5.2 二次函数的图象 第4课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)的图象与性质，通过“配方转化顶点式”导入，引导学生从具体函数配方步骤到五点定位法画图，再归纳性质并推导一般式顶点坐标与对称轴公式，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于结合桥梁设计、火箭发射等生活实例培养应用意识，通过配方推理过程发展运算能力与推理意识，五点定位法和性质对比表强化几何直观。学生能提升解决实际问题的能力，教师可借助清晰流程和实例提高教学效率。

第5章 二次函数 2　二次函数的图象 第4课时 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与性质 北师大版（2024） 九年级 数学（上） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 导入新课 你能把y＝2x2－4x＋5化为y＝a(x－h)2＋k的形式吗？ y=2（x−1）2+3​ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 你能画出y＝2x2－4x＋5的图象，并说出它的性质吗？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 配方的步骤 y＝2x2－4x＋5 ＝2(x2－2x)＋5 ＝2(x2－2x＋1－1)＋5 ＝2(x2－2x＋1)－2＋5 ＝2(x－1)2＋3 提，提出二次项系数； 配，加上括号内一次项系数一半的平方，使括号内前三项成为一个完全平方式．为了等式成立，注意再将此项减去； 理，整理得出结果． 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 用五点定位法列表画图 x －1 0 1 2 3 y 11 5 3 5 11 描点、连线． 列表： y＝2(x－1)2＋3 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【归纳】函数的性质： y＝2(x－1)2＋3 (1)函数开口向上，顶点坐标为(1，3)，对称轴为直线x＝1，当x＝1时，函数有最小值3； (2)x＞1时，y随x的增大而增大； (3)x＜1时，y随x的增大而减小． 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解决二次函数y＝ax2＋bx＋c问题的关键是将其化为 y＝a(x－h)2＋k的形式． 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 探究新知 求二次函数y＝2x2－8x＋7图象的对称轴和顶点坐标。 探 究1 【方法指导】将y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 因此，二次函数y＝2x2－8x＋7图象的对称轴是直线x＝2，顶点坐标为(2，－1)。 解：y＝2x2－8x＋7 ＝2(x2－4x)＋7 ＝2(x2－4x＋4)－8＋7 ＝2(x－2)2－1 提取二次项系数 配方 顶点式 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 探 究2 求二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶点坐标。 解：把二次函数y＝ax2＋bx＋c的右边配方，得 y＝ax2＋bx＋c ＝a(x2＋x)＋c ＝a[x2＋2·x＋() 2－()2]＋c 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 ＝a(x＋)2＋ 因此：二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴是直线x＝－，顶点坐标是(－，)。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 顶点坐标 (－，)  对称轴 x＝－ 开口 方向 向上 向下 归纳总结 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 增减性 x＞－时，y随x的增大而增大；x＜－时，y随x的增大而减小。 x＞－时，y随x的增大而减小； x＜－时，y随x的增大而增大。 最值 x＝－时，函数取得最小值 x＝－时，函数取得最大值 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的应用 探 究3 中国的基建速度震惊世界，大大激发了青少年对桥梁和道路建设的兴趣。如图，小宇利用计算机设计了一款桥梁，桥拱可以用抛物线的一部分表示，其表达式为y＝ax2，并利用计算机软件模拟水面情况。已知桥拱与抛物线 y＝－x2＋x－4的形状相同。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 (1)a的值为________。 (2)当水面的宽度AB为10 m时，求桥拱顶点到水面的高度OC。 (3)若水面下降1 m，水面宽度增加多少？ (4)你是如何计算的，与同伴交流。 分析：(1)根据二次函数的性质即可得答案； (2)令x＝5解出方程即可得到答案； (3)令y＝－3解出方程即可得到答案。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：（1）抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定。 已知桥拱抛物线 y=ax² 与 y=−x²+x−4 形状相同，且开口向下。 因此：a=− 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 (2) 因为抛物线 y=−​x² 关于 y 轴对称，水面宽度 AB=10， 将 x=5 代入抛物线方程： y=−​×5²=−​×25=−2 水面上的点 B 纵坐标为 −2，顶点 O 在 (0,0)，所以高度 OC=∣−2∣=2 m。 所以点 B 的横坐标为 5。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 （3）水面下降 1 m，此时水面的纵坐标为 y=−3，代入抛物线方程： 解得：x²=​ x=±​​ 此时水面宽度为： −​​(−​​​​)=5​ m ​​原宽度为 10 m，所以增加的宽度为：5​−10 m −3=−​ x² 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 应用举例 A．函数有最小值 B．对称轴是直线x＝ C．当x＜时，y随x的增大而减小 D．当－1＜x＜2时，y＞0 【例】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是 ( ) D 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【解析】由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，A项正确； 由图象可知对称轴为x＝ ，B项正确； 因为a＞0，图象的对称轴为x＝ ，所以， 当x＜ 时，y随x的增大而减小，C项正确； 由图象可知，当－1＜x＜2时，y＜0，D项错误，故本选项符合题意． 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 随堂练习 1.用配方法确定下列函数图象的对称轴和顶点坐标： （1）y=2x2－12x+3； （2）y=－5x2+80x－319； = 2(x2-6x)+3 = 2(x2-6x+9)-18+3 = 2(x-3)2-15 对称轴为x=3， = -5(x2-16x)-319 = -5(x2-16x+64)+320-319 = -5(x-8)2+1 对称轴为x=8， 顶点为（8，1）. 顶点为（3，-15）. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 （3）y= 2（x-）（x-2） ； = 2x2-5x+2 对称轴为x= ，顶点为 （. = 2+2 = 2（ − ） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 （4）y=3(2x+1)(2-x). ​=−6²+9+6 =−6+6 =−6（ ）²+ 对称轴为x= ，顶点为 （. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 2．当火箭被竖直向上发射时，它的高度h (m)与时间t (s)的关系可以用公式h=－5t2+150t＋10表示. 经过多长时间，火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？ 解:∵a=-5<0， ∵-= ∴抛物线的开口向下，其顶点即为最高点. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 ∴当t=15时,h最大=1135 即经过15s,火箭到达它的最高点，最高点的高度为1135m. ∴抛物线的顶点坐标为(15,1135)， 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 3．有心理学家研究发现，学生对某类概念的接受能力y与讲授概念所用时间x (min)之间满足函数关系y = －0.1x2 +2.6x+43(0≤x≤30). y值越大，表示接受能力越强．根据这一结论回答下列问题: （1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内，学生的接受能力逐渐降低？ （2）经过多长时间，学生的接受能力最强？ 解:(1)当0≤x<13时，学生的接受能力逐步增强; （2）经过13min,学生的接受能力最强. 当13<x≤30时，学生的接受能力逐渐降低. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 课堂小结 二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线. 顶点坐标公式： 对称轴是x=- ，顶点坐标为（，） y=a（x+）² + 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 $