精品解析：陕西省韩城市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题

韩城市2023～2024学年度第二学期期末质量检测 高二数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号. 3.回答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数列，，，，…第9项是（ ） A. B. 19 C. D. 17 2. 已知函数在处导数为3，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 3. 已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于的描述正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 当时取得最大值 C. 在区间上单调递减 D. 当时取得最小值 6. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，若 且， 则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．因龙被视为中华古老文明的象征，再加上大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅礴而广受喜爱．某团队耗时3个多月做出一长达180米、重约20公斤，“龙身”共有140节“鳞片”的巨龙风筝．制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高．最终团队决定鳞片骨架按图中规律创作．则所有鳞片中竹质鳞片个数为（ ） A. 120 B. 124 C. 128 D. 130 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若数列为递增数列，则的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A. ， B. 函数可能无极值点 C. 若是的极值点，则 D. 若是的极小值点，则在区间单调递减 11. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 数列中的最大值是 D. 数列无最大值 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则_________． 13. 在正项等比数列中，为其前项和，若，，则值为______. 14. 设且，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求下列函数导数： （1）； （2）. 16. 已知等比数列的前项和为．公比，若，． （1）求的通项公式； （2）证明：． 17. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上恒成立，求的取值范围. 18. 若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等差数列. （1）若数列为1级等差数列，，，求数列的前项和； （2）若数列为2级等差数列，且前四项依次为2，0，4，3，求、及数列的前2024项和. 19. 已知函数，，其中是自然对数的底数，. （1）当时，求函数的单调区间和极值； （2）是否存在实数，使最小值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 韩城市2023～2024学年度第二学期期末质量检测 高二数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号. 3.回答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数列，，，，…的第9项是（ ） A. B. 19 C. D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】观察可得数列的一个通项公式为，再代入计算可得. 【详解】数列，，，，…，的通项公式可以为， 所以. 故选：D 2. 已知函数在处的导数为3，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】与极限的定义式比较，配凑出导数极限的形式：． 【详解】， 故选：A． 3. 已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义判断即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以，故排除B、D； 又函数增长趋势越来越快，在处切线的斜率为， 在处切线的斜率为，在处切线的斜率为， 由图可知. 故选：C 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等差数列性质，探讨数列单调性，并确定非正数项即可得解. 详解】等差数列中，，，则， 因此数列是递增等差数列，前5项均为负数，从第6项起为正， 所以当取得最小值时，. 故选：B 5. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于的描述正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 当时取得最大值 C. 在区间上单调递减 D. 当时取得最小值 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数图象与函数图象的关系可得答案. 【详解】由图可知，时，，为增函数； 时，，为减函数；当时，有极大值，不一定为最大值； 时，，为增函数；当时，有极小值，不一定为最小值； 时，，为减函数； 综上可得只有C正确. 故选：C 6. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当,两式做差整理求解即可. 【详解】因为， 当，两式做差得： ， 故，当，，符合；故. 故选：D 7. 设函数，若 且， 则下列不等式恒成立的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，然后利用导数判断函数在上的单调性，根据奇偶性判断函数在上的单调性，由此求得不等式等价命题. 【详解】由于，且定义域关于原点对称，所以函数为偶函数， 当时，，故函数在上递增， 结合函数为偶函数可知，函数在上递减， 所以等价于，也即， 故选：D. 8. 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．因龙被视为中华古老文明的象征，再加上大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅礴而广受喜爱．某团队耗时3个多月做出一长达180米、重约20公斤，“龙身”共有140节“鳞片”的巨龙风筝．制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高．最终团队决定鳞片骨架按图中规律创作．则所有鳞片中竹质鳞片个数为（ ） A. 120 B. 124 C. 128 D. 130 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析碳杆材质的鳞片和竹质鳞片之间的规律，再假设有个碳杆材质的鳞片，分析可得的不等式，求出的值，分析可得答案. 【详解】根据题意，分析可得：第个碳杆材质的鳞片和第个碳杆材质的鳞片之间有个竹质鳞片， 假设有个碳杆材质的鳞片， 则， 化简为 ①， 如果只有个碳杆材质鳞片，则骨架总数少于 所以， 化简为②， 联立①②，又,解得， 即需要个碳杆材质的鳞片， 故需要个竹质鳞片. 故选： 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若数列为递增数列，则的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用作差法判断A、B、D，利用特殊值判断C. 【详解】对于A：， 所以，所以为递增数列，故A正确； 对于B：，所以，所以为递增数列，故B正确； 对于C：因为，则，，所以不单调，故C错误； 对于D：，所以，所以为递增数列，故D正确； 故选：ABD 10. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A. ， B. 函数可能无极值点 C. 若是的极值点，则 D. 若是的极小值点，则在区间单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据零点存在性定理判断A，利用特例说明B，根据极值点的定义判断C，结合导函数的单调性，说明的单调性，即可判断D. 【详解】函数，， 当时，，当时，， 又当时，，当时，， 又为连续函数，所以，，故A正确； 当时，则，所以在上单调递增，无极值点，故B正确； 三次函数是连续的，若是的极值点，则，故C正确； 若是的极小值点，即，则必有两个不相等的实数根， 又在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以有极大值点且， 此时在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故D错误． 故选：ABC． 11. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 数列中的最大值是 D. 数列无最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题中条件，分析出为单调递减的数列，，.A选项利用即可判断正确；B选项利用等比中项即可判断正确；C选项可分析出数列中多少项比大即可判断；D选项，利用C的判断，可判断D的正误. 【详解】由，，可得为单调递减的数列且， 由可得，. A选项：，显然A正确； B选项：， 根据等比中项可得，显然B正确； C选项：由，为单调递减的数列且， 可知的前2023项（包含2023项）都大于1，从第2024项（包含2024项）往后都小于1， 所以数列中的最大值是，所以C正确； D选项：由C正确可知，有最大值，所以D错误. 故选：ABC. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出导数，接着即可求出常数. 【详解】由题， 所以， 则. 故答案为：. 13. 在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为______. 【答案】35 【解析】 【分析】由等比数列的前ｎ项和的性质得也是等比数列,运算即可． 【详解】因为正项等比数列中，为其前项和，则也是等比数列．且，，所以，则，则． 故答案为：． 14. 设且，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由指数函数的性质可知当时，不满足题意，当时，设，将问题转化为在上有2个根，利用导数求解即可． 【详解】当时，在定义域上单调递减，在定义域上单调递增， 由图可知与只有一个交点，不符合题意； 当时，设，则在上有个不相等实数根， 则必有在上存在变号零点， 因为，又在上单调递增， 设，即有， 则当时，，在上单调递减， 当时，，上在单调递增， 且，x趋于时，趋于， 所以只需， 所以， 即，即，即，即，即，解得， 又，所以； 综上可得的取值范围是． 故答案：． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求下列函数的导数： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据简单复合函数的求导法则计算可得； （2）根据导数的运算法则计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以. 16. 已知等比数列前项和为．公比，若，． （1）求的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意得到关于、的方程组，解得即可； （2）首先求出，再利用作差法证明即可. 【小问1详解】 由．得， 解得或（舍去），所以． 【小问2详解】 因为，且， 所以， 所以． 17. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，利用经过的点坐标即得切线方程； （2）将不等式恒成立问题通过参变分离法，转化成，故只须求即得. 【小问1详解】 当时，， 则，，则， 曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 在上恒成立， 等价于在上恒成立，即， 令，则， 则当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故，所以，即a的取值范围为． 18. 若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等差数列. （1）若数列为1级等差数列，，，求数列的前项和； （2）若数列为2级等差数列，且前四项依次为2，0，4，3，求、及数列的前2024项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】当时，，数列为等差数列，根据条件，由等差数列前项和公式求解即可； （2）当时，，由条件求出，可得数列中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0、公差为3的等差数列，结合等差数列的求和公式分组求解即可． 【小问1详解】 若数列为1级等差数列， 即为对一切，都成立， 则数列为等差数列，设公差为， 由，，可得， 则． 【小问2详解】 数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3， 可得对一切，都成立． ， ， ，……， 可得数列中奇数项是首项和公差均为2的等差数列， 偶数项是首项为0、公差为3的等差数列， 则 所以，，． 19. 已知函数，，其中是自然对数的底数，. （1）当时，求函数的单调区间和极值； （2）是否存在实数，使的最小值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值；（2）存在，且. 【解析】 【分析】 （1）当时，求得，分析导数的符号变化，由此可求得函数的单调递增区间、递减区间以及极值； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，结合函数在区间上的最小值为可求得实数的值. 【详解】（1）当时，，，， 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增. 所以，函数的极小值为， 故的单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值； （2）假设存在实数，使，的最小值是， ，. ①当时，因为，所以，在上单调递减， 所以，解得（舍去）； ②当时，即时， 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增. 所以，解得，满足条件； ③当时，即时，对任意的，，在上单调递减， 所以，解得（舍去）. 综上，存在实数，使得当时，的最小值为. 【点睛】易错点点睛：利用导数解决函数问题时，已知极值点求出参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义，防止漏掉验证导致错误，讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即的正负；求函数的最大（小）值时，要将函数的各极值与端点处的函数值进行比较，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，防止错解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$