精品解析：江苏省泰兴中学2025-2026学年高一下学期阶段考试II数学试题

2025-2026年度高一年级第二学期阶段考试Ⅱ 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i为虚数单位，若，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 所以. 2. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. 或1 B. 1 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】若，则 ，整理得，解得或，经检验两个取值均满足题意. 3. 已知，是两条不相同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中真命题为（ ） A. 若，，，则 B. 若，且，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，如图所示： 此时，，，但与相交，所以A错误； 对于B，如图所示： 此时，且，，但与相交，所以B错误； 对于C，如图所示： 此时，，，但，所以C错误； 对于D，由线面垂直的性质定理可知当，时，可得，当时，可得，所以D正确； 4. 若圆台上、下底面的圆周都在一个直径为4的球面上，其上、下底面半径分别为1和2，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆台的母线长，然后求圆台的表面积即可． 【详解】截面图如下： 则，， ，， 则为等边三角形，， 即圆台母线长为， 该圆台的表面积为． 5. 已知，，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算，然后计算，再求，最后代入投影向量公式求解即可. 【详解】计算：由，得，因此； 计算：根据向量数量积的定义，； 计算：由数量积运算律得 ； 计算投影向量：根据投影向量公式，向量在上的投影向量为，代入得所求投影向量为. 6. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】原式 . 7. 已知在正四面体中，D，E，F分别在棱，，上，若，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，过点作的垂线交的延长线于点，根据勾股定理，结合列式求解. 【详解】如图，由题意可得，，所以为等边三角形， 即，在中，根据余弦定理可得：， ，所以， 同理在中，，即， 取的中点，过点作的垂线交的延长线于点， 可知点到平面的距离为的长，因为， 所以在中，， 在中，， 又因为，所以为等腰三角形， 为中点，所以在中，， 在中，为中点，所以为等边的高， 在中，， 所以， 即，整理可得：， 两边平方可得：， 整理可得：，即， 两边平方可得：， 化简可得：，所以. 8. 设的外心为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用外心对应的向量数量积结论将题干中的向量等式转化为三角形三边的关系，再结合正弦定理实现边角互化得到边长的比例关系，最后代入余弦定理计算的值. 【详解】设的内角所对的边分别为， 对于的外心，有性质，. ∵ ， ∴ ， 同理可得，. 将上述结果代入， 得 ， 化简得 . ∵ ，由正弦定理，得 ，即. 将代入，得 ，即，故. 由余弦定理，，代入，， 得 . 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 在复平面内，所对应的点位于第四象限 B. 的充要条件为 C. 若，则的取值范围为 D. 若，则为纯虚数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的几何意义、共轭复数性质、复数运算、复数的模逐项分析判断即可. 【详解】选项A，，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故A错误； 选项B，已知，故等价于，即，故B正确； 选项C， ，， 则表示在复平面内对应的点在以为圆心、半径为2的圆上， 而圆心到原点的距离为，因此圆上点到原点的距离范围为， 即的取值范围为， 而共轭复数的模相等，所以的取值范围为，故C正确； 选项D：， 当时，满足，但此时为实数，不是纯虚数，故D错误. 10. 在中，角所对的边分别为，下列说法中错误的是（ ） A. 若，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 B. 为锐角三角形，则 C. 若，则是等腰三角形 D. 是所在平面内一点，若，且，则的面积是面积的 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项可借助正弦定理，结合“已知两边及其中一边对角时，三角形有两解的充要条件为”推导角的取值范围；B选项利用锐角三角形中任意两角和大于的性质，结合正弦函数在上的单调性比较大小；C选项通过正弦定理进行边角互化，化简给定的边角等式，即可判断三角形形状；D选项根据向量线性运算的几何意义，结合推导点到边的距离与点到边的距离的比例关系，进而得到两个三角形的面积比. 【详解】对于选项A：∵ 已知，，若满足条件的三角形有两解，则需满足， ∴ 代入得，解得， 又，故，为锐角， ∴ ，选项A给出的范围为，故A错误. 对于选项B：∵ 为锐角三角形， ∴ ，即，且均为锐角， ∵ 在上单调递增， ∴ ， 同理可得，故， 两式相加得，故B正确. 对于选项C：∵ ， 由正弦定理，，，（为外接圆半径），代入得：， ∵ ， ∴ 右边化简为， 移项得， 即， ∴ 或，即或， ∴ 为直角三角形或等腰三角形，并非一定是等腰三角形，故C错误. 对于选项D： 由平面向量共线定理的推论，若点在上，则且， ∵ ，且， ∴点在的处， ∴在过靠近的三等分点组成的线段上，与相似，相似比为， 设中边上的高为，中边上的高为， ∴ 由相似可得，， ∴ ， 并非，故D错误. 11. 在棱长为4的正方体中，下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与平面所成的角为 C. 三棱锥的体积为 D. 是的中点，点是侧面内的动点，若平面，则的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】A.根据线面垂直，证明线线垂直；B.判断和平面是否垂直；C.根据正方体的体积计算三棱锥的体积；D.首先求过点与平面平行的平面，再求点的轨迹，即可求最值. 【详解】A.因为平面，平面，所以， ，，平面， 所以平面，平面，所以，故A正确； B.平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，故B错误； C. 三棱锥的体积可以看作是 ，故C错误； D.过点作交于点，过点作交于点， 交和于点，连接，交于点， 由，平面，平面， 所以平面，同理平面，平面， 所以平面平面， 因为点是的中点，易证明也是棱的中点，所以六边形是正六边形，边长为，点在线段上运动， 如图 所以的最大值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 总体由编号为00，01，02，…，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第3列和第4列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为__________． 附：第6行至第9行的随机数表 27 48 61 98 71 64 41 48 70 86 28 88 85 19 16 20 74 77 01 11 16 30 24 04 29 79 79 91 96 83 51 25 32 11 49 19 73 06 49 16 76 77 87 33 99 74 67 32 26 35 79 00 33 70 91 60 16 20 38 82 77 57 49 50 【答案】 16 【解析】 【分析】依据随机数表法抽取样本的规则，从指定起始位置依次选取范围内的不重复编号，计数到第5个有效编号即可. 【详解】首先确定起始位置：随机数表第6行的第3列和第4列组成两位数字48，属于的编号范围，记为第1个有效编号； 从左到右依次选取后续两位数字，仅保留编号在范围内且不重复的结果： 1.选取61，数值大于49，舍去； 2.选取98，数值大于49，舍去； 3.选取71，数值大于49，舍去； 4.选取64，数值大于49，舍去； 5.选取41，符合要求，记为第2个有效编号； 6.选取48，与已选编号重复，舍去； 7.选取70，数值大于49，舍去； 8.选取86，数值大于49，舍去； 9.选取28，符合要求，记为第3个有效编号； 10.选取88，数值大于49，舍去； 11.选取85，数值大于49，舍去； 12.选取19，符合要求，记为第4个有效编号； 13.选取16，符合要求，记为第5个有效编号， 故第5个个体的编号为16. 13. 在中，，点满足，，，则的内切圆半径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理，结合三角形面积公式、三角形内切圆的性质进行求解即可. 【详解】设， 因为，点满足， 所以， 又因为， 所以， 因此，因为， 所以， 在中，由正弦定理， ， 因为，所以，所以， 所以由，可得， 在中，由余弦定理，得 ， 在中，由余弦定理，得 解得，舍去， 设的内切圆半径为， 由三角形面积公式，得， 所以的内切圆半径为. 14. 已知三棱锥，平面，，交于点，交于点，，记三棱锥，四棱锥的外接球的表面积分别为，，当三棱锥体积最大时，__________． 【答案】 【解析】 【分析】画出相应的图象，分别求两个几何体外接球的球心，根据三棱锥体积最大时，求外接球的半径，即可求解. 【详解】由，，取中点， 则， 故是三棱锥的外接球的球心，且其半径， 由平面，平面，所以， 又，平面，且， 故平面，又平面， 故，， 又，且平面，， 故平面，又平面， 故，， 又，平面，， 所以平面，又平面，故， 又，故， 连接，取中点，则为四边形外接圆的圆心， 连接点与中点，则，又平面， 故平面，即平面， 又，故为四棱锥的外接球的球心，其半径， 由平面，故， ， 由，故，有 则，当且仅当时，等号成立， 故三棱锥体积最大时，有， 因为，则， 由，，则， 则有，解得：， 故，则. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某幼儿园根据部分同年龄段儿童的身高数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中身高（单位：）的变化范围是，样本数据分组为，，，，． （1）求出的值； （2）已知样本中身高小于的人数是60，求出样本容量的数值； （3）根据频率分布直方图提供的数据，现用分层抽样的方法从身高在，，内的儿童中共抽出42名儿童参加活动，求三个组内分别要抽取的儿童数． 【答案】（1） （2） （3） 在，，内抽取儿童数为名 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为建立方程求解； （2）先计算身高小于的频率，再利用频数除以频率求样本容量； （3）计算三个区间的频率之比或人数之比，利用分层抽样的比例关系求解。 【小问1详解】  由频率分布直方图可知，组距为， 根据所有小矩形的面积之和为， 所以 ； 【小问2详解】 身高小于的频率为 . 因为身高小于的人数是， 所以样本容量； 【小问3详解】 身高在，，内的频率分别为，，， 这三组的人数分别为，，.  这三组的总人数为，故抽样比为， 则三个组内分别要抽取的儿童数为： 第一组（名） ，第二组（名） ，第三组（名） ， 故三个组内分别要抽取的儿童数为名. 16. 已知复数，，． （1）当时，求和； （2）设，在复平面内对应的点分别为A，B，O为原点，若，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）代入得到，再计算即可； （2）先得到点坐标，再根据向量数量积的坐标运算及辅助角公式化简求解． 【小问1详解】 时，，， ， ； 【小问2详解】 由题意， 则， ，又， ， ，解得． 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）判断的形状； （2）设，且D是边的中点，求当最大时的面积. 【答案】（1）等腰三角形 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式化简后可得，故可得即三角形为等腰三角形； （2）根据余弦定理和基本不等式可得当最大时为正三角形，故可求此时三角形面积. 【小问1详解】 由二倍角公式得， ∴，整理得， 即. ∵，∴，即，即为等腰三角形. 【小问2详解】 由（1）及题设，有， ∴ ， 而为三角形内角，∴，当且仅当时，等号成立. 即的最大值为，此时由，而，故， 故，可得为直角三角形且， 又由（1）可得为正三角形，∴的面积. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点为的中点，． （1）若点为的中点，，求的周长； （2）若 ①求的值； ②若为平面内一点，（），求的最小值． 【答案】（1）3 （2）①，② 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理，用基底表示出向量，进而根据向量数量积和余弦定理，解三角形，求出结果； （2）①根据向量夹角的余弦公式，用基底表示出向量，进而求出直接根据公式，求出结果； ②建立空间直角坐标系，根据向量加法的坐标表示，列出方程组，求出参数，根据二次函数最值，求出结果. 【小问1详解】 可知， ， 所以， 化简得，即，得， 由余弦定理可知，即， 解得，则， 所以的周长. 【小问2详解】 ①由（1）可知，即，化简得，解得， 可知，所以， 所以； ②如图所示，建立空间直角坐标系， 所以，设点， 则， 由得，解得， 所以， 令，则，则当时，取得最小值，为， 即当时，取得最小值. 19. 如图，在矩形ABCD中，，，点M为线段BC上的动点（不含端点），将沿AM折起，点B翻折至位置，且使二面角的大小为60°． （1）若N为棱的中点，且满足平面，求的值； （2）若，求三棱锥的体积； （3）求二面角的正切值的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在线段截取，可证明平面，结合平面可得平面面，进而得到平面，再结合N为棱的中点即可求解； （2）过作面垂线，过作，连得二面角平面角，进而棱锥的体积公式求解即可； （3）设，求出，，作，由相似得，进而得出二面角正切表达式，根据取值范围求解即可. 【小问1详解】 在线段上截取，由， 可得四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面， 因为平面，又，则平面平面， 因为平面，所以平面， 又N为棱的中点，所以为的中点， 则，即. 【小问2详解】 由，，则， 过作平面于点，过作于点，连接， 由平面，平面，则， 又，平面，则平面， 又平面，则为二面角的平面角，， 在中，， 由等面积法可知，，， 而，. 【小问3详解】 设，则， 在中，由等面积法可知， ， 在矩形中，， 过点作于， 易得，， 设二面角的大小为，则， 由于，则， 即二面角的正切值的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度高一年级第二学期阶段考试Ⅱ 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i为虚数单位，若，则复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. 或1 B. 1 C. 或 D. 3. 已知，是两条不相同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中真命题为（ ） A. 若，，，则 B. 若，且，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 4. 若圆台上、下底面的圆周都在一个直径为4的球面上，其上、下底面半径分别为1和2，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. （ ） A. B. C. D. 7. 已知在正四面体中，D，E，F分别在棱，，上，若，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 设的外心为，若，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 在复平面内，所对应的点位于第四象限 B. 的充要条件为 C. 若，则的取值范围为 D. 若，则为纯虚数 10. 在中，角所对的边分别为，下列说法中错误的是（ ） A. 若，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 B. 为锐角三角形，则 C. 若，则是等腰三角形 D. 是所在平面内一点，若，且，则的面积是面积的 11. 在棱长为4的正方体中，下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与平面所成的角为 C. 三棱锥的体积为 D. 是的中点，点是侧面内的动点，若平面，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 总体由编号为00，01，02，…，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第3列和第4列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为__________． 附：第6行至第9行的随机数表 27 48 61 98 71 64 41 48 70 86 28 88 85 19 16 20 74 77 01 11 16 30 24 04 29 79 79 91 96 83 51 25 32 11 49 19 73 06 49 16 76 77 87 33 99 74 67 32 26 35 79 00 33 70 91 60 16 20 38 82 77 57 49 50 13. 在中，，点满足，，，则的内切圆半径为__________． 14. 已知三棱锥，平面，，交于点，交于点，，记三棱锥，四棱锥的外接球的表面积分别为，，当三棱锥体积最大时，__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某幼儿园根据部分同年龄段儿童的身高数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中身高（单位：）的变化范围是，样本数据分组为，，，，． （1）求出的值； （2）已知样本中身高小于的人数是60，求出样本容量的数值； （3）根据频率分布直方图提供的数据，现用分层抽样的方法从身高在，，内的儿童中共抽出42名儿童参加活动，求三个组内分别要抽取的儿童数． 16. 已知复数，，． （1）当时，求和； （2）设，在复平面内对应的点分别为A，B，O为原点，若，求． 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）判断的形状； （2）设，且D是边的中点，求当最大时的面积. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点为的中点，． （1）若点为的中点，，求的周长； （2）若 ①求的值； ②若为平面内一点，（），求的最小值． 19. 如图，在矩形ABCD中，，，点M为线段BC上的动点（不含端点），将沿AM折起，点B翻折至位置，且使二面角的大小为60°． （1）若N为棱的中点，且满足平面，求的值； （2）若，求三棱锥的体积； （3）求二面角的正切值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $