精品解析：福建省厦门市集美中学2025-2026学年高三上学期9月开学质量检测数学试题

集美中学2025-2026学年第一学期高三年级开学质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则在复平面内z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 设α，β是两个不同平面，m，n是两条不同的直线，则能确定的一组条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 设随机变量，且，则（ ） A. 0.05 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.45 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线，过抛物线焦点F的直线与抛物线C交于A､B两点，交抛物线的准线于点P，若F为PB.中点，且，则|AB|=（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（且为常数），的图象与的图象关于对称，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量是 D. 是向量的单位向量 10. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，下列说法正确的是（ ） 2 3 4 5 6 19 25 38 44 A. 看不清的数据的值为34 B. 具有正相关关系，相关系数 C. 第三个样本点对应的残差 D. 据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗约为50吨 11. 定义在区间上的函数满足，，且对任意的，都有，则（ ） A B. C. 不等式在区间上恒成立 D. 若，都有，则最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于___________. 13. 已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值为____________． 14. 从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1，则这样的取法总数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）已知D为边上的一点，且.若，，求的长； 16. 如图，三棱柱，底面ABC是边长为2的正三角形，，平面平面． （1）证明：平面ABC； （2）若BC与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 设函数． （1）若在区间单调递减，求的取值范围； （2）若，证明：在有唯一零点，且． 18. 已知椭圆经过点，且右焦点为. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆交于两点，以为直径圆过原点. （i）证明：； （ii）若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的范围. 19. 已知无穷数列的前项和为,若对于任意的正整数,均有,则称数列具有性质. （1）判断首项为,公比为无穷等比数列是否具有性质,并说明理由; （2）已知无穷数列具有性质,且任意相邻四项之和都相等,求证:; （3）已知,数列是等差数列,,若无穷数列具有性质,求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集美中学2025-2026学年第一学期高三年级开学质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则在复平面内z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】求出，求出其在复平面内对应的点的坐标，求出在复平面内z对应的点位于的象限. 【详解】因为，所以， 所以其在复平面内对应的点为， 则其对应的点位于第四象限. 故选：D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，根据交集概念求出答案. 【详解】， 又，所以. 故选：B 3. 设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则能确定的一组条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中点、线、面的位置关系即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,若，则可能平行，也可能相交或者异面，故A错误， 对于B,若，则，故B错误， 对于C, ,则可能平行，可能异面，也可能相交，故C错误， 对于D, ，又，故，故D正确， 故选：D 4. 已知双曲线（，）顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式列方程，结合离心率公式求解即可. 【详解】因为双曲线C的顶点到一条渐近线的距离为， 所以， 所以，所以，双曲线C的离心率. 故选：C. 5. 设随机变量，且，则（ ） A. 0.05 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.45 【答案】A 【解析】 【分析】由正态分布曲线的对称性求解. 【详解】由正态分布对称性可设， 则，由题意得，解得， 故． 故选：A. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 ， ，，，解得， ，. 故选：A 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出. 7. 已知抛物线，过抛物线焦点F的直线与抛物线C交于A､B两点，交抛物线的准线于点P，若F为PB.中点，且，则|AB|=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，由抛物线定义知，，又F为PB.中点，求得，从而根据求得，，，进而求得. 【详解】如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N， 由抛物线定义知，，又F为PB.中点， 则，， 则，，， 则 故选：D 8. 已知函数（且为常数），的图象与的图象关于对称，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的图象与的图象关于对称，可求出的表达式，再根据为奇函数求出，从而可知的单调性，即可解出不等式． 【详解】设是函数的图象上任意一点，其关于直线的对称点为在的图象上， 所以，其定义域为，且为奇函数， 所以，即，即， 令，求导 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当且仅当时，，所以，即， 故，易知函数在上递减， 所以，不等式的解集为． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量是 D. 是向量的单位向量 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量坐标的线性运算及数量积的坐标运算即可判断判断A； 根据向量坐标的线性运算及向量的模的坐标运算即可判断判断B； 根据投影向量的计算公式即可判断C； 判断向量是否与向量共线，及模是否为1，即可判断D. 【详解】解：对于A，，则， 所以，故A正确； 对于B，，则，故B错误； 对于C，向量在向量上的投影向量为， 故C错误； 对于D，因为向量的模等于1， ，所以向量与向量共线，故是向量的单位向量，故D正确. 故选：AD. 10. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，下列说法正确的是（ ） 2 3 4 5 6 19 25 38 44 A. 看不清的数据的值为34 B. 具有正相关关系，相关系数 C. 第三个样本点对应的残差 D. 据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗约为50吨 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用回归直线方程结合各选项的条件逐一分析计算即可判断作答. 【详解】对于A，，由回归直线方程得，则，A正确； 对于B，由回归直线方程及数表知，具有正相关关系，而相关系数的绝对值不超过1，B不正确； 对于C，第三个样本点对应的残差，C正确； 对于D，在回归直线方程中，时，生产能耗约(吨) ，D正确. 故选：ACD 11. 定义在区间上的函数满足，，且对任意的，都有，则（ ） A. B. C. 不等式在区间上恒成立 D. 若，都有，则的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】由题可得时，，其他段函数不确定，据此可逐项判断. 【详解】，， 又，， 又，所以时，， 对于A，，故A正确； 对于B，，，故B正确； 对于C，根据题意只能推导时，， ，也符合题意，故C错误； 对于D，时，，, ，，, 则的最小值为，故D错误； 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于___________. 【答案】 【解析】 【分析】和分别表示底面圆半径和母线长，由题意得到等量关系，得到，从而知道轴截面的顶角值. 【详解】设底面半径为，母线成为， 则，即， ∴该圆锥轴截面的顶角等于， 故答案为： 13. 已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】设函数的最小正周期为，根据题意分析得出，其中，可得出，利用函数的单调性可得出的取值范围，可得出的可能取值，然后对的值由大到小进行检验，可得结果. 【详解】设函数的最小正周期为， 因为是函数的一个零点，是函数的一条对称轴， 则，其中，所以，，， 因为函数在区间上单调，则，所以，. 所以，的可能取值有：、. 当时，，， 所以，，则， ，，所以，， 当时，，所以， 函数在上单调，符合题意； 的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数中的最值的求解，解题的关键在于利用函数的周期确定的表达式与取值范围，再进行检验即可. 14. 从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1，则这样的取法总数为______． 【答案】20 【解析】 【分析】先求出八个连续整数任选3个数的情况数，再分别求出三个连续数和三个数中只有两个数连续的个数，相减可得答案. 【详解】八个连续整数不妨设为1,2,3,4,5,6,7,8, 先任选3个数，有种取法， 其中三个连续数有6种，分别为1,2,3；2,3,4；3,4,5；4,5,6；5,6,7；6,7,8； 三个数中只有两个数连续， 比如1,2，剩余第三个数需从4,5,6,7,8中任选1个，有5种， 同理7,8，剩余第三个数需从1,2,3,4,5中任选1个，有5种， 比如2,3，剩余第三个数需从5,6,7,8中任选1个，有4种， 同理，3,4；4,5；5,6；6,7均有4种， 所以此时共有种， 综上，从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1， 共有种选法． 故答案为：20． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）已知D为边上的一点，且.若，，求的长； 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）根据正弦定理边角化结合三角恒等变换即可求解， （2）根据余弦定理求解，即可由正弦定理求解，进而由锐角三角函数即可求解. 【小问1详解】 ，， 根据正弦定理，得，即，，， ，，，又，. 【小问2详解】 ，，，根据余弦定理得， ，， 在中，由正弦定理知，，， ，，， ，. 16. 如图，三棱柱，底面ABC是边长为2的正三角形，，平面平面． （1）证明：平面ABC； （2）若BC与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）平面与平面所成角的余弦值为. 【解析】 【分析】（1）取的中点，的中点，由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，得到，再证明出，从而得到平面； （2）建立空间直角坐标系，设，然后算出直线的方向向量和平面的法向量坐标，然后可求出，然后再算出平面的法向量坐标，然后可算出答案. 【小问1详解】 如图，取的中点，的中点，连接，，， 因为，是的中点，所以， 平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因，，是的中点， 所以，， 又，平面， 所以平面， 因为平面，. 又，平面， 所以平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，，分别为，轴，平行为轴，建系如图所示， 设，则，，，， ，， 设平面的法向量为， ， 取可得， 所以为平面的一个法向量， 设与平面所成的角为， 则， 解得， 从而，， 设平面的法向量为， ， 取可得，， 所以， 所以， 设平面与平面夹角为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 17. 设函数． （1）若在区间单调递减，求的取值范围； （2）若，证明：在有唯一零点，且． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可知，对任意的，，结合参变量分离法可得出，令，则，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围； （2）利用导数分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可证得结论成立. 【小问1详解】 因为，则， 由题意可知，对任意的，，即， 令，则， 因为函数在上单调递增，故，所以. 因此，实数的取值范围是. 【小问2详解】 当时，令可得，即， 且当时，；当时，. 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，则， 且当时，，即函数在上无零点， 因为， 令，则， 令，其中， 则， 故函数在上单调递增，故， 由零点存在定理可知，存在，使得，故. 18. 已知椭圆经过点，且右焦点为. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆交于两点，以为直径的圆过原点. （i）证明：； （ii）若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的范围. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的方程. （2）（i）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及垂直关系的向量表示推理得证；（ii）取中点为，结合给定向量关系可得，由点在椭圆上求出，进而建立的函数关系并求出取值范围. 【小问1详解】 依题意，，而半焦距，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）由（1）知，椭圆：，设，， 由消去得， 则，，， 由以为直径的圆过原点，得， 整理得，则， 即，则，此时成立， 所以. （ii）设线段中点为，则，结合图可知，， 又， 由，得点坐标为，， 于是，化简得，即， 则， 所以四边形面积的取值范围为. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 19. 已知无穷数列的前项和为,若对于任意的正整数,均有,则称数列具有性质. （1）判断首项为,公比为的无穷等比数列是否具有性质,并说明理由; （2）已知无穷数列具有性质,且任意相邻四项之和都相等,求证:; （3）已知,数列是等差数列,,若无穷数列具有性质,求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3） 【解析】 【分析】 （1）因为首项为,公比为的无穷等比数列,即可,求和,即可求得答案; （2）因为无穷数列具有性质,且任意相邻四项之和都相等,满足周期性,且,可得,因为具备性质,故满足:,,采用反证法证明,即可求得答案; （3）数列是等差数列,可得的前项和为:,因为前项和为:,由具备性质,则其中中包含项奇数项,项偶数项,结合已知,即可求得答案. 【详解】（1）首项为,公比为的无穷等比数列 根据等比数列前项和公式可得: , 数列满足具有性质. （2）无穷数列具有性质,且任意相邻四项之和都相等 满足周期性,且 可得 具备性质 满足:, 利用反正法证明: 若,则, 令 得:(注:当时,,则当时,) 与矛盾. , 又, .证明完毕. （3）数列是等差数列 的前项和为:, 前项和为: 由具备性质, 则 其中中包含项奇数项,项偶数项, 有: 其中中包含项奇数项,项偶数项, 故: 由性质 可得,对任意成立 、满足:,解得: . 【点睛】本题主要考查了有关与数列相关创新题和对新定义的理解,解题关键是要充分理解新定义和数列的知识相结合,考查了分析能力和计算能力,属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $