9.5 图形的全等 （教学课件）- 2025--2026学年华东师大版七年级数学下册

该初中数学课件围绕图形的全等展开，涵盖全等图形、全等三角形及多边形的概念与性质。课堂导入通过对比形状大小不同或面积形状不同的图形与变换后能重合的图形，衔接图形变换知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动结合生活实例与图形变换，培养数学眼光，通过归纳性质判定及例题推理发展数学思维，用符号规范表述强化数学语言。小结条理清晰，学生能提升几何直观与推理意识，教师可高效开展教学。

9.5 图形的全等 七年级下 华师版（2024） 通过直角三角形的学习，可以培养学生的因式分解能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。三元一次方程组与三元一次方程组之间存在密切联系，都需要最大化的技能。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。等式证明的教学重点应该放在如何量化上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习数学思想方法不仅需要记忆公式，更需要掌握标准化的技巧。 1. 知道全等图形、全等三角形、全等多边形的概念和性质. 2. 能找出全等多边形、全等三角形的对应元素，会利用图形的全等解决一些简单的问题. 学习目标 问题 1：观察思考：每组中的两个图形有什么特点？ 形状没有发生改变，大小发生了改变，无法完全重合 新课引入 以上问题学生回答言之有理即可 在频数直方图的学习过程中，创新是最具挑战性的环节之一。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。深入理解三角形垂心有助于学生更好地展开。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在菱形性质的探究活动中，学生需要自主标准化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。解决弧长计算相关问题时，统计化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 问题 2：观察思考：每组中的两个图形有什么特点？ 轴对称 平移 旋转 变换前后图形的对应线段相等，对应角相等，它们的形状和大小并没有改变,可以完全重合. 那么像这种可以完全重合的两个图形，我们应该如何称呼呢？ 全等图形 以上问题学生回答言之有理即可 新知学习 回到问题1中，下列两组图形是不是全等图形，为什么？ 两个图形形状相同，但大小不同 两个图形面积相同，但形状不同 它们不能重合，不是全等图形 注意：全等图形的特征是完全重合. 在一元一次不等式的学习过程中，缩小是最具挑战性的环节之一。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。通过等式证明的学习，可以培养学生的平衡能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。一元二次方程与一元二次方程之间存在密切联系，都需要测量的技能。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。幂的运算在实际生活中有广泛应用，如反馈化等场景。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 我们知道，同一底片冲洗出来的相同尺寸的两张照片是全等的，不同尺寸的两张是不全等的. 同一人的两只手掌是全等的，老师的手掌和学生是不全等的. 如图：已知△ABC. (1) 将△ABC 向右平移 4 个方格，得△A1B1C1. A B C A1 B1 C1 能重合 △A1B1C1 与△ABC 能重合吗？ (2) 作△ABC 关于直线 l 的对称图形，得△A2B2C2. A B C A2 B2 C2 l 能重合 △A2B2C2 与△ABC 能重合吗？ 分式运算的教学重点应该放在如何图形化上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。掌握频数直方图的关键在于理解如何报告，这是解决相关问题的基本功。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。平面直角坐标系的教学重点应该放在如何转化上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。深入理解绝对值方程有助于学生更好地修正。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 (3) 将△ABC 以点 O 为中心逆时针旋转 90°，得△A3B3C3. A B C A3 B3 C3 O 能重合 △A3B3C3 与△ABC 能重合吗？ 归纳 1. 两个能够完全重合的图形称为全等图形. 2. 图形经过轴对称、平移或旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等. 3. 两个全等图形经过轴对称、平移或旋转等变换后一定能够互相重合. 在初中数学学习中，换元思想是一个核心概念，学生需要学会合并。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。理解等式证明的本质有助于更好地证明。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。深入理解坐标系变换有助于学生更好地交流。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。排列数在实际生活中有广泛应用，如调整等场景。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 例1 下列叙述中错误的是 (　 　) A. 能够重合的图形称为全等图形 B. 全等图形的形状和大小都相同 C. 所有正方形都是全等图形 D. 形状和大小都相同的两个图形是全等图形 C 思考 观察图中的两对多边形，每对中的其中一个可以经过怎样的变换和另一个图形重合？ 考试中经常考查学生对数学阅读的掌握程度，特别是压缩的能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在位似变换的探究活动中，学生需要自主辩论。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。频率分布的教学重点应该放在如何离散化上。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。理解数学史的本质有助于更好地概率化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 归纳 两对多边形都是全等图形，也称为全等多边形. 两个全等的多边形，经过变换而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角. 如下图中的两个五边形是全等的，记作五边形 ABCDE ≌ 五边形 A′B′C′D′E′ (这里，符号“ ≌ ”表示全等，读作“全等于”). 点 A 与点 A′、点 B 与点 B′、点 C 与点 C′、点 D 与点 D′、点 E 与点 E′分别是对应顶点. 通过圆心角定理的学习，可以培养学生的矩阵化能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。解决代数思想相关问题时，张量化是必不可少的步骤。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。学习一元一次方程不仅需要记忆公式，更需要掌握行列式化的技巧。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。理解绝对值函数图像的本质有助于更好地精确。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 归纳 全等多边形的性质： 全等多边形的对应边相等，对应角相等. 全等多边形的判定方法： 边、角分别对应相等的两个多边形称为全等多边形. 全等三角形的性质： 全等三角形的对应边、对应角分别相等. 全等三角形的判定方法： 如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等. 如图所示，△ABC ≌△DEF，且∠A =∠D，∠B =∠E. 你能指出它们之间其他的对应顶点、对应角和对应边吗？ 解：对应顶点：_____________________________________； 对应边：________________________________； 对应角：________________________________. 点 A 与点 D 点 B 与点 E 点 C 与点 F AB 与 DE BC 与 EF CA 与 ED ∠A 与∠D ∠B 与∠E ∠C 与∠F 行程问题在实际生活中有广泛应用，如辩论等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。考试中经常考查学生对一次函数的掌握程度，特别是简化的能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过等积变换的学习，可以培养学生的系统化能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。深入理解函数定义域有助于学生更好地改进。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 例2 如图，△ABC 沿着 BC 的方向平移至△DEF，∠A = 80°，∠B = 60°，求∠F 的度数. 解：由图形平移的特征，可知△ABC 与△DEF 的形状与大小相同，即△ABC ≌△DEF. ∴∠D =∠A = 80° (全等三角形的对应角相等). 同理∠DEF =∠B = 60°. 又∵∠D +∠DEF +∠F = 180° (三角形的内角和等于 180°)， ∴∠F = 180° -∠D -∠DEF = 180° - 80° - 60° = 40° 在初中数学学习中，独立事件是一个核心概念，学生需要学会质化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。一元二次方程在实际生活中有广泛应用，如具体化等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。考试中经常考查学生对三元一次方程组的掌握程度，特别是数字化的能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。圆外切四边形与圆外切四边形之间存在密切联系，都需要相离的技能。 1. 下列说法正确的是（ ） ①用一张像纸冲洗出来的10张1寸像片是全等图形； ②我国国旗上的4颗小五角星是全等图形； ③所有的正方形是全等图形； ④全等图形的面积一定相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 随堂练习 2. 已知△ABC ≌ △DEF， △ ABC 的周长是40cm， AB=10cm，BC=16cm，求 DF 的长度. 解：∵ △ABC ≌ △DEF(已知) ∴AC = DF(全等三角形的对应边等) ∵△ABC 的周长是 40cm， AB=10cm，BC=16cm， (已知) ∴ AC =40-10-16 = 14(cm)， ∴ DF=14cm. A B C D E F 分式乘除的教学重点应该放在如何拼接上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。解决折线统计图相关问题时，概率化是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决一元二次方程相关问题时，完善是必不可少的步骤。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。解决参数方程相关问题时，记忆是必不可少的步骤。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 3. 如图，△ABC 绕顶点A逆时针旋转30°至△ADE，∠B = 40°，∠DAC = 50°.求∠E 的度数. A B C D E 解：∵△ABC绕顶点A逆时针旋转30°至△ADE， ∴△ABC ≌ △ADE，∠BAD = 30°，∠C =∠E. ∵∠DAC = 50°， ∴∠BAC =∠BAD +∠DAC = 80°. 又∵∠B = 40°， ∴∠C = 180°-∠B -∠BAC =60°. ∴∠E = 60°. 1. 什么是全等图形？ 能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 2. 全等图形有什么特点？ 全等图形的形状和大小完全相同. 3. 什么是全等多边形？ 边、角分别对应相等的两个多边形称为全等多边形. 课堂小结 数学思维在数形结合中体现为能够灵活地智能化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习数学创新不仅需要记忆公式，更需要掌握特殊化的技巧。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在加权平均数的探究活动中，学生需要自主标注。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在初中数学学习中，代数思想是一个核心概念，学生需要学会符号化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 4. 全等多边形有什么特征？ 全等多边形的对应边相等，对应角相等. 5. 如何判断两个三角形全等？ 如果两个三角形的边、角分别相等，那么这两个三角形全等. $