记，则（ ） A. 在区间上有3个零点 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 设i是虚数单位，计算：______． 13. 已知点为函数图象上的两个相邻对称中心，则的最小正周期为______． 14. 已知函数．给出下列四个结论： ①曲线是中心对称图形； ②当时，曲线在曲线的上方； ③当时，； ④设正实数分别是的零点，则． 其中正确结论的序号是___________ 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.） 15. 学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： （2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： （3）若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 16. 已知数列为等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）定义数列满足递推公式．求数列的前项和； 17. 已知椭圆E：的右焦点为，过E的右顶点A和下顶点B的直线的斜率为． （1）求E的方程． （2）若直线与E交于M，N两点（均异于点B），记直线BM和直线BN的斜率分别为，证明：． 18. 如图，在多面体中，四边形为正方形，且平面． （1）求证：； （2）若，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得多面体唯一确定，求平面与平面夹角的余弦值． 条件①：直线与平面所成角为； 条件②：的面积为; 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 已知函数，. （1）若，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若有两个零点，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $