第一章 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件围绕“作内嵌于正方形的正八边形”展开，通过古建筑藻井图案导入，从正八边形两种内嵌情形入手，先认识对称性与边角特征，推导数量关系，再通过尺规作图实践，构建“观察-分析-推导-作图”的学习支架。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过分类探究发展推理意识，如推导正方形与正八边形边长关系，结合对称性简化作图。既提升学生空间观念与创新意识，又为教师提供结构化流程，助力高效教学。

第一章 特殊平行四边形 问题解决活动: 作内嵌于正方形的正八边形 1. 认识正八边形内接于正方形的两种情形，掌握正八边形的对称性与边角特征，能推导其与正方形的边长、对角线之间的数量关系。 2.能运用尺规作图完成两种正八边形的绘制，体会数形结合与对称性在几何作图中的应用。 学习目标 2 在一些建筑上可以看到多边形相互嵌套的图案。 例如，图中的古建筑藻井图案就是一个正方形里面嵌套了正八边形。 课堂导入 3 如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形。 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗? 新知讲解 理解问题 (1)正八边形内嵌于正方形，可能有哪些情形，请画出相应的草图。 有两种情形： 一种是正八边形八个顶点均在正方形的边上，如图1； 一种是正八边形的四个顶点在正方形的边上，如图2。 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 图1 图2 新知讲解 理解问题 (2)正八边形有哪些具体特征? 正八边形是轴对称图形和旋转对称图形(最小旋转角为45°)， 正八边形的八条边相等， 八个内角相等，均为135°， 八个外角相等，均为45°， 对角线互相平分且相等。 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 新知讲解 拟定计划 (1)观察画的草图，分析其中的正八边形满足哪些特定条件。 例如，正八边形经过哪些特殊的点，图中的角、线段具有哪些确定的数量关系，具有哪些特殊的角，边长有哪些特点，等等。 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 新知讲解 ①如图，当正八边形的八个顶点均在正方形的边上时， 正八边形经过正方形四条边的中点，这四个中点也是正八边形边的中点， 即 AM= EM，CM = MD，所以 AC= DE。 由正方形的性质可知∠BAC=90°，AO=OE，AO⊥OE。 因为∠ACB=∠ABC=45°，所以AB=AC。 设AB=AC=DE=a，则在Rt△ABC中，BC== a， 所以CD=BC= a，所以AE=AC+CD+DE=2a+ a 。 在Rt△AOE中，AO²+OE²=AE²，即2AO²=AE²。 所以AO=AE= (2a+ a)=a+ a。 因为AD=AC+CD=a+ a，所以AD=AO。 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 新知讲解 ②如图，当正八边形的四个顶点在正方形的边上时， 此时令正八边形的四个顶点为正方形四边的中点， 因为∠DOC=45°， 所以另外四个顶点在正方形的对角线上，且OC=OD。 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 新知讲解 拟定计划 (2)根据分析，说说用尺规作这个正八边形的大致思路。 当正八边形的八个顶点均在正方形的边上时， 以正方形的各个顶点为圆心，对角线长的一半为半径画弧， 与正方形的四条边相交，共八个交点， 依次连接这八个交点即可得到所要作的正八边形。 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 新知讲解 实施计划 请你用尺规作一个内嵌于正方形的正八边形。 ①作八个顶点均在正方形的边上的正八边形。 作法:如图，连接AC，BD交于点O； 以点A为圆心，AO的长为半径画弧， 分别交AD，AB于点E，F； 同理可得点M，N，G，H，P，Q； 依次连接E，Q，M，F，G，N，P，H，E。 正八边形EQMFGNPH 即为所求。 O A B C D E F M P H Q G N 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 新知讲解 拟定计划 (2)根据分析，说说用尺规作这个正八边形的大致思路。 当正八边形的四个顶点在正方形的边上时， 可取正方形四条边的中点， 再以正方形对角线的交点为圆心，其边长的一半为半径画弧， 与正方形的对角线相交，共四个交点， 再依次连接这八个点即可得到所要作的正八边形。 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 新知讲解 实施计划 请你用尺规作一个内嵌于正方形的正八边形。 ②作四个顶点在正方形的边上的正八边形。 作法:如图，连接AC，BD交于点O； 作线段AD的垂直平分线EO，交AD于点E，交BC于点G； 作线段AB的垂直平分线FO，交AB于点F，交CD于点H； 以点O为圆心，OE长为半径画弧， 分别交OA， OB， OC，OD于点M，N，P，Q； 依次连接E，M，F，N，G，P，H，Q，E。 正八边形EMFNGPHQ即为所求。 O A B C D E F P H Q G N M 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 新知讲解 回顾反思 (1)通过探究，你得到了哪些作图方法?这些方法各有什么特点? ①计算法作图:基于正方形作正八边形，先计算出 正八边形的边长与正方形的边长、对角线之间的数 量关系，然后依据计算结果作图。 如正八边形的八个顶点都在正方形的边上时，正方 形的边长是正八边形边长的(1+ )倍，正方形对角 线长的一半是正八边形边长的倍等。 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 新知讲解 回顾反思 (1)通过探究，你得到了哪些作图方法?这些方法各有什么特点? ②旋转对称作图：基于正方形与正八边形都是旋转对称图形，其中正方形的最小旋转角是90°，而正八边形的最小旋转角为45°，刚好是正方形最小旋转角的一半，故可借助正方形的四条对称轴进行作图。 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 新知讲解 回顾反思 (2)在探索作图方法的过程中，你积累了哪些经验? 分析几何问题时，先明确关键数量关系(如线段、角等)，再将代数关系转化为尺规作图操作的依据。 充分利用对称性简化作图步骤。 同一问题可能有多种解法，根据需求选择合适的方法。 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 新知讲解 1.当一个矩形的四个顶点都在已知菱形的四条边上时，我们称这个矩形为菱形的内嵌矩形。如图，已知菱形ABCD，请用尺规作出它的一个内嵌矩形。 第一种作法： 如图1，分别以点A，C为圆心，小于AD的长为半径作圆，分别与AD，AB，BC，CD相交于点E，F，G，H； 顺次连接E，F，G，H，E。 矩形EFGH即为所求作的图形。 A B C D 图1 E H F G 随堂练习 1.当一个矩形的四个顶点都在已知菱形的四条边上时，我们称这个矩形为菱形的内嵌矩形。如图，已知菱形ABCD，请用尺规作出它的一个内嵌矩形。 第二种作法： 如图2，在菱形ABCD的边AB上任取两点E，F； 分别过点E，F作AB的垂线，交DC于点H，G； 连接EF，GH。 A B C D 图2 F H G E 矩形EFGH即为所求作的图形。 随堂练习 2.尝试用一张正方形纸片折出一个正八边形。 随堂练习 在生产劳动过程中，我们往往通过尺规作图的方式去获得所需的图形，进而将其转化为建筑结构、设备零件等，但在用尺规作图之前，我们需要研究用到哪些知识，搞清楚其作图原理，然后才能制定详细的作图步骤，以保证作图的正确性和准确性。不过随着智能化、自动化工具的不断更新，人们在动手操作这一块的活动在减少，但其运行的核心原理还是离不开人的构思与设计。 课堂小结 $