高一数学下学期期末模拟卷02（人教A版必修第二册全部：向量+解三角形+复数+立体几何初步+概率统计）

**基本信息** 覆盖必修二全册核心知识，以真实情境与创新题型梯度考察空间想象、逻辑推理及数据处理能力，如乒乓球比赛概率、离散曲率等问题体现数学思维与现实应用的结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数运算、立体几何直观图、统计百分位数等|第7题结合比赛规则考概率，体现逻辑推理；第11题内切圆柱交线问题，培养空间观念| |填空题|3题/15分|圆锥体积、向量数量积、三角形角平分线|第13题向量最值问题，考察数学眼光的抽象能力| |解答题|5题/77分|复数方程、解三角形、统计分析、立体几何综合、离散曲率|第17题茎叶图分析统计量，强化数据观念；第19题引入离散曲率，创新考察空间形式与逻辑推理|

2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 .: 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：人教A版必修第一册全册（平面向量及其应用+复数+立体几何初步+概率+统计） 第一部分（选择题共58分） : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1. 若复数z满足2=1+i,则z=（) .: A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i : : 2.如图，用斜二测画法作出四边形ABCD的直观图为四边形AB'C'D',若AB/DC/x'轴， O : AD'//B'C'/y'轴，且AB'=2B'C'=2,则四边形ABCD的面积为() : A.2 B.2W2 C.4 D.4V2 拟 3.在△ABC中，∠A=30°，BC=2,满足此条件的△ABC有两解，则AB的范围为() : : A.(2,4) B.(2,8) C.(4,8) D.(4,+0) 4.已知一组实数：1,2,4，x,8,10,若该组数据的第P百分位数为4，则P不可能是（) : A.40 B.50 C.60 D.70 5.某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，A,B,C,D为该正方体的 : 顶点，AA,BB,CC为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面&.若平面ABC与平面平行，且直绳 索A4的长度为23米，则点D到平面的距离为() : 试题第1页（共8页） 6学科网·上好课 A.25米 B.√5米 c.5米 D.45米 3 3 3 6.三棱柱ABC-AB,C1中，E是棱CC的中点，D是棱BC上一点，BD=DC,若AB∥平面ADE,则 实数2的值为() A A.2 B.1 C.2 D.4 7.甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：(1)累计负两场者被淘汰；(2)比赛前抽签决定 首先比赛的两人，另一人轮空；(3)每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有 一人被淘汰；(4)当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结 束经抽签甲、乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为() A. 5 B. D. 3 16 16 c. 8 AB AC 8.已知非零向量AB与AC满足 AB BC=0,且AB+AC=AB-AC=4,点D是△ABC的边AB 上的动点，则DB.DC的最小值为() A.-2 B.2 C.-1 D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数3,33在复平面内对应的点分别为Z,Z,O为坐标原点，则() A.若21+22>0，则31>-2 B.Ozoz. C.若3+=3-22，则0Z0Z,=0D. 10.已知样本数据x1,x2,,x的平均数是3，方差是2，样本数据乃，y2,,y,的平均数是1，方差 是4，则下列结论正确的是(). A.数据2x+1,2x2+1,,2x,+1的平均数是7 B.数据24-1,2y%-1,,2y-1的方差是16 C.数据x,x,,,乃，，，的平均数为3 D.数据x,x2,,,,,,的方差为4 11.正方体内有两个互相垂直的内切圆柱（如图1所示），将它们公共部分的几何体记为2（如图2所示). 试题第2页（共8页） 可学科网·上好课 若圆柱底面半径为1，两个圆柱相交时表面形成的交线分别记为，2，点P在1上运动，E,F分别为AA, CC的中点，则下列说法正确的是() A片号 B.点P的轨迹是椭圆B C.存在点P,使∠EPF= 2 D.棱长为1.6的正四面体能够被整体放入2内 图1 图2 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.圆锥P0的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过P0的中点Q作平行于底 面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱OO,则剩下几何体的体积为 13.已知在△ABC中，AB=6,AC=2,且2AB+(3-3)AC(∈R)的最小值为3√3，若P为边AB上任 意一点，则PBPC的最小值为 14.在△ABC中，若(sinA+sinB):(sinA+sinC):(sinB+sinC)=9:10:11,CD是∠ACB的平分线， S△Bc=30N7,则CD的长为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知i为虚数单位，1，二2是实系数一元二次方程的两个虚根 (1)设1,52满足方程4名+2=10+6i,求，52： (2)设3=1-i,复数1,2所对的向量分别是a与5，若向量ā-b与ā+2b的夹角为钝角，求实数1的取值 范围。 16.(15分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=2,（W3a-bsinC)cosB=a+bsinBcosC. (1)求B: (2)若△4BC的面积为2-V3 求△ABC的周长： (3)求a-√3c的取值范围 17.(15分)某校举行了数学、英语两门学科竞赛，两门学科竞赛前10名成绩的茎叶图如下： 数学竞赛前10名分数 英语竞赛前10名分数 864200 14 001234 8642 13 6789 试题第3页（共8页） (1)分别求出数学、英语竞赛前10名分数的平均数、标准差； : (2)经检查发现：有一名同学的数学与英语竞赛成绩均在前10名，但是老师却将其数学与英语竞赛成绩统 O : 计反了，已知正确的数学竞赛前10名分数的平均分为141，标准差为17， (i)求正确的英语竞赛前10名分数的标准差： ()为了便于成绩分析，对数学竞赛前10名的正确分数进行“M分数”转换，要求如下：转化前后名次不 : 变，且10个“M分数"的平均分为50、标准差为10请你给出一个满足要求的线性转换公式：y=kx+n(其 : 中，x表示数学竞赛分数，y表示数学竞赛分数对应的“M分数”，k,为常数)，并证明. : : (参考公式： : 米 图，四枝锥P-ABCD,侧面2AD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC4L ∠BAD=∠ABC=90°，O是AD的中点. : (1)求证：平面PAC⊥平面POB; 游 (2)点M在棱PC上，满足PM=PC0<元<)，且三棱锥P-ABM的体积为V 3 : ①求的值： : : S ②二面角M-AB-D的正切值. : 19.(17分)离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体M的一个项点，定义多面体M在点P 处的离敢曲率为，-1点(Q,心，+2QP照++2Q.Q.+∠QPg),其中Q=12kk≥到为多 面体M中所有与点P相邻的顶点，且平面QPO2,平面Q2PO3,,平面O-1POk和平面O.P9为多面体M 中所有以P为顶点的面.如图，已知直四棱柱ABCD-AB,CD的所有棱长均为2. 世 B : : 。: (1)求直四棱柱ABCD-AB,CD在顶点A,B,C,，D处的离散曲率和： (2)若直四棱柱ABCD-4B,CD在顶点A,C处的离散曲率和为子，P为DD的中点. (i)E,F分别为AB,BB,的中点.作出平面PEF截直四棱柱ABCD-AB,C,D所得截面（保留作图痕 迹，不需写作图过程)，并求该截面的面积： (ii)M,N分别为底面ABCD和△ABD的边界及其内部的两动点，求PM+MN的最小值. 试题第4页（共8页） :可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数学 （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：人教A版必修第二册全册（平面向量及其应用+复数+立体几何初步+概率+统计） 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.若复数：满足=1+i,则：=（) A.1-i B.1+i c.-1-i D.-1+i 2.如图，用斜二测画法作出四边形ABCD的直观图为四边形A'B'CD,若A'B'1/D'C//x'轴， AD/B'C'/Iy轴，且AB=2B'C=2,则四边形ABCD的面积为() y D' A.2 B.2√2 C.4 D.42 3.在△ABC中，∠A=30°，BC=2,满足此条件的△ABC有两解，则AB的范围为() A.(2,4) B.(2,8) C.(4,8) D.(4,+0) 4.已知一组实数：1,2,4，x,8,10,若该组数据的第P百分位数为4，则卫P不可能是() A.40 B.50 C.60 D.70 5.某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，A,B,C,D为该正方体的 顶点，A4,BB,CC为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面&.若平面ABC与平面α平行，且直绳 索A4的长度为2√3米，则点D到平面x的距离为() 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.25米 B.5米 c.3米 D.43米 3 3 3 6.三棱柱ABC-AB,C1中，E是棱CC的中点，D是棱BC上一点，BD=DC,若AB∥平面ADE,则 实数的值为() A.2 B.1 C.2 D.4 7.甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：(1)累计负两场者被淘汰：(2)比赛前抽签决定 首先比赛的两人，另一人轮空；（3)每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有 一人被淘汰；(4)当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结 束经抽签甲、乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为子，则丙最终获胜的概率为（) B. 7 16 C. 0.3 8 AB AC 8.已知非零向量5与AC满足 BC=0,且AB+AC=AB-AC=4,点D是△ABC的边AB 上的动点，则DB.DC的最小值为( A.-2 B.2 c.-1 D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.己知复数3,3在复平面内对应的点分别为Z,Z2,O为坐标原点，则() A.若1+22>0，则3>-22 B.oz oz. C.若5+2=5-，则0Z·OZ2=0D 0z3 10.己知样本数据x,x2,,x的平均数是3，方差是2，样本数据y1,y3,,的平均数是1，方差 是4，则下列结论正确的是(). A.数据2x1+1,2x3+1,,2x+1的平均数是7 B.数据24-1,2y2-1,,2y-1的方差是16 2/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.数据x，x2,,,,,…,的平均数为3 D.数据X,x2,,x,,y2,…,的方差为4 11.正方体内有两个互相垂直的内切圆柱（如图1所示），将它们公共部分的几何体记为2（如图2所 示)若圆柱底面半径为1，两个圆柱相交时表面形成的交线分别记为，2，点P在t1上运动，E,F分别 为AA,CC的中点，则下列说法正确的是() 图1 图2 8 A.Vo> 3 B.点P的轨迹是椭圆B C.存在点P,使∠EPF= 2 D.棱长为1.6的正四面体能够被整体放入2内 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.圆雒0的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为号的扇形，如图。过0的中点Q作平行于底 面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱OO,则剩下几何体的体积为 B 13.已知在△ABC中，AB=6AC=2,且AB+(3-3n)4C(2∈R)的最小值为33，若P为边AB上任 意一点，则PBPC的最小值为 14.在△ABC中，若(siA+sinB):(sinA+sinC):(sinB+sinC)=9:l0:11,CD是∠ACB的平分线， S。Asc=30W万，则CD的长为 3/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 己知i为虚数单位，1,52是实系数一元二次方程的两个虚根 (1)设5,2满足方程4z1+3=10+6i,求三1,2： (2)设3=1-i,复数，52所对的向量分别是ā与6，若向量ā-b与石+2b的夹角为钝角，求实数入的取值 范围。 16.(15分) 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=2,（V3a-bsinC)cosB=a+bsinBeosC. (1)求B: 2)若△1BC的面积为2-5，求△ABC的周长， 4 (3)求a-√3c的取值范围. 4/7 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(15分) 某校举行了数学、英语两门学科竞赛，两门学科竞赛前10名成绩的茎叶图如下： 数学竞赛前10名分数 英语竞赛前10名分数 864200 14 001234 8642 13 6789 (1)分别求出数学、英语竞赛前10名分数的平均数、标准差： (2)经检查发现：有一名同学的数学与英语竞赛成绩均在前10名，但是老师却将其数学与英语竞赛成绩统 计反了，己知正确的数学竞赛前10名分数的平均分为141，标准差为V17 (1)求正确的英语竞赛前10名分数的标准差： (i)为了便于成绩分析，对数学竞赛前10名的正确分数进行“M分数”转换，要求如下：转化前后名次不 变，且10个“M分数”的平均分为50、标准差为10.请你给出一个满足要求的线性转换公式：y=x+n (其中，x表示数学竞赛分数，y表示数学竞赛分数对应的“M分数”，飞，n为常数)，并证明. (参考公式： 5/7 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(17分) 如图，四棱锥P-ABCD,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD=2, ∠BAD=∠ABC=90°，O是AD的中点. 力 B-- (1)求证：平面PAC⊥平面POB: 2点M在棱PC上，满是PM=PC(0<<),且三棱锥P-ABM的体积为 3 ①求的值： ②二面角M-AB-D的正切值. 6./7 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(17分) 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲 1 率为④，=1- (∠OP92+∠Q2PO3+…+∠Q-1P2.+∠QP9),其中2(i=1,2,,k,k≥3)为多面体M中所 2兀 有与点P相邻的顶点，且平面QPQ2,平面OPO,,平面Q.-1P2.和平面Q.PQ为多面体M中所有以P 为顶点的面.如图，已知直四棱柱ABCD-AB,CD的所有棱长均为2. M (1)求直四棱柱ABCD-AB,CD在顶点A,B,C,D处的离散曲率和； (2)若直四棱柱ABCD-ABCD在顶点A,C处的离散曲率和为；，P为DD的中点. (i)E,F分别为AB,BB的中点.作出平面PEF截直四棱柱ABCD-AB,CD所得截面（保留作图痕 迹，不需写作图过程)，并求该截面的面积： (i)M,N分别为底面ABCD和△AB,D的边界及其内部的两动点，求PM+MN的最小值： 7/7 2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B C A D D C B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ABD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 13. 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数，设的表达式，再结合已知方程求解； （2）先根据求出，进而得到向量的坐标，再结合向量夹角为钝角的条件列出不等式求解； 【详解】（1）因为是实系数一元二次方程的两个虚根， 所以互为共轭复数，设，则， 将代入可得， 即，根据复数相等的条件，可得，解得 所以，...............................................6分 （2）设，则，故与， 那么，， 由于向量与的夹角为钝角， 那么且向量与不共线， 则解得 且， 故实数的取值范围为...............................................13分 16．（15分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理和三角形内角和化简原式，再用和角公式求解即可； （2）根据三角形面积公式求出的值，再根据余弦定理求出，进而求出，最后求出周长； （3）根据正弦定理表示出，根据三角函数值的范围求解. 【详解】（1），且. 整理得 由正弦和角公式：， 由正弦定理，代入得 两边除以得 整理得 即，即 因为，所以， 故，得...............................................4分 （2）已知面积，且，. 由面积公式 故，得. 由余弦定理 代入，： 整理得 而， 因为，故. 因此周长为..............................................9分 （3）由正弦定理：， 故，. 又，，故，其中. 因为，所以， 则， 故...............................................15分 17．（15分） 【答案】(1)数学、英语竞赛前10名分数的平均数分别为140、140；标准差分别为； (2)（i）正确的英语竞赛前10名分数的标准差为； （ii），，证明见解析. 【分析】（1）根据茎叶图给出的数据，利用平均数、标准差公式直接计算；（2）（i）由数学平均分的差异说明该同学正确的成绩应该是数学比英语多10分，找到可能的数据，利用标准差验证；（ii）给定线性转换公式，并验证. 【详解】（1）设数学、英语竞赛前10名的平均分分别为、，标准差分别为、， 则， ， ..............................................5分 （2）（i）因为正确的数学竞赛前名的平均分为，所以正确总分比错误的总分多了分， 所以该同学数学成绩与英语成绩相差分，由茎叶图，可能是英语132分数学142分统计反了；也可能是英语134分数学144分统计反了； 若英语132分数学142分，则； 若英语134分数学144分，则； 所以是英语132分数学142分统计反了. 所以英语正确的平均分， 英语正确分数的标准差；..............................................10分 （ii）设转换公式为，则， 所以，将代入， 得，所以，， 即满足要求的线性转换公式为：，下面证明 因为“分数”转换之前的10个正确分数的平均分是，标准差为， 则转换后的平均分； 因为， 所以转换后的标准差， 即转换公式满足条件得证...............................................15分 【点睛】利用转换公式建立新旧数据平均数与标准差的关系，确定的取值是关键. 18．（17分） 【答案】(1)证明见解析 (2)①，②二面角的正切值为 【分析】（1）连接，则可得四边形为正方形，得，由已知条件结合面面垂直的性质可得平面，则，则由线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可得结论； （2）①设点到平面的距离分别为，由可求出，由三棱锥的体积为，可求出，再由可求出的值；②取靠近点的四等分点，连接，过点作于，连接，则可得为二面角的平面角，然后在中可求得结果. 【详解】（1）连接， 因为底面中，，， 所以四边形为正方形，所以， 因为侧面为等边三角形，O是的中点， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面；...........................................5分 （2）①因为底面中，，，侧面为等边三角形，O是的中点， 所以，，， 因为平面，平面， 所以， 所以， 因为， 所以，所以， 设点到平面的距离分别为， 因为，所以， ，解得， 因为三棱锥的体积为， 所以，所以，解得， 所以，所以， 因为，所以，.............................................11分 ②取靠近点的四等分点，连接，则//， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 过点作于，连接， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，所以， 因为， 所以四边形为矩形，所以， 所以在中，， 所以二面角的正切值为...........................................17分 19．（17分） 【答案】(1)1 (2)（i）如图所示: 截面的面积为 （ii） 【分析】（1）依托离散曲率定义列式求和，结合四边形内角和化简算出四点曲率和为1. （2）（i）由、曲率和推出底面内角为直角，判定几何体为正方体，找棱中点连成正六边形截面并套用正六边形面积公式得. （ii）对称转化线段，用等体积法求点面距，得到最小值. 【详解】（1）由离散曲率的定义以及直四棱柱的性质可得 ．..............................................5分 （2）（i）如图所示: ， 可得． 又，所以． 又直四棱柱的所有棱长都相等， 所以直四棱柱为正方体． 如图所示:正六边形为平面截直四棱柱所得截面， 其中6个顶点分别为所在棱的中点，正六边形的边长为， 其面积为．..............................................11分 （ii）如图所示，作点关于平面的对称点，则． 过作平面，垂足为，所以， 即的最小值为点到平面的距离，即垂线段的长． 由可得， 所以， 所以的最小值为．..............................................17分 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版必修第一册全册（平面向量及其应用+复数+立体几何初步+概率+统计） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，用斜二测画法作出四边形的直观图为四边形，若轴，轴，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知一组实数：1，2，4，x，8，10，若该组数据的第百分位数为4，则不可能是（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 5．某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 7．甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：（1）累计负两场者被淘汰；（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签甲､乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 10．已知样本数据，，…，的平均数是3，方差是2，样本数据，，…，的平均数是1，方差是4，则下列结论正确的是（    ）． A．数据，，…，的平均数是7 B．数据，，…，的方差是16 C．数据，，…，，，，…，的平均数为3 D．数据，，…，，，，…，的方差为4 11．正方体内有两个互相垂直的内切圆柱（如图1所示），将它们公共部分的几何体记为（如图2所示）.若圆柱底面半径为1，两个圆柱相交时表面形成的交线分别记为，点P在上运动，E，F分别为，的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．点P的轨迹是椭圆B C．存在点P，使 D．棱长为的正四面体能够被整体放入内 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．圆锥的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过的中点作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的体积为______________． 13．已知在中， ，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值为__________． 14．在中，若，是的平分线，，则的长为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根 (1)设满足方程，求； (2)设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 16．（15分）已知的内角所对的边分别为，且，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)求的取值范围． 17．（15分）某校举行了数学、英语两门学科竞赛，两门学科竞赛前10名成绩的茎叶图如下： 数学竞赛前10名分数 英语竞赛前10名分数 8 6 4 2 0 0 8 6 4 2 14 13 0 0 1 2 3 4 6 7 8 9 (1)分别求出数学、英语竞赛前10名分数的平均数、标准差； (2)经检查发现：有一名同学的数学与英语竞赛成绩均在前10名，但是老师却将其数学与英语竞赛成绩统计反了，已知正确的数学竞赛前10名分数的平均分为141，标准差为. （i）求正确的英语竞赛前10名分数的标准差； （ii）为了便于成绩分析，对数学竞赛前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为、标准差为.请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数学竞赛分数，表示数学竞赛分数对应的“分数”，为常数），并证明. （参考公式：） 18．（17分）如图，四棱锥，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，O是AD的中点. (1)求证：平面平面POB； (2)点M在棱PC上，满足，且三棱锥的体积为， ①求的值； ②二面角的正切值. 19．（17分）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体中所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体中所有以为顶点的面．如图，已知直四棱柱的所有棱长均为2． (1)求直四棱柱在顶点，，，处的离散曲率和； (2)若直四棱柱在顶点，处的离散曲率和为，为的中点． （i），分别为，的中点．作出平面截直四棱柱所得截面（保留作图痕迹，不需写作图过程），并求该截面的面积； （ii），分别为底面和的边界及其内部的两动点，求的最小值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，两边取模可得， 所以，故. 2．如图，用斜二测画法作出四边形的直观图为四边形，若轴，轴，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由直观图的定义和性质得到四边形为边长为的正方形即可求解. 【详解】由题可得轴且，轴且， 所以四边形为边长为的正方形， 所以四边形的面积为． 3．在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，. 有两解的充要条件是： 得 ，即. 4．已知一组实数：1，2，4，x，8，10，若该组数据的第百分位数为4，则不可能是（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】D 【分析】按分类，结合第百分位数的定义逐项分析判断. 【详解】对于A，当时，由，得该组数据的第百分位数为由小到大排列的第3个数4，A可能； 对于B，当时，由，得该组数据的第百分位数为由小到大排列的第3、4个数的平均数4，B可能； 对于C，当时，由，得该组数据的第百分位数为由小到大排列的第4个数4，C可能； 对于D，，无论取何值，该组数据由小到大排列的第5个数不可能为4，因此不可能为，D不可能. 5．某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】利用等体积法求得点到平面的距离，可求点到平面的距离． 【详解】设点到平面的距离为， 根据正方体的性质可知：点到平面的距离为， 因为，所以， 由正方体可得， 所以， 解得，即点到平面的距离为， 又因为平面与平面平行，直绳索的长度为米， 所以点到平面的距离为． 6．三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，连接，利用线面平行的性质定理及平行线分线段成比例定理求解. 【详解】如图，连接，设，连接. 因为平面，平面平面，平面， 所以. 在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，即. 所以与相似， 则，又在中，由可得. 所以，即. 7．甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：（1）累计负两场者被淘汰；（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签甲､乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，将丙最终获胜的可能情况进行分类，分别求出各类事件发生的概率，再由互斥事件概率公式计算可得． 【详解】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，注意丙轮空时， 甲乙比赛结果对下面丙获胜概率没有影响（或者用表示）， 若比赛4场，丙最终获胜，则丙3场全胜，概率为， 若比赛5场，丙最终获胜，则从第二场开始的4场比赛按照丙的胜负轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为， 所以丙获胜的概率为． 故选：B． 8．已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】分析出为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系，表达出，求出最小值. 【详解】分别表示与同方向的单位向量， 故为的平分线所在直线， 又，故的平分线所在直线与垂直， 由三线合一可得， 取的中点，则，， ，故， 所以为等腰直角三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，设，， 则， 故当时，取得最小值，最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BCD：设，，根据复数的运算和几何意义分析判断. 【详解】对于选项A：例如，，则， 但，不能比较大小，故A错误； 对于选项BCD：设，， 则，，， 所以，故B正确； 因为，， 若，则， 整理可得，所以，故C正确； 因为， 且， 则， 所以，D正确． 10．已知样本数据，，…，的平均数是3，方差是2，样本数据，，…，的平均数是1，方差是4，则下列结论正确的是（    ）． A．数据，，…，的平均数是7 B．数据，，…，的方差是16 C．数据，，…，，，，…，的平均数为3 D．数据，，…，，，，…，的方差为4 【答案】ABD 【分析】应用均值、方差的性质求新数据的均值和方差判断A、B，应用分层抽样的均值和方差求法判断C、D. 【详解】由题意，， A：由题设，数据平均数为，对； B：由题设，数据方差为，对； C：由题设，数据平均数为，错； D：由题设，数据方差为 ，对； 故选：ABD 11．正方体内有两个互相垂直的内切圆柱（如图1所示），将它们公共部分的几何体记为（如图2所示）.若圆柱底面半径为1，两个圆柱相交时表面形成的交线分别记为，点P在上运动，E，F分别为，的中点，则下列说法正确的是（   ）    A． B．点P的轨迹是椭圆B C．存在点P，使 D．棱长为的正四面体能够被整体放入内 【答案】ABD 【分析】根据几何体特征结合四棱锥体积公式计算判断A，应用曲线特征判断B，C，应用正方体及正四面体的外接球性质计算判断D. 【详解】设于，， 对A，，即选项A正确． 对B，曲线所在平面斜截圆柱，故为椭圆，选项B正确． 对C，当时，在以为直径的圆上，显然椭圆上这样的点不存在，选项C错误． 对D，设内部有一个正四面体，该正四面体内接于球，内部的球的最大半径为1， 设半径为1的球是边长为的正方体的外接球，所以，所以， 半径为1的球是边长为正四面体的外接球，所以正四面体的边长是正方体的面对角线，所以， 故此正四面体的棱长最大为，而比1.6大，故选项D正确．    第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．圆锥的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过的中点作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的体积为______________． 【答案】 【分析】由圆锥侧面展开图的弧度确定圆锥的母线，进而可求锥体和柱体的高，以此分别求体积后相减即可. 【详解】设圆锥的母线长为l，由题意得底面圆的半径， 则，可得，即母线， 所以圆锥的高， 因为是的中点，由三角形相似易得挖去圆柱的底面半径为1， 且圆柱的高，则该圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 则剩下几何体的体积． 13．已知在中， ，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】利用向量的平方求模，借助二次函数求最小值，然后可求得角，再由余弦定理求边，由正弦定理求角，再进行向量的数量积运算可求得最小值. 【详解】设，对平方得： ， 由于, ，所以当时，取到最小值， 即， 因为，所以， 由余弦定理可得：， 取中点为，则， 因为为边上任意一点，则的最小值为点到的距离， 再由正弦定理可得：， 所以，即的最小值为. 14．在中，若，是的平分线，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据正弦定理及余弦定理得到，结合同角的三角函数关系及二倍角公式求出及，结合三角形面积公式求解即可. 【详解】由正弦定理得，. 设，则，，解得，，. 由余弦定理得， 又，则.    所以，解得. 因为是的平分线，所以，， 所以， 又，所以. 又， 所以，即， 解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根 (1)设满足方程，求； (2)设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数，设的表达式，再结合已知方程求解； （2）先根据求出，进而得到向量的坐标，再结合向量夹角为钝角的条件列出不等式求解； 【详解】（1）因为是实系数一元二次方程的两个虚根， 所以互为共轭复数，设，则， 将代入可得， 即，根据复数相等的条件，可得，解得 所以，...............................................6分 （2）设，则，故与， 那么，， 由于向量与的夹角为钝角， 那么且向量与不共线， 则解得 且， 故实数的取值范围为...............................................13分 16．（15分） 已知的内角所对的边分别为，且，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理和三角形内角和化简原式，再用和角公式求解即可； （2）根据三角形面积公式求出的值，再根据余弦定理求出，进而求出，最后求出周长； （3）根据正弦定理表示出，根据三角函数值的范围求解. 【详解】（1），且. 整理得 由正弦和角公式：， 由正弦定理，代入得 两边除以得 整理得 即，即 因为，所以， 故，得...............................................4分 （2）已知面积，且，. 由面积公式 故，得. 由余弦定理 代入，： 整理得 而， 因为，故. 因此周长为..............................................9分 （3）由正弦定理：， 故，. 又，，故，其中. 因为，所以， 则， 故...............................................15分 17．（15分） 某校举行了数学、英语两门学科竞赛，两门学科竞赛前10名成绩的茎叶图如下： 数学竞赛前10名分数 英语竞赛前10名分数 8 6 4 2 0 0 8 6 4 2 14 13 0 0 1 2 3 4 6 7 8 9 (1)分别求出数学、英语竞赛前10名分数的平均数、标准差； (2)经检查发现：有一名同学的数学与英语竞赛成绩均在前10名，但是老师却将其数学与英语竞赛成绩统计反了，已知正确的数学竞赛前10名分数的平均分为141，标准差为. （i）求正确的英语竞赛前10名分数的标准差； （ii）为了便于成绩分析，对数学竞赛前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为、标准差为.请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数学竞赛分数，表示数学竞赛分数对应的“分数”，为常数），并证明. （参考公式：） 【答案】(1)数学、英语竞赛前10名分数的平均数分别为140、140；标准差分别为； (2)（i）正确的英语竞赛前10名分数的标准差为； （ii），，证明见解析. 【分析】（1）根据茎叶图给出的数据，利用平均数、标准差公式直接计算；（2）（i）由数学平均分的差异说明该同学正确的成绩应该是数学比英语多10分，找到可能的数据，利用标准差验证；（ii）给定线性转换公式，并验证. 【详解】（1）设数学、英语竞赛前10名的平均分分别为、，标准差分别为、， 则， ， ..............................................5分 （2）（i）因为正确的数学竞赛前名的平均分为，所以正确总分比错误的总分多了分， 所以该同学数学成绩与英语成绩相差分，由茎叶图，可能是英语132分数学142分统计反了；也可能是英语134分数学144分统计反了； 若英语132分数学142分，则； 若英语134分数学144分，则； 所以是英语132分数学142分统计反了. 所以英语正确的平均分， 英语正确分数的标准差；..............................................10分 （ii）设转换公式为，则， 所以，将代入， 得，所以，， 即满足要求的线性转换公式为：，下面证明 因为“分数”转换之前的10个正确分数的平均分是，标准差为， 则转换后的平均分； 因为， 所以转换后的标准差， 即转换公式满足条件得证...............................................15分 【点睛】利用转换公式建立新旧数据平均数与标准差的关系，确定的取值是关键. 18．（17分） 如图，四棱锥，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，O是AD的中点. (1)求证：平面平面POB； (2)点M在棱PC上，满足，且三棱锥的体积为， ①求的值； ②二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①，②二面角的正切值为 【分析】（1）连接，则可得四边形为正方形，得，由已知条件结合面面垂直的性质可得平面，则，则由线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可得结论； （2）①设点到平面的距离分别为，由可求出，由三棱锥的体积为，可求出，再由可求出的值；②取靠近点的四等分点，连接，过点作于，连接，则可得为二面角的平面角，然后在中可求得结果. 【详解】（1）连接， 因为底面中，，， 所以四边形为正方形，所以， 因为侧面为等边三角形，O是的中点， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面；...........................................5分 （2）①因为底面中，，，侧面为等边三角形，O是的中点， 所以，，， 因为平面，平面， 所以， 所以， 因为， 所以，所以， 设点到平面的距离分别为， 因为，所以， ，解得， 因为三棱锥的体积为， 所以，所以，解得， 所以，所以， 因为，所以，.............................................11分 ②取靠近点的四等分点，连接，则//， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 过点作于，连接， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，所以， 因为， 所以四边形为矩形，所以， 所以在中，， 所以二面角的正切值为...........................................17分 19．（17分） 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体中所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体中所有以为顶点的面．如图，已知直四棱柱的所有棱长均为2． (1)求直四棱柱在顶点，，，处的离散曲率和； (2)若直四棱柱在顶点，处的离散曲率和为，为的中点． （i），分别为，的中点．作出平面截直四棱柱所得截面（保留作图痕迹，不需写作图过程），并求该截面的面积； （ii），分别为底面和的边界及其内部的两动点，求的最小值． 【答案】(1)1 (2)（i）如图所示: 截面的面积为 （ii） 【分析】（1）依托离散曲率定义列式求和，结合四边形内角和化简算出四点曲率和为1. （2）（i）由、曲率和推出底面内角为直角，判定几何体为正方体，找棱中点连成正六边形截面并套用正六边形面积公式得. （ii）对称转化线段，用等体积法求点面距，得到最小值. 【详解】（1）由离散曲率的定义以及直四棱柱的性质可得 ．..............................................5分 （2）（i）如图所示: ， 可得． 又，所以． 又直四棱柱的所有棱长都相等， 所以直四棱柱为正方体． 如图所示:正六边形为平面截直四棱柱所得截面， 其中6个顶点分别为所在棱的中点，正六边形的边长为， 其面积为．..............................................11分 （ii）如图所示，作点关于平面的对称点，则． 过作平面，垂足为，所以， 即的最小值为点到平面的距离，即垂线段的长． 由可得， 所以， 所以的最小值为．..............................................17分 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学期末模拟卷卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17． （15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版必修第二册全册（平面向量及其应用+复数+立体几何初步+概率+统计） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，用斜二测画法作出四边形的直观图为四边形，若轴，轴，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知一组实数：1，2，4，x，8，10，若该组数据的第百分位数为4，则不可能是（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 5．某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 7．甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：（1）累计负两场者被淘汰；（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签甲､乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 10．已知样本数据，，…，的平均数是3，方差是2，样本数据，，…，的平均数是1，方差是4，则下列结论正确的是（    ）． A．数据，，…，的平均数是7 B．数据，，…，的方差是16 C．数据，，…，，，，…，的平均数为3 D．数据，，…，，，，…，的方差为4 11．正方体内有两个互相垂直的内切圆柱（如图1所示），将它们公共部分的几何体记为（如图2所示）.若圆柱底面半径为1，两个圆柱相交时表面形成的交线分别记为，点P在上运动，E，F分别为，的中点，则下列说法正确的是（   ）    A． B．点P的轨迹是椭圆B C．存在点P，使 D．棱长为的正四面体能够被整体放入内 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．圆锥的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过的中点作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的体积为______________． 13．已知在中， ，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值为__________． 14．在中，若，是的平分线，，则的长为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根 (1)设满足方程，求； (2)设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 16．（15分） 已知的内角所对的边分别为，且，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)求的取值范围． 17．（15分） 某校举行了数学、英语两门学科竞赛，两门学科竞赛前10名成绩的茎叶图如下： 数学竞赛前10名分数 英语竞赛前10名分数 8 6 4 2 0 0 8 6 4 2 14 13 0 0 1 2 3 4 6 7 8 9 (1)分别求出数学、英语竞赛前10名分数的平均数、标准差； (2)经检查发现：有一名同学的数学与英语竞赛成绩均在前10名，但是老师却将其数学与英语竞赛成绩统计反了，已知正确的数学竞赛前10名分数的平均分为141，标准差为. （i）求正确的英语竞赛前10名分数的标准差； （ii）为了便于成绩分析，对数学竞赛前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为、标准差为.请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数学竞赛分数，表示数学竞赛分数对应的“分数”，为常数），并证明. （参考公式：） 18．（17分） 如图，四棱锥，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，O是AD的中点. (1)求证：平面平面POB； (2)点M在棱PC上，满足，且三棱锥的体积为， ①求的值； ②二面角的正切值. 19．（17分） 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体中所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体中所有以为顶点的面．如图，已知直四棱柱的所有棱长均为2． (1)求直四棱柱在顶点，，，处的离散曲率和； (2)若直四棱柱在顶点，处的离散曲率和为，为的中点． （i），分别为，的中点．作出平面截直四棱柱所得截面（保留作图痕迹，不需写作图过程），并求该截面的面积； （ii），分别为底面和的边界及其内部的两动点，求的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $