精品解析： 广东省韶关市浈江区三校联考2024—2025学年下学期九年级 二模考试数学试题

2024—2025学年下学期韶关市浈江区三校联考九年级校二模考试 数 学 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应  位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．   2、作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．   一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 下列四个博物馆的标志中，文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 韶州体育馆是广东省第十三届中学生运动会主场馆，该体育馆建筑面积约为27360平方米，数据27360用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】解：∵， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法运算法则，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项运算错误，不符合题意； B、，故此选项运算正确，符合题意； C、，故此选项运算错误，不符合题意； D、，故此选项运算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 为了帮助学生提升学习数学的兴趣，在数学文化阅读周，学校组织同学们从《周髀算经》、《‌九章算术》、《数书九章》、《‌孙子算经》、《五经算术》中选择一本阅读，小明从这五本数学著作中选中《数书九章》的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了利用概率公式求概率，找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：因为共有五本书， 所以小明从这五本数学著作中选中《数书九章》的概率是， 故选：A． 6. 如题，使用剪刀时会张开一定的角度，已知，平分，则的度数是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．利用角平分线的定义得出即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， 故选：C． 7. 在2024年巴黎奥运会中，“中国梦之队”首次包揽了8枚金牌．假设在全红婵的某场跳水比赛中，5位裁判给出的分数分别是，，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 平均数 B. 中位数是 C. 众数是 D. 方差是0.8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，平均数和方差．先把5个数据按从小到大的顺序排列，而后用中位数，众数，平均数和方差的定义及计算方法逐一判断． 【详解】解：5个数按从小到大的顺序排列，，，，， A、平均数是，故本选项不符合题意； B、中位数是，故本选项符合题意； C、和出现次数最多，众数是和，本选项不符合题意； D、方差是，本选项不符合题意． 故选：B． 8. 不等式组的解集为（ ） A. 无解 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集． 本题考查了解不等式组，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵ ∴解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 故选：D． 9. 若，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性、负整数指数幂、求代数式的值，熟知绝对值和算术平方根具有非负性是解题的关键．根据绝对值和算术平方根的非负性，可得，，求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故选：C． 10. 如图1，现有一台可调节温度的取暖器，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现控温．如图2是该取暖器的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法错误的是（ ） A.   I与R的函数关系式是 B.  当时 C. 当时，I取值范围是 D.  已知该取暖器的发热功率为，则P随R的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，确定反比例函数的解析式，利用性质解答即可． 本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质，熟练掌握函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：A.点在反比例函数的图象上， ， 解得 反比例函数的解析式是，正确，不符合题意； B.  当时，，正确，不符合题意； C. 当时，，当时，，根据反比例函数的性质，得I随R的增大而减小，由，故I的取值范围是，正确，不符合题意； D.  已知该取暖器的发热功率为，I是变量，R是变量，无法这样描述它们之间的关系，错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，运用提公因式法进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，韶关市城市新地标韶阳楼坐落在美丽的森林公园内．韶阳楼的地底藏有一座神秘古塔的塔基，正与韶阳楼的中心位置重合，该塔基是正六边形，此六边形的内角和为_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据多边形的内角和为：，得正六边形的内角和，解答即可． 本题考查了正多边形的内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据多边形的内角和为：，得正六边形的内角和， 故答案为：． 13. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解m的不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，在等腰直角三角形中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，阴影部分的面积为，结合已知代入计算即可． 本题考查了阴影面积计算，扇形面积公式，适当分割表示阴影面积是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， 故, 故阴影部分的面积为 ． 故答案为：或． 15. 已知点是反比例函数和一次函数上的一点，则点到原点的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，联立函数解析式是解题的关键． 联立，整理得，结合题意可知，，利用勾股定理表示出，整体代入即可求解． 【详解】解：联立， 整理得：， ∵点是反比例函数和一次函数上的一点， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， ∴点到原点的距离为． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、立方根、实数的混合运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．根据零指数幂、立方根、绝对值、乘方的性质化简，再计算加减即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在中，是的直径． （1）尺规作图：作半径的垂直平分线，交于两点，交半径于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若的半径是4，连接，沿着半径剪开，把和构成的扇形围成圆锥的侧面，求这个圆锥的底面周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的基本作图解答即可． （2）根据弧长公式，圆锥的展开图性质解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，圆锥的展开图，弧长公式，熟练掌握基本作图，弧长公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示， 则直线为所求． 【小问2详解】 解：连接， ∵直线是线段的垂直平分线，的半径是4； ∴； ∴； ∴； ∵； ∴； ∴； ∵的长为； 又∵扇形围成圆锥的侧面时，圆锥的底面周长等于扇形的弧长， ∴圆锥的底面周长是． 18. 每年的12月底至1月初，是韶关皇帝柑的最佳品尝期，某果园计划种植皇帝柑，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求，现决定改良品种，改良后平均每亩产量是原来的倍，总产量比原计划增加6万千克，种植面积可减少30亩，求改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是多少万千克？ 【答案】改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克 【解析】 【分析】设改良前的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克，则改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克，依题意得：，解方程即可． 本题考查了分式方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设改良前的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克，则改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克， 依题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴， 答：改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 白土月饼是非物质文化遗产，始创于明崇祯年间，至今已有400多年历史，为了解同学们对某白土月饼厂家生产的多种月饼的喜爱情况，某实践探究小组对九年级部分同学做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告： xx小组关于xx学校学生月饼品种喜爱情况调查报告 数据收集 调查方式 抽样调查 调查对象 xx学校九年级部分学生 数据的整理与描述 品种 数据分析及运用 （1）本次被抽样调查的学生总人数为______，扇形统计图中，______； （2）请补全条形统计图； （3）该学校总人数为2000人，请你估计该学校学生喜欢吃莲蓉月饼和冰皮月饼总人数； （4）甲乙两位同学根据调查的数据，发现A，C，E三种月饼最受欢迎，计划从这三个品种中挑选一种推荐给朋友，请用树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一种月饼的概率． 【答案】（1）120，30；（2）图见解析；（3）1100人；（4） 【解析】 【分析】（1）根据频数除以所占百分比等于样本容量，再求解圆心角的度数即可； （2）根据频数之和等于样本容量，确定C组的人数，完善统计图即可； （3）利用样本估计总体的思想，计算解答即可． （4）画树状图，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 (人)， ， 故， 故答案为：120，30． （2）解：喜欢豆沙月饼的人数为： (人)， 补图如下： ． （3）解：根据题意，得（人） 答：估计该学校学生喜欢吃莲蓉月饼和冰皮月饼的总人数为1100人． （4）解：根据题意，画树状图如下： 一共有9种等可能结果，其中两位同学选择同一种月饼有3种可能结果 ∴P（甲乙两同学选择同一种月饼） 【点睛】本题考查了样本容量，圆心角的计算，画条形统计图，频数的计算，利用画树状图或列表的方法求解随机事件的概率，样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解题的关键． 20. 周末，小明和爷爷去河边叉鱼，他在船上观察鱼的位置．如图，已知光线从点出发，经水面点折射到鱼处，其中入射角为，当光从空气斜射入水中时，折射光线会向法线偏折，折射角为，小明观察到鱼的像在点处，鱼的实际位置在点处，点和点所在直线可近似看成与水面垂直，若鱼的像到光线与水面的交点的距离为，小明要在他看到的鱼的位置再往下叉多少厘米才能叉到鱼？（参考数据：结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】过点B作垂直于水面所在直线l，垂足为C，则共线，，解直角三角形即可． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：由题可知，， 过点B作垂直于水面所在直线l，垂足为C， 则共线，， ∴，， 在中，， ∴， ， 在中，， ∴， ∴， 答：小明要在他看到的鱼的位置再往下叉才能叉到鱼． 21. 综合与实践 【主题】悬挂法确定匀质薄板的重心 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 【实践操作】 步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线相反方向竖直向下的重力的作用线； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点即为硬纸板的重心． 【实践探索】 （1）根据实践操作步骤，画出题图2中不规则形状硬纸板的重心； （2）我们在八年级学习过三角形重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，如图3，在中，、、分别是的三条中线，点是的重心； ①若的面积是6，则的面积是____________； ②通过测量，发现三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍，请用你所学的数学知识进行证明． 【答案】（1）见解析 （2）①2；②见解析 【解析】 【分析】本题考查了重心的概念、根据三角形中线求面积、三角形中位线定理、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）延长交于点，则重心即为所求； （2）①根据三角形中线的性质推出，，得到，即可求解； ②根据、、是的中线，可证明、、，通过等面积法可得，再次利用等面积法进行证明即可． 【小问1详解】 解：如图所示，重心即为所求： 【小问2详解】 ①解：∵、、分别是的三条中线， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； 故答案为：2； ②证明： ∵、、是的中线， ∴、，， 、、 同理可证 被三条中线分成六个面积相等的小三角形 令到的高为 ， ∴三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍． 五、解答题（三）：本大题共2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分． 22. 【问题背景】菱形的边长为，其中，是边上的一个动点，作射线，点关于直线的对称点为，连接，直线与射线交于点，连接． 【知识技能】 （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，连接，求证：； 【拓展探索】 （3）当在直线上运动时，求时，的长度是多少？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当在直线上运动，时，或 【解析】 【分析】（1）根据对称得到垂直平分；得到，证出；得到，根据菱形性质得到，根据；得到；求出；即可证出结论． （2）结合（1）得到四点共圆，得到；结合菱形性质；证出，得到，得到；即可证出结论； （3）①当点在点右侧时，过点作的垂线，交的延长线于点；结合三角函数和勾股定理求出；②当点在点左侧时，过点作的垂线，交的延长线于点；结合三角函数和勾股定理，再证出，求出即可． 【详解】解：（1）证明：∵点关于直线对称； ∴垂直平分； ∴； 又∵； ∴； ∴； ∵四边形为菱形； ∴； ∵； ∴； ∴； ∴ （2）证明：∵； 由（1）得：； ∴； ∴四点共圆； ∵和同弧所对圆周角； ∴； ∵在四边形中， ，且； ∴； ∵四边形为菱形； ∴，； ∴，； ∴； 又∵； ∴； ∴，即； ∵，； ∴； ∴； ∴ （3）①当点在点右侧时，过点作的垂线，交的延长线于点； ∵； ∴； ∴，； ∴； ∴在中，； 由（2）得：，即； ∴； ②当点在点左侧时，过点作的垂线，交的延长线于点；如图所示： ∵； ∴，； ∴； ∴在中，； 同（1）可证：，且和都是同侧所对； ∴四点共圆； ∵和是同弧所对圆周角，和是同弧所对圆周角； ∴，； ∴； ∴； ∴，即； ∴； 综上所得，当在直线上运动，时，或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，菱形性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握四点共圆及相似三角形的判定与性质是解答本题的关键. 23. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，将矩形绕原点顺时针方向旋转，得到矩形．设直线与轴交于点，抛物线经过三点，解答下列问题： （1）求直线和抛物线的解析式； （2）如图1，若点是直线上的一个动点，以为圆心，1为半径作圆，点的运动时间是秒，⊙以每秒个单位长度从点向点运动，当⊙与矩形有交点时，求运动时间的取值范围； （3）如图2，在（2）的条件下，点是线段上的一个动点，以每秒1个单位长度从向运动，连接，以为边作正方形，当其中一个点运动到终点时，运动停止，当点运动到那个位置时，正方形的面积最小，并求出正方形面积的最小值和点的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为；抛物线的解析式 （2）当⊙与矩形有交点时，运动时间的取值范围为 （3）当时，正方形的最小面积为0.9，此时点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数，图形的旋转； （1）根据题意得到点的坐标，设直线的解析式为；把点的坐标代入解析式计算即可；求出点的坐标为；设抛物线的解析式为；把点的坐标代入解析式，解得即可求出； （2）根据勾股定理求出，当⊙与边相切时，⊙与矩形最先有交点；设⊙与边相切于点，连接；证出，得到，得到，当⊙与边相切时，⊙与矩形最后有交点；设⊙与边相切于点，连接；证出；得到；得到；即可求出结果； （3）过点分别作的垂线，垂足分别为；得到，得到；根据三角函数得到，；求出，，得到；结合勾股定理表示出，结合面积公式得到，得到当时，正方形的面积最小，其最小面积为0.9；根据，；即可求出结果． 【小问1详解】 解：∵矩形的边， 且绕原点顺时针方向旋转，得到矩形； ∴点的坐标分别为； 设直线的解析式为； 把点的坐标代入解析式得： 解得： ∴直线的解析式为； ∵点是直线与轴的交点，令； 解得：； ∴点的坐标为； ∵抛物线与轴交于两点； ∴设抛物线的解析式为； 把点的坐标代入解析式得：； 解得：； ∴抛物线的解析式为； 即； 【小问2详解】 解：∵点的坐标为； ∴； ∴，； ∴在中，， 在中，； 当⊙与边相切时，⊙与矩形最先有交点； 设⊙与边相切于点，连接； ∵⊙与边相切于点； ∴，； 易证：； ∴即； 解得：； ∴； ∴； 当⊙与边相切时，⊙与矩形最后有交点； 设⊙与边相切于点，连接； ∵⊙与边相切于点； ∴，； 易证：； ∴即； 解得：； ∴； ∴； ∴当⊙与矩形有交点时，运动时间的取值范围为； 【小问3详解】 解：由题意得：，其中； 过点分别作的垂线，垂足分别为； ∵； ∴； ∴； ∴， ； ∴，； ∴，； ∴； ∴在中，； ∴； ∵，且； ∴当时，正方形的面积最小，其最小面积为0.9； 此时，，；即点坐标为． ∴当时，正方形最小面积为0.9，此时点坐标为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年下学期韶关市浈江区三校联考九年级校二模考试 数 学 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应  位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．   2、作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．   一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 2025相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列四个博物馆的标志中，文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 韶州体育馆是广东省第十三届中学生运动会主场馆，该体育馆建筑面积约为27360平方米，数据27360用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 为了帮助学生提升学习数学的兴趣，在数学文化阅读周，学校组织同学们从《周髀算经》、《‌九章算术》、《数书九章》、《‌孙子算经》、《五经算术》中选择一本阅读，小明从这五本数学著作中选中《数书九章》的概率是（ ） A. B. C. D. 1 6. 如题，使用剪刀时会张开一定的角度，已知，平分，则的度数是 （ ） A. B. C. D. 7. 在2024年巴黎奥运会中，“中国梦之队”首次包揽了8枚金牌．假设在全红婵的某场跳水比赛中，5位裁判给出的分数分别是，，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 平均数是 B. 中位数是 C. 众数是 D. 方差是0.8 8. 不等式组的解集为（ ） A. 无解 B. C. D. 9. 若，则（ ） A. 4 B. C. D. 10. 如图1，现有一台可调节温度的取暖器，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现控温．如图2是该取暖器的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法错误的是（ ） A.   I与R的函数关系式是 B.  当时 C. 当时，I取值范围是 D.  已知该取暖器的发热功率为，则P随R的增大而增大 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：___________． 12. 如图，韶关市城市新地标韶阳楼坐落在美丽森林公园内．韶阳楼的地底藏有一座神秘古塔的塔基，正与韶阳楼的中心位置重合，该塔基是正六边形，此六边形的内角和为_________． 13. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 14. 如图，在等腰直角三角形中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是________． 15. 已知点是反比例函数和一次函数上的一点，则点到原点的距离为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 如图，在中，是的直径． （1）尺规作图：作半径的垂直平分线，交于两点，交半径于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若的半径是4，连接，沿着半径剪开，把和构成的扇形围成圆锥的侧面，求这个圆锥的底面周长． 18. 每年的12月底至1月初，是韶关皇帝柑的最佳品尝期，某果园计划种植皇帝柑，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求，现决定改良品种，改良后平均每亩产量是原来的倍，总产量比原计划增加6万千克，种植面积可减少30亩，求改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是多少万千克？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 白土月饼是非物质文化遗产，始创于明崇祯年间，至今已有400多年历史，为了解同学们对某白土月饼厂家生产的多种月饼的喜爱情况，某实践探究小组对九年级部分同学做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告： xx小组关于xx学校学生月饼品种喜爱情况调查报告 数据收集 调查方式 抽样调查 调查对象 xx学校九年级部分学生 数据的整理与描述 品种 数据分析及运用 （1）本次被抽样调查的学生总人数为______，扇形统计图中，______； （2）请补全条形统计图； （3）该学校总人数为2000人，请你估计该学校学生喜欢吃莲蓉月饼和冰皮月饼的总人数； （4）甲乙两位同学根据调查的数据，发现A，C，E三种月饼最受欢迎，计划从这三个品种中挑选一种推荐给朋友，请用树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一种月饼的概率． 20. 周末，小明和爷爷去河边叉鱼，他在船上观察鱼的位置．如图，已知光线从点出发，经水面点折射到鱼处，其中入射角为，当光从空气斜射入水中时，折射光线会向法线偏折，折射角为，小明观察到鱼的像在点处，鱼的实际位置在点处，点和点所在直线可近似看成与水面垂直，若鱼的像到光线与水面的交点的距离为，小明要在他看到的鱼的位置再往下叉多少厘米才能叉到鱼？（参考数据：结果精确到） 21. 综合与实践 【主题】悬挂法确定匀质薄板的重心 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 实践操作】 步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线相反方向竖直向下的重力的作用线； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点即为硬纸板的重心． 【实践探索】 （1）根据实践操作步骤，画出题图2中不规则形状硬纸板重心； （2）我们在八年级学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，如图3，在中，、、分别是的三条中线，点是的重心； ①若的面积是6，则的面积是____________； ②通过测量，发现三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍，请用你所学的数学知识进行证明． 五、解答题（三）：本大题共2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分． 22. 【问题背景】菱形的边长为，其中，是边上的一个动点，作射线，点关于直线的对称点为，连接，直线与射线交于点，连接． 【知识技能】 （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，连接，求证：； 【拓展探索】 （3）当在直线上运动时，求时，的长度是多少？ 23. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，将矩形绕原点顺时针方向旋转，得到矩形．设直线与轴交于点，抛物线经过三点，解答下列问题： （1）求直线和抛物线的解析式； （2）如图1，若点是直线上的一个动点，以为圆心，1为半径作圆，点的运动时间是秒，⊙以每秒个单位长度从点向点运动，当⊙与矩形有交点时，求运动时间的取值范围； （3）如图2，在（2）的条件下，点是线段上的一个动点，以每秒1个单位长度从向运动，连接，以为边作正方形，当其中一个点运动到终点时，运动停止，当点运动到那个位置时，正方形的面积最小，并求出正方形面积的最小值和点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $