专题14 直线和平面的平行、垂直问题9种常见考法归类（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 该专项聚焦直线与平面平行垂直的9类考法，通过分级题型构建从概念判断到探索性问题的完整训练体系，强化空间观念与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线面平行垂直概念判断|7题|多选为主考查命题真假|从定义出发建立空间关系认知| |线面平行证明|8题|构造中点三等分点等平行关系|体现线线平行到线面平行转化| |面面平行证明|5题|通过线面平行证面面平行|线面平行是面面平行的基础| |平行关系应用|5题|含轨迹和探究性平行问题|平行性质的逆向应用与空间想象| |线面垂直证明|7题|涉及复杂底面垂直转化|垂直关系的多层判定与推理| |线线垂直证明|6题|含折叠和动态垂直问题|线面垂直是线线垂直的桥梁| |面面垂直证明|7题|结合特殊图形证面面垂直|线面垂直是面面垂直的核心| |面面垂直性质应用|7题|利用性质转化垂直关系|性质定理的灵活应用与构造| |探索性问题|8题|存在性探究与位置确定|综合平行垂直关系的高阶应用|

专题14 直线和平面的平行、垂直问题9种常考考法归类 题型一 线面平行、垂直基本概念的判断 题型六 线线垂直关系的证明 题型二 线面平行关系的证明 题型七 面面垂直关系的证明 题型三 面面平行关系的证明 题型八 面面垂直性质的应用 题型四 线面平行、面面平行关系的应用 题型九 线面平行与垂直关系的探索性问题 题型五 线面垂直关系的证明 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 线面平行、垂直基本概念的判断 1．（2026·辽宁朝阳·模拟预测）已知直线a，b与平面，能使的充分条件是（   ） A． B． C． D． 2．【多选】（2026高二·陕西榆林·开学考试）已知m，n表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题为假命题的有（    ） A．若，，则m，n相交或平行 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．【多选】（2026高一·重庆·阶段检测）已知l，m，n是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题不正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 4．【多选】（2026·广东·模拟预测）设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 5．【多选】（2026高一·吉林长春·期中）已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题错误的是（    ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 6．（2026·江苏·模拟预测）设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（2026高一·广东惠州·期中）设是两条不同的直线，是三个不同的平面 则下列选项正确的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型2 线面平行关系的证明 8．（2026高一·湖北·期中）如图，在空间几何体中，底面满足，点为线段上靠近点的三等分点，点、为线段的中点． (1)证明：平面； (2)若平面经过点、、三点，且与棱交于点．请作图画出在棱上的位置，并求出的值． 9．（2026高一·浙江嘉兴·期中）如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点． (1)求圆柱的侧面积； (2)求圆柱的外接球的表面积； (3)证明：平面． 10．（2026高一·北京·期中）如图，在长方体中，，，点为棱的中点． (1)证明：平面； (2)取、中点M、N，若平面交于，证明：为中点； (3)求异面直线与所成角的大小； 11．（2026高一·黑龙江牡丹江·期中）如图所示，四棱锥中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，，M为PC的中点. (1)求证：BM平面PAD； (2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD. 12．（2026高一·福建厦门·期中）如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 13．（2026高一·广东揭阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．    (1)求的体积； (2)求证：平面； (3)求证：平面． 14．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在三棱台中，，， ，，分别为的中点，且 (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，求平面与平面的夹角的正弦值. 15．（2026高一·广西百色·期中）如图，在正三棱柱中，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 题型3 面面平行关系的证明 16．【多选】（2026高一·广东珠海·期中）如图，正方体的棱长为6，，，分别为，AD，的中点，则（   ）    A．直线平面 B．平面平面 C．三棱锥的体积为18 D．平面截正方体所得的截面是等腰梯形 17．（2026高一·北京·期中）已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求证：； (3)求证：． 18．（2026高一·吉林长春·期中）如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，、为侧棱上的点，且，点为上的点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 19．（2026高一·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. (3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20．（2026高一·吉林·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由． 题型4 线面平行、面面平行关系的应用 21．（2026高一·河南濮阳·期中）三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 22．（2026高一·吉林长春·期中）如图，在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，______． 23．（2026高一·江苏常州·期中）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为________． 24．（2026高一·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，，，分别是，的中点，，． (1)求证平面； (2)若平面，求的值； 25．（2026高一·北京顺义·期中）如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)是线段的中点； (3)平面． 题型5 线面垂直关系的证明 26．（2026高一·四川·期末）如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的大小. 27．（2026高一·广东·期末）如图，在直三棱柱中，，、分别是棱、上的点（点不在的端点处），且，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 28．（2026高一·山东·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，．    (1)求证：平面； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当时，求二面角正切值的取值范围． 29．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 30．（2026高一·天津·期末）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 31．（2026高一·广西百色·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求二面角所成角的余弦值. 32．（2026高一·山西忻州·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.    (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 题型6 线线垂直关系的证明 33．（2026高一·北京·期中）已知正方体棱长为4，是的中点，点是上一点，是上一点，且平面平面， (1)求证：点是的中点． (2)求证： (3)棱上是否存在点使得平面平面，若存在，求出三棱锥的体积，若不存在，说明理由． 34．（2026高二·湖南邵阳·阶段检测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 35．（2026高一·全国·期末）在平面四边形中，（如图），沿对角线将折起，使点在平面上的射影恰落在上（如图）． (1)求证：； (2)求和平面所成角的余弦值． 36．（2026高一·河南新乡·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，且． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)若，求平面与平面夹角的正切值． 37．（2026高一·陕西咸阳·阶段检测）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面.其中，. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)为上的动点，以为直径作球，设，若球与平面相交得到的截面的面积为，求的最小值. 38．（2026高一·全国·期末）如图一，四边形是边长为的菱形，，，，分别为的中点，将沿边折起，使，连接，如图二. (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值. 题型7 面面垂直关系的证明 39．（2026高一·广东深圳·期中）如图，为圆锥顶点，为底面圆心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形． (1)求证：平面平面； (2)若圆锥的底面半径为，高为，求点到平面的距离． (3)在（2）的条件下，该圆锥是否存在外接球，若有求出其外接球表面积；如果没有请说明理由． 40．（2026高一·重庆·期中）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，，，点在直线上. (1)求证：平面平面； (2)在直线上找一点，使得平面，并求的长. 41．（2026高一·河南·阶段检测）如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若线段上存在点，使得平面平面， （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值. 42．（2026高三·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，底面ABCD，，E是PC上任一点，. (1)求证：平面平面PAC： (2)若E是PC的中点，四棱锥P-ABCD的体积为，求ED与平面PAC所成角的大小 43．（2026高一·河北沧州·期中）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． (1)证明：平面PAC； (2)证明：平面平面PBC． 44．（2026高一·广西玉林·期中）如图，在五面体中，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 45．（2026高一·四川广元·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求四棱锥体积． 题型8 面面垂直性质的应用 46．（2026高一·浙江绍兴·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，平面平面，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求与平面所成角的正弦值． 47．（2026高一·浙江金华·阶段检测）三棱锥中，，，，面面，（坐标法不给分） (1)证明：； (2)若，求二面角的正切值． 48．（2026高一·福建南平·期中）如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面， (1)求证：； (2)求证：平面； 49．（2026高一·陕西·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，，，分别为，的中点.    (1)证明：平面. (2)证明：. 50．（2026高一·重庆·阶段检测）如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，，，． (1)求证：平面； (2)求证： 平面； (3)若 ，求直线 BC与平面BDE所成角的余弦值． 51．（2026高三·全国·专题练习）如图，已知正方形的边长为6，点，分别在边，上，，现将沿线段折起到位置，使得． (1)求五棱锥的体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 52．（2026高一·重庆·期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，且平面平面，分别是，的中点. (1)证明：. (2)求三棱锥的体积. 53．（2026高一·重庆·期中）在四棱锥中，底面为矩形，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)记平面与平面的交线为，试证明：； (3)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值． 题型9 线面平行与垂直关系的探索性问题 54．（2026高一·云南楚雄·期中）如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面. (1)证明：； (2)求证：平面； (3)直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 55．（2026高一·广西南宁·期中）如图，已知点是正方形所在平面外一点，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)若线段上存在一点使得平面平面，求的值． 56．（2026高一·广东珠海·期中）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，即，为侧棱的中点，平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 57．（2026高一·广东深圳·期中）如图所示，在正方体中，点分别是棱的中点，P为线段上一动点，. (1)若平面交平面于直线l，求证：； (2)当直线时，求三棱锥的体积； (3)是否存在一点P，使得直线平面？若存在，求出此时线段与的比值；若不存在，请说明理由. 58．（2026高一·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中， ，且，点E为棱的中点. (1)求证: 平面; (2)若M为上的动点，则线段上是否存在点N，使得/平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由； (3)若，请在图中作出四棱锥过点B，E及棱中点的截面，并求出截面周长. 59．（2026高一·全国·课前预习）如图1，在矩形中，，，为上一点，且．将沿折起，使得平面平面，如图2，点是线段的中点． (1)求四棱锥的体积； (2)求证：平面平面； (3)过点是否存在一条直线，同时满足以下两个条件：①平面；②．请说明理由． 60．（2026高一·全国·专题练习）如图，在正四棱锥中，为底面正方形的中心，，为线段的中点，问：在棱上是否存在一点，使侧面？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由． 61．（2026高一·北京·期中）如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且，．    (1)求证：平面； (2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分． $专题14 直线和平面的平行、垂直问题9种常考考法归类 题型一 线面平行、垂直基本概念的判断 题型六 线线垂直关系的证明 题型二 线面平行关系的证明 题型七 面面垂直关系的证明 题型三 面面平行关系的证明 题型八 面面垂直性质的应用 题型四 线面平行、面面平行关系的应用 题型九 线面平行与垂直关系的探索性问题 题型五 线面垂直关系的证明 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 线面平行、垂直基本概念的判断 1．（2026·辽宁朝阳·模拟预测）已知直线a，b与平面，能使的充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】与位置关系不确定，可相交，可平行，A项不合题意； 与不一定垂直，B项不合题意； 与可以平行，不一定垂直，C项不合题意； ，则在平面内存在直线，且，则，又    ，则，D项符合题意． 2．【多选】（2026高二·陕西榆林·开学考试）已知m，n表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题为假命题的有（    ） A．若，，则m，n相交或平行 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ACD 【详解】对于A，若，，则直线m，n相交或平行或异面，故A错误； 对于B，若，，则，故B正确； 对于C，若，，则或，故C错误； 对于D，若，，则n与平行或相交或在平面内，故D错误. 3．【多选】（2026高一·重庆·阶段检测）已知l，m，n是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题不正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 【答案】AC 【详解】对于A，由，得直线相交或平行或是异面直线，A错误； 对于B，由，根据线面平行的性质定理得，B正确； 对于C，当，且时，满足，而不平行，C错误； 对于D，由，根据面面平行的性质定理得，D正确. 4．【多选】（2026·广东·模拟预测）设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BD 【分析】用空间几何中线、面平行与垂直的判定定理与性质，构造反例来排除错误选项即可. 【详解】若，，则或m与n相交或m与n异面，选项A错误; 若，，则，选项B正确; 若，，则或α与β相交，选项C错误; 若，，则或，又，则，选项D正确. 5．【多选】（2026高一·吉林长春·期中）已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题错误的是（    ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】ACD 【分析】结合线面平行、垂直的判定与性质，分析直线与平面的位置关系，逐一判断命题的正误. 【详解】对于A，若，，当时，也满足条件，此时不平行于，故A错误. 对于B，由，得，又，故，B正确. 对于C，若，，当时，也满足条件，此时不平行于，故C错误. 对于D，由，得，又，则或，故D错误. 6．（2026·江苏·模拟预测）设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，若，则或与为异面直线，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，由线面平行性质定理得存在直线,使得， 因为，则，又因为，则，故C正确； 对于D，若，则或与相交，故D错误. 7．（2026高一·广东惠州·期中）设是两条不同的直线，是三个不同的平面 则下列选项正确的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】结合空间中直线、平面平行的判定定理与性质定理，逐项分析即可. 【详解】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，根据平面平行的传递性可知，若，则，故B正确； 对于C，由，当相交时，可得，当时，可能相交，故C错误； 对于D，若，则或与异面，故D错误. 题型2 线面平行关系的证明 8．（2026高一·湖北·期中）如图，在空间几何体中，底面满足，点为线段上靠近点的三等分点，点、为线段的中点． (1)证明：平面； (2)若平面经过点、、三点，且与棱交于点．请作图画出在棱上的位置，并求出的值． 【答案】(1)连接，由点为线段上靠近点的三等分点，得， 由为线段的中点，得，由，得， 而，则，四边形为平行四边形，， 而平面，平面，因此平面， 又点为线段的中点，则，同理平面， 而平面，则平面平面，又平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定、面面平行 判定性质推理得证. （2）利用面面平行的性质确定点位置并作出此点，再利用平行线分线段成比例定理求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，平面平面，而平面平面，平面平面， 则，，所以点是线段上靠近点的三等分点，如图. 9．（2026高一·浙江嘉兴·期中）如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点． (1)求圆柱的侧面积； (2)求圆柱的外接球的表面积； (3)证明：平面． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用圆柱的侧面积公式，即可求解； （2）根据条件，求出外接球的半径，即可求解； （3）取的中点．连接，根据条件得，再由线面平行的判定定理，即可求解. 【详解】（1）因为，所以圆柱的母线长为，底面半径为， 则圆柱的侧面积 （2）取的中点，连接，易求得， 即圆柱的外接球的半径为，故该球的表面积为. （3）取的中点．连接．因为为的中点，所以， 又，所以，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，所以平面． 10．（2026高一·北京·期中）如图，在长方体中，，，点为棱的中点． (1)证明：平面； (2)取、中点M、N，若平面交于，证明：为中点； (3)求异面直线与所成角的大小； 【答案】(1)设，连接， 因为点为棱的中点，为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. (2)因为M、N、P分别为、、的中点， 则在长方体中，， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又平面，所以平面平面， 又平面平面，则平面平面， 而平面交于，则点到长方体上下底面的距离等于到上下底面的距离， 而为棱的中点，则为中点. (3) 【分析】（1）利用中位线证明线线平行，即可证明线面平行； （2）先证明平面平面，平面平面，可得点到长方体上下底面的距离等于到上下底面的距离，进而求证即可； （3）由（1）知，可得为异面直线与所成的角或其补角，又利用平行线转化异面直线所成角，结合等边三角形的性质可求角的大小； 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（1）得，，所以为异面直线与所成的角或其补角， 由题意得，， 所以，故三角形是等边三角形， 因为，所以， 所以异面直线与所成的角为. 11．（2026高一·黑龙江牡丹江·期中）如图所示，四棱锥中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，，M为PC的中点. (1)求证：BM平面PAD； (2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD. 【答案】(1)证明见解析 (2)N为AE的中点 【分析】（1）找到的中点和的中点E，根据中位线的性质证明四边形为平行四边形，进而可证明平面； （2）先证明平面平面，再根据面面垂直的性质找到点. 【详解】（1）是的中点，取的中点E，连接，如图， 则，，又，， ，四边形为平行四边形， ， 又平面，平面，则平面； （2）由（1）知为平行四边形 由底面，在平面内，， 又，平面， 同理平面，平面， ， 则为矩形，，， 又，为的中点，所以， 平面， 由平面，平面平面， 在平面内作，故平面， 延长交于，在矩形内，，， ，即N为AE的中点 当点为的中点时， 平面; 12．（2026高一·福建厦门·期中）如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1) 证明见解析 (2) 证明见解析 【分析】（1）根据中位线可得，进而可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明. 【详解】（1）因为分别是的中点，则，又因为，则， 且平面，平面，所以平面. （2）因为底面，则，又因为底面为矩形，则， 因为且平面，平面，所以平面， 由（1）得，所以平面. 13．（2026高一·广东揭阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．    (1)求的体积； (2)求证：平面； (3)求证：平面． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用锥体体积求解即可； （2）利用线面垂直证明线线垂直，再证明线面垂直； （3）利用线线平行证明线面平行即可. 【详解】（1）因为在四棱锥中，平面， 由，，，， 所以． （2）证明：因为，， 所以， 又平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面． （3）    取的中点为，又为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，即， 又因为平面，平面， 所以平面． 14．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在三棱台中，，， ，，分别为的中点，且 (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解； (3). 【分析】（1）记的交点为，的交点为，连接，利用相似比证明，结合线面平行判定定理即可得证； （2）利用直线平行的传递性和勾股定理证明和，结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可得证； （3）利用（2）判断两平面的夹角，然后利用余弦定理直接计算，再结合平方关系即可求得正弦值. 【详解】（1）记的交点为，的交点为，连接， 因为是三角形的中线，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）由（1）可知，，，所以，所以， 因为，所以， 因为，分别为的中点，所以，且， 所以，所以， 因为，所以， 所以，， 所以，所以， 所以，又是平面内的相交直线，所以平面， 又平面，所以平面平面. （3）由（2）知，，， 所以（或其补角）即为平面与平面的夹角， 因为且，所以， 所以四边形为平行四边形，， 因为，所以， 由余弦定理得，所以， 所以，则， 又，， 所以， 因为，所以即为平面与平面的夹角， 所以. 15．（2026高一·广西百色·期中）如图，在正三棱柱中，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1) 取的中点，连接， 由，得四边形为平行四边形，所以. 由， ， 得四边形为平行四边形，所以 . 因为平面，平面， 所以平面. 同理可得， 平面. 因为平面， 所以平面平面. 又平面，所以平面； (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接，由面面平行的判定定理可证平面平面，从而证得平面； （2）由（1）知异面直线与所成角为，求出各边长，根据余弦定理可得，即异面直线与所成角的余弦值； （3）先求得正三棱柱的体积，再根据三棱锥与正三棱柱的体积比求得三棱锥的体积. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，所以为异面直线与所成的角， ， ， ， 所以，所以. 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. （3）三棱柱为正三棱柱， 所以其体积为 . 三棱锥的体积. 题型3 面面平行关系的证明 16．【多选】（2026高一·广东珠海·期中）如图，正方体的棱长为6，，，分别为，AD，的中点，则（   ）    A．直线平面 B．平面平面 C．三棱锥的体积为18 D．平面截正方体所得的截面是等腰梯形 【答案】ACD 【分析】对于A，取的中点，证明平面平面从而证明直线平面；对于B，由A知平面，经过的平面有且仅有一个平行于平面，即可判断；对于C，根据即可判断；对于D，根据可确定截面为梯形，再证明即可判断. 【详解】对于A，取的中点，连接，，，    则四边形为平行四边形， 所以，又平面BMN，平面， 所以平面， 因为点，为，的中点，所以，又，所以， 由，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故A正确； 对于B，由A可知，平面， 经过的平面有且仅有平面平面， 因为平面与平面不是一个平面，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，如图，连接，，由四边形为平行四边形得， 因为，所以，所以，，，四点共面， 所以平面BMN截正方体所得的截面是梯形， 由题意得，，所以梯形为等腰梯形，故D正确.    17．（2026高一·北京·期中）已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）证明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，利用线面平行的性质定理可证得结论成立； （3）利用面面垂直的性质得出平面，再利用线面垂直的定义可证得结论成立. 【详解】（1）因为、、分别是、、的中点，所以，， 又因为底面为矩形，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，所以平面． 因为，、平面，所以平面平面． （2）因为底面为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． （3）因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故. 18．（2026高一·吉林长春·期中）如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，、为侧棱上的点，且，点为上的点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明：连接， 在中，因为，所以，且． 又，，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． (2)证明：由（1）得，又平面，平面， 所以平面. 在中，因为，所以，所以． 又平面，平面，所以平面． 又因且，平面， 所以平面平面． 【分析】（1）连接，证明四边形为平行四边形，即得，再由线线平行证明线面平行即可； （2）由（1）得，证得平面，再证，即可证平面，最后由线面平行推出面面平行. 【详解】（1）略 （2）略 19．（2026高一·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. (3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，. 【分析】（1）易得，进而可得，再由平面公理即可证明； （2）先利用线线平行证明线面平行，再根据线面平行证明面面平行即可； （3）取中点，连接，，，利用中位线定理，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，即证，再根据线面平行的判定定理即证结果. 【详解】（1）证明：，分别为，的中点，， 底面是平行四边形，. ，所以点，，，四点共面. （2）由（1）知，因为平面，平面，平面. ，分别为，的中点，， 因为平面，平面，平面. 又，，平面，所以平面平面. （3）线段上存在一点，使得平面，且. 证明如下：取的中点，连接，，， 因为，，分别是，，的中点，，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面，此时． 20．（2026高一·吉林·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，当点是的中点时满足题意，证明见解析． 【分析】(1)根据线面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，进行证明； (2)根据中位线和平行四边形中的平行性质，利用线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，通过线线平行，证明线面平行； (3)根据面面平行的判定定理，找动直线与面内直线平行时的位置，进行证明判断即可． 【详解】（1）证明：平面，且平面； 又因为平面平面，根据线面平行的性质可得，； （2） 证明：取PA的中点G，连接EG，BG； 因为E，G，为PD，PA中点，所以，且； 又因为，，所以，且； 所以为平行四边形；所以； 又因为平面，平面， 所以平面； （3） 在上存在的中点使得平面平面，证明如下： 取的中点，连接CF，EF； 因为E，F，为PD，AD中点，所以； 又因为平面，平面， 所以平面； 又因为平面，且，平面； 所以平面平面； 在上存在点使得平面平面． 题型4 线面平行、面面平行关系的应用 21．（2026高一·河南濮阳·期中）三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，连接，利用线面平行的性质定理及平行线分线段成比例定理求解. 【详解】如图，连接，设，连接. 因为平面，平面平面，平面， 所以. 在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，即. 所以与相似， 则，又在中，由可得. 所以，即. 22．（2026高一·吉林长春·期中）如图，在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，______． 【答案】 【分析】设，连接，利用线面平行的性质得，从而得为中点，再利用棱锥的体积公式和转换底面法，即可求解. 【详解】如图，设，连接，因为四棱锥为正四棱锥，则为的中点， 因为平面，又平面，平面平面， 所以，则为中点，所以， 又，则，所以，则. 23．（2026高一·江苏常州·期中）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为________． 【答案】 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上， 又正方体的棱长为2，所以，则， 故点轨迹长度为. 24．（2026高一·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，，，分别是，的中点，，． (1)求证平面； (2)若平面，求的值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一，根据构造面面平行，进而利用面面平行性质定理证明线面平行； 方法二，构造平行四边形，根据线线平行，证明线面平行； （2）根据线面平行的性质定理，得到线线平行，再求的值. 【详解】（1）证明一：取的中点为，连接，， ∵，、分别为、的中点；∴， ∵平面，平面，∴平面，又∵为的中点， ∴，∵平面，平面，∴平面， ∵，平面，∴平面平面， 又平面，∴平面． 证明二：取的中点为，过作交于， 取中点，连接，，，则，， ，，∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面； （2）连接交于点，连接． ∵平面，平面，平面平面， ∴，∴．又，∴，∴． 25．（2026高一·北京顺义·期中）如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)是线段的中点； (3)平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）根据题意可证平面，平面，进而可证面面平行； （2）根据线面平行的性质定理可得，进而分析长度共线即可； （3）根据面面垂直的性质定理可得平面，平面，进而可得，，即可得线面垂直. 【详解】（1）因为为正方形，则， 且平面，平面，可得平面， 又因为为平行四边形，则， 且平面，平面，可得平面， 且，平面，所以平面平面. （2）设，连接， 因为平面，平面，平面平面，则， 平行四边形中，， 又因为，则为平行四边形，则， 且为中点，则， 即，所以是线段的中点. （3）因为为正方形，则，， 且平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面可得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面可得， 且，平面，所以平面. 题型5 线面垂直关系的证明 26．（2026高一·四川·期末）如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)连接，因为为正方形，，则为的中点， 同理，为中点， 在中，、分别为、的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. (2) 连接，在中，、分别为、的中点，所以， 在正方形中，， 在正方体中，所以平面， 因为平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 因为，、平面，所以平面， 又因为，所以平面. (3) 【分析】（1）利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出，平面，即可证得平面； （3）设，并连接，由线面角的定义可得直线与平面所成的角为，解直角三角形即可得解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）设，并连接， 由（2）可知平面，所以直线与平面所成的角为， 设正方体的棱长为， 在中，， 同理可得，易知为的中点，所以， 所以， 易知为锐角，故， 所以直线与平面所成的角的大小为. 27．（2026高一·广东·期末）如图，在直三棱柱中，，、分别是棱、上的点（点不在的端点处），且，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)在直三棱柱中，平面，平面， ， ，且平面， 平面. (2)根据（1）得平面， 平面， ， 在中，， 为的中点， 连接，得，且，即四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面． 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）根据线面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 28．（2026高一·山东·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，．    (1)求证：平面； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当时，求二面角正切值的取值范围． 【答案】(1)由，，，得，则. 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面. 因为平面，所以.又因为，所以. 又因为，平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）根据面面垂直的性质以及线面垂直的判定定理证明即可. （2）证明平面，再利用面面垂直的性质求出点到平面的距离即可. （3）作出二面角的平面角，利用几何法求出该角正切的函数关系，进而求出范围. 【详解】（1）略 （2）在四边形中，，平面，平面， 则平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 如图，在平面内过点作于点. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 在中，，，， 则，所以， 所以点到平面的距离为. （3）如图，在平面内，过点作于点；在平面内，作于点，连接. 由(1)得，平面，又平面，所以平面平面. 又因为平面平面，所以平面. 又因为平面平面，所以. 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以. 则即为二面角的平面角. 设. 由(1)得，则. 在中，由，得. 在中，由，得； 在中， 所以. 由，得，则 所以二面角的正切值的取值范围为.    29．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理证得四棱锥的高后，再利用四棱锥体积公式计算求解. 【详解】（1）因为底面为菱形，， 所以是等边三角形， 又因为是的中点，所以， 又因为，所以. 因为，为中点，所以， 又因为，所以， 又因为，平面， 所以平面. （2）经计算，，又， 所以，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以是四棱锥的高， 所以. 30．（2026高一·天津·期末）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，，，平面，所以平面. (2) (3)存在， 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可. （2）连接，结合线面角的定义得到为直线与平面所成的角，在中结合三角函数求解即可. （3）取中点，连接，，结合二面角的定义得到为二面角的平面角，设，在中，结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）连接， 由（1）中平面，所以为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，，且为的中点，所以， 又，在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）取中点，连接，， 在中，， 因为平面，又平面，所以， 在中，，所以，所以， 又点为中点，所以， 同理， 所以为二面角的平面角， 设， 在中，， 在中，， 在中，，，， 由余弦定理可得，即， 化简得到，解得或（舍去）， 即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为，此时． 31．（2026高一·广西百色·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求二面角所成角的余弦值. 【答案】(1)证明：因为，，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以平面. (2)证明：因为，所以， 又，所以在中，，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以平面，又平面， 所以平面平面. (3) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）利用二面角的定义先找出角，然后利用公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）平面，平面，所以， 又，所以为二面角所成角， 因为平面，平面，所以， 在中，由，则， 所以. 32．（2026高一·山西忻州·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.    (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接交于，连接，由线面平行的判定定理证明可得； （2）先由线面垂直证明，再由线面垂直的判定定理证明可得； （3）取中点为，连接，利用等体积法可得. 【详解】（1）证明：连接交于，连接，   是三角形中边上的中位线，， 又平面，平面，平面. （2）证明平面，平面，， 又四边形是矩形，，，，平面， 平面，平面，， 又是的中点，，， ，，平面，平面. （3）如图，取中点为，连接，    在中，，分别为线段，的中点， 故，，平面，平面， ， 由（2）得平面，平面，， ，，，又，， ， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则，解得，故， 直线与平面所成角的正弦值为. 题型6 线线垂直关系的证明 33．（2026高一·北京·期中）已知正方体棱长为4，是的中点，点是上一点，是上一点，且平面平面， (1)求证：点是的中点． (2)求证： (3)棱上是否存在点使得平面平面，若存在，求出三棱锥的体积，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，. 【分析】（1）先应用面面平行性质定理得出点是的中点，再应用平面平面性质定理，得出，即可证明； （2）连接，通过证明平面得出，同理进而证明平面，即可证明线线垂直. （3）结合（2）应用线面垂直性质定理证明判断，再应用三棱柱及棱锥体积公式计算求解. 【详解】（1）设平面与直线交于. 因为平面平面，设平面平面， 连接，平面平面，所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，所以， ∵在正方体中，,所以， 在正方形中，是的中点，所以点是的中点， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，且点是的中点， 所以点是的中点． （2）连接，因为在正方形中，，，，平面， ∴平面，平面，， 同理可证，又，平面， ∴平面，且平面平面， 所以平面，平面，所以； （3）取中点，连接， 因为平面平面，平面平面， 设平面平面，所以， 而,所以,又因为是中点，所以是中点， 连接，设，则是中点， 而G为中点，所以， 又由（2）知平面，所以平面， 而平面，使得平面平面， 又过且与平面垂直的平面存在且唯一， 故当且仅当G为中点时，平面平面. 连接， 又因为 ， 所以. 34．（2026高二·湖南邵阳·阶段检测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形为菱形得，再结合长方体性质得，进而证平面，最终推出； （2）由面面垂直性质确定点在平面上的投影位置，得到线面角，再通过计算三角形边长，利用余弦定理求出该角的余弦值； 【详解】（1）证明：连接交于点，， ，故为菱形， 故，由长方体得平面， 由平面，知； 由，平面，平面， 知平面，由平面，知. （2）如图所示，连接，由（1）知，平面， 又由平面，平面平面，交线为， 故点在平面上的投影必在直线上， 故直线与平面所成角即为， 在中，， ，， 故由余弦定理得， 即直线与平面所成角的余弦值为． 35．（2026高一·全国·期末）在平面四边形中，（如图），沿对角线将折起，使点在平面上的射影恰落在上（如图）． (1)求证：； (2)求和平面所成角的余弦值． 【答案】(1)因为点在平面上的射影恰落在上，所以平面， 因为平面，所以， 又，平面，， 所以平面， 又平面BCD，则； (2) 【分析】（1）由题证明平面BCD，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）先证明平面，可得即为线面角的平面角，再解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面， 所以平面， 所以即为和平面所成角的平面角， 在中，， 在中，， 在中，， 所以， 即和平面所成角的余弦值为． 36．（2026高一·河南新乡·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，且． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)若，求平面与平面夹角的正切值． 【答案】(1)方法一：在正三棱柱中，平面，平面， 所以． 因为为正三角形，为的中点，所以． 又因为，，平面，所以平面． 因为平面，所以． 方法二：在正三棱柱中，平面平面． 因为是正三角形，为的中点，所以． 因为平面平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以． (2)如图，连接，交于点，连接，． 因为，分别为，的中点，所以且． 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，则． 由（1）知平面，所以平面． 又因为平面，所以平面平面． (3) 【分析】（1）根据正三棱柱的性质可证平面，进而可证； （2）连接，交于点，通过平行四边形的性质可证，结合平面，可证平面，由面面垂直的判定定理可证结论； （3）取的中点，可证平面，过点作的垂线，垂足为点，则为平面与平面夹角的平面角，解三角形即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，取的中点，连接，则． 因为平面，平面，所以． 因为，，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 如图，过点作的垂线，垂足为点，连接． 因为，，平面，所以平面． 又因为平面，所以， 所以为平面与平面夹角的平面角． 设． 因为为的中点，，所以为的中点，所以． 又因为为的中点， 所以，，． 在中，， 所以． 在中，由等面积法，得， 则． 所以， 所以平面与平面夹角的正切值为． 37．（2026高一·陕西咸阳·阶段检测）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面.其中，. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)为上的动点，以为直径作球，设，若球与平面相交得到的截面的面积为，求的最小值. 【答案】(1)因是圆的直径，则， 因平面，平面，则， 又平面，故平面， 由平面，则. (2) (3) 【分析】（1）由平面可得，由条件易得，根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）过点作于点，连接，由平面可推出即二面角的平面角，在中，利用三角函数定义即可求得答案； （3）先求得球的半径为，设点到平面的距离为，则得点到平面的距离为，利用余弦定理求出相关边与角，根据求得，接着利用球的截面圆性质求出截面圆面积的表达式，借助于二次函数的性质即可求得其最小值. 【详解】（1）略 （2） 过点作于点，连接，由（1）， 因平面，故平面， 又平面，则，即即二面角的平面角， 因，且平面，平面，则， 在中，等面积法可得， 则，则. （3）因，则，， 则球的半径为，设点到平面的距离为，则点到平面的距离为. 在中，，由余弦定理，， 则，则， 在中，，则， 由可得：，解得， 设球与平面相交得到的截面圆半径为，则， 则， 因，故当时，. 38．（2026高一·全国·期末）如图一，四边形是边长为的菱形，，，，分别为的中点，将沿边折起，使，连接，如图二. (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值. 【答案】(1)连接， 分别为的中点，，， ，； 四边形为边长为的菱形，， 为等边三角形，； 平面，，平面， 平面，. (2) 【分析】（1）根据平行关系和等腰三角形三线合一性质可证得，，根据线面垂直的判定与性质可证得结论； （2）根据平行关系和异面直线所成角定义可知所求角为（或其补角），根据长度关系和余弦定理可求得结果. 【详解】（1）略 （2）连接，交于点，连接， 四边形为菱形， 为中点，又为中点， ，， 和所成角即为（或其补角）； 在中，， ，又，， ， 即直线和所成角的余弦值为. 题型7 面面垂直关系的证明 39．（2026高一·广东深圳·期中）如图，为圆锥顶点，为底面圆心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形． (1)求证：平面平面； (2)若圆锥的底面半径为，高为，求点到平面的距离． (3)在（2）的条件下，该圆锥是否存在外接球，若有求出其外接球表面积；如果没有请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）延长，交于点，根据给定条件，利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得； （2）连接，作于，证明平面，再计算即得； （3）设球心为，由对称性可知球心在直线上，由球心定义可知是直线和线段中垂线交点，进而结合勾股定理列方程求出外接球半径，进而求解即可. 【详解】（1）证明：延长，交于点， 由为等边三角形，得是的中心， 则，易知平面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）连接，作于，由（1）知平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 故到平面的距离为的长． 易知，， 又，所以， 所以， 又，所以， 故， 所以点到平面的距离为. （3）存在外接球，设球心为，由对称性可知球心在直线上， 由球心定义可知是直线和线段中垂线交点，下面为截面示意图： 设球半径为，在直角三角形中，由勾股定理知， 则，解得， 所以球表面积. 40．（2026高一·重庆·期中）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，，，点在直线上. (1)求证：平面平面； (2)在直线上找一点，使得平面，并求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）连接交于，过作交于，连接，，可证明平面，利用几何关系即可求出的长. 【详解】（1）四边形是直角梯形，， ， 又平面平面， ，且平面平面， 又平面平面平面； （2）连接交于，过作交于，连接，. 由平面平面，得平面可得， 又，直角中，，所以. 41．（2026高一·河南·阶段检测）如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若线段上存在点，使得平面平面， （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i），理由见解析；（ii） 【分析】（1）先利用梯形性质得出为等边三角形，翻折后仍为等边三角形，再通过勾股定理证明，结合，证明 平面，从而推出平面平面. （2）（i）利用面面平行的性质，结合中位线定理，通过线线平行推导线面平行，再由面面平行的判定定理得出； （ii）由（i）知为的中点，先证 ，算出、，再由得 ，得出 ，用等面积法得到棱的距离，通过三棱锥体积转换 ，算出到平面的距离，通过计算即可求得结果. 【详解】（1）证明：在梯形中，，，，为的中点， 所以，且， 则四边形为菱形，所以， 则，所以为等边三角形，翻折后为等边三角形，且， 因为为的中点，故. 同理，四边形为菱形，为等边三角形，. 在中，，，又，则，所以. 因为，，平面， 所以平面. 又平面，故平面平面. （2）（ⅰ）. 理由如下： 如图，连接，与，分别交于点，，连接，. 因为，分别为，的中点，四边形为菱形， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以 平面. 因为为的中点，所以为的中位线，所以为的中点. 因为平面 平面，平面平面， 平面平面， 所以，所以为的中点，即. （ⅱ）由（2）（ⅰ）可知，点的位置唯一确定，即为的中点. 由（1）可知，，，且，，平面， 所以平面. 又 ，所以平面. 又平面，则， 所以，则. 在中，，，则， 又，所以 . 如图，过作于点， 由等面积法可知，. 在中，，，则边上的高为. 设点到平面的距离为， 则. 所以，所以. 设二面角的大小为， 则. 故二面角的正弦值为. 42．（2026高三·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，底面ABCD，，E是PC上任一点，. (1)求证：平面平面PAC： (2)若E是PC的中点，四棱锥P-ABCD的体积为，求ED与平面PAC所成角的大小 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由菱形得，由底面得，故平面，从而平面平面； （2）设，由体积公式及已知体积解得；利用中位线得 且 ，，由 平面知线面角为，计算得角的大小. 【详解】（1）在四棱锥中，底面为菱形，所以， 又因为底面，底面， 所以，又，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面； （2）设，底面为菱形，， 因此菱形面积，四棱锥体积​， 由题可知​​，得，即. 由于，则为中点，故. 连接，又由于是的中点，则 ，， 从而底面，即， 又，从而平面，可知与平面所成角为. ，由于 ， 故与平面所成角的大小为. 43．（2026高一·河北沧州·期中）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． (1)证明：平面PAC； (2)证明：平面平面PBC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题设易得，进而根据线面平行的判定定理求证即可； （2）由题设可得，，结合可得，进而得到平面POD，再根据面面垂直的判定定理求证即可. 【详解】（1）因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； （2）因为点C在底面圆周上，所以， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为AB为底面直径，所以， 又因为，所以， 而，PD，平面POD，所以平面POD， 因为平面PBC，所以平面平面PBC． 44．（2026高一·广西玉林·期中）如图，在五面体中，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点，先根据线面平行的判定定理证明平面，再证明，即可得到平面，再根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）先根据线面角的定义找到直线与平面所成的角，然后在中求出即可； （3）利用等体积法将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积，再根据锥体的体积公式计算即可. 【详解】（1） 如图所示，取的中点，连接. ，. 又平面，平面，， ，平面，平面. 点为中点，，又，， ，是平行四边形，， 平面，又平面，平面平面； （2）由（1）知平面，就是在平面内的射影， 即为直线与平面所成的角. 在中，，，， . 平面，平面，， 在中，， ，， 平面，又平面，， 在中，， ； （3）由（1）（2）可知，，，且， 又知平面，平面，就是三棱锥的高， . 45．（2026高一·四川广元·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求四棱锥体积． 【答案】(1)因为 为 的中点，且 ，所以 ， 又因为 且 ，所以 且 ， 因此，四边形 是平行四边形，故 ， 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ； (2)连接，由 且 ，，，可知四边形 是正方形， 因为，因此 ，且 ， 在 中，，故 ， 在 中，，故 ， 在 中，，所以 ， 即 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以平面 平面 。     (3)1 【分析】(1)根据线面平行的判定定理求证； (2) 根据面面垂直的判定定理求证； (3)利用四棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）略; （2）略; （3）因为 平面 ， 平面 ，所以 , 又因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面 , 因为 平面 ，所以 , 因此 就是二面角 的平面角，即 , 在 中，，，所以 , 梯形 的上底 ，下底 ，高 ， 故梯形 面积为 所以四棱锥的体积为 . 题型8 面面垂直性质的应用 46．（2026高一·浙江绍兴·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，平面平面，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)连接，交于点，连接， 四边形为正方形，是的中点， 又为的中点，， 又平面，平面，平面； (2)底面为正方形，． 平面平面，且平面平面，平面， 平面，平面，， 又是正三角形，为的中点，， ，平面， 平面． 平面，平面平面． (3) 【分析】（1）连接，交于点，连接，利用中位线的性质和线面平行的判定定理可证； （2）由面面垂直的性质定理可证平面，再由线面垂直的性质可证，最后由面面垂直的判定定理可证平面平面； （3）取的中点O，连接，由面面垂直的性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量计算线面角的方法计算可得结果. 【详解】（1）略 （2）略 （3）取的中点O，连接， 因为，所以， 又因为侧面底面，且侧面底面，平面， 所以平面， 如图，建立空间直角坐标系， 设，则. ， 设是平面的法向量， 则，即， 令，解得，， 设与平面所成角为，则. 47．（2026高一·浙江金华·阶段检测）三棱锥中，，，，面面，（坐标法不给分） (1)证明：； (2)若，求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作于点，再利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，继而得到为中点即可证明； （2）利用体积求出，作于点，作于点，连，利用线面垂直的判定定理和性质定理得到为二面角的平面角，再求解即可. 【详解】（1）作于点， ∵平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，所以， ，为中点． ，． ，，． （2），，为三棱锥的高， ， 作于点，作于点，连． 平面，平面， ． ，又，平面， 平面，平面， 所以． ，平面，， 平面，又平面， 所以，故为二面角的平面角． ，， ． 48．（2026高一·福建南平·期中）如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面， (1)求证：； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定性质推理得证. （2）利用面面垂直的性质及线面垂直的性质推理得证. 【详解】（1）由正方形，得，又平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. （2）由正方形，得，而平面平面， 平面平面，平面，则平面， 由（1）知，所以平面. 49．（2026高一·陕西·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，，，分别为，的中点.    (1)证明：平面. (2)证明：. 【答案】(1)取的中点，连接，由是的中点，得，， 由是矩形边的中点，得，则， 四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面. (2)过作于点，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，又平面，则， 由，，得为的中点，且， 则，， ， 于是，而平面， 因此平面，又平面，所以. 【分析】（1）取的中点，利用线面平行的判定，结合平行公理及平行四边形性质推理得证. （2）过作于点，利用面面垂直的性质，线面垂直的判定及性质推理得证. 【详解】（1）略 （2）略 50．（2026高一·重庆·阶段检测）如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，，，． (1)求证：平面； (2)求证： 平面； (3)若 ，求直线 BC与平面BDE所成角的余弦值． 【答案】(1)设正方形对角线的交点为，连接， 由题可知，所以，又因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； (2)连接，因为，且， 所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为菱形，所以， 因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面， 又平面，所以， 又，平面，所以 平面； (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明； （2）根据面面垂直性质定理和线面垂直判定的定理证明； （3）根据线面角定义得到直线 BC与平面BDE所成角为，再计算求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）设菱形对角线交点为，连接，由（2）知平面， 所以直线与平面所成的角为， 因为，所以，又，所以为等边三角形， 所以，所以，所以， 所以. 51．（2026高三·全国·专题练习）如图，已知正方形的边长为6，点，分别在边，上，，现将沿线段折起到位置，使得． (1)求五棱锥的体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）作出辅助线，得到线面垂直，面面垂直，求出棱锥的高，进而求出五棱锥的体积； （2）由线段之间的关系得到时，，从而得到线面平行，求出答案 【详解】（1）连接，设，连接． 因为四边形是正方形，， 所以是的中点，且，， 从而有，，又，平面， 所以平面，且平面． 从而平面平面． 过点作垂直于且与相交于点， 则平面． 因为正方形的边长为6，， 故，， 所以， 所以，则， 所以五棱锥的体积． （2）线段上存在点，使得平面，此时．证明如下： 连接，，，，且易知过点． 当时，又，所以． 又平面，平面，所以平面． 又，平面，平面， 所以平面． 又，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面． 52．（2026高一·重庆·期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，且平面平面，分别是，的中点. (1)证明：. (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)如图，连接，，作出符合题意的图形， 底面是菱形，，是等边三角形， 又是的中点，， 又 ，面，平面 而面，. (2) 【分析】（1）结合菱形的性质得到线面垂直，再证明线线垂直即可. （2）结合题意并利用转换法求解体积即可. 【详解】（1）略 （2）为的中点，， 又是的中点，，， 由（1）可知，平面平面， 且面，平面， . 53．（2026高一·重庆·期中）在四棱锥中，底面为矩形，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)记平面与平面的交线为，试证明：； (3)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据四棱锥的性质，利用面面垂直的性质定理，结合面面垂直的判定定理证明结论； （2）根据矩形的性质，利用线面平行的判定定理，结合线面平行的性质定理证明结论； （3）过作于，过作交于，根据面面垂直的性质定理，得出即为平面与平面所成锐二面角，根据三角形的几何性质结合均值不等式求出的最大值，进而计算二面角余弦的最大值． 【详解】（1）已知底面为矩形，故， 平面平面，为两平面的交线， 又平面，且， 平面， 平面，且平面， 平面平面． （2） 已知底面为矩形，故， 又平面平面， 平面， 已知平面，且平面平面， 由线面平行的性质定理得，． （3） 过作于，平面平面， 由面面垂直的性质定理得，平面， 过作，交于，是矩形， 则，且， 又平面， 平面，故， ， ， ， ， ， 平面，故， 综上，，， 故即为平面与平面所成锐二面角； 设，则，在中，， 则， ，当且仅当时等号成立， ， 在中，， ， 设，令， 当增大时，减小，故增加， 随着增大而递增， 故时，取最大值，最大值为 ． 题型9 线面平行与垂直关系的探索性问题 54．（2026高一·云南楚雄·期中）如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面. (1)证明：； (2)求证：平面； (3)直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)因为平面平面， 所以平面， 又平面平面平面，所以. (2)取中点，连接， 则在中，， 又在中，， 则， 即四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面. (3)存在，为中点；当为中点时，平面平面. 证明如下：取的中点为，连接， 则在中，， 又平面平面，则平面， 同理可证，平面， 又平面 ， 所以平面平面. 【分析】（1）先证明线面平行，再用线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过构造辅助线，在平面找到与平行的线，利用线面平行的判定定理可证明. （3）构造中点，面面平行的判定定理证明平面平面，可确定的位置. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 55．（2026高一·广西南宁·期中）如图，已知点是正方形所在平面外一点，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)若线段上存在一点使得平面平面，求的值． 【答案】(1) 证明见解析 (2) 【分析】（1）依据线面平行的判定定理，构造三角形中位线得到平行于平面内的直线，即可推出线面平行； （2）依据面面平行的性质，平面平面可得对应交线平行，据此确定为中点，即可算出的值. 【详解】（1） 取的中点，连接、. 因为是的中点，所以是的中位线， 故，且. 又正方形中，是中点，且， 因此 ，，即且. 所以四边形是平行四边形，得. 又平面，平面，根据线面平行判定定理，得 平面. （2）已知平面平面，平面平面，平面平面， 根据面面平行的性质定理，得. 在中，是中点，， 因此是的中点， 可得. 56．（2026高一·广东珠海·期中）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，即，为侧棱的中点，平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接交于点，连接，证明即可得证； （2）证明平面，利用线面平行的性质即可证明； （3）过作的平行线交于，求出，证明平面，再根据平面即可得到平面平面，即可得到平面. 【详解】（1）连接交于点，连接， ∵四边形为正方形， ∴点为的中点，又为的中点， ， 平面PAC，平面， 平面. （2），平面，平面， 平面， 又平面，平面平面， . （3）在侧棱上存在一点，使平面，满足. 理由如下： 由，为中点得， 过作的平行线交于，连接，， 由于，则， ，平面，平面， 平面， 由（1）知平面， 又，平面， ∴平面平面， 又平面， 平面， 所以侧棱上存在一点，使得平面，且. 57．（2026高一·广东深圳·期中）如图所示，在正方体中，点分别是棱的中点，P为线段上一动点，. (1)若平面交平面于直线l，求证：； (2)当直线时，求三棱锥的体积； (3)是否存在一点P，使得直线平面？若存在，求出此时线段与的比值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）利用面面平行的性质，结合正方体的结构特征推理得证. （2）根据给定条件，确定点的位置，再利用等体积法计算得解. （3）作出几何图形，再借助线面平行的性质确定点并求出比值. 【详解】（1）在正方体中，平面平面， 平面平面，平面平面，则， 由分别为的中点，则，所以. （2）连接，由为中点，，得， 而，因此为中点， 点到平面的距离等于点平面的距离的一半， 即， 于是， 所以三棱锥的体积为. （3）如图，令直线交的延长线分别于， 直线交的延长线分别于， 连接交分别于，连接并延长交的延长线于， 则平面即为平面，由点分别是棱的中点， 得，则，又， 于是四边形是平行四边形，设， 平面平面，平面，要平面， 当且仅当，此时，，， 所以在上存在点P，使得直线平面，此时. 58．（2026高一·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中， ，且，点E为棱的中点. (1)求证: 平面; (2)若M为上的动点，则线段上是否存在点N，使得/平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由； (3)若，请在图中作出四棱锥过点B，E及棱中点的截面，并求出截面周长. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在为线段中点，证明见解析； (3)作图见解析，截面周长为. 【分析】（1）取线段的中点，连接，通过证明可得结论； （2）当为线段中点时，平面，通过证明面面可得结论； （3）取线段的中点，连接，通过证明，得到四边形为截面，然后分别求出各边的长即可. 【详解】（1）取线段的中点，连接， 因为分别为线段的中点， 所以，且， 又，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）当为线段中点时，平面， 证明：取线段中点，连接 因为分别为线段的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 又面， 则面面，又面， 所以面， 所以当为线段中点时，平面； （3）取线段的中点，连接， 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段的中点， 所以， 所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面， 则，，， 在中，，， 所以， 则， 所以截面周长为. 59．（2026高一·全国·课前预习）如图1，在矩形中，，，为上一点，且．将沿折起，使得平面平面，如图2，点是线段的中点． (1)求四棱锥的体积； (2)求证：平面平面； (3)过点是否存在一条直线，同时满足以下两个条件：①平面；②．请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，理由见解析. 【分析】（1）先证明平面，利用锥体的体积公式可求解； （2）根据面面垂直的判定定理进行判断即可证明平面平面； （3）结合面面垂直的性质进行证明即可. 【详解】（1）由已知，是的中点， ． ∵平面平面，平面平面， 平面． 四棱锥的体积 （2）由（1）可得，平面平面， ∴平面平面． （3）过点存在一条直线，同时满足以下两个条件： ①平面；②．理由： 在平面中，过点作直线，使， ∵平面平面，平面平面， 平面， ∵平面，． 60．（2026高一·全国·专题练习）如图，在正四棱锥中，为底面正方形的中心，，为线段的中点，问：在棱上是否存在一点，使侧面？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】存在，为上靠近点的四等分点 【分析】取的中点，连结并延长交于点，根据条件得到，取的中点，有，利用线面垂直的判定和面面垂直的判断，可得平面平面，再利用面面垂直的性质，得平面，再取的中点，利用，即可求解. 【详解】取的中点，连结并延长交于点，设，． 因为是正四棱锥，为底面正方形的中心，则平面， 又，得，得到， 又，所以， 又，故为等边三角形， 取的中点，连结，则． 又因为，，，平面， 所以平面，又平面，故平面平面， 而平面，平面平面，，所以平面． 取的中点，因为，且，故四边形为平行四边形， 所以，从而平面，所以存在一点，使侧面，且为上靠近点的四等分点． 61．（2026高一·北京·期中）如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且，．    (1)求证：平面； (2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析 (2)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在； 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，在平面内找到与平行的直线即可； （2）（Ⅰ）先通过线面垂直证，再由三角形内角和定理证，进而可证线面垂直； （Ⅱ）取N为的中点，的中点为M，通过，平面即可证明N满足题意. 【详解】（1）如图，连接，与交于点O，连接OD，    因为四边形是平行四边形，所以O为的中点. 又D是棱AC的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）（Ⅰ）选择条件①，. 由D是棱AC的中点，得. 在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以. 又，，平面，所以平面，所以. 因为，所以，又， 在和中，， 所以，而， 则，所以， 又，BD，平面，所以平面. 选择条件②：． 因为底面ABC，平面ABC，所以， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以，下同条件①. 选择条件③：，下同条件①. （Ⅱ）当点N为的中点，即时，平面平面． 证明如下：如图，取的中点为M，连接DM、MN，    因为M、D分别为、AC的中点， 所以且， 又N为的中点，所以且， 所以四边形BDMN为平行四边形，故. 由（Ⅰ）知平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． $