1.4 正方形的性质与判定 课时1课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形的性质，课堂导入通过菱形框架变直角、矩形纸片折叠操作，联系菱形和矩形定义，帮助学生构建从平行四边形到特殊平行四边形的知识脉络，形成学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，通过性质定理的严格证明培养推理能力，结合例题和随堂练习发展几何直观，对学生提升逻辑推理和应用能力，对教师提供结构化教学资源，便于高效授课。

第一章 特殊平行四边形 1.4 正方形的性质与判定 课时1 1. 探索并证明正方形的性质定理，了解它与菱形、矩形之间的关系。 2.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题，进一步发展几何直观和推理能力。 3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。 学习目标 2 还记得正方形的定义吗?正方形与菱形有怎样的关系?与矩形呢? 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 菱形 正方形 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状。 课堂导入 3 还记得正方形的定义吗?正方形与菱形有怎样的关系?与矩形呢? 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，得到一个四边形。 矩形 展开 正方形 课堂导入 4 知识点 正方形的性质 问题1 正方形是菱形吗?正方形是矩形吗? 由正方形的定义可知，正方形既是矩形，又是菱形。 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 新知讲解 问题2 你认为正方形有哪些特殊的性质? 它具有矩形与菱形的所有性质。 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 正方形的对角线相等且互相垂直平分。 你能证明这两个结论吗? 知识点 正方形的性质 A D C B O 新知讲解 证明结论：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 已知：在正方形ABCD中，∠B=90°，AB=BC。 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA。 A D C B 证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∠B=90°， ∴AD//BC，AB//DC， ∠D=∠B=90°， ∴ ∠A+ ∠B =180°， ∠B + ∠C=180°， ∴ ∠A= ∠C=90°， ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴ AB=CD，AD=BC，又∵ AB= BC， ∴ AB =BC=CD=DA。 知识点 正方形的性质 新知讲解 证明结论：正方形的对角线相等且互相垂直平分。 已知：在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， AB=BC，∠ABC=90°。 求证：AC=BD，AC⊥BD，OA=OC， OB=OD。 A B C D O 证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OC，OB=OD， 又∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴ BO⊥AC，∠BAC=∠BCA=45°， ∴ AC⊥BD，∠AOB=90°。 ∴∠OBA=90°-∠OAB=90°-45°=45°， ∴∠OBA=∠BAC， ∴OA=OB， ∵AC=2AO，BD=2BO， ∴ AC=BD。 知识点 正方形的性质 新知讲解 定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 几何语言：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°， AB=BC=CD=AD。 定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分。 几何语言：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD，AC⊥BD， OA=OB=OC=OD。 A B C D O 知识点 正方形的性质 A B C D 新知讲解 正方形的其他性质： 1.正方形的面积=边长的平方=对角线长乘积的一半; 2.正方形的每条对角线平分一组对角; 3.正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 A B C D O 知识点 正方形的性质 新知讲解 如图，在正方形ABCD中，E为边CD上的一点，F是BC 延长线上的一点，且CE=CF。BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由。 例1 解：BE=DF，且BE⊥DF。理由如下： （1）∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC，∠BCE =90°（正方形的四条边相等，四个角都是直角）。 ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°。 ∴∠BCE=∠DCF。 又∵CE=CF， ∴△BCE≌△DCF。 ∴BE=DF。 A B D C F E 知识点 正方形的性质 新知讲解 例1 （2）延长BE，交DF于点M（如图）。 ∵△BCE≌△DCF ， ∴∠CBE =∠CDF。 ∵∠DCF =90°， ∴∠CDF +∠F =90°。 ∴∠CBE+∠F=90°。 ∴∠BMF=180°-（∠CBE+∠F）=180°-90°=90°。 ∴BE⊥DF。 A B D C F E M 知识点 正方形的性质 如图，在正方形ABCD中，E为边CD上的一点，F是BC 延长线上的一点，且CE=CF。BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由。 新知讲解 问题3 如图，四边形ABCD是正方形。 (1)若在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点A，C重合。 画图如图所示。 菱形的另外两个顶点需要在正方形的对角线BD所在的直线上，且到正方形ABCD两条对角线交点的距离相等。 A D C B 知识点 正方形的性质 A D C B 新知讲解 (2)若在图中画一个矩形EFGH，使矩形的四个顶点E，F，G，H依次在正方形 ABCD的边AB，BC，CD，AD上。 矩形EFGH的四个顶点需满足AE=AH=CF=CG。 A D C B E F G H 知识点 正方形的性质 新知讲解 1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等 D 随堂练习 2.如图，在正方形ABCD中，F为对角线AC上的一点，连接BF， DF。请找出图中的全等三角形，并选择其中一对进行证明。 解：△ABD≌△CBD，△ADF≌△CDF，△ABF≌△CBF。 选△ADF≌△CDF进行证明。 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD =AB，DC//AB，AD = CD， ∴∠ADB= ∠ABD=∠CDB 。 又∵DF =DF， ∴ △ADF≌△CDF(SAS)。 A D C B F 随堂练习 3.如图，在正方形ABCD中，点G在BC边上，连接AG，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，若BF=4，DE=9，则EF的长为 。 5 随堂练习 4.如图，在菱形ABCD中，将A，C两点沿对角线AC分别移动到A'，C'的位置，得到正方形A'BC'D。已知菱形ABCD的面积为120cm²，正方形A'BC'D的面积为50cm²，求AC的长。 解：连接BD。 ∵正方形A'BC'D中， A'C'=BD， ∴正方形A'BC'D的面积为BD²=50， ∴ BD=10 cm。 ∵菱形ABCD的面积为BD·AC=120cm²， ∴×10×AC=120， ∴AC=24 cm。 A D C B A' C' 随堂练习 5.如图，点E，F是正方形的对角线AC上的两点，AE=CF。 求证：四边形BEDF是菱形。 解：如图，连接BD交AC于点O。 ∵四边形ABCD为正方形， ∴BD⊥AC，BD＝AC，OD＝OB＝OA＝OC。 ∵AE＝CF， ∴OA-AE＝OC-CF，即OE＝OF。 ∴四边形BEDF为平行四边形。 又∵BD⊥EF， ∴四边形BEDF为菱形。 O 随堂练习 6.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC， EF⊥AC，求BE的长。 解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝90°，AB＝BC＝1cm， ∴∠ACB＝∠CAB＝45°。 ∵EF⊥AC， ∴∠EFA＝∠EFC＝90°。 又∵∠CEF＝90°-∠ECF＝45°＝∠ECF， ∴EF＝FC。 ∵AE平分∠BAC， 随堂练习 7.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长． ∴∠BAE＝∠FAE， 又∵∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE， ∴AF＝AB＝1cm，BE＝EF。 ∴FC＝BE。 在Rt△ABC中，， ∴FC＝AC－AF＝(－1)cm， ∴BE＝(－1)cm。 随堂练习 正方形的特殊性质 角：正方形的四个角都是直角； 边：正方形的四条边相等； 对角线：正方形的对角线相等且互相垂直平分 正方形的其他性质： 1.正方形的面积=边长的平方=对角线长的乘积的一半; 2.正方形的每条对角线平分一组对角; 3. 正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形 A B C D O 课堂小结 $