2025--2026年苏科版八年级数学下学期期末专项复习--四边形中的最值问题

**基本信息** 聚焦四边形中最值问题，通过构造转化、对称变换等方法体系，系统整合菱形、正方形、矩形性质与动态几何逻辑，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|20题（选择10+填空10）|轴对称转化、垂线段最短、定长轨迹|从特殊四边形性质（对角线、中点）出发，结合单动点路径分析，构建“定点-动点-对称点”模型| |综合探究|3题|构造平行四边形/全等三角形、线段拼接、动态轨迹推理|双动点问题转化为单动点，通过图形变换（翻折、旋转）实现“折线化直”，衔接中考高频最值模型|

2026年苏科版八年级下学期期末专项复习--四边形中的最值问题 一、选择题 1．如图，在菱形中，，，Q为的中点，P为对角线上的任意一点，则的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接．证明，可得，解直角三角形求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 2．如图，在菱形中，，E是边的中点，P是边上一动点，的最小值是，则的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D．0.5 【答案】D 【分析】找出点关于的对称点D，连接，则就是的最小值，进而可求出的值即可求出的最小值． 【详解】解：连接交于P，连接， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得关于对称，则， ∴，， 即就是的最小值， ∵， ∴是等边三角形， ∵E是边的中点 ∴， ∴（等腰三角形三线合一的性质） 在中，， ∴， ∴． ∴ 当时最小 ∵ ∴ 故选：D 【点睛】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题和菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的性质和利用轴对称求解的方法． 3．如图，在菱形中，对角线，，点M、N分别是边、边上的动点，点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．9.6 【答案】B 【分析】作关于的对称点，连接，．当三点共线，且垂直于，最小，求出菱形的面积，再利用等面积法进行求解． 【详解】解：作关于的对称点，连接，， ∵四边形是菱形， ∴四边形关于对称， ∴点的对称点在上， ∴，且当时，最小，即最小， ∴当点三点共线，且时，取得最小值， ∵四边形是菱形， ∴， ，， ， ， ， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，垂线段最短以及轴对称的性质，熟练掌握知识点，正确找到最小时是解题的关键． 4．已知正方形边长为12，，与交于点P，点Q为中点，则最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据已知证明，根据角度关系，得到是直角三角形，是斜边中线，得到；也是的斜边，设直角边，利用勾股定理，将转换为关于x的二次函数，从而得到关于x的二次函数，求此二次函数的最小值的算术平方根，即可得到结果． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形，是斜边， 点Q为中点， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得 化简得， ∴， 时，． 5．如图，在菱形中，对角线，，点分别是边边上的动点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，对称轴最短路径的计算，勾股定理等知识的运用，掌握菱形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键． 如图所示，在上取一点，使得，连接，，过点作于点，根据菱形的性质可得点关于的对称点为点，，则有，的最小值为的长度，在中，根据勾股定理可得，结合，即可求解． 【详解】解：如图所示，在上取一点，使得，连接，，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴点关于的对称点为点，， ∴， ∴， ∴的最小值为的长度， 设菱形的对角交于点，则， ∴在中，， ∴， ∴， 故选：D ． 6．如图，在矩形中，，，M是平面内的一动点，，N是对角线的中点，连接，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】取的中点O，连接，由题意易得，，然后根据三角形三边不等关系进行求解即可． 【详解】解：取的中点O，连接，如图所示： ∵在矩形中，，N是对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，O是的中点， ∴， 根据三角形三边不等关系可得：，则有当点O、M、N三点共线时，有最小值，最小值为． 7．如图，正方形的边长为3，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动．将绕点E旋转，使与重合，得到，连接，得到．则点G在垂直于的直线上．作，由垂线段最短可知，的长即的最小值．作，则四边形为矩形，求出．，得出，最后根据，即可求解． 【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动．将绕点E旋转，使与重合，得到，连接， 由旋转可得， ∴，， ∴为等边三角形． ∴，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴点G在垂直于的直线上． 作，由垂线段最短可知，的长即的最小值． 作，则四边形为矩形， ∴，， ∴． ， ， ∴，即的最小值为2． 8．如图，正方形的边长是5，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据可得，则，．延长至G，使，则G点与A点关于直线对称，连接交于， 此时的长就是的最小值．求出的长即可得解． 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，以及将军饮马．正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴, ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长至G，使，则G点与A点关于直线对称， 连接交于，连接， 则， 此时，的值最小，最小值为的长， ∵,， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 9．如图，线段，是线段上一动点，分别以和为边在同侧作菱形和菱形，且，，在同一条直线上，，连接，取的中点，连接，，以下说法正确的是（    ）    A．的长不会随着P点的运动而变化，始终为 B．的长随着P点的运动而变化，其最小值为 C．的长不会随着P点的运动而变化，始终为 D．的长随着P点的运动而变化，其最小值为 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的应用，直角三角形的性质．先证，由直角三角形的性质可得，由勾股定理和平方的性质可求的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，   菱形和菱形，， ，，，，， ，， ，， ，是等边三角形， 点是的中点， ， 设，则， 是等边三角形， ， ，， 作交的延长线于点，    ∴，， ∴， ∴， ∵， ， ， ， 当时，有最小值为， 的最小值为， 故选：D． 10．综合与实践课上，“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小宁同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点，又在边上任取一点，再将沿折叠得到，连结，小宁同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在边上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动； ②的最大值为24； ③的最小值为16； ④达到最小值时，．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），勾股定理．根据折叠的性质得到，根据圆的定义得到点在以N为圆心，为半径的圆上，故①正确；连接，根据勾股定理得到，根据三角形的三边关系得到，，结合点M在上，判断②③正确；根据勾股定理即可判断④正确． 【详解】解：如图1，连接， ∵将沿折叠得到， ∴， ∵点N为的中点，， ． ∴当点M在边上运动时，点在以N为圆心的圆弧上运动， 故①正确； 在中，， ∵， ∴， ∴的最小值为16， 故③正确； ∵，且M在上， ∴， ∴的最大值为24， 故②正确； 如图2， 当共线时，的值最小，最小为； ∴， 设，则，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即， 故④正确， 综上，结论中正确的个数4个， 故选：D． 二、填空题 11．正方形的边长为6，点E是边上一个动点，连接，作垂直，且，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】如图，过点F作交的延长线于点G，连接，证明，得到，，然后证明是等腰直角三角形，得到，点F在射线上运动，当时，取得最小值，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点F作交的延长线于点G，连接 ∵正方形的边长为6 ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴点F在的平分线上运动 ∴当时，取得最小值 ∴此时是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ ∴的最小值为． 12．如图，正方形的边长为3，点E在上，且，P是对角线上的一个动点，则的最小值为 _________． 【答案】 【分析】根据正方形性质可知点B与点D关于对称，可得，由三角形三边关系可得，求出长是最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴点B与点D关于对称， ∴， ∵， ∴， 即长是最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为． 13．如图，线段，C是线段上的动点，以，为边在上方作等边和等边，的周长的最小值为______． 【答案】30 【分析】过点作的垂线，设垂足为，过点作于点，由等边三角形的性质可得，则，将的周长转化为求解即可． 【详解】解：过点作的垂线，设垂足为，过点作于点 则四边形为矩形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ， 当点与的中点重合时取等， 即周长最小值为． 14．如图，在矩形中，，点是边上一个动点，连接，过点作于点，则的最小值为______． 【答案】4.8 【分析】利用矩形性质确定的面积为定值，结合三角形面积公式得出，由此可知当取最大值时，取得最小值，再根据点在上的位置求出的最大值，进而计算的最小值． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是矩形， ∴，，． ∵， 又∵， ∴， ∴，即． ∵点在上运动， ∴当点与点重合时，取得最大值． 在中，， ∴当时，取得最小值，． 15．如图，在菱形中，对角线，， 点E、F 分别是边、的中点， 点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是________ 【答案】 【分析】设交于O，作E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小，根据菱形的性质推出N是中点，P与O重合，推出，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：设交于O，作E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵E为的中点， ∴N在上，且N为的中点， ∵， ∴， ∵，N为中点，F为中点， ∴， ∴， ∴， 即P为中点， ∵O为中点， ∴P、O重合， 即过O点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， 由勾股定理得：， 所以，的最小值为． 16．如图，在四边形中，，，，点、分别为边上的点、且，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，两点之间线段最短，通过平移转化线段是解题关键． 先通过条件得出是等边三角形且垂直平分，再将向左平移个单位转化为，把转化为，最后根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理算出的最小值． 【详解】解：如图，连接，将向左平移两个单位得到，则，， ，， 是等边三角形， ， ，， 垂直平分， ， ， 当、、共线时，最小，最小值为， ，， ， ，， ． 故答案为：． 17．如图，在中，，，点D是上的动点，连接，在右侧作菱形，，点G是的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过点A作于点O，取点H为的中点，连接，证明，则的最小值即为的最小值．当时取最小值，证明的长为，所以根据勾股定理求出的长，则的最小值即为的长． 【详解】解：如图，过点A作于点O，取点H为的中点，连接， 则， 点G是的中点， ， 在菱形中，，， ， ， 即， ， ， 则当最小时，最小， 如图，当时，取最小值， 点是的中点，， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， 即最小值为． 18．如图，中，，，点D在边上，以，为邻边作，则长度的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形性质，垂线段最短，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，解题的关键在于根据题意找出长度最小时所在位置． 过点作于点，根据平行四边形性质和垂线段最短，推出当与重合时， 的长度最小，再利用勾股定理，以及直角三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：点D在边上，四边形为平行四边形， 为的中点，， ， 要使的长度最小，即的长度最小， 过点作于点， 当与重合时，据垂线段最短可知，此时的长度最小， ，， ， ， ， ， ， ， 长度的最小值是； 故答案为：． 19．如图，在菱形中，，对角线．点、点分别是、上动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】如图，连接交于，连接、，过点作于，则此时的值最小，最小值为的长，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，继而得到，再根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，连接交于，连接、，过点作于， ∵在菱形中，，对角线， ∴，，， ∴，垂直平分， ∴，， ∴，当点与点重合、点与和的交点重合时取“”， 此时的值最小，最小值为的长， ∵，即， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，垂线段最短，两点之间线段最短，等积变换等知识点，解题的关键是能利用垂线段最短解决最短问题，能利用面积法求高． 20．如图，在菱形ABCD中，，对角线，相交于点O，点M在线段上，且，点P为线段上的一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】过P点作于H，过M点作于N，如图，根据菱形的性质得到，平分，，再判断为等边三角形得到，则，所以，则，所以的最小值为的长，然后利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理求出即可． 【详解】解：过P点作于H，过M点作于N，如图， ∵四边形为菱形， ∴平分， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 当M、P、H共线时，的值最小，即的最小值为的长， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 21．如图，在中，， (1)求度数． (2)点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． (3)在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)存在，． 【分析】（1）取的中点，连接、，则，证明是等边三角形得出，再由等边对等角结合三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）得出的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆．结合当点在线段上时，线段最小，即可得解； （3）作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求，当、、共线时，的值最小，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：取的中点，连接、，则， ，，， 是等边三角形 ∴， 又， ∴， ． （2）解：∵到点的距离等于， ∴的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆． 当在线段上时，线段最小， 由（1）可得， ∴， 即线段长度最小值为 （3）解：存在． 作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求． ， 则， 当、、共线时，的值最小， 由题意可得：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，即， ∴ ∴，即的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 22．【问题呈现】小明在数学小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点D、N分别作的平行线，并交于点P，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求证：． （2）的大小为______度，线段长度的最小值为______． 【方法运用】（3）如图③，在菱形中，，，点E、F分别在边上，且，则周长的最小值为______． 【答案】（1）证明见解析；（2），；（3）． 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点分别作的平行线，并交于点，作射线，利用平行四边形的判定与性质得到，利用等量代换的性质即可得出结论； （2）利用正方形的性质，平行线的性质和等腰直角三角形的性质即可得出结论，再利用垂线段最短的性质和等腰直角三角形的性质解答即可； （3）过点分别作的平行线，并交于点，作射线，利用平行四边形的判定与性质和等式的性质得到，利用菱形的性质和平行线的性质得到，则为等边三角形，利用垂线段最短的性质和含角的直角三角形的性质解答即可求得EF的最小值，利用三角形的周长的定义和等式的性质得到周长，则结论可求． 【详解】（1）证明：过点分别作的平行线，并交于点，作射线，则四边形为平行四边形，如图： ∴， ∵， ∴． （2）解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 由题意：点为上一动点， ∴当时，取得最小值， 此时， 根据勾股定理可得：， 解得：， ∵， ∴线段长度的最小值为， 故答案为：，； （3）解：过点分别作的平行线，并交于点，作射线，则四边形为平行四边形，如图： ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由题意：点为上一动点， ∴当时，取得最小值， 此时， ∴, 根据勾股定理可得：, ， ∴的最小值为， 周长， 周长的最小值为， 故答案为：． 23．【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，点E、F分别在边上，且，连结．试探究线段与的长度之和的最小值． 【问题分析】小明以等线段中的一条线段为边，构造与另一条等线段为边的全等三角形，并将两条求和的线段“拼接到一条直线上”，再根据“两点之间线段最短”求最值，解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，延长至点G，使，连结．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）线段与的长度之和的最小值为 【方法应用】某种简易广告牌在运输的过程中，由于运输道路状况复杂，车辆行驶时产生的颠簸、震动等外力因素可能会导致广告牌结构松动甚至散架，进而造成损坏并影响后续正常使用．为有效规避此类风险，采用钢丝绳对广告牌进行加固处理是极为必要的防护举措．小明收集了该广告牌的相关数据，并画出了示意图，如图③，在中，，米，米．和分别是两条固定端点B、C但可调节端点M、N的钢丝绳，点M在上，点N在上．在调整钢丝绳端点M、N的位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳与长度之和的最小值为 米． 【答案】问题解决：（1）见解析；（2）；方法应用： 【分析】问题解决：（1）利用证明，即可得出结论； （2）连接，当三点共线时，有最小值，由（1）知，则有最小值，最小值为的长，利用勾股定理即可求解； 方法应用：如图作，使得．作交的延长线于．首先证明，可得，推出的最小值为的长． 【详解】问题解决： （1）证明：∵矩形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）连接， 当三点共线时，有最小值， 由（1）知，则有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴； 方法应用： 解：如图作，使得米．作交的延长线于，连接． ， ， ，， ， ， ， 的最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中， ，米， ，， ∴， 在中，米， ∴钢丝绳与长度之和的最小值为米． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年苏科版八年级下学期期末专项复习--四边形中的最值问题 一、选择题 1．如图，在菱形中，，，Q为的中点，P为对角线上的任意一点，则的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 2．如图，在菱形中，，E是边的中点，P是边上一动点，的最小值是，则的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D．0.5 3．如图，在菱形中，对角线，，点M、N分别是边、边上的动点，点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．9.6 4．已知正方形边长为12，，与交于点P，点Q为中点，则最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 5．如图，在菱形中，对角线，，点分别是边边上的动点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，，M是平面内的一动点，，N是对角线的中点，连接，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 7．如图，正方形的边长为3，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 8．如图，正方形的边长是5，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值是（   ） A．5 B． C． D． 9．如图，线段，是线段上一动点，分别以和为边在同侧作菱形和菱形，且，，在同一条直线上，，连接，取的中点，连接，，以下说法正确的是（    ）    A．的长不会随着P点的运动而变化，始终为 B．的长随着P点的运动而变化，其最小值为 C．的长不会随着P点的运动而变化，始终为 D．的长随着P点的运动而变化，其最小值为 10．综合与实践课上，“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小宁同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点，又在边上任取一点，再将沿折叠得到，连结，小宁同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在边上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动； ②的最大值为24； ③的最小值为16； ④达到最小值时，．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．正方形的边长为6，点E是边上一个动点，连接，作垂直，且，连接，则的最小值为___________． 12．如图，正方形的边长为3，点E在上，且，P是对角线上的一个动点，则的最小值为 _________． 13．如图，线段，C是线段上的动点，以，为边在上方作等边和等边，的周长的最小值为______． 14．如图，在矩形中，，点是边上一个动点，连接，过点作于点，则的最小值为______． 15．如图，在菱形中，对角线，， 点E、F 分别是边、的中点， 点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是________ 16．如图，在四边形中，，，，点、分别为边上的点、且，则的最小值是_____． 17．如图，在中，，，点D是上的动点，连接，在右侧作菱形，，点G是的中点，连接，则的最小值为______． 18．如图，中，，，点D在边上，以，为邻边作，则长度的最小值是______． 19．如图，在菱形中，，对角线．点、点分别是、上动点，则的最小值为______． 20．如图，在菱形ABCD中，，对角线，相交于点O，点M在线段上，且，点P为线段上的一个动点，则的最小值是______． 三、解答题 21．如图，在中，， (1)求度数． (2)点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． (3)在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 22．【问题呈现】小明在数学小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点D、N分别作的平行线，并交于点P，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求证：． （2）的大小为______度，线段长度的最小值为______． 【方法运用】（3）如图③，在菱形中，，，点E、F分别在边上，且，则周长的最小值为______． 23．【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，点E、F分别在边上，且，连结．试探究线段与的长度之和的最小值． 【问题分析】小明以等线段中的一条线段为边，构造与另一条等线段为边的全等三角形，并将两条求和的线段“拼接到一条直线上”，再根据“两点之间线段最短”求最值，解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，延长至点G，使，连结．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）线段与的长度之和的最小值为 【方法应用】某种简易广告牌在运输的过程中，由于运输道路状况复杂，车辆行驶时产生的颠簸、震动等外力因素可能会导致广告牌结构松动甚至散架，进而造成损坏并影响后续正常使用．为有效规避此类风险，采用钢丝绳对广告牌进行加固处理是极为必要的防护举措．小明收集了该广告牌的相关数据，并画出了示意图，如图③，在中，，米，米．和分别是两条固定端点B、C但可调节端点M、N的钢丝绳，点M在上，点N在上．在调整钢丝绳端点M、N的位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳与长度之和的最小值为 米． 学科网（北京）股份有限公司 $