1.4 正方形的性质与判定 第1课时课件2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形的定义与性质，通过生活中矩形、菱形实例导入，结合矩形变正方形（邻边相等）和菱形变正方形（一个角是直角）的动态演示操作，衔接矩形与菱形性质，构建从特殊平行四边形到正方形的学习支架。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，引导观察总结正方形定义发展数学思维，通过整合菱形与矩形性质及几何证明（如例1用SAS证全等）体现数学语言。动态演示和分层练习助学生理解，为教师提供结构化教学流程，提升教学效率。

第1章 特殊平行四边形 4 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 北师大版（2024） 九年级 数学（上） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 1 情景导入 生活中的正方形 好 好 学 习 天 天 向 上 像矩形 十 年 树 木 百 年 树 人 像菱形 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 矩形变正方形 一组邻边相等 点击播放 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 菱形变正方形 一个角是90° 点击播放 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 探究新知 探究一 正方形的性质 图中的四边形都是特殊的平行四边形. 观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 你能总结出正方形的定义吗？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 5 正方形定义： 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 （1）正方形是矩形吗？是菱形吗？ （2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流. 正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质. 想一想 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 你能利用下图理清下面四个特殊的四边形之间的关系吗？ 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一组邻边相等 有一个角是直角 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 相关图形性质的关系 平行四边形的性质 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 菱形的性质 四条边相等 对角线互相垂直 四个角都是直角 对角线相等 矩形的性质 正方形的性质 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 正方形的性质 定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等. 定理：正方形的对角线相等并且互相垂直平分. AB = BC = CD = DA ∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90° AO = BO = CO = DO，AC⊥BD 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 想一想 正方形有几条对称轴？ 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形. 正方形有 4 条对称轴. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. 应用举例 【方法指导】延长BE与DF相交于点M，利用SAS证明△BCE≌△DCF，推出BE＝DF，∠CBE＝∠CDF，据此可得到∠DME＝∠BCE＝90°。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：BE = DF, 且 BE⊥DF. 理由如下： （1）∵四边形 ABCD 是正方形. ∴BC = DC,∠BCE = 90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）. ∴∠DCF = 180°-∠BCE = 180°-90°= 90°. ∴∠BCE =∠DCF. 又∵CE = CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE = DF. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 （2）延长 BE 交 DF 于点 M. ∵△BCE ≌ △DCF. ∴∠CBE = ∠CDF. ∵∠DCF = 90°. ∴∠CDF +∠F = 90°. ∴∠CBE +∠F = 90°. ∴∠BMF = 90°. ∴BE ⊥ DF. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【例2】 如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD相交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，求DE的长。 【方法指导】过点E作EF⊥DC于F，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出DE的长。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：过点E作EF⊥CD于F。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，∠BDC＝45°。 ∴∠EDF＝45°。∴EF＝DF。 ∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴EO＝EF。 又∵∠EOC＝∠EFC＝90°，EC＝EC，∴Rt△CEO≌Rt△CEF。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 ∵正方形ABCD的边长为1，∴AC＝。 ∴CO＝AC＝。∴CF＝CO＝。 ∴DF＝DC－CF＝1－ 。 在Rt△DEF中，由勾股定理， 得DE＝＝－1。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 2.如图，在菱形ABCD中，将A，C两点沿对角线AC分别移动到A′ ，C′的位置，得到正方形A′BC′D。已知菱形ABCD的面积为120cm2，正方形A'BC'D的面积为50 cm2，求 AC 的长。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 正方形A′BC′D的面积为 50cm2 。 正方形的面积公式为：面积=×d1​×d2​， ∵正方形的对角线相等（A′C′=BD）， ∴ 50=​×BD2 解得: BD2=100 BD=10cm ∵菱形 ABCD 的面积为 120 cm2， 菱形的面积公式为：面积= ×AC×BD， 已知BD=10cm， ∴ S菱形ABCD=× AC×10 120=5×AC AC=24 cm 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 想一想 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地示它们之间的关系吗 ？与同伴交流. 平行四边形 矩形 菱形 正方形 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 这节课你们都学会了哪些知识？ 正方形的定义 正方形的性质 正方形的对角线相等并且互相垂直平分. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形. 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 课堂小结 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 随堂练习 1. 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点，连接 BF, DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明. 解：图中的全等三角形共有 3 对， 分别是 △ADC与△ABC, △FCD与△FCB, △FAD与△FAB． 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 选择△FAD≌△FAB 证明，过程如下： ∵正方形 ABCD, ∴AD = AB,∠DAF =∠BAF, 又∵AF = AF， ∴△FAD≌△FAB. 1. 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点， 连接 BF, DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 ( ) A．14 B．15 C．12 D．17 C 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 3．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边DC，BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，求∠EAF的度数。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：在Rt△ABF和Rt△AGF中，AB＝AG，AF＝AF， ∴Rt△ABF≌Rt△AGF(HL)。 ∴∠BAF＝∠FAG。 同理可证：∠GAE＝∠DAE。 ∵∠BAD＝90°＝∠BAG＋∠GAD＝2∠FAG＋2∠GAE， ∴∠FAG＋∠GAE＝45°，即∠EAF＝45°。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 EVCapture4.0.2软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn EVCapture4.0.2软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $nullnull