2025-2026学年苏科版数学八年级下册期末复习必考点2：认识概率

**基本信息** 以生活情境为载体，通过典例与变式系统覆盖概率核心概念、计算及应用，培养数据意识与随机观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典型例题|6道|事件类型判断、基础概率计算、实际问题应用|从事件类型认知（必然/随机/不可能）到概率计算（古典概型），再到实际情境分析，形成概念→计算→应用链条| |举一反三|6道|概念变式、概率比较、游戏公平性判断|通过变式训练深化概念理解，强化不同情境下概率计算方法迁移| |巩固练习|15道|高频考点覆盖（选择/填空/解答）、易错点辨析（频率与概率区别）|综合应用知识解决复杂问题，构建完整概率知识网络，提升用数学语言表达现实世界的能力|

苏科版数学2025-2026学年八年级下册 期末复习必考点2：认识概率 【典型例题】 【例1】俗语“瞎猫碰上死耗子”所反映的事件属于（   ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．以上都不是 【例2】掷一枚质地均匀的硬币10次，则下列说法正确的是（    ） A．每2次必有1次正面向上 B．可能有5次正面向上 C．必有5次正面向上 D．不可能有10次正面向上 【例3】天气预报显示，某地明天降水概率是15%，后天降水概率是75%，那么当地居民在 （填“明天”或“后天”）更有可能会带伞． 【例4】从写有数字2、3、5的三张卡片中随机抽取一张，不放回后再抽取一张，两次抽取的数字之和为奇数的概率是 ． 【例5】世界杯小组赛分成八个小组，每小组4个队，小组进行单循环（每个队都与该小组的其他队比赛一场）比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，积分最高的2个队进入16强，请问： (1)每小组共比赛多少场？ (2)在小组比赛中，现有一队得到6分，该队出线是确定性事件还是随机事件？ 【例6】自五月中旬开始，教育局开始组织县域内各校八年级学生进行生物实验加试，某校把参加加试的学生分成5个组，以抽签方式决定各组加试顺序，工作人员准备背面完全一样的5张纸牌，在纸牌的另一面分别写上1，2，3，4，5，将纸牌洗均后背面朝上，由每个组的带队老师随机抽取一张纸牌，请思考以下问题： (1)抽到的数字有几种可能的结果？ (2)抽到纸牌数字是1的概率是多少？ (3)抽到纸牌数字大于3的概率是多少？ 【举一反三】 【变式1】在一个不透明的口袋中装有个完全相同的小球，把它们分别标号为，从中随机摸出一个小球，其标号是或的倍数的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（　　） A．12种 B．6种 C．4种 D．3种 【变式3】要在一只不透明的袋中放入若干个只有颜色不同的乒乓球，搅匀后，使得从袋中任意摸出一个乒乓球是白色的概率是，可以怎样放球： (只写一种即可)． 【变式4】某公交车站共有1路、3路、16路三路车停靠，已知1路车8分钟一辆；3路车5分钟一辆、16路车10分钟一辆，则在某一时刻，小明去公交车站最先等到 路车的可能性最大． 【变式5】如图，现有一个转盘被分成六等份．分别标有数字1，2，3，4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．（指向分界线时重新转动） (1)随机转动转盘一次，转出的数字是5的概率是_____． (2)小明和小亮一起做游戏，转动转盘一次，若转出的数字是3的倍数，则小明获胜，不是3的倍数，则小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请判断并说明理由． 【变式6】现有正面分别写有“最”“美”“乾”“县”的卡片共20张，这些卡片的背面完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“乾”字的卡片有4张，写有“县”字的卡片有3张，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． (1)事件“随机抽取3张，全是写有‘县’字的卡片”为 事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） (2)随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； (3)从这些卡片中取出m张写有“最”字的卡片，再放入m张写有“乾”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“乾”字卡片的概率为，求m的值． 【巩固练习】 1.下列为随机事件的是（   ） A．通常加热到时，水沸腾 B．任意画一个三角形，其内角和是 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．无论为何实数，结果一定为正数 2.下列成语，是必然事件的是（　　） A．画饼充饥 B．不期而遇 C．水中捞月 D．旭日东升 3.小明连续抛一枚质量均匀的硬币次，都是正面朝上，若他再抛一次，则朝上的一面（  ） A．一定是正面 B．是正面的可能性较大 C．一定是反面 D．是正面或反面的可能性一样大 4.学校“爱昆虫”社团买回一些盲袋，每个盲袋里装一个琥珀昆虫吊坠．如图，这些琥珀昆虫吊坠中，蝴蝶10个，蝎子1个，瓢虫5个．菲菲随机领取一个盲袋，里面是什么昆虫呢？下面说法正确的是（   ） A．三种昆虫的可能性一样大 B．不可能是蝎子 C．瓢虫的可能性最小 D．蝴蝶的可能性最大 5.如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 6.“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是______（填写“必然事件”或“不可能事件”或“不确定事件”）． 7.下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有______． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 8.如图，三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”的可能性更大的布袋是______．（填写布袋对应的序号） 9.一个袋中装有3个红球，5个黄球，3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到 球的可能性最大． 10.①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率一定等于；③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是 (填序号)． 11.将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔； ②水中捞月； ③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上； ④任意画一个三角形，其内角和为180°； ⑤若，则； ⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． （1）其中是必然事件的有______； （2）其中是随机事件的有______； （3）其中是确定事件的有______． 12.一个不透明的袋子中装有个红球、个黑球，这些球除颜色外都相同． (1)若从中任意摸出一个球，则摸到____球的可能性大； (2)能否通过改变某种颜色球的数量使摸到红球和摸到黑球的可能性相同？ 13.你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．” (2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．” 14.下表为某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 100 200 500 1 000 2 000 5 000 发芽的粒数m 94 a 475 954 1 906 4 745 发芽频率 0.940 0.955 0.950 b 0.953 0.949 (1)求出a，b的值； (2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率．（结果精确到0.01） 15.小明和哥哥都很想去看足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去；如果指针恰好指向白色或指向分割线，重新转动． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公的游戏规则； (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得小明去的概率为，并简要说明游戏规则． 答案解析 【典型例题】 【例1】俗语“瞎猫碰上死耗子”所反映的事件属于（   ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．以上都不是 【答案】B 【例2】掷一枚质地均匀的硬币10次，则下列说法正确的是（    ） A．每2次必有1次正面向上 B．可能有5次正面向上 C．必有5次正面向上 D．不可能有10次正面向上 【答案】B 【例3】天气预报显示，某地明天降水概率是15%，后天降水概率是75%，那么当地居民在 （填“明天”或“后天”）更有可能会带伞． 【答案】后天 【例4】从写有数字2、3、5的三张卡片中随机抽取一张，不放回后再抽取一张，两次抽取的数字之和为奇数的概率是 ． 【答案】 【例5】世界杯小组赛分成八个小组，每小组4个队，小组进行单循环（每个队都与该小组的其他队比赛一场）比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，积分最高的2个队进入16强，请问： (1)每小组共比赛多少场？ (2)在小组比赛中，现有一队得到6分，该队出线是确定性事件还是随机事件？ 【答案】（1）解：（场） 答：每小组共比赛6场； （2）解：因为总共有6场比赛， 每场比赛最多可得3分， 则6场比赛最多共有分， 现有一队得6分， 还剩下12分， 则还有可能有2个队同时得6分， 故不能确保该队出线，因此该队出线是一个随机事件． 【例6】自五月中旬开始，教育局开始组织县域内各校八年级学生进行生物实验加试，某校把参加加试的学生分成5个组，以抽签方式决定各组加试顺序，工作人员准备背面完全一样的5张纸牌，在纸牌的另一面分别写上1，2，3，4，5，将纸牌洗均后背面朝上，由每个组的带队老师随机抽取一张纸牌，请思考以下问题： (1)抽到的数字有几种可能的结果？ (2)抽到纸牌数字是1的概率是多少？ (3)抽到纸牌数字大于3的概率是多少？ 【答案】（1）解：背面朝上且完全一样的5张纸牌随机抽取，有5种结果，且被抽取的可能性是相同的． （2）解：共有5种结果，每种结果出现的可能性是相同的， 所以抽纸牌1的概率为； （3）解：有5种等可能结果，大于3的有4和5两种结果， 所以抽纸牌大于3的概率为． 【举一反三】 【变式1】在一个不透明的口袋中装有个完全相同的小球，把它们分别标号为，从中随机摸出一个小球，其标号是或的倍数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【变式2】三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（　　） A．12种 B．6种 C．4种 D．3种 【答案】D 【变式3】要在一只不透明的袋中放入若干个只有颜色不同的乒乓球，搅匀后，使得从袋中任意摸出一个乒乓球是白色的概率是，可以怎样放球： (只写一种即可)． 【答案】放入4个黄球，1个白球（答案不唯一） 【变式4】某公交车站共有1路、3路、16路三路车停靠，已知1路车8分钟一辆；3路车5分钟一辆、16路车10分钟一辆，则在某一时刻，小明去公交车站最先等到 路车的可能性最大． 【答案】3 【变式5】如图，现有一个转盘被分成六等份．分别标有数字1，2，3，4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．（指向分界线时重新转动） (1)随机转动转盘一次，转出的数字是5的概率是_____． (2)小明和小亮一起做游戏，转动转盘一次，若转出的数字是3的倍数，则小明获胜，不是3的倍数，则小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请判断并说明理由． 【答案】（1）解：随机转动转盘一次，转出的数字是5的概率是， 故答案为：； （2）解：不公平，理由如下： 转盘中的倍数有和两个数，而不是的倍数有共四个数， ∴小明获胜的概率为：，小亮获胜的概率为：， ∵， ∴这个游戏对双方不公平． 【变式6】现有正面分别写有“最”“美”“乾”“县”的卡片共20张，这些卡片的背面完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“乾”字的卡片有4张，写有“县”字的卡片有3张，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． (1)事件“随机抽取3张，全是写有‘县’字的卡片”为 事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） (2)随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； (3)从这些卡片中取出m张写有“最”字的卡片，再放入m张写有“乾”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“乾”字卡片的概率为，求m的值． 【答案】（1）解：事件“随机抽取3张，全是写有‘县’字的卡片”为随机事件． 故答案为：随机． （2）由题意可知，写有“美”字的卡片有（张）， 所以随机抽取一张，抽到写有“美”字卡片的概率为． （3）由题意可知：，解得， 所以m的值为4． 【巩固练习】 1.下列为随机事件的是（   ） A．通常加热到时，水沸腾 B．任意画一个三角形，其内角和是 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．无论为何实数，结果一定为正数 【答案】C 2.下列成语，是必然事件的是（　　） A．画饼充饥 B．不期而遇 C．水中捞月 D．旭日东升 【答案】D 3.小明连续抛一枚质量均匀的硬币次，都是正面朝上，若他再抛一次，则朝上的一面（  ） A．一定是正面 B．是正面的可能性较大 C．一定是反面 D．是正面或反面的可能性一样大 【答案】D 4.学校“爱昆虫”社团买回一些盲袋，每个盲袋里装一个琥珀昆虫吊坠．如图，这些琥珀昆虫吊坠中，蝴蝶10个，蝎子1个，瓢虫5个．菲菲随机领取一个盲袋，里面是什么昆虫呢？下面说法正确的是（   ） A．三种昆虫的可能性一样大 B．不可能是蝎子 C．瓢虫的可能性最小 D．蝴蝶的可能性最大 【答案】D 5.如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 6.“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是______（填写“必然事件”或“不可能事件”或“不确定事件”）． 【答案】不确定事件 7.下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有______． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 【答案】③ 8.如图，三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”的可能性更大的布袋是______．（填写布袋对应的序号） 【答案】③ 9.一个袋中装有3个红球，5个黄球，3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到 球的可能性最大． 【答案】黄 10.①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率一定等于；③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是 (填序号)． 【答案】①③④ 11.将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔； ②水中捞月； ③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上； ④任意画一个三角形，其内角和为180°； ⑤若，则； ⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． （1）其中是必然事件的有______； （2）其中是随机事件的有______； （3）其中是确定事件的有______． 【答案】 ④⑥ ①③⑤ ②④⑥ 12.一个不透明的袋子中装有个红球、个黑球，这些球除颜色外都相同． (1)若从中任意摸出一个球，则摸到____球的可能性大； (2)能否通过改变某种颜色球的数量使摸到红球和摸到黑球的可能性相同？ 【答案】（1）解：∵黑球的数量大于红球的数量， ∴从中任意摸出一个球，摸到黑球的可能性大， 故答案为：黑； （2）解：取出个黑球或放入个红球，使得两种球的数量相同，就可以使摸到红球和摸到黑球的可能性相同． 13.你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．” (2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．” 【答案】（1）解：不同意，小丽混淆了“频率”和“概率”．做了20次试验，发现硬币落地后共有11次正面朝上，只能确定在这20次试验中，正面朝上的频率是． （2）解：不同意，对于一个随机事件，它发生的概率是由它自身决定的，是独立的，并不受其他事件的干扰，也就是说，第6次抛掷这枚硬币的概率不会受到前5次抛掷结果的影响． 14.下表为某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 100 200 500 1 000 2 000 5 000 发芽的粒数m 94 a 475 954 1 906 4 745 发芽频率 0.940 0.955 0.950 b 0.953 0.949 (1)求出a，b的值； (2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率．（结果精确到0.01） 【答案】（1）解：， ． 故答案为：191，0.954； （2）解：随着实验种子数的增加，频率稳定在0.95， 任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是0.95； 故答案为：0.95． 15.小明和哥哥都很想去看足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去；如果指针恰好指向白色或指向分割线，重新转动． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公的游戏规则； (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得小明去的概率为，并简要说明游戏规则． 【答案】（1）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色各占1份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （2）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （哥哥去观看足球比赛）； （小明去观看足球比赛）（哥哥去观看足球比赛）， 游戏公平； （3）解：将转盘平均分为8个区域，其中红色占5份；白色占3份，如果指针转动转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $