精品解析：2026年广东韶关市初中学业水平模拟测试数学试卷（二模）

2026年初中学业水平模拟测试 数学 说明：1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的相关信息，并用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题： 本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，﹣0.5的相反数是（ ） A. 0.5 B. ±0.5 C. ﹣0.5 D. 5 2. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科创品牌图标设计草图中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 邓小平同志是党的第二代中央领导集体的核心，是中国改革开放和现代化建设的总设计师，1992年1月，邓小平在南巡讲话中指出：“中东有石油，中国有稀土．”稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料．据有关统计数据表明：至2017年止，我国已探明稀土储量约4400万吨，居世界第一位，请用科学记数法表示4400万为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，画平行线的操作中，最直接依据的基本事实是（   ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 同位角相等，两直线平行 C. 两直线平行，内错角相等 D. 两直线平行，同位角相等 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知求一组数据方差的算式为．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ）． A. 的值是5 B. 该组数据的平均数是17 C. 该组数据的众数是16和18 D. 若该组数据加入一个数17，则这组新数据的方差不变 7. 如图，点，，在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，二次函数（，是常数）的图像的顶点在线段上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：______． 12. 若关于x 的方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_______． 13. 写出一个过点的一次函数解析式__． 14. 广东丹霞山因“色如渥丹，灿若明霞”而得名，是丹霞地貌的命名地，有“中国红石公园”之称，国家级景区、世界地质公园（2004）、世界自然遗产（2010），拥有丰富的旅游资源，核心景点包括长老峰、阳元山、锦江画廊等．陈鱼和骆晏两人相约来到韶关旅游，两人分别从长老峰、阳元山、锦江画廊三个景点中随机选择一个景点游览，陈鱼和骆晏两人同时选择长老峰的概率为________． 15. 如图，在边长为的菱形中，，以点为圆心，菱形的高为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 18. 如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程． 例：有甲、乙两个工程队，甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等、乙队每天比甲队多修30米，求甲队每天修路的长度． 可可： 琪琪： 根据以上信息，解答下列问题． （1）可可同学所列方程中的x表示________； 琪琪同学所列方程中的y表示________； （2）在可可和琪琪所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关系：________； （3）利用（2）中你所选择的方程，解答该例题． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 随着新技术新手段的广泛应用，中国城市基础设施的现代化程度显著提高，新能源汽车逐渐得到了人们的认可，公共充电桩的需求量逐渐增大．某市对本地区2024年主要充电桩运营企业的公共充电桩数量进行了统计，绘制成如下两幅统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）将条形统计图补充完整； （2）统计图中所涉及的四家企业投放公共充电桩数量的中位数是________； （3）小明收集到这四个企业的图标，并将其制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余部分完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀，放在桌面上，从中任意抽取一张，不放回，再抽取一张．请你用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D”的概率． 20. 如图①，“舂碓”（）是中国传统农用工具，在《南史·侯景传》中已有应用记载；主要运用了杠杆原理将稻谷、高粱等谷物脱壳或捣碎，是古代粮食加工的重要器具，形状呈型，将其抽象成如图②的平面图形，呈型的可绕点旋转，其中，，三点在同一条直线上，点在直线上，，，，，初始时． （1）直接写出的度数为：________； （2）如图②，求初始时点到的距离； （3）如图③，当点第一次落在上时，求点在竖直方向上上升了多少厘米（参考数据：，，） 21. 综合与实践 【情境】要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图①），需找到合适的切割线． 【模型】已知矩形（数据如图②所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分． 【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图③，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点，；… 如图④，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线． 【探究】根据以上描述，解决下列问题． （1）图②中，矩形的周长为________； （2）在图③的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； （3）根据淇淇的作图过程，请判断图④中的直线是否符合要求，并说明理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 如图1，在矩形中，，对角线，交于点，是延长线上一点，连接，，已知，为半圆的直径，切半圆于点． （1）求证：； （2）求半圆的直径； （3）如图2，动点在上点出发向终点匀速运动，同时，动点从出发向终点匀速运动，且它们恰好同时停止运动．当与的一边平行时，求所有满足条件的的长． 23. 在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． （1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； （2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式； ③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟测试 数学 说明：1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的相关信息，并用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题： 本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，﹣0.5的相反数是（ ） A. 0.5 B. ±0.5 C. ﹣0.5 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】﹣0.5的相反数是0.5， 故选A． 2. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科创品牌图标设计草图中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．是中心对称图形，符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 3. 邓小平同志是党的第二代中央领导集体的核心，是中国改革开放和现代化建设的总设计师，1992年1月，邓小平在南巡讲话中指出：“中东有石油，中国有稀土．”稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料．据有关统计数据表明：至2017年止，我国已探明稀土储量约4400万吨，居世界第一位，请用科学记数法表示4400万为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：万． 4. 如图，画平行线的操作中，最直接依据的基本事实是（   ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 同位角相等，两直线平行 C. 两直线平行，内错角相等 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查画平行线的依据，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 由作图过程可知画平行线直接依据的基本事实，对照选项即可求解． 【详解】解：根据作图过程可知，画平行线最直接依据的基本事实是：同位角相等，两直线平行， 故选：． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A：，计算正确； 选项B：，计算错误； 选项C：，计算错误； 选项D：与不是同类项，不能合并，计算错误． 6. 已知求一组数据方差的算式为．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ）． A. 的值是5 B. 该组数据的平均数是17 C. 该组数据的众数是16和18 D. 若该组数据加入一个数17，则这组新数据的方差不变 【答案】D 【解析】 【分析】先从方差算式中提取数据个数和原数据，再根据统计量的定义逐一判断即可． 【详解】解：方差算式中共有5个平方项，数据个数， A正确； 原数据为， 平均数，B正确； 数据中16和18都出现2次，出现次数最多， 众数是16和18，C正确； 原方差， 加入一个数17后，新数据共6个，新平均数， 新方差， ，方差发生改变， D错误． 7. 如图，点，，在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵, ∴根据圆周角定理可知． 8. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法：大于向右画，小于向左画；有等号画实心点，无等号画空心圈，进行判断即可． 【详解】解：不等式为， 方向向右，且处为空心圆圈，观察选项，只有D选项符合． 9. 如图，在方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取格点，连接，，由平行四边形的判定和性质，可得，故，由勾股定理的逆定理得到，在中，求出即可得到解． 【详解】如图，取格点，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，，， ，， ， ， ， ． 10. 如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，二次函数（，是常数）的图像的顶点在线段上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，熟知二次函数的图像和性质是解题的关键； 先用，表示出二次函数图像的顶点坐标，再结合该顶点在线段上即可解决问题； 【详解】解：∵二次函数解析式为（，是常数）， 顶点坐标为， 又，， 直线的函数解析式为， 二次函数图像的顶点在线段上， ，且， 则， 当时，有最大值为； 故选：B 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： =2（m2-9） =2（m+3）（m-3）． 故答案为：2（m+3）（m-3）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12. 若关于x 的方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义、根的判别式即可得． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， 方程根的判别式，且， 解得且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 13. 写出一个过点的一次函数解析式__． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设该一次函数的解析式为，取（或其他值都可以），将点代入求解即可得． 【详解】解：设该一次函数的解析式为， 取， 点在一次函数图象上， ． 一次函数的解析式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】题目主要考查一次函数解析式的确定，理解题意，熟练掌握待定系数法确定函数解析式是解题关键． 14. 广东丹霞山因“色如渥丹，灿若明霞”而得名，是丹霞地貌的命名地，有“中国红石公园”之称，国家级景区、世界地质公园（2004）、世界自然遗产（2010），拥有丰富的旅游资源，核心景点包括长老峰、阳元山、锦江画廊等．陈鱼和骆晏两人相约来到韶关旅游，两人分别从长老峰、阳元山、锦江画廊三个景点中随机选择一个景点游览，陈鱼和骆晏两人同时选择长老峰的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先找出所有等可能的结果，再找出满足条件的结果数，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：记长老峰为A，阳元山为B，锦江画廊为C， 画树状图如下： 可知共有种等可能的结果，其中陈鱼和骆晏两人同时选择长老峰的结果只有种， ∴陈鱼和骆晏两人同时选择长老峰的概率为． 15. 如图，在边长为的菱形中，，以点为圆心，菱形的高为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质得出，，由锐角三角函数求出菱形的高，图中阴影部分的面积菱形的面积扇形的面积，根据面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵是菱形的高， ∴， 在中，， ∴菱形的面积， ∵扇形的半径为，圆心角为， ∴扇形的面积， ∴图中阴影部分的面积． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 17. 如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质； （1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即. 18. 如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程． 例：有甲、乙两个工程队，甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等、乙队每天比甲队多修30米，求甲队每天修路的长度． 可可： 琪琪： 根据以上信息，解答下列问题． （1）可可同学所列方程中的x表示________； 琪琪同学所列方程中的y表示________； （2）在可可和琪琪所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关系：________； （3）利用（2）中你所选择的方程，解答该例题． 【答案】（1）甲队每天修路的长度；甲队修路700米所用时间 （2）选择可可的方程：甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等；选择琪琪的方程：乙队每天比甲队多修30米； （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据所列方程，结合题意即可解答； （2）根据所列方程，结合题意即可解答； （3）解分式方程即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，可可同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度；琪琪同学所列方程中的y表示甲队修路700米所用时间． 【小问2详解】 解：选择可可的方程：甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等； 选择琪琪的方程：乙队每天比甲队多修30米； 【小问3详解】 解：①选择可可的方程， 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 经检验，是原方程的解． 答：甲队每天修路70米． ②选择琪琪的方程， 去分母得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 经检验，是原方程的解， ． 答：甲队每天修路70米． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 随着新技术新手段的广泛应用，中国城市基础设施的现代化程度显著提高，新能源汽车逐渐得到了人们的认可，公共充电桩的需求量逐渐增大．某市对本地区2024年主要充电桩运营企业的公共充电桩数量进行了统计，绘制成如下两幅统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）将条形统计图补充完整； （2）统计图中所涉及的四家企业投放公共充电桩数量的中位数是________； （3）小明收集到这四个企业的图标，并将其制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余部分完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀，放在桌面上，从中任意抽取一张，不放回，再抽取一张．请你用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D”的概率． 【答案】（1）见解析 （2）万台 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是从统计图中获取信息，求解中位数，利用画树状图求解随机事件的概率，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键； （1）由星星充电10万台充电桩占比求解总的充电桩的数量，再求解云快充的充电桩的数量即可； （2）将四家企业投放公共充电桩数量进行排序，然后根据中位数求解即可； （3）先画树状图得到所有的等可能的结果数，再得到符合条件的结果数，结合概率公式可得答案． 【小问1详解】 解：公共充电桩的总数为（万台）， ∴云快充的公共充电桩数量为（万台）， 补充统计图如下： 【小问2详解】 解：四家企业投放公共充电桩数量从小到大为：， ∴统计图中所涉及的四家企业投放公共充电桩数量的中位数是万台， 故答案为：9万台． 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D”的结果数为2， 所以抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的概率． 20. 如图①，“舂碓”（）是中国传统农用工具，在《南史·侯景传》中已有应用记载；主要运用了杠杆原理将稻谷、高粱等谷物脱壳或捣碎，是古代粮食加工的重要器具，形状呈型，将其抽象成如图②的平面图形，呈型的可绕点旋转，其中，，三点在同一条直线上，点在直线上，，，，，初始时． （1）直接写出的度数为：________； （2）如图②，求初始时点到的距离； （3）如图③，当点第一次落在上时，求点在竖直方向上上升了多少厘米（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）点到的距离约为 （3）点在竖直方向上升了 【解析】 【分析】（1）利用对顶角相等求解即可； （2）过作于，在根据代入计算即可； （3）过作于，由旋转可得 ，，，先求出再根据，得到，解得，最后根据点在竖直方向上上升了代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：过作于， 中，，， ， ∴， 即点到的距离约为； 【小问3详解】 解：过作于， 由旋转可得 ，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点在竖直方向上上升了． 21. 综合与实践 【情境】要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图①），需找到合适的切割线． 【模型】已知矩形（数据如图②所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分． 【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图③，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点，；… 如图④，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线． 【探究】根据以上描述，解决下列问题． （1）图②中，矩形的周长为________； （2）在图③的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； （3）根据淇淇的作图过程，请判断图④中的直线是否符合要求，并说明理由． 【答案】（1）10 （2）见解析 （3）直线符合要求，见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的周长公式，结合图②中矩形的长和宽，直接计算周长即可． （2）利用矩形的中心对称性质，过矩形对角线交点作与夹角为的直线，即可将矩形分成周长相等的两部分． （3）根据淇淇的作图步骤，先证明四边形是平行四边形，得到，再证明分成的两部分周长相等，从而判断直线符合要求． 【小问1详解】 解：矩形的长宽 矩形的周长； 【小问2详解】 解：如图，直线即为所求； 【小问3详解】 解：直线符合要求，理由如下： 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 直线是线段的垂直平分线， ， ， ，， ， ， 直线将矩形分成周长相等的两部分， 直线符合要求． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 如图1，在矩形中，，对角线，交于点，是延长线上一点，连接，，已知，为半圆的直径，切半圆于点． （1）求证：； （2）求半圆的直径； （3）如图2，动点在上点出发向终点匀速运动，同时，动点从出发向终点匀速运动，且它们恰好同时停止运动．当与的一边平行时，求所有满足条件的的长． 【答案】（1）证明：∵矩形 中，是对角线的交点， ∴是 中点， ∴， ∴，即 ． 又∵矩形中 ， ∴， ∵，  ∴． （2）24 （3）所有满足条件的的长为或或． 【解析】 【分析】（1）根据矩形对角线性质，得是中点．根据三线合一，得，即，得，由，即可证得结论； （2）求出，，，连接，设半圆半径为r，直径．设，则，，得，解得，得，．用面积法求得，即可得半圆的直径； （3）过点P作于点G，作于点H，得四边形是矩形， 由，，得，设，则，得，当时，当时，当时，分三种情况解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵矩形中，是对角线的交点， ∴是中点，， 连接，设半圆半径为r，则，直径． 设， 则，， 由得， ∴， 解得， 即，． 切半圆于， ∴， 对用面积法， 代入得， 解得， ∴直径． 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 过点P作于点G，作于点H，则， ∴四边形是矩形， ∴， 由（2）知，，， ∴， ∵点P、Q同时出发同时停止，匀速运动，设时间为t， ∴点P的速度为，点Q的速度为， ∴在时间内，，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， ∵为矩形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 符合所列方程，符合题意； 当时， ∵， ∴点Q、H重合， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 符合所列方程，符合题意． 综上：所有满足条件的的长为或或． 23. 在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． （1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； （2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式； ③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值． 【答案】（1）是矩形的“友好函数” （2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论； （2）求出正比例函数，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k； 分两种情况讨论，当时，即，当时，即，再根据矩形周长公式求解即可； 分四种情况讨论，当，且时，当，且时，当，且时，当，且时，根据矩形面积公式，求出，即可求出的值． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 反比例函数的表达式为：， 当时，， 点D在反比例函数图像上， 该函数为矩形的“友好函数”； 【小问2详解】 解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得， 正比例函数表达式为， 正比例函数是矩形的“友好函数”， 点C在直线上， 设点， 则， ； 将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上， ，，， 延长交y轴于F， 四边形是矩形， ，， 轴， ，， ， ， ， ， 轴， ，， ， ， 在中，， ， 解得：或， , ， ， ， 当时，， 把代入反比例函数得，； ②当时，即， 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，， ， ， ， 当时，， 当时，即时，如图， 设点， 则， ； 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ， ， 当时，， 综上所述，， ③当，且时，解得，则， ， ， 当，且时，解得，则， ， ， 当，且时，解得，不符合题意， 当，且时， 解得，则， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“友好函数”，综合运用以上知识求解，运用分类讨论思想是解题的关键； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $