2.1.1 认识一元二次方程 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程，通过复习一元一次、二元一次及分式方程导入，结合地毯铺设、梯子滑动等现实问题引出新方程，经化简对比总结共同特点，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，用问题链发展数学思维，通过规范表达强化数学语言。例如用矩形面积、勾股定理建模，提升抽象与推理能力，助力学生理解概念，方便教师高效教学。

方程 x + y = 8 5x+3 = 8 ? 二元一次方程 一元一次方程 一元二次方程 分式方程 认识一元二次方程 2 北师版九年级上册 2 复习导入 1. 我们学过的方程有哪些？ 一元一次方程 二元一次方程 分式方程 2. 判断下列方程是我们学过的哪类方程？ （1）5x+3 = 8 （2）x + y = 8 （3） 一元一次方程 二元一次方程 分式方程 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 分析题中已知什么，求什么?有哪些事物在什么方面产生关系? 设未知数(直接设，间接设)，包括单位名称. 一个相等关系.（和/倍/不同方案间不变量的相等） 把相等关系中各个量转化成代数式，从而列出方程. 解方程，求出未知数的值（x = a），代入方程检验. 检验所求解是否符合题意，写出答案. 审 找 列 设 答 解 幼儿园某教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同。 8 m 5 m 已知量： 未知量： 矩形地面的长、宽 地毯的面积 地毯的长、宽 条形区域的宽 探究新知 8 m 5 m 已知量： 未知量： 矩形地面的长、宽 地毯的面积 地毯的长、宽 条形区域的宽 你能找出地毯问题中的相等关系吗？ 地毯的长×宽 = 18m2 地毯的长+2倍条形区域的宽 = 8m 地毯的宽+2倍条形区域的宽 = 5m 8 m 5 m 你能求出这个宽度吗？ 如果设所求的宽为 x m ， 那么地毯的长为 m， 宽为　 m， 根据题意，可得方程： （ 8－2x ） （ 5－2x ） (8－2x )(5－2x ) = 18 幼儿园某教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同。 观察·思考 观察下面等式： 102＋112＋122 ＝132＋142 　　你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 已知量： 未知量： 五个数是连续整数 这五个数的具体数值 前三个数的平方和等于后两个数的平方和 相等关系： 如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面四个数依次可表示为：_______，_______，_______， _______。 根据题意，可得方程： x2 + (x＋1)2 + (x＋ 2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2 x＋1 x＋2 x＋3 x＋4 102＋112＋122 ＝132＋142 如图，一架长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为 8 m。如果梯子顶端下滑 1 m，那么梯子底端滑动多少米？ 10 m 8 m 几何画板.GSP 尝试·思考 如图，一架长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为 8 m。如果梯子顶端下滑 1 m，那么梯子底端滑动多少米？ 7 m 1 m 10 m 6 m 解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　　m. 6 如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙_______m. （x＋6） 根据题意，可得方程： 72＋(x＋6)2 ＝ 102 观察·交流 (8－2x )(5－2x ) = 18 x2 + (x＋1)2 + (x＋ 2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2 72＋(x＋6)2 ＝ 102 由上面三个问题，我们可以得到三个方程： 将上面三个方程进行去括号、移项、合并同类项。 (8－2x )(5－2x ) = 18 40 - 16x -10x + 4x2 = 18 2x2 -13x +11 = 0 （去括号） （移项、合并同类项） x2 + (x＋1)2 + (x＋ 2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2 去括号、移项、合并同类项 x2 - 8x -20 = 0 72＋(x＋6)2 ＝ 102 x2 ＋12 x －15 ＝ 0 (8－2x )(5－2x ) = 18 2x2 -13x +11 = 0 x2 + (x＋1)2 + (x＋ 2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2 x2 - 8x -20 = 0 72＋(x＋6)2 ＝ 102 x2 ＋12 x －15 ＝ 0 上述三个方程有什么共同特点？ 都只含有一个未知数 x 1 未知数的最高次数是2 2 3 整式方程 (8－2x )(5－2x ) = 18 2x2 -13x +11 = 0 x2 + (x＋1)2 + (x＋ 2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2 x2 - 8x -20 = 0 72＋(x＋6)2 ＝ 102 x2 ＋12 x －15 ＝ 0 上述三个方程有什么共同特点？ 上面的方程都是只含有一个未知数 x 的整式方程， 并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)的形式， 这样的方程叫作一元二次方程。 一元二次方程 我们把 ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0） 称为一元二次方程的一般形式. ax2 bx c 二次项 一次项 常数项 a b 二次项系数 一次项系数 为什么ax2＋bx＋c＝0要限制a≠0，b、c可以为零呢? 想一想 当a=0时 bx＋c＝0 一元一次方程 当a≠0，b=0时 ax2＋c＝0 二元一次方程 当a≠0，c=0时 ax2＋bx＝0 二元一次方程 当a≠0，b=c=0时 ax2＝0 二元一次方程 总结：只要满足a≠0，b，c可以为任意实数. 达标检测 根据题意列出一元二次方程：已知直角三角形的三边长 为连续整数，求它的三边长。 【选自教材P32 随堂练习 第1题】 解：设较短边长为 x . x2 + ( x + 1 )2 = ( x + 2 )2 . 把方程 (3x＋2)2 = 4(x-3)2 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 【选自教材P32 随堂练习 第2题】 解：化为一般形式为 5x2＋36x－32＝0． 二次项系数为 5，一次项系数为 36，常数项为－32． 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 x2 = －4 + 3x2 x(2x－1) = 2x x(3x－1) = (x+3) 2 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 2 2x2－4 = 0 2x2 －3x = 0 2x2－7x－9 = 0 0 －4 2 －3 0 2 －7 －9 4. 若关于 x 的方程 x2－2kx = 4x－1化成一般形式后不含 x 的一次项，则 k 的值为________。 x2 + (－2k－4) x + 1 = 0 －2k－4 = 0 －2 课堂小结 只含有一个未知数 x 的整式方程， 并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)的形式， 这样的方程叫作一元二次方程。 ax2 bx c 二次项 一次项 常数项 a b 二次项系数 一次项系数 完成练习册本课时的习题。 课后作业 $