精品解析：陕西渭南市韩城市2025-2026学年第二学期期末检测数学试题

韩城市2025～2026学年度第二学期期末检测试题 高二数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等比数列中，，公比，则（ ） A. 6 B. 18 C. 27 D. 54 2. 已知数列1，，，，3，…，，…，则7是这个数列的（ ） A. 第12项 B. 第13项 C. 第24项 D. 第25项 3. 已知函数的图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A. B. C. D. 4. 某物体做自由落体运动时的位移（位移单位：，时间单位：），若，则是该物体（ ） A. 从到这段时间的平均速度 B. 从到这段时间的平均速度 C. 在这一时刻的瞬时速度 D. 在这一时刻的瞬时速度 5. 若数列满足，，则等于（ ） A. B. -1 C. 2 D. 6. 宁夏青铜峡一百零八塔，始建于西夏．塔群依山而建，共12行，总数恰为108座，自上而下每行的塔数构成数列，已知的前4项和，从第5项到第12项构成等差数列，，则（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 7. 已知是定义在上的可导函数，且满足．对任意实数，，若，则必有（ ） A. B. C. D. 8. 已知等比数列的各项均为正数，，是函数的两个极值点，则（ ） A. 1013 B. 1014 C. 2025 D. 2026 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）下列叙述错误的是（ ） A. 数列10，9，8，7可表示为 B. 数列1，3，5，7与3，1，5，7是相同的数列 C. 数列的项可以相等 D. 数列和可能是同一数列 10. 已知是函数的导函数，的图象如图，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 在处取得极小值 C. D. 在处取得极小值 11. 若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”．已知各项均不为零的数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是“调和数列” B. 数列是递增数列 C. 数列的前项和为 D. 对任意，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的导函数为，且，则__________． 13. 已知等差数列的前项和为，若，，则__________． 14. 已知函数在区间上单调递增，则实数的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列函数的导数： （1）； （2）． 16. 设等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值及取得最大值时的的值． 17. 已知函数，是的导函数． （1）求的值； （2）求曲线在处的切线方程； （3）求的最小值． 18. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和． 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围； （3）若对任意，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 韩城市2025～2026学年度第二学期期末检测试题 高二数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等比数列中，，公比，则（ ） A. 6 B. 18 C. 27 D. 54 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式直接求解即可. 【详解】由等比数列的通项公式得到. 2. 已知数列1，，，，3，…，，…，则7是这个数列的（ ） A. 第12项 B. 第13项 C. 第24项 D. 第25项 【答案】D 【解析】 【分析】根据通项，列出等式解方程即可． 【详解】根据数列通项可知：，令， 解得，故7是这个数列的第25项． 3. 已知函数的图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为函数在某点处的导数即过该点处的切线的斜率， 由图知，. 4. 某物体做自由落体运动时的位移（位移单位：，时间单位：），若，则是该物体（ ） A. 从到这段时间的平均速度 B. 从到这段时间的平均速度 C. 在这一时刻的瞬时速度 D. 在这一时刻的瞬时速度 【答案】C 【解析】 【详解】根据如果当时，有极限，我们就说函数在点处可导， 这个极限叫做在点处的导数（即瞬时变化率，简称变化率）， 可知表示在这一时刻的瞬时速度． 5. 若数列满足，，则等于（ ） A. B. -1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 所以，，， 所以数列为周期数列，周期为3，即， 所以. 6. 宁夏青铜峡一百零八塔，始建于西夏．塔群依山而建，共12行，总数恰为108座，自上而下每行的塔数构成数列，已知的前4项和，从第5项到第12项构成等差数列，，则（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】先利用等差数列求和公式，得到与的关系，再求的值． 【详解】因为数列从第5项开始是等差数列， 所以， ． 7. 已知是定义在上的可导函数，且满足．对任意实数，，若，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，求导，利用导数研究单调性，进而求解. 【详解】令，所以，所以在上单调递减， 又，所以，所以. 8. 已知等比数列的各项均为正数，，是函数的两个极值点，则（ ） A. 1013 B. 1014 C. 2025 D. 2026 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数极值点的定义，结合等比数列下标的性质、对数的运算性质进行求解即可. 【详解】， 因为方程的判别式， 所以方程有两个不相等的实数根，设其根为，其中， 则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以为函数的极值点，且， 由已知， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）下列叙述错误的是（ ） A. 数列10，9，8，7可表示为 B. 数列1，3，5，7与3，1，5，7是相同的数列 C. 数列的项可以相等 D. 数列和可能是同一数列 【答案】AB 【解析】 【分析】根据数列的表示法和定义、项的组成即可一一判断. 【详解】对于A，数列10，9，8，7与由实数10，9，8，7组成的集合是两个不同的概念，故A错误； 对于B，根据数列的定义，如果组成两个数列的数相同，而排列顺序不同， 那么这两个数列是不同的数列，故B错误； 对于C，同一个数在数列中可以重复出现，如常数列1，1，1，…，故C项正确； 对于D，当时，数列和表示同一数列，故D项正确． 故选：AB. 10. 已知是函数的导函数，的图象如图，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 在处取得极小值 C. D. 在处取得极小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合导函数图象，根据导数正负得函数的单调性，从而得出极值．由此判断各选项． 【详解】由已知，时，（只有），因此在上单调递减，AC正确； ，且两侧的导数都是负数，所以不是极值，B错误； 由，时，，单调递减，时，，单调递增， 所以是极小值，D正确． 故选：ACD 11. 若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”．已知各项均不为零的数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是“调和数列” B. 数列是递增数列 C. 数列的前项和为 D. 对任意，都有 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先对递推式变形得到数列是等差数列，求出的通项公式，再结合调和数列定义、数列单调性、裂项相消求和、不等式证明的方法逐项判断. 【详解】选项A，已知，且各项不为零， 两边同除以得，故A正确； 选项B，由，，可知是首项为1、公差为1的等差数列， 因此，即，故是递减数列，故B错误； 选项C，， 前项和，故C正确； 选项D：要证，代入，即证， 右边通分得， 只需证， 化简得，即，恒成立，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的导函数为，且，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以， ，解得. 13. 已知等差数列的前项和为，若，，则__________． 【答案】 33 【解析】 【分析】分析可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则也为等差数列， 可得，即，解得. 14. 已知函数在区间上单调递增，则实数的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求导，进而得在上恒成立，得，令，利用导数研究单调性进而求解. 【详解】由题意得：在上恒成立，所以， 令，所以， 当时，，所以在单调递增， 所以，所以，所以实数的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列函数的导数： （1）； （2）． 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 设等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值及取得最大值时的的值． 【答案】（1）， （2）最大值为30，或时 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和公式得到关于和的方程组，解出即可得到； （2）求出的表达式，结合二次函数的性质，即可求得结果. 【小问1详解】 设公差为. 由已知可得，解得， ∴，. 【小问2详解】 因为，，. 所以 ， 所以，当时，单调递增；当时，单调递减. 又， 所以，或时，最大，最大值为30． 17. 已知函数，是的导函数． （1）求的值； （2）求曲线在处的切线方程； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （或等价形式） （3） 【解析】 【分析】 （1）求的导函数，代入计算即可. （2） 利用二阶导数求出直线斜率，结合切点坐标用点斜式写切线方程； （3）由二阶导数判断一阶导数的单调性，找到一阶导数的零点确定的单调性，进而求得最小值. 【小问1详解】 已知，则， 进而. 【小问2详解】 令，则. 则在处切线斜率. 根据（1）知，切点为. 由点斜式得直线方程 ，整理得切线方程. 【小问3详解】 由，因，故，即在上单调递增. 又，则当时，，单调递减; 当时，，单调递增. 故在处取最小值，，即最小值为. 18. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式求出及的关系，从而可判断数列的特征； （2）首先求出数列的通项公式，观察可知需要通过错位相减法求解其前项和． 【小问1详解】 ， 当时，，解得． 又当时，， ，， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列． ． 【小问2详解】 ， 由题意知，. ， 设数列的前项和为， ， ， 则， 两式相减得：， 即， ． 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围； （3）若对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用导数的正负判断原函数的单调性，对函数进行求导，讨论正负即可，需注意定义域的范围； （2）根据第一问的讨论结果，判断函数有两个零点则函数不单调，再利用最值列出不等式计算即可； （3）对不等式进行变形，通过构造新函数，利用新函数的单调性求解不等式． 【小问1详解】 定义域为； ， 当时，，故在上单调递增； 当时，令，解得； 当时，，故在上单调递增； 当时，，解得，故在上单调递增， ，解得，故在上单调递减； 综上：当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 若函数在上有且仅有2个零点， 则在上有两个根，即； 令，； 令，解得； 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 则，，； 因为在上有两个根，故与有两个交点； 故的取值范围为； 【小问3详解】 由可得，，即， 令，在上恒成立； 因为，故在上单调递增， 故，即，在上恒成立， 由（2）可知，，故的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $