2025-2026学年苏科版数学八年级下册期末复习必考点4：特殊的平行四边形

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形判定与性质，通过分层训练构建从基础到综合的知识网络，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典型例题|6例|判定辨析、性质计算、动态作图|从平行四边形出发，递进探究矩形、菱形、正方形的特殊性质与判定条件| |举一反三|6变式|坐标几何、折叠问题、面积综合|结合图形变换与代数计算，强化性质应用的灵活性| |巩固练习|15题|多结论判断、中点四边形、旋转综合|整合特殊四边形与三角形、函数知识，构建知识关联网络|

苏科版数学2025-2026学年八年级下册 期末复习必考点4：特殊的平行四边形 【典型例题】 【例1】要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是() A.测量两组对边是否相等 B.测量对角线是否相等 C.测量对角线是否互相平分 D.测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等 【例2】如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O.若∠AOB=60°，BD=4,则BC的长() A.4 B.2V5 C.3 D.6 【例3】在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还 需添加一组条件.下面给出了五组条件：①AB=AD,且AC=BD;②AB⊥AD,且AC⊥BD;③AB ⊥AD,且AB=AD;④AB=BD,且AB⊥BD;⑤OB=OC,且OB⊥OC.其中正确的是 (填写 序号). 【例4】如图，平行四边形的活动框架，当∠ABC=90°时，面积为S,将∠ABC从90°扭动到 30°，则四边形ABCD'面积为 D A D 【例5】如图所示，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE‖AC.求证： 四边形DOCE是菱形. 第1页共28页 【例6】如图，点A在直线1外，点B在直线1上 (1)在1上求作一点C,在1外求作一点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形；（要 求：用直尺和圆规作出所有大小不同的菱形) (2)连接AB,若AB=5,且点A到直线1的距离为4，则(1)中菱形的面积为 (直 接写出所有答案). 【举一反三】 【变式1】如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1,3)，则CE的长是() A.3 B.2V2 C.0 D.4 【变式2】四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,∠DHO= 20°，则∠CAD的度数是(). D 0 A.25 B.20° C.30° D.40° 第2页共28页 【变式3】如图，菱形ABCD的边长是2cm,E是AB的中点，且DE⊥AB,则菱形ABCD的面积 为 cm2. D 【变式4】如图，在矩形ABCD中，AD=6,AB=4,点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上， 且AF=CG=2,BE=DH=1,点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH,则△PEF 和△PGH的面积和等于 D H 【变式5】如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB=90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线 于点E,连接AE交CD于点F, B (1)求证：四边形ACED是矩形； (2)连接BF,若∠ABC=60°，CF=5,求BF的长. 第3页共28页 【变式6】如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE交 AB于点F,连接DF交AC于点G. E B (1)求证：EF=DE; (2)若DG=4,GF=2,则GE= 【巩固练习】 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形共有性质是() A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相垂直平分 2.下列说法正确的是（) A.平行四边形是轴对称图形 B.平行四边形的对角线相等 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 3.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=BC=4,AD=3,E是AB上一点，且 ∠DCE=45°，则DE的长度是() 第4页共28页 D E B A.3.2 B.3.4 C.3.6 D.4 4.如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠该纸片，使点C落在直线DP(P为AB中点) 上的点C处，得到经过点D的折痕DE,则∠DEC的度数为() D B A.80° B.75° C.70° D.60° 5.如图，在ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E ,PF⊥AC于点F,点M为EF的中点，则PM的最小值为() A M B A.1.4 B.2.4 C.1.2 D.1.3 6.将对角线分别为5cm和8cm的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为 cm. 7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,若BD=6,∠AOB=60°，则AB的 长度为 D 第5页共28页 8.如图，四边形ABCD是菱形，CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是 9.如图，点O为正方形ABCD对角线AC的中点，连接OD并延长至点E,连接AE,CE.若 △ACE为等边三角形，AB=2,则OE的长为· B C 10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,E为边CD上任意一点（不与点C、 D重合)，过点E作EF⊥BD,EG⊥AC,垂足分别为F、G,若AB=8,BC=6,则 EF+EG= 11.如图，四边形ABCD,AEFG都是正方形，点E,G分别在AB,AD上，连接FC,过点 E作EH∥FC交BC于点H.若AB=4,AE=1,试求BH的长. A G D E B 少 第6页共28页 12.如图，将矩形ABCD折叠，使点A、C重合，折痕分别与AD、BC、AC相交于点E、F、O ,连接AF、CE. E D B F (1)求证：四边形AFCE是菱形. (2)若矩形ABCD的边AB=6,BC=8,求菱形AFCE的边长. 13.如图，E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点，我们称四边形EFGH是四边形 ABCD的中点四边形. E (1)若四边形ABCD中，AC⊥BD,确定中点四边形EFGH的形状，并说明理由. (2)在(1)的条件下，若AC=4,BD=6,则AD+BC的最小值为 第7页共28页 14.数学课上，李老师给出这么一道数学问题：如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上 任意一点，过点E作EF⊥AC,垂足为E,交BC所在直线于点F.探索AF与DE之间的数量 关系，并说明理由 小明在解决这一问题之前，先进行特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，他发现 AF与DE之间的数量关系是· 若点E在其它位置时，这个结论是否都成立呢？小明继 续探究，他用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG,将原来分散的两条线段集中到同一 个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系， D F B(F) F ① 2 3 备用图 (1)请你按照小明的思路，完成解题过程； (2)你能用与小明不同的方法来解决李老师给出的“数学问题”吗？请写出解题过程. 15.在矩形ABCD中，AB=3,BC=2,以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD,旋转角 为(0°<<I80),得到矩形AEFG,点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G. G G G O A y D A H E C C 图① 图② 图③ (1)如图①，当点E落在DC边上时，直写出线段EC的长度为： 第8页共28页 (2)如图②，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H,连接AC. ①求证：△ACD≌△CAE; ②求线段DH的长度， (3)如图③设点P为边FG的中点，连接PB,PE,在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积 是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由. 第9页共28页 答案解析 【典型例题】 【例1】要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是() A.测量两组对边是否相等 B.测量对角线是否相等 C.测量对角线是否互相平分 D.测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等 【答案】D 【例2】如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O.若∠AOB=60°，BD=4,则BC的长() D A.4 B.2V5 C.3 D.6 【答案】B 【例3】在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还 需添加一组条件.下面给出了五组条件：①AB=AD,且AC=BD;②AB⊥AD,且AC⊥BD;③AB ⊥AD,且AB=AD;④AB=BD,且AB⊥BD;⑤OB=OC,且OB⊥OC.其中正确的是（填写 序号). 【答案】①②③⑤ 【例4】如图，平行四边形的活动框架，当∠ABC=90°时，面积为S,将∠ABC从90°扭动到 30°，则四边形ABCD'面积为 D A D 【答案】 【例5】如图所示，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE‖AC.求证： 四边形DOCE是菱形. 第10页共28页 B 【答案】，CE∥BD,DE‖AC, .四边形DOCE是平行四边形. ,四边形ABCD是矩形， AC=BD,OC=4C.OD =BD ..OC=OD, ∴.四边形DOCE是菱形. 【例6】如图，点A在直线1外，点B在直线1上. B (1)在1上求作一点C,在1外求作一点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形；（要 求：用直尺和圆规作出所有大小不同的菱形) (2)连接AB,若AB=5,且点A到直线1的距离为4，则(1)中菱形的面积为 (直 接写出所有答案)。 【答案】(1)解：如图①②③： ① ② ③ 【小问2详解】 解：图①中，菱形ABCD的面积=5×4=20； 图②中，AB=5,A0=4,则B0=V52-42=3, 第11页共28页 .BC=6,AD=8,菱形ABDC的面积=二×6×8=24； 2 图③中，作AH⊥BC于H,设菱形的边长为X, 在Rt△ABH中，AH=4,AB=5,则BH=V52-42=3, 所以CH=x-3, 在RtACH中，4+(x-3到2=x2,解得x=25 菱形4CBD的面积=25×4=50 63 故答案：20,24： 50 【举一反三】 【变式1】如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1,3)，则CE的长是() A.3 B.22 C.0 D.4 【答案】C 【变式2】四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,DH LAB于H,连接OH,∠DHO= 20°，则∠CAD的度数是()· D H B A.25° B.20° C.30° D.40° 【答案】B 第12页共28页 【变式3】如图，菱形ABCD的边长是2cm,E是AB的中点，且DE⊥AB,则菱形ABCD的面积 为 cm2. D B 【答案】23 【变式4】如图，在矩形ABCD中，AD=6,AB=4,点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上， 且AF=CG=2,BE=DH=1,点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH,则△PEF 和△PGH的面积和等于 D B 【答案】7 【变式5】如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB=90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线 于点E,连接AE交CD于点F (1)求证：四边形ACED是矩形； (2)连接BF,若∠ABC=60°，CF=5,求BF的长. 【答案】(1)证明：∠ACB=90°， :AC⊥BC, DE⊥BC, ∴.AC∥DE, 第13页共28页 ,四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上， .AD∥CE, .四边形ACED是平行四边形， :∠ACE=90°， ∴.四边形ACED是矩形 【小问2详解】 解：，四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形， .AE=CD=AB,AF =EF=CF=DF=5, .∠ABC=60°， :△ABE是等边三角形， ∴.∠AEB=60°， △CEF是等边三角形， BF⊥AE,AB=AE=BE=2CE=2CF=2×5=10, ·∠AFB=90,AF= 1 24E=2×10=5, BF=VAB2-AF2=V102-52=5V5, BF的长是5V5. 【变式6】如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE交 AB于点F,连接DF交AC于点G. E B (1)求证：EF=DE; (2)若DG=4,GF=2,则GE= 【答案】(1)解：证明：过点E作EH⊥AC,交AB的延长线于点H,如图， 第14页共28页 B ---H ,四边形ABCD为正方形， :LDAC=LEAB=45°. :EH⊥AC, .LH=45°， :△EAH为等腰直角三角形， :AE =EH :EF⊥DE, ∠DEA+LAEF=90°， :∠HEF+LAEF=90°， .∠DEA=∠HEF. 在ADE和△HFE中， ∠DAE=∠FHE=45° AE HE ∠DEA=∠FEH .△ADE≌△HFE(ASA), :DE EF 【小问2详解】 如图，取DF中点H,连接EH. D E B 4 .DG=4,GF=2, 第15页共28页 DF=6, 六DH=FH=DF=3, 2 HG=FH-GF=3-2=1. :∠DEF=90°， :EH =DH=FH=3, .GE=HE2+HG2=10. 故答案为：V0. 【巩固练习】 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形共有性质是() A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相垂直平分 【答案】A 2.下列说法正确的是（() A.平行四边形是轴对称图形 B.平行四边形的对角线相等 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】D 3.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=BC=4,AD=3,E是AB上一点，且 ∠DCE=45°，则DE的长度是() 第16页共28页 D E B A.3.2 B.3.4 C.3.6 D.4 【答案】B 4.如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠该纸片，使点C落在直线DP(P为AB中点) 上的点C处，得到经过点D的折痕DE,则∠DEC的度数为() D A.80° B.75° C.70° D.60° 【答案】B 5.如图，在ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E ,PF⊥AC于点F,点M为EF的中点，则PM的最小值为() A F M B C A.1.4 B.2.4 C.1.2 D.1.3 【答案】C 6.将对角线分别为5cm和8cm的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为 cm. 【答案】2√5 第17页共28页 7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,若BD=6,∠AOB=60°，则AB的 长度为 D 【答案】3 8.如图，四边形ABCD是菱形，CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是 【答案】5 4 9.如图，点O为正方形ABCD对角线AC的中点，连接OD并延长至点E,连接AE,CE.若 △ACE为等边三角形，AB=2,则OE的长为 D B 【答案】√6 10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,E为边CD上任意一点（不与点C、 D重合)，过点E作EF⊥BD,EG⊥AC,垂足分别为F、G,若AB=8,BC=6,则 EF+EG= 第18页共28页 G 答】号 11.如图，四边形ABCD,AEFG都是正方形，点E,G分别在AB,AD上，连接FC,过点 E作EH∥FC交BC于点H.若AB=4,AE=1,试求BH的长. G D B 今 C 【答案】：AB=4,AE=1, ∴.BE=AB-AE=4-1=3. 四边形ABCD,四边形AEFG都是正方形， .∴.AD∥EF∥BC. EH∥FC,EF∥BC, ∴.四边形EFCH平行四边形， .EF CH ,四边形ABCD,四边形AEFG都是正方形， .AB=BC,AE =EF, ∴.AB-AE=BC-CH, ∴.BE=BH=3. 12.如图，将矩形ABCD折叠，使点A、C重合，折痕分别与AD、BC、AC相交于点E、F、O ,连接AF、CE. 第19页共28页 E D B F C (1)求证：四边形AFCE是菱形. (2)若矩形ABCD的边AB=6,BC=8,求菱形AFCE的边长 【答案】(1)证明：由折叠的性质可得，OA=OC,EF⊥AC, ,四边形ABCD是矩形， .AD∥BC, .∠DAC=∠ACB 又.'OA=OC,∠AOE=∠COF, ∴.△AOE≌COF(ASA), .AE=CF, .AE∥CF, 四边形AFCE为平行四边形， ,EF⊥AC, .四边形AFCE是菱形： 【小问2详解】 解：四边形AFCE菱形， .AE=CF, 在矩形ABCD中，∠B=90°，设AE=CF=x,则BF=8-x, 在Rt△ABF中，由勾股定理得AB2+BF2=AF2, .62+(8-x2=x2, 解得r=25 4 ∴.CF= 25 4 菱形AFCE的边长为 第20页共28页 13.如图，E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点，我们称四边形EFGH是四边形 ABCD的中点四边形. D G B (1)若四边形ABCD中，AC⊥BD,确定中点四边形EFGH的形状，并说明理由， (2)在(1)的条件下，若AC=4,BD=6,则AD+BC的最小值为 【答案】(1)解：四边形EFGH是矩形，理由如下， 如图所示，连接AC,BD, D G B E ,点E、F、G、H是四边形ABCD各边中点， .EF,GH,GF分别是△ABC,△ACD,△BCD的中位线， .EFAC,GH I AC,GFBD,EF=AC,GH-TAC, 2 ∴.EF∥GH,EF=GH, ∴四边形EFGH是平行四边形； .AC⊥BD, ∴.EF⊥GF, .四边形EFGH是矩形； 【小问2详解】 解：如图所示，过点D作DH∥AC,且DH=AC=4,连接BH,CH, 第21页共28页 H .四边形ACHD是平行四边形， .'CH=AD, ∴.AD+BC=CH+BC, ∴.当C、B、H三点共线时，CH+BC有最小值，即此时AD+BC有最小值，最小值为BH的长， ,AC⊥BD, .HD⊥BD, ∴.BH=VBD2+DH2=V62+42=2N13, ∴.AD+BC的最小值为213， 故答案为：23. 14.数学课上，李老师给出这么一道数学问题：如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上 任意一点，过点E作EF⊥AC,垂足为E,交BC所在直线于点F.探索AF与DE之间的数量 关系，并说明理由 小明在解决这一问题之前，先进行特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，他发现 AF与DE之间的数量关系是·若点E在其它位置时，这个结论是否都成立呢？小明继 续探究，他用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG,将原来分散的两条线段集中到同一 个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系， 第22页共28页 A D E F B(F) B B F ① ② ③ 备用图 (1)请你按照小明的思路，完成解题过程； (2)你能用与小明不同的方法来解决李老师给出的“数学问题”吗？请写出解题过程 【答案】(1)解：AF=√2DE,理由如下： 当E是对角线AC的中点时， D B(F) C 四边形ABCD是正方形， .BD⊥AC,AE=CE,AB=AD,∠ABC=90°， :BD=2AB=2AF, ,EF⊥AC,且E是对角线AC的中点， 此时点B和点F重合，且点E也为BD的中点， .BD 2DE :.√2AF=2DE,即AF=N2DE; 若点E在其它位置时，如图，延长BC,作DG∥AF,交BC的延长线于点G,连接EG. D ,四边形ABCD是正方形， :∠ABC=LBCD=90°，AB=BC=CD=AD,AD∥BC. 第23页共28页 .DG∥AF,AD∥BC, ∴.四边形AFGD为平行四边形. :AF DG,AD=FG. ∴.FG=CD. .∠ABC=90°，AB=BC, LACB=45°. ∠ACD=45°， .EF⊥AC. .∴.∠FEC=90°. .∠EFC=∠ECF=45°. ∴.EF=EC. .∠EFC=∠ECD. .ACDE≌AFGE(SAS, .ED=EG,∠FEG=∠CED. ∴.∠DEG=∠FEC=90°. △DEG是等腰直角三角形， :DG2=DE2+EG2=2DE2, .DG=√2DE. :AF=2DE 【小问2详解】 解：如图，作DG⊥DE,并截取DG=DE,连接AG、GE, G B 四边形ABCD是正方形， 第24页共28页 .∠ADC=90°，CD=AD. .∠DAC=∠DCA=∠ACB=45°， .DG⊥DE, ∠GDE=90°. 又DG=DE, .△DEG是等腰直角三角形， ..EG2=DE2+DG2=2DE2, .EG=2DE .∠ADC=∠GDE=90°， ∴.∠GDA=∠EDC. .AGDA≌△EDC(SAS). .∠GAD=∠ECD=45°，AG=EC. .∠GAE=90°. .EF⊥AC, .∠FEC=∠FEA=90°. .∠EFC=∠ECF=45°. ∴.EF=EC. :EF AG. .∠GAE=∠FEA=90°， AG∥EF, ∴.四边形AGEF为平行四边形. :AF=EG, :AF =2DE. 15.在矩形ABCD中，AB=3,BC=2,以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD,旋转角 为a(0°<a<180),得到矩形AEFG,点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G. 第25页共28页 G G G D H E E C 图① 图② 图③ (1)如图①，当点E落在DC边上时，直写出线段EC的长度为； (2)如图②，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H,连接AC. ①求证：△ACD≌△CAE; ②求线段DH的长度. (3)如图③设点P为边FG的中点，连接PB,PE,在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积 是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由. 【答案】(1)解：，四边形ABCD是矩形，BC=2, AD=BC=2,∠D=90°， ,AB=3,逆时针旋转矩形ABCD得到矩形AEFG, .'AE=AB=3, DE=V32-22=5, ∴.EC=DC-DE=3-V5; 【小问2详解】 ①证明：，四边形ABCD是矩形，逆时针旋转矩形ABCD得到矩形AEFG, ∴.∠D=∠AEC=90°，AE=AB=DC, 在△ACD与△CAE中， e ∴.△ACD≌△CAE(HL); ②解：，△ACD≌△CAE, 第26页共28页 .∠ACD=∠CAE, ∴.AH=CH, ∴.DH=EH, 设DH=x,则CH=3-x, 6-2-2-2,解得：x= 6 0咖-名 【小问3详解】 解：存在 ò M E G D A B .P为边FG的中点， PF-FG-3 ’ ∴.PE=VPF2+EF2 3 2+22= 21 过A作AM⊥PE, .当A,M,B三点共线时高最大，三角形面积最大如图所示， GSE=)PE×AM=SG 2 第27页共28页 4M=3x212 55, 2 AM+4B=12 27 +3= 5, S款7B×PE=x27x3=27 一× 25241 第28页共28页