云南昆明市第八中学2025-2026学年高一下学期学情检查（二） 数学试卷B

昆八中2025-2026学年下学期学情检查（二） 高一数学试卷（B卷）参考答案 一、单选题 1．的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1，故选：C. 2．下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3．若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 4．已知向量，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】由向量垂直的坐标表示求得，进而由向量线性运算的坐标表示求的坐标，最后利用向量模的坐标运算求即可. 【详解】依题意，，解得，则， 所以，故． 故选：D． 5．为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 【答案】D 【分析】A选项利用矩形的面积之和为1列方程求解，B选项根据众数的定义以及直方图中最高的矩形条来判断，C选项根据平均值的公式计算，D选项判断样本数据在的频率和的频率，可得到70百分位数的范围. 【详解】设对应矩形的高度为，则，解得，A选项正确； 由图可知，的数据最多，众数的估计值为，B选项正确； 平均值为：，C选项正确； 样本数据的频率为， 样本数据的频率为， 故样本成绩的第70百分位数落在内，所以D选项错误. 6．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为30°，沿直线前进79米到达点，此时看点的仰角为45°，若，则楼高约为（  ）．    A．65米 B．74米 C．83米 D．92米 【答案】B 【解析】设的高度为，在直角三角形中用表示出，由可求得得楼高． 【详解】设的高度为， 则由已知可得，，， 所以，解得， 所以楼高（米）． 故选：B． 【点睛】本题考查解三角形的实际应用．属于基础题． 7．如图，四边形ABCD为矩形，其中AB=4，AD=3，其上方是一个以CD为直径的半圆，P为半圆弧上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取 中点 ，利用向量中点分解与平方差公式将转化为，再结合的取值范围求得最终结果. 【详解】如图，取AB的中点O，则， 又因为|，所以，所以，则的取值范围为. 8．在正四棱台中，上､下底面边长分别为，侧棱长为，则该正四棱台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正四棱台的性质和球的截面的性质确定球心的位置，计算出球的半径，再由球的表面积公式求正四棱台的外接球的表面积. 【详解】如图：连接，记其交点为， 则为正方形的外接圆的圆心，连接记其交点为， 由正四棱台的性质可得平面， 设该正四棱台的外接球的球心为，由球的截面性质可得平面， 所以球心在直线上，设， 则，，， 所以，由已知，，， 因为底面，都为正方形可得，， 过点作，垂足为，则， 又，所以，所以，所以， 所以，所以， 所以正四棱柱的外接球的半径为5，其外接球的表面积， 故选：C. 二、多选题 9．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，8，7，9，5，则关于这组数据的结论正确的是（   ） A．极差为4 B．平均数为7 C．方差为2 D．数据的第60百分位数为7 【答案】ABC 【分析】根据极差，方差，平均数，百分位数的定义即可求解. 【详解】某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）从小到大排列为， 则极差为，平均数为， 方差为 , 由题意，所以数据的第60百分位数为，故ABC正确，D错误； 故选：ABC 10．在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（ ） A． B．若，则周长的最大值为 C．若为锐角三角形，且，则的取值范围为 D．若的外心为，则 【答案】ABD 【分析】A选项，由正弦定理可得结论；B选项，由余弦定理和基本不等式可得，B正确；C选项，先由正弦定理可得，再求出的范围，可得答案；D选项，利用向量投影的定义和三角形外心的定义计算出. 【详解】A选项，，由正弦定理得， 即，， 因为，所以，故，A正确； B选项，，由余弦定理得， 故，， 因为，当且仅当时，等号成立， 故，解得，， 故的周长最大值为3，B正确； C选项，由正弦定理得，又，， 故， 若为锐角三角形，且，则，， 结合，可得， 故，C错误； D选项，若的外心为，则在上的投影向量为， 又，故，D正确 11．如图，在边长为1的正方体中，点P在线段上运动，下列命题中正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与直线所成角为定值 C．在点P运动过程中，平面BPD截该正方体的截面形状为三角形或矩形 D．直线与平面所成角的余弦值的范围是 【答案】AB 【分析】根据三棱锥的体积，可判断A；根据线面垂直的性质，可判断B；举特例判断C；易得为直线与平面所成角，进而求解判断D. 【详解】对于A，由，其中的面积为定值， 在正方体中，， 因为平面，平面，所以直线平面， 所以当点在线段上运动时，点到平面的距离也为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，连接，在正方体中，平面， 因为平面，所以， 又由，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 所以异面直线与直线所成的角为，故B正确； 对于C，设分别为的中点， 连接，，，则， 设为与的交点， 在正方体中，，则，且， 则此时平面BPD截该正方体的截面为梯形，故C错误； 对于D，在正方体中，平面， 则为直线与平面所成角， 当与重合时，最大，此时平面，则， 当与重合时，最小，而， 此时， 所以直线与平面所成角的余弦值的范围是，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 12．已知，，则的值为 ． 【答案】3 【详解】，故答案为3. 13．某中学有男生600人，女生400人.为了调查学生身高情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为10的样本，样本按比例分配，得到男生､女生的平均身高分别为和.用样本估计总体，则该校学生的平均身高是__________cm. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用分层抽样的平均数公式求出样本平均数，进而估计该校学生的平均身高. 【详解】依题意，样本中男生人数为，女生人数为， 因此样本中学生的平均身高为， 所以该校学生的平均身高是. 故答案为： 14．已知函数，对都有，且在上单调，则的值为__________ 【答案】 【分析】根据，得到，结合在上单调可得或，检验可得答案. 【详解】因为对都有， 所以，可得， ，， 又在上单调，，， 即，由可得，或， 当时，，，都有， 且当时，，即函数在上单调递增，因为，所以不符合题意； 当时，，，都有， 且当时，，即函数在上单调递减，因此符合题意， 所以的取值集合为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得. 四、解答题 15．已知函数. (1)求函数的最小正周期 (2)若关于x的方程在上有两个不同的实根，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质求解. （2）确定函数在上的单调性及对应函数值变化情况，再利用直线与函数的上的图象有两个交点求出范围. 【详解】（1）函数， 所以函数的最小正周期为； （2）当时，，由，得， 由，得，因此函数在上单调递减， 函数值从递减到；函数在上单调递增，函数值从增大到， 由方程在上有两个不同的实根， 得直线与函数的上的图象有两个不同交点，因此， 所以实数m的取值范围是. 16．如图，在正方体中，M，N分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若在棱上有一点P，满足平面，请你求出的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明线面平行，则需要证明线线平行即可得到线面平行. （2）在线段上取一点，使得为靠近的四分之一处的点，根据线面平行的判定证明即可. 【详解】（1）因为分别是，的中点，所以. 因为平面，而不在平面内， 所以平面. （2）设交于点，在线段上取一点，使得为靠近的四分之一处的点. 连接，在中，因为， 所以，又平面，而不在平面内， 所以平面，符合题意，此时. 17.在中，角的对边分别为，若，为边上一点． (1)求角的大小； (2)若且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理及化简，进而求出. （2）对、、分别使用余弦定理再求解. 【详解】（1）根据正弦定理，由 可得， ， 则， 整理得 ，则， 得，即， ， 则，即． （2）如图，由（1）可知，，设，则， 设，则， 在中，根据余弦定理，， 在中，根据余弦定理，， 所以， 整理可得，即． 则在中，根据余弦定理，， 整理得，即， 解得或（舍去）， 所以， 所以，的周长为． 18．已知菱形的边长为2，，平面ABCD外一点P在平面上的射影是与的交点O，是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离； (3)若点E是线段上的动点，问：点E在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)点E在线段上靠近点D的四等份点处，此时最大角的正弦值， 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由已知可得，与都是边长为2的等边三角形，可求出，做，即可求出，结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交平面于点，要使角最大，则需使最小，此时， 由余弦定理可求，即可求得，从而求解． 【详解】（1）∵点P在底面上的射影是与的交点O， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 因为，⊂平面， 所以平面． （2）由题意可得，与都是边长为2的等边三角形， ， 则 ， 所以， 作，所以， 则， 设点D到平面的距离为， 由，则 即 解得 故点D到平面的距离为 ； （3）设直线与平面所成的角为， 因为平面， 所以E到平面的距离即为D到平面的距离， 过E作垂线平面交平面于点，则， 此时 ,要使最大，则需使最小，此时 由题意可知 ， ∵平面，且 ， 所以 在△PAD中，由余弦定理可得： ， 所以 ， 则 ，， ，， 即点E在线段上靠近点D的4等份点处，此时. 19．如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条射线，，分别为与Ox，Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)若，在仿射坐标系中，，求； (2)在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； (3)如图，在仿射坐标系中，点B，C分别在射线Ox、射线Oy上（均与点O不重合），，，E，F分别为的中点，求的最大值． 【答案】(1)所以； (2)； (3) 【分析】（1）构造直角坐标系，得出，对应的直角坐标，通过仿射坐标系的定 （2）同（1）求出的直角坐标，利用直角坐标系中向量夹角的坐标表示求解； （3）设，同（1）表示出的直角坐标，再求出的直角坐标，然后计算数量积，在中，设，由正弦定理表示出，再利用三角函数的知识求得最大值. 【详解】（1），则， 如图，以为原点构造直角坐标系， 在直角坐标系中，当时，记，则， 在仿射坐标系中，，， 则， 所以； （2）在直角坐标系中，记，则， 在仿射坐标系中，， ， 解得（舍去）或，所以； （3）在直角坐标系中，， 设，，，即， 则，所以， E，F分别为的中点， 则， ， 中，由正弦定理， 设，则， 所以，， ，其中为锐角，且， 因为，则， 故当时，取得最大值， 则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆八中2025-2026学年下学期学情检查（二） 高一数学（B） 时长：120分钟 满分：150分 一、单选题 1．的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．下列函数中为偶函数的是（ ） A． B． C． D． 3．若为直线，，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．已知向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 5．为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为分，满分分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（ ） A．对应矩形的高度为 B．样本众数估计值为 C．样本平均数估计值为 D．样本成绩的第百分位数落在内 6．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进米到达点，此时看点的仰角为，若，则楼高约为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．如图，四边形为矩形，其中，，其上方是一个以为直径的半圆，为半圆弧上的一个动点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．在正四棱台中，上、下底面边长分别为、，侧棱长为，则该正四棱台的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．某射击运动员在一次训练中10次射击环数成绩如下：6，5，7，9，6，8，8，7，9，5，则关于这组数据的结论正确的是（ ） A．极差为4 B．平均数为7 C．方差为2 D．数据的第60百分位数为7 10．在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（ ） A． B．若，则周长的最大值为3 C．若为锐角三角形，且，则的取值范围为 D．若的外心为，则 11．在边长为1的正方体中，点在线段上运动，下列正确的是（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与直线所成角为定值 C．在点运动过程中，平面截该正方体的截面形状为三角形或矩形 D．直线与平面所成角的余弦值的范围是 三、填空题 12．已知，，则的值为________ 13．某中学有男生600人，女生400人．为了调查学生身高情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为10的样本，样本按比例分配，得到男生、女生的平均身高分别为和．用样本估计总体，则该校学生的平均身高是________ 14．函数，对都有，且在上单调，则的值为________ 四、解答题 15．已知函数． （1）求函数的最小正周期． （2）若关于的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围． 16．如图，在正方体中，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）若在棱上有一点，满足平面，请你求出的值． 17．在中，角，，对边分别为，，，若， （1）求角的大小； （2）若为边上一点，，且，求的周长． 18．已知菱形的边长为，，平面外一点在平面上的射影是与的交点，是等边三角形． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 19．如图，设，是平面内相交成角的两条射线，，分别为与，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）若，在仿射坐标系中，，求． （2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求． （3）如图，在仿射坐标系中，点，分别在射线、射线上（均与点不重合），，，，分别为，的中点，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $