1.2 菱形的性质与判定 第1课时课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦菱形的性质，涵盖一般平行四边形性质及菱形特殊性质（四条边相等、对角线互相垂直）。课堂导入结合《周髀算经》等数学史记载与伊斯兰艺术菱形密铺图案，从生活与历史角度引导观察，通过回顾平行四边形性质自然过渡到菱形特性，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于融合数学史与现实情境，培养数学眼光，如借助艺术图案感受菱形对称性与空间填充特性。注重推理证明与问题转化，例1将菱形问题转化为直角三角形用勾股定理求解，培养数学思维（推理能力、运算能力）。小结强调菱形问题可转化为等腰或直角三角形，帮助学生构建知识体系，学生能提升探究与应用能力，教师可获得清晰的教学思路与丰富实例。

第1章 特殊平行四边形 2 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 北师大版（2024） 九年级 数学（上） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 1 情景导入 “同学们，图形是人类文明的密码。在中国古代的《周髀算经》和《九章算术》中，就有对‘菱形’(古称‘斜方形’)面积的计算。在西方，古希腊的数学家们深入研究过它的几何特性。” 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 2 “看这个图案(展示伊斯兰艺术中的菱形密铺)，它是装饰艺术的杰作，展现了菱形完美的对称性和无缝隙填充空间的特性。” 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 探究新知 知识模块一 菱形的性质简单应用 （1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？ 思考： 菱形的对边平行且相等， 对角相等，对角线互相平分。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 （2）菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。 1.菱形的四条边都相等. 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形是轴对称图形 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 如何推理证明“菱形的四条边相等，对角线互相垂直”这两个性质呢？ 已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O。 求证：(1)AB＝BC＝CD＝AD； (2)AC⊥BD。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 思考：(1)菱形是特殊的平行四边形，你能从平行四边形的性质证明菱形的四条边相等吗？ (2)可以利用什么性质来证明AC⊥BD。说出你的想法，然后小组交流。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 证明：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AD＝BC( 菱形的对边相等 )。 又∵AB＝____， ∴AB＝BC＝CD＝AD。 AD 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 (2)∵AB＝AD，∴△ABD是_______三角形。 又∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝____( 菱形的对角线互相平分 )。 在等腰三角形ABD中， ∵OB＝OD，∴AO⊥BD。 即AC⊥BD。 等腰 OD 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 归纳 菱形的四条边相等。 菱形的对角线互相垂直。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 开放训练 【例1】 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD＝6。 (1)求AB和AC的长； (2)求菱形ABCD的面积。 【方法指导】菱形性质的应用、勾股定理的应用。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD( 菱形的四条边相等 )， AC⊥BD ( 菱形的对角线互相垂直 )， OB＝OD＝BD＝ ×6＝3( 菱形的对角线互相平分 )。 在等腰三角形ABD中， ∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形。 ∴AB＝BD＝6。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2＋OB2＝AB2， ∴OA＝＝＝3。 ∴AC＝2OA ＝6( 菱形的对角线互相平分 )。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：(2)菱形ABCD的面积＝△ABD的面积＋△CBD的面积＝2×△ABD的面积＝2× BD·OA＝2××6×3＝18。 (2)求菱形ABCD的面积。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【例2】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC且交BC的延长线于点E。求证：DE＝BE。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【方法指导】连接BD，由四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，易得BD⊥AC，∠DBC＝30°，又由DE∥AC，即可证得DE⊥BD，由30°所对的直角边等于斜边的一半，即可证得DE＝BE。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 证明：连接BD。 ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴BD⊥AC，∠DBE＝30°。 ∵DE∥AC，∴DE⊥BD，即∠BDE＝90°。 ∵在Rt△BDE中，∠DBE＝30°，∴DE＝BE。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 课堂小结 1.菱形的性质定理：①菱形的四条边相等； ②菱形的对角线互相垂直。 2．菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形，菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。因此，有关菱形的问题，往往可转化为等腰三角形或直角三角形的问题来解决。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 随堂练习 1.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC与 BD 相交于点O。已知AB=5cm，AO =4cm，求BD的长。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 ∵四边形ABCD是菱形， 在Rt△AOB中，由勾股定理a2+b2=c2（其中c为直角三角形斜边，a、b为两直角边）可得： BO= = = =3（cm） ∵ BD =2BO， ∴ BD =2×3=6(cm) 。 ∴ AC⊥BD，BO=DO，∠AOB=90°。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 2.菱形ABCD 的周长为 40cm，它的一条对角线长 10 cm。 (1)求这个菱形每一个内角的度数; (2)求这个菱形另一条对角线的长。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：（1）已知菱形ABCD的周长为40cm， 又已知它的一条对角线BD=10cm， ∴ ∠BAD=60∘。 ∵菱形的邻角互补， ∵菱形的四条边都相等， ∴AB=BC=CD=DA=40÷4=10cm。 ∴ △ABD中，AB=AD=BD=10cm， 即△ABD是等边三角形。 ∴ ∠ABC=180°−∠BAD=180° −60° =120° ，∠BCD=∠BAD=60° ，∠ADC=∠ABC=120° 菱形的内角分别为60°，120 °，60°，120 °； 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：（2）因为菱形的对角线互相垂直且平分，设AC与BD相交于点O 则AC⊥BD，BO=BD=×10=5cm 在Rt△ABO中，由勾股定理可得： AO= = = = =5​(cm)。 ∵ AC =2AO，∴ AC=2×5 (cm)。 另一条对角线的长为cm 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 3．下列性质中，菱形不一定具有的性质是 ( ) A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．是轴对称图形 C 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 4．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰。测得AB＝5 cm，AC＝6 cm，则该菱形的面积为____cm2。 24 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 $