专题04 立体几何初步16大考点（期末真题汇编，北京专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦立体几何核心考点，精选北京多区期末真题，分层覆盖16个高频考点，突出空间想象与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约60题|空间几何体结构（正棱柱判断）、体积（银杯组合体）、球切接（长方体外接球）|结合《九章算术》方亭、唐朝银杯等文化情境| |解答题|约36题|线面垂直证明（四棱锥）、二面角计算（三棱柱）、截面面积（正方体）|设置动点轨迹、动态截面等创新问题，匹配高考命题趋势|

专题04 立体几何初步 高频考点概览 考点 01 空间几何体的结构 考点 02 空间几何体的直观图 考点 03 空间几何体的表面积 考点 04 空间几何体的体积 考点 05 与球有关的切接问题 考点 06 空间点、直线、平面之间的位置关系 考点 07 证明线面平行 考点 08 证明面面平行 考点 09 证明线线垂直 考点 10 证明线面垂直 考点 11 证明面面垂直 考点 12 异面直线所成的角 考点 13 直线与平面所成的角 考点 14 二面角 考点 15 空间几何体的截面问题 考点 16 空间几何体的动点问题 ( 考点01 空间几何体的结构 ) 1．（2025春•北京期末）下列命题错误的是（　　） A．侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B．底面是正多边形的棱柱一定是正棱柱 C．棱柱的侧面都是平行四边形 D．斜棱柱的侧面有可能是矩形 【解答】解：对于选项，侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，故正确； 对于选项，底面是正多边形的直棱柱定是正棱柱，故错误； 对于选项，棱柱的侧面都是平行四边形，故正确； 对于选项，斜棱柱的侧面有可能是矩形，故正确． 故选：． 2．（2021春•房山区期末）下列命题正确的是（　　） A．正方形的直观图是正方形 B．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 C．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 D．圆锥有无数条母线 【解答】解：根据斜二测画法可知，正方形的直观图不可能是正方形，即选项错误； 只有当平面与棱锥的底面平行时，才能截出棱台，即选项错误； 如果一个多面体的一个面是三角形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，才是三棱锥，与选项的区别重点是“公共顶点”，即选项错误； 圆锥有无数条母线，即选项正确． 故选：． 3．（2025春•海淀区校级期末）下列说法不正确的是（　　） A．平行六面体的侧面和底面均为平行四边形 B．直棱柱的侧棱长与高相等 C．斜棱柱的侧棱长大于斜棱柱的高 D．直四棱柱是长方体 【解答】解：对于，由平行多面体的定义可知，平行六面体的侧面和底面均为平行四边形，故选项正确； 对于，直四棱柱上下底面平行，则直棱柱的侧棱长与高相等，故选项正确； 对于，设斜棱柱的侧棱与高所成的角为， 则（其中为棱长，为高），故选项正确； 对于，直四棱柱上下底面平行，但是上下底面可以不是矩形， 故直棱柱不一定是长方体，故选项错误． 故选：． 4．（2021春•丰台区期末）已知正三棱锥，底面的中心为点，给出下列结论： ①底面； ②棱长都相等； ③侧面是全等的等腰三角形． 其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【解答】解：由正三棱锥的定义可知，顶点在底面的射影为底面的中心， 所以底面，故选项①正确； 由正三棱锥的定义可知，底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面的中心， 但是侧棱长和底面边长的大小关系不确定，故选项②错误； 由正三棱锥的定义可知，侧棱长均相等，所以侧面是全等的等腰三角形，故选项③正确． 故选：． ( 考点02 空间几何体的直观图 ) 5．（2025春•海淀区校级期末）一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（　　） A．8 B． C．16 D． 【解答】解：还原直观图为原图形如图所示， 因为，所以，还原回原图形后， ，， 所以， 所以原图形的周长为． 故选：． 6．（2023春•大兴区校级期末）如图，△为水平放置的斜二测画法的直观图，且，，则的周长为　　． 【解答】解：根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，底面边长，高， ， 直角三角形的周长为． 故答案为：12．． 7．（2022春•福州期末）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边上的中线的实际长度为　　． 【解答】解：直观图中，， 中，， 由勾股定理可得 则边上的中线的实际长度为 故答案为： ( 考点0 3 空间几何体的表面积 ) 8．（2025春•海淀区校级期末）如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，则该八面体的表面积为 　　 ． 【解答】解：由题意，八面体的表面是由八个边长为的等边三角形组成的， 所以该八面体的表面积为． 故答案为：． 9．（2025秋•海淀区校级月考）正四棱柱的高为，体对角线长为，则正四棱柱的侧面积为（　　） A．10 B．24 C．36 D．40 【解答】解：正四棱柱的高为，对角线长为， 所以， 解得正四棱柱的底面边长为， 所以此正四棱柱的侧面积为． 故选：． 10．（2025春•海淀区校级期末）已知一个圆锥的底面半径为3，其体积为，则该圆锥的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设圆锥的高为，母线长为，则，可得， 母线长． 该圆锥的侧面积为． 故选：． 11．（2024春•昌平区期末）已知正四棱锥的底面边长为2，高为，则它的侧面积为 　　． 【解答】解：正四棱锥底面边长为2，高为， 则侧面的高， 故此正四棱锥的侧面积． 故答案为：8． 12．（2025秋•海淀区期末）某景观亭（如图的上部可视为正四棱锥（如图．已知长为4米，且平面平面，则正四棱锥的侧面积为 平方米．（注棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积） 【解答】解：取，的中点，，连接，则， 因为，平面，平面，所以平面， 设平面平面，则， 因为，所以，， 故，，故即为平面与平面的二面角， 因为平面平面，所以， 显然，故△为等腰直角三角形， 因为，所以，故， 故， 故正四棱锥的侧面积为． 故答案为：． 13．（2024春•延庆区期末）在四棱锥中，底面为正方形，，，，则此四棱锥的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连结，交于，连结，则为，的中点，如图， 因为底面为正方形，，所以， 在△中，，， 则由余弦定理可得， 故， 所以， 则， 不妨记，， 因为， 所以， 即， 则，整理得①， 又在△中，，即，则②， 两式相加得，故， 故在△中，，， 所以， 又，所以， 所以△的面积为， 同理可得△的面积为， 因为，，所以等腰三角形底边上的高为， 所以等腰三角形的面积为， 因为，，所以等腰三角形底边上的高为， 所以等腰三角形的面积为， 所以此四棱锥的侧面积为． 故选：． 14．（2023秋•昌平区期末）《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台．如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设上底面为，下底面为，取的中点，的中点，连接， 设上底面的中心为，下底面的中心为，连接，，， 过点作于点，如图所示： ，， 即为侧面与下底面夹角的平面角，即， 又， ，， ， 方亭的侧面积为． 故选：． ( 考点0 4 空间几何体的体积 ) 15．（2024春•延庆区期末）已知一个圆锥的母线长为2，底面半径为，则该圆锥的体积为 　　． 【解答】解：圆锥的母线长为2，底面半径为，则圆锥的高为， 则该圆锥的体积为． 故答案为：． 16．（2025秋•海淀区校级期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．将一个正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，于是得到一种八个面为正三角形、六个面为正方形的半正多面体，如图所示，已知，则此半正多面体的体积为 ． 【解答】解：根据题意可得原正方体的棱长为2， 所以此半正多面体的体积为： ． 故答案为：． 17．（2025春•丰台区期末）唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱构成的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示，已知半球的半径为，圆柱的高也为，则银杯盛酒部分的容积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为圆柱的体积为， 半球的体积为， 因此银杯盛酒部分的容积为． 故选：． 18．（2023春•顺义区期末）如图，圆锥的底面直径和高均是2，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：不妨设圆锥底面半径为，圆柱底面半径为， 此时，， 则剩下几何体的体积． 故选：． 19．（2020春•海淀区校级期末）如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积为，那么圆柱的体积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：轴截面为正方形的圆柱的侧面积为，那么圆柱的高与底面直径都是， 所以圆柱的体积为：； 故选：． 20．（2024秋•北京校级期末）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为 　　． 【解答】解：设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 由已知可得：，解得， 故圆锥的体积． 故答案为：． 21．（2024秋•石景山区期末）在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（　　） A．4 B．2 C． D． 【解答】解：如图，设在底面的射影为，则为底面正方形的中心， 过作于，则为中点 连接，则， 二面角的平面角为， 又底面正方形边长为2，， 该正四棱锥的体积为． 故选：． 22．（2024秋•海淀区校级期末）在三棱锥中，△是边长为2的等边三角形，，，则该棱锥的体积为（　　） A．1 B． C．2 D．3 【解答】解：取中点，如图： 因为，， 所以，，又， 所以平面， 又，， 所以，所以， 所以． 故选：． 23．（2025春•西城区期末）已知菱形的边长为2，．将菱形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为（　　） A． B． C．1 D． 【解答】解：如图，取的中点，连接，， 因为，且， 所以，，， 又，，平面，故平面， 又平面，所以平面平面， 过点作，垂足为， 又平面平面，平面， 所以平面，即是三棱锥的高， 在△中，由等面积法得，解得， 又， ． 故选：． 24．（2025春•顺义区期末）在直角△中，斜边，直角边．若以该直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体．则该几何体的体积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在直角△中，斜边，直角边， 得， 若以该直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体为以1为底面半径，高为的圆锥， 则该几何体的体积为：． 故选：． ( 考点0 5 与球有关的切接问题 ) 25．（2023春•延庆区期末）已知一个长方体的长、宽、高分别为4、4、2，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【解答】解：由题意，球体的直径为长方体的体对角线，即， 所以，故球体表面积为． 故选：． 26．（2020春•丰台区期末）如图所示，球内切于正方体，如果该正方体的棱长为，那么球的体积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：球内切于正方体，如果该正方体的棱长为，那么球的半径为：， 所以球的体积：． 故选：． 27．（2023春•海淀区校级期末）已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图， 将正三棱锥放到棱长为2的正方体中， 则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，正方体的外接球的直径为正方体的体对角线， 设外接球的半径为，则，得， 外接球的表面积． 故选：． 28．（2021春•丰台区校级期末）体积为1的正方体的内切球的体积是 　　． 【解答】解：设球的半径为，则正方体的棱长为，所以，． 球的体积为． 故答案为． 29．（2025春•北京期末）已知一个棱长为2的正方体的8个顶点都在一个球面上，则球的表面积为 　　 ，体积为 　　 ． 【解答】解：由题意可知该球直径为正方体的体对角线， 因为正方体的棱长为2， 所以，故， 故球的表面积为，体积为． 故答案为：；． 30．（2022秋•朝阳区校级期末）已知正三棱锥，若，平面，则三棱锥的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图一所示： 因为平面，，平面， 所以，， 又因为几何体为正三棱锥， 所以，， 又因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 即，，两两垂直， 将三棱锥补成以，，为邻边的正方体，如图二所示： 则三棱锥的外接球即为补形后的正方体的外接球， 所以， 即， 所以． 故选：． 31．（2022秋•石景山区期末）在四棱锥中，面，底面是正方形，，则此四棱锥的外接球的半径为 　　． 【解答】解：将四棱锥补成正方体如图： 则此四棱锥的外接球即为正方体的外接球， 正方体的对角线长为， 所以四棱锥的外接球的直径为， 因此四棱锥的外接球的半径为． 故答案为：． 32．（2022春•丰台区校级期末）已知直三棱柱的六个顶点都在球的表面上，若，，，，则球的体积是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在△中，，，， 则， 则，所以， 如图将三棱柱，补全为长方体，其长，宽，高分别为， 则外接球的半径， 所以球的体积是． 故选：． ( 考点0 6 空间点、直线、平面之间的位置关系 ) 33．（2025春•海淀区校级期末）若空间三条直线、、满足，，则直线与（　　） A．一定平行 B．一定相交 C．一定是异面直线 D．一定垂直 【解答】解：根据直线平行的性质可知， 若，，则垂直， 与可能相交，也可能异面， 正确． 故选：． 34．（2025春•昌平区期末）已知，是不重合的平面，，是不重合的直线，下列命题中正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【解答】解：若，，则或，相交，所以选项错误； 若，，则或，所以选项错误； 若，，则，所以选项错误； 若，，则，所以选项正确． 故选：． 35．（2025秋•通州区期末）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线．下列四个命题： ①若，，，则 ②若，，，则 ③若，，，则 ④若，，则或 其中所有真命题的序号是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【解答】解：命题①：因为，，所以 或， 又因为，根据一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的所有直线垂直，所以，故命题①正确； 命题②：由，，可得 或， 当时，，此时与可能相交、平行或， 当时，，与也可能相交、平行或， 所以不能得出，故命题②错误； 命题③：由，，可得或， 又因为，当时，或， 当时，或，所以不能得出，故命题③错误； 命题④：因为，，， 根据直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行， 由于，，所以或，故命题④正确， 综上，真命题的序号是①④． 故选：． 36．（2025秋•海淀区校级期末）如图，点为正方形的中心，△为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（　　） A．，且直线，是相交直线 B．，且直线，是相交直线 C．，且直线，是异面直线 D．，且直线，是异面直线 【解答】解：根据题意，如图所示，设正方形边长为2，连接，点为正方形的中心，则在上，故、都在平面上， 结合图形易得，直线，是相交直线， 再作于，连接，过作于，连接， 由于平面平面．，平面， 则平面，平面，△与△均为直角三角形， 正方形边长为2， 则，，则， 由于，，则， 又由，则， 综合可得：，且直线，是相交直线． 故选：． 37．（2025春•海淀区校级期末）在空间中，直线直线，直线，满足：，，，，则直线，位置关系为（　　） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 【解答】解：因为直线直线，所以与直线相交或平移后相交，设相交后确定的平面为， 又，，，，所以，都垂直，所以直线与平行． 故选：． 38．（2025春•西城区校级期末）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【解答】解：若，，则与可以成，的任意角，所以选项错误； 若，，则与可以成，的任意角，所以选项错误； 若，，，则，所以选项错误； 若，，则，所以选项正确． 故选：． 39．（2025春•海淀区校级期末）空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列命题正确的命题是（　　） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，且，则 【解答】解：若，，，则与可以相交，也可以平行，不一定垂直，所以选项错误； 若，，，则，所以选项正确； 若，，，，则可能有，也可能，相交，所以选项错误； 若，且，则或，所以选项错误． 故选：． 40．（2024春•北京期末）设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题（　　） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则． 其中正确命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①若，，则或与相交，故①错误； ②若，，则或与相交，相交也不一定垂直，故②错误； ③若，，由直线与平面垂直的性质可得，故③正确； ④若，，则，故④错误． 其中正确命题的个数是1个． 故选：． 41．（2025春•海淀区校级期末）如图，正方体中，、分别是线段、线段的中点．则以下和直线相交的是直线（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图， 在正方体中，连接， 因为是线段的中点，所以是线段的中点． 由，平面，平面， 得平面，即与不相交，故错误； 由、分别是线段、的中点，得，故错误； 由平面，，平面，得与直线异面，故错误； 因为，，所以与直线不平行， 又，平面，所以与直线相交，故正确． 故选：． ( 考点0 7 证明线面平行 ) 42．（2024春•丰台区期末）如图，在三棱锥中，，分别是线段，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）过直线作平面，若平面与直线交于点，直线平面．求证：是线段的中点． 【解答】证明：（Ⅰ）因为，分别是，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； （Ⅱ）由题意，平面即为平面， 即平面， 又平面，平面平面， 所以，又为中点， 故为中点． 43．（2023春•大兴区校级期末）在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知不满足题意； 对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知不满足题意； 对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知不满足题意； 所以选项满足题意， 故选：． 44．（2025春•西城区校级期末）在正方体中，点和点分别为和的中点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）证明：平面． 【解答】（Ⅰ）如图： 连接，因为为正方体，所以． 又点和点分别为和的中点，所以， 所以，平面，平面， 所以平面； （Ⅱ）因为为正方体， 所以平面，又平面， 所以，又， ，平面，， 所以平面， 又， 所以平面． 45．（2022秋•南关区校级期末）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 【解答】证明：（Ⅰ）在四棱锥中，平面，平面， 平面平面， ， （Ⅱ）取的中点，连接，， 是的中点， ，， 又由（Ⅰ）可得，， ，， 四边形是平行四边形， ， 平面，平面， 平面． （Ⅲ）取中点，连接，， ，分别为，的中点， ， 平面，平面， 平面， 又由（Ⅱ）可得平面，， 平面平面， 是上的动点，平面， 平面， 线段存在点，使得平面． 46．（2023春•东城区校级期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点． （Ⅰ）求的体积； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求证：平面． 【解答】（1）解：因为在四棱锥中，平面，，，，，为的中点， 所以． （2）证明：因为，， 所以， 又平面，所以， 又因为，所以平面． （3）证明：取的中点为，又为的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 47．（2025春•通州区期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点，分别为，的中点． （Ⅰ）平面； （Ⅱ）平面． 【解答】解：（Ⅰ）在四棱锥中，底面为矩形，平面， 点，分别为，的中点， 取中点，连接，，如图， 则，， ，， 平面，平面， 平面平面， 平面，平面； （Ⅱ）底面为矩形，， 平面，平面，， ，平面． ( 考点0 8 证明面面平行 ) 48．（2025春•海淀区校级期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，，分别是，，的中点，平面平面．证明： （1）； （2）平面平面． 【解答】证明：（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形，得是的中点， 而是的中点，则，又平面，平面， 则平面，而平面平面，平面， 所以； （2）由，分别是，中点，得， 又平面，平面， 则平面， 由（1）知，又平面，平面， 则平面，又，，平面， 所以平面平面． 49．（2023春•大兴区校级期末）如图，在三棱锥中，、、、分别是、、、的中点，且，． （1）证明：； （2）证明：平面平面． 【解答】（1）证明：连接， ，，是的中点， ，， 又平面，平面，， 面， 又平面， ． （2）连接， ，，分别是，，的中点， ， 又平面，平面， 平面， 同理可得平面， 又，平面，平面， 平面平面． 50．（2024春•闽清县校级期末）已知正四棱柱中，是的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）在线段上是否存在点，当时，平面平面？若存在，求出的值并证明；若不存在，请说明理由． 【解答】（Ⅰ）证明：在正四棱柱中，连结交于，连结． 因为为正方形，所以为中点． 在中，因为为中点， 所以． 因为平面，不包含于平面， 所以平面．（Ⅱ）证明因为为正方形， 所以． 因为平面， 所以． 因为， 所以平面． 因为平面， 所以． （Ⅲ）解：当，即点为线段的中点时，平面平面． 因为，且， 所以四边形是平行四边形． 所以． 取的中点，连结，． 因为为中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形． 所以． 同理． 所以． 因为，， 所以平面平面． ( 考点0 9 证明线线垂直 ) 51．（2024春•昌平区期末）如图，在几何体中，侧面是正方形，平面平面，，，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）判断直线与是否相交，说明理由． 【解答】证明：（Ⅰ）因为平面平面，平面平面， 又，平面， 所以平面， 又平面， 所以． （Ⅱ）取中点，连接，， 因为，， 所以且， 所以四边形为平行四边形，则且， 因为侧面是正方形，且， 所以且，即四边形为平行四边形， 则， 又平面，平面， 所以平面． （Ⅲ）解：直线与不相交，理由如下： 由（Ⅱ）知平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，， 所以与不平行，故与异面，从而与不相交． 52．（2023春•平谷区期末）三棱锥中，面，，、分别是、中点，过的一个平面交面于． （1）证明：； （2）证明：． 【解答】证明：（1）因为面，面， 所以， 又因为，， 所以面， 又因为面， 所以； （2）因为、分别是、中点，所以， 面，面， 所以面， 又因为过的一个平面交面于， 所以． 53．（2023春•房山区期末）如图，在正方体中，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求证：，，，四点共面． 【解答】证明：（1）由正方体的性质，平面，平面， 所以平面． （2）由正方体的性质平面，平面，所以， 又为正方形，所以，，，平面， 所以平面，又平面， 所以． （3）连接，因为，分别为，的中点， 所以， 又且，所以为平行四边形， 所以， 所以，所以，，，四点共面． 54．（2023春•海淀区校级期末）如图，在长方体中，，，点和点在棱上，且． （1）求证：平面； （2）求证：． 【解答】解：（1）在长方体中，， 点和点在棱上，且， 连接、，设，连接， 则为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）在长方体中，，则为正方形， 所以， 平面，平面，所以， ，，平面，所以平面， 平面，所以， 又，，，， 所以，所以△，所以， 又，所以， 所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以． ( 考点 10 证明线面垂直 ) 55．（2022春•平谷区期末）如图，在三棱锥中，底面，，，分别为，的 中点．设平面与平面交于直线． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：． 【解答】（Ⅰ）证明：因为平面，平面， 所以． 因为，， 所以平面． （Ⅱ）证明：在中， 因为，分别为，的中点，所以． 因为平面，平面， 所以平面，又平面，平面平面， 所以． 56．（2025春•北京期末）如图，在四棱锥中，已知，，分别是，，的中点，底面是一个平行四边形，，平面平面，且，． （1）求证：平面平面 （2）求证：平面； （3）求证：． 【解答】证明：（1）由题可知：，，分别是，，的中点， 所以，平面，平面， 所以平面， 同理：平面，又， 所以平面平面； （2）因为四边形是一个平行四边形， 所以为，的中点， 由，， 所以，， 又， 所以平面； （3）由四边形是一个平行四边形，所以， 由平面，平面， 所以平面， 又平面，且平面平面， 所以． 57．（2023春•延庆区期末）如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，且底面，，点为棱的中点，平面与棱交于点． （1）求证：； （2）求证：平面． 【解答】证明：（1）底面是正方形，则，平面，平面， 所以平面，平面，平面平面， 所以； （2）因为平面，面，所以， 又为正方形，则，，，面， 所以面，又面，所以， 因为，点为的中点，所以， 又，，面， 所以平面． 58．（2023春•朝阳区期末）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，平面平面，是的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）设棱与平面交于点，求的值． 【解答】证明：（Ⅰ）因为，，可得， 又因为平面平面，平面平面， 面， 所以可证得面； （Ⅱ）取的中点，连接，， 因为，为中点，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，而面，面， 所以面； （Ⅲ）取点，使得，取的中点，连接，， 由题意可知，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，可证得，且， 因为，且， 所以，且， 连接，，可知为梯形， 设与的交点，即面与的交点为， 在四边形中，可得， 所以的值为2． 59．（2023春•西城区期末）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 【解答】证明：（1）由正方体的结构特征，可得平面， 平面，， 为正方形，， 又，平面． （2）设，连接， 是正方体，，且， ，且， ，分别，的中点，，且， ，且， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 平面． ( 考点 11 证明面面垂直 ) 60．（2025春•北京期末）如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，． （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）求四棱锥的体积． 【解答】解：（1）证明：连接， 由于，，是棱的中点，则， 因，则， 又由，且，，平面， 则平面， 而平面，必有． （2）证明：由（1）的结论，， 因平面，平面，则， 因，平面且平面，则平面， 又由平面， 由面面垂直判定定理，必有平面平面． （3）根据题意，由（2）的结论，平面， 由于平面，则，故， 过点作，交于点， 如图： 又由，解可得． 因平面，而平面，则， 因，而，平面，则平面， 则为四棱锥的高， 故． 61．（2024春•延庆区期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段上的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求证：平面平面． 【解答】证明：（Ⅰ）如图，连结，交于点，连结， 因为底面为正方形，所以是中点，为线段上的中点， 所以， 而平面，平面， 所以平面； （Ⅱ）因为底面为正方形，所以， 因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面； （Ⅲ）由（Ⅱ）知平面，平面， 所以， 因为为线段上的中点，，所以， 所以，，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面． 62．（2023春•房山区期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点． （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）证明：因为，为的中点，所以， 又底面为矩形，所以，所以． （2）证明：底面为矩形，． 平面平面，平面平面， 平面，平面， 又平面，． 又，，、平面，平面， 而平面，平面平面； （3）存在，且，理由如下： 连接、，，连接， 因为是矩形，且为的中点，所以△△，所以， 又平面，平面平面，平面， 所以， 所以． 63．（2025春•顺义区期末）如图，在几何体中，侧面是正方形，，，，，且与平面所成角为． 求证：平面平面； （Ⅱ）求四棱锥的体积； （Ⅲ）若平面与棱交于点，求四边形的面积． 【解答】解：证明：由侧面是正方形有，又，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （Ⅱ）由有平面，又， 所以平面，所以为与平面所成角， 即，又，所以，即， 所以梯形的面积为， 所以四棱锥的体积为； （Ⅲ）由侧面是正方形，得，平面， 平面，所以平面，又，平面，平面， 所以平面，又，，平面， 所以平面平面，连接，平面平面，平面平面， 则，由，所以， 又，，所以，， 由，，所以，过点作交于， 由有，又，，，即， 所以，所以四边形为等腰梯形， 如图作，， 所以，， 所以， 所以等腰梯形的面积为： ． 64．（2024春•顺义区期末）如图，在五面体中，底面为正方形，，，，为的中点，为的中点，，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）求五面体的体积． 【解答】解：（Ⅰ）证明：因为，平面，平面， 所以平面， 又，平面，平面平面， 所以． （Ⅱ）证明：， 取的中点，连接，， 因为是中点，是中点，所以， 又底面为正方形，所以， 因为，所以， 又， 所以平面， 又因为平面， 所以， 又，且与是相交线， 所以平面， 平面， 所以平面平面； （Ⅲ）过点作， 因为，为中点，为中点， 所以，， 又， 由（Ⅱ）可知，平面， 四棱锥体积， 因为，，且， 所以四边形为平行四边形， 四边形也是平行四边形， 所以， 平面，平面， 所以平面， 同理平面，，平面， ， 所以平面平面， 所以五面体为三棱柱， 在三棱柱中，， 平面，平面， ，，平面， ， 所以五面体的体积为． 65．（2024春•东城区期末）如图，在四棱锥中，平面，，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）设点为的中点，过点，的平面与棱交于点，且平面，求的值． 【解答】证明：（Ⅰ）面，平面， ， ，，、平面，平面， 平面． （Ⅱ），， ． 又面，面， ， ， 平面， 平面， 平面平面． （Ⅲ）解：平面，平面平面， ， 在中，点为中点， 点为中点， ． ( 考点 12 异面直线所成的角 ) 66．（2025春•通州区期末）如图，在正方体中，点，，分别为，，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接、，则的中点也是的中点， 因为正方体中，点、分别为、的中点， 所以，可得（或其补角）就是异面直线与的所成角， 设正方体的棱长为2，则， △中，，可得，△中，， 所以，可得， 因为，所以异面直线与所成的角的余弦值为． 故选：． 67．（2023春•西城区校级期末）已知正方体，直线与直线所成角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由于， 所以即为直线与直线所成的角或其补角， 不妨设正方体的棱长为， 则， 所以， 故选：． 68．（2025春•海淀区校级期末）如图，在正方体中，，分别为、的中点，则异面直线与所成的角等于 　　 ． 【解答】解：连接，，如图所示： 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以与所成的角为（或其补角）， 设正方体的棱长为2， 则，，， 所以， 所以， 又因为为的中点，所以， 又因为， 所以，即△为等边三角形， 所以， 即异面直线与所成的角等于． 故答案为：． 69．（2021春•西城区校级期末）如图，四边形是正方形，平面，且，则直线与直线所成角的大小是　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为平面，平面，则， 设，则， 因为为正方形，则， 所以异面直线与所成的角等于与所成的角， 因为， 所以， 故异面直线与所成的角为； 故选：． 70．（2023春•房山区期末）在正方体中，异面直线，所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为，所以为异面直线与所成角的平面角， 因为△为正三角形， 所以， 即异面直线，所成角的大小为． 故选：． 71．（2025春•东城区期末）如图，正方体的棱长为6，动点在棱上，为棱上一点，，点在线段上，且满足． （Ⅰ）当为中点时，异面直线与所成角的大小为 　　 ； （Ⅱ）的长的最小值是 　　 ． 【解答】解：（Ⅰ）取中点为，因，，所以， 再连接，则为中点，再取中点为，连接， 则， 所以异面直线与所成角为或其补角， 又易知，，，所以， 所以，又，，， 所以， 所以异面直线与所成角的大小为； （Ⅱ）如图，连接，，则，， 又，， 所以平面，又平面， 所以，又，， 所以平面，又平面， 所以， 取中点为，则点轨迹为以圆心，半径为的圆弧， 作，易得平面， 所以，所以当最小时，最小． 设点轨迹与交于，由图易得， 因为，所以△△， 所以，所以， 因为，所以△△，所以，所以， 所以，，又， 所以，又． 所以的长的最小值是． 故答案为：；． ( 考点 13 直线与平面所成的角 ) 72．（2025春•丰台区期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，为棱的中点，平面与棱交于点． （1）求证：为棱的中点； （2）求直线与平面所成角的正切值． 【解答】（1）证明：因为四边形为正方形，所以， 又平面，平面， 所以平面． 因为平面，平面平面， 所以， 因为为棱的中点， 所以为棱的中点； （2）解：取的中点为，连接，，取的中点为，连接，， 因为△为正三角形，为棱的中点， 所以， 又平面平面，平面平面，平面，所以平面， 因为，分别为，的中点，所以，即平面， 所以为直线与平面所成的角． 在△中，， 所以． 在△中，由余弦定理可得， 在△中，， 所以， 故直线与平面所成角的正切值为． 73．（2024春•顺义区期末）如图，在正方体中，为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）写出直线与平面所成角的正弦值（只需写出结论）． 【解答】解：（1）证明：在正方体中， 且， 所以四边形为平行四边形，所以． 又因为平面，平面， 所以平面； （2）证明：在正方体中， 因为平面，平面， 所以， 又因为，且，，平面， 所以平面； （3）直线与平面所成角的正弦值为，理由如下： 取的中点，连接，， 易知平面， 令正方体棱长为．则， ， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 74．（2024春•北京校级期末）如图，在四棱锥中，平面平面，且，．四边形满足，，．为侧棱上的任意一点，且平面与侧棱交于点． （1）求证：平面平面； （2）设直线与平面所成的角为，求的最大值； （3）是否存在点，使得直线与平面垂直？若存在，写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）证明：因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面，所以． 因为，所以． 因为平面平面，且，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为，，，平面， 所以平面，所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2）由（1）知平面， 所以即直线与平面所成的角为， 且，设，则， 则， 则当时，取到最大值． （3）存在点，使得直线与平面垂直． 在平面中，过点作，垂足为， 因为由已知，，，． 所以，，，得， 又因为平面，所以，且，，平面， 所以平面，又平面，所以． 又因为，，平面， 所以平面． 在△中，， 所以． 所以上存在点使得直线与平面垂直，此时线段的长为． 75．（2024春•北京期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，是棱上的一点． （1）若，求证：平面； （2）若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：连接，交于点，连接，如图所示， 因为，所以△△，所以， 又，所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2）解：取中点，连接，交于点，连接，则，且， 所以四边形是平行四边形，所以，， 因为，所以四边形是矩形， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以为中点，，所以△是等腰直角三角形， 因为平面， 所以是直线与平面所成的角，也是直线与平面所成的角， 过点作，垂足为，连接，，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 由射影定理知，， 所以， 在△中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． ( 考点 14 二面角 ) 76．（2025春•顺义区期末）如图，在四棱柱中，四边形为梯形，，，为中点． 求证：平面； （Ⅱ）若平面，，且， 求证：； 写出二面角的正切值．（结论不要求证明） 【解答】解：证明： 如图，取的中点，连接，， 因为的中点，故，， 又，， 则，，故得，则， 因平面，平面， 故平面； （Ⅱ）证明：因平面，平面， 则，因，且，， 平面，则平面， 因平面，故； 如图，在平面内，过点作于点，连接， 因平面，平面， 则，又，，平面， 则平面，因平面，则， 故即二面角的平面角， 设，则，， 在△中，由面积相等，， 可得， 在△中，， 即二面角的正切值为． 77．（2025春•通州区期末）如图，在四面体中，，，，点为的中点，点为上一点，且，四面体的体积为． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）若，恰为二面角的平面角，求△的面积． 【解答】解：（Ⅰ）证明：在△和△中，，，， 所以△△，所以， 又因为点为的中点，所以，， 因为，且、平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． （Ⅱ）因为，所以，因为，且，所以，， 所以， ，所以， 所以，， 因为恰为二面角的平面角，所以平面， 所以，设，则， 则，即，解得， 所以，， 在△中，由余弦定理得， 所以， 所以． 即当恰为二面角的平面角时，△的面积为． 78．（2024春•丰台区期末）如图，在三棱柱中，，，平面平面． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，当直线与平面所成角为时， （ⅰ）求证：平面平面； （ⅱ）求二面角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：（Ⅰ）证明；因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为三棱柱，所以四边形是平行四边形， 因为，所以是菱形， 所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以； （Ⅱ）选条件①： 证明：因为，所以平行四边形为矩形，所以， 由（Ⅰ）知，， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； 因为面，平面， 所以直线与平面所成的角为，所以， 因为，所以，，，， 作于， 因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，所以， 作于，连接， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 所以是二面角的平面角， 因为， 所以， 因为， 所以，所以， 所以二面角的正弦值为； 条件②： 证明：因为，，所以，所以， 由（Ⅰ）知，， 因为，，平面， 所以平面， 以下同条件①． ( 考点 15 空间几何体的截面问题 ) 79．（2023春•朝阳区校级期末）如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后得到的，现用一平面去截这个几何体，则截面图形不可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：对于，用竖直的平面截正方体，该平面过球心，且过正方体四个面的中心，即可得到截面图形，如图： 对于，用正方体的对角面截正方体，可以得到截面图形，如图： 对于，用如图截法，切点在截面的中点处，且，可以得到； 故选：． 80．（2024春•东城区期末）一木块如图所示，所有棱长都等于，点为三角形的中心，过点将木块锯开，截面平行于直线和，则截面面积为 　　． 【解答】解：过平面内一点作直线，交于，交于， 过平面内一点作直线，交于， 则，所确定的截面为所求， 截面交于，则为的三等分点，且靠近点， 则四边形为平行四边形， 取的中点， 连接，，由正四面体及为的中心，可得，，三点共线， 易证，， ， 所以平面， 而平面，所以， 所以四边形为矩形 因为所有棱长都等于， 可得，， 所以截面的面积为． 故答案为：． 81．（2022春•朝阳区期末）已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，则下列结论中正确的是（　　） ①直线与直线垂直； ②直线与平面平行； ③点与点到平面的距离相等； ④平面截正方体所得的截面面积为． A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【解答】解：对于①，由正方体，得， 是直线与直线所成角， 连接，而平面，， 在△中，不可能是直角， 直线与直线不垂直，故①错误； 对于②，连接，，，则，， 平面，平面，平面， 平面，故②正确； 对于③，若点与点到平面的距离相等，则平面必过的中点， 连接于，且不是的中点， 则平面不过的中点，即点与点到平面的距离不相等，故③错误； 对于④，，，等腰梯形即为平面截正方体所得截面， 则，，，，之间的距离为： ， 平面截正方体所得的截面面积为： ． 故选：． 82．（2024春•北京期末）如图，在棱长为4的正方体中，，分别是棱、的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（　　） A．16 B． C．18 D． 【解答】解：如图，取的中点，的中点，连接，，，，， 则， 因为，分别是棱、的中点， 所以，，且， 所以， 又，且， 所以，且，即四边形为平行四边形， 所以， 又，， 所以平面平面， 所以四边形为平面截该正方体所得截面，且四边形是等腰梯形， 因为，，， 所以四边形的面积为． 故选：． 83．（2023春•海淀区校级期末）如图，正方体中，点、、、分别为棱，，，的中点，点为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是（　　） ①与异面； ②平面； ③平面截正方体所得的截面图形始终是四边形； ④平面平面． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：对于①，连接，， ，，四边形是平行四边形， 又平面，，平面，平面， 平面，又，与是异面直线，故①正确； 对于②，连接，则，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面，平面，故②正确； 对于③，取的中点，当与重合时，连接，则有，，，，四点共面， 即平面截正方体的图形是四边形，如下图： 当点在线段上时，在平面内作直线，交的延长线于，交于，连接， ，，，，四点共面，平面， ， 即平面截正方体的图形是五边形，如下图： 故③错误； 对于④，在正方形内，△△，， ， ，又平面，平面， ，，平面，， 平面，又平面， 平面平面，故④正确． 故选：． 84．（2025春•西城区校级期末）在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是 　　 ． ①点从点运动到点的过程中，三棱锥的体积不变； ②对于每一个点，在棱上总存在一点，使得平面； ③平面截正方体所得截面图形的面积的取值范围为； ④二面角的平面角的正切值最大为． 【解答】解：对于①，由正方体的性质知，平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以为定值，正确； 对于②，当点位于点时，平面即平面，平面， 因为平面平面，，所以平面不成立，错误； 对于③，在线段上取点使得，连接，，，， 根据正方体的性质可知，，且，， 故平面为所求的截面，设点到的距离为， 菱形的面积， 根据正方体的对称性可知，当点位于点或点时，取到最大值，此时， 当点位于的中点时，取到最小值，此时， 所以，， 即截面图形的面积的取值范围为，错误； 对于④，取是的中点，连接，，，，，， 根据正方体的性质可知，，所以，， 所以为二面角的平面角， 当点位于点时，取到最大值， 在△中，， 即二面角的平面角的正切值最大为，正确； 故答案为：①④． 85．（2024春•通州区期末）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 　　． ①直线与直线相交； ②当时，为四边形； ③当为的中点时，平面截正方体所得的截面面积为； ④当时，截面与，分别交于，，则． 【解答】解：①，因为为线段上的动点，所以平面，由正方体可知平面，所以直线与直线不可能相交，故①错误； ②，时，截面与正方体的另一个交点落在线段上，如图所示： 所以截面为四边形； 又面，故面，故②正确； ③，连接，，，，如下所示： 因为为的中点，为的中点， 则，故面即为平面截正方体所得截面； 在△和中， 又，故该截面为等腰梯形， 又，， 故截面面积，故③正确； ④，，延长至，使得， 连接交于，连接交于，连接， 取的中点，上一点，使，连接、、， 如图所示： 因为且，且， 所以且，所以四边形是平行四边形，则， 由，，所， 则为中点，则，所以， 又△△，△△， 可得． 所以，， 则在△中，，故④正确． 故答案为：②③④． ( 考点 16 空间几何体的动点问题 ) 86．（2025春•东城区期末）在正方体中，，为侧面上一动点，若，则的长的最大值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在正方体中，，连接，， 设，连接，，，如图所示： 为侧面上一动点，要使得， 为的中点，， 又，，，平面，平面， 又平面，， 又平面，平面，， 又，，平面，平面， 又平面，， 反之，当时，，，， ，点的运动轨迹为线段， 当点与重合时，的长取得最大值为． 故选：． 87．（2023春•通州区期末）如图，在棱长为1的正方体 中，为棱上的动点且不与重合，为线段 的中点．给出下列四个命题： ①三棱锥 的体积为； ②； ③的面积为定值； ④四棱锥是正四棱锥． 其中所有正确命题的序号是 　　． 【解答】解：因为三棱锥体积为， 所以三棱锥体积的最大值为，故①错误； 连接，，则，又平面，平面， 所以，， 所以平面，，故②正确； 设，连接，则，， 所以，即和到的距离相等且不变，所以三角形的面积不变，故③正确； 由，可知平面， 又为正方形，为其中心，故四棱锥是正四棱锥，故④正确． 故答案为：②③④． 88．（2023春•西城区校级期末）如图，在正方体中，，点为直线上的动点，则下列四个命题： ①连接，总有平面； ②平面； ③动点到直线的距离的最小值是； ④设，则三棱锥的体积随着增大而增大． 其中正确的命题的序号是 　　． 【解答】解：在正方体中，对角面是矩形， 则，平面，平面， 所以平面，同理平面，而，，平面， 则有平面平面，而平面，因此平面，①正确； 平面，平面，则，而，，，平面， 则有平面，而平面，因此，同理， ，，平面，所以平面，②正确； 由①知，平面平面，由于与是异面直线，则点到直线的距离最小值等于点到平面的距离， 正方体棱长为1，则，由， 得，即，解得，③正确； 因为，平面，平面，则平面， 因此点到平面的距离为定值，而△的面积为定值， 于是三棱锥的体积为定值，④错误， 所以正确的命题的序号是①②③． 故答案为：①②③． 89．（2016春•海淀区校级期末）如图，在正三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，为棱上的动点，则周长的最小值为　　． 【解答】解：由正三棱柱，可得底面，，． 在中，． 把底面展开与侧面在同一个平面，如图所示， 只有当三点，，在同一条直线时，取得最小值． 在中，，由余弦定理可得： ． 周长的最小值． 故答案为：． 90．（2023春•丰台区期末）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，上的动点，给出下列四个结论： ①当为线段的中点时，，两点之间距离的最小值为； ②当为线段的中点时，三棱锥的体积为定值； ③存在点，，使得平面； ④当为靠近点的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为． 其中所有正确结论的序号是 　　． 【解答】解：对①，当为线段的中点时，如图所示，连接，， 则为的中点，是边长为的正三角形， 到的垂线段最短，此时，①错误； 对②，当为线段的中点时，如图， 到平面的距离为定值， 又△的面积也为定值， 三棱锥的体积为定值，②正确； 对③，如图所示，当与重合，与重合时， 由三垂线定理易得，， 从而可得平面，③正确； 对④，当为靠近点的三等分点时， 延长交于点，取的中点， 连接，，， 则易知平行等于，且平行等于， 平行等于， 易得平面截该正方体所得截面为等腰梯形， 又易知，，， 平面截该正方体所得截面的周长为，④错误． 故答案为：②③． 91．（2023春•昌平区期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，．为的中点，为内一动点（不与，，三点重合）． 给出下列四个结论： ①直线与所成角的大小为； ②； ③的最小值为； ④若，则点的轨迹所围成图形的面积是． 其中所有正确结论的序号是 　　． 【解答】解：由于，所以即为直线与所成的角或其补角， 由于底面，平面，所以，又，所以，①正确； 由于底面，平面，所以， 又，，，平面， 所以平面， 取中点为，连接，， 由于为的中点，所以，所以平面，平面，则， 又，中点为，所以， ，，平面，所以平面，平面，则， ，，，，平面，所以平面，平面， 所以， ，，平面，所以平面，平面， 所以，故②正确； 当平面时，最小，设此时点到平面的距离为， ， 所以， 由于，故为等边三角形，， 所以，故③错误； 由③得点到平面的距离为，不妨设在平面的投影为， 所以点到平面的距离为， 由于被平分，所以到平面的距离为， 由②知平面，所以，，三点共线，即， 又，所以， 因此点的轨迹围成的图形是以点为圆心，以为半径的圆，所以面积为，故④正确． 故答案为：①②④． 92．（2024春•海淀区校级期末）如图，在棱长为4的正方体中，点是线段上的动点（包含端点），点在线段上，且，给出下列四个结论： ①存在点，使得直线平面； ②点沿直线从点移动到点的过程中，四面体的体积逐渐减小； ③若，则点轨迹的长度为； ④当二面角的平面角的正切值为时，平面截正方体所得截面图形的面积为． 其中所有正确结论的序号是 　　． 【解答】解：对于①，当点位于点时，由于，，即四边形为平行四边形， 则，同理可证， 由于平面，平面，故平面， 同理平面，而，，平面， 故平面平面，此时平面，则平面， 即存在点，使得直线平面，①正确； 对于②，由于平面，平面，故， 而，而，，平面，故平面， 平面，故，同理可证， ，，平面，故平面， 由于，过点作平面，垂足为，则， 当点沿直线从点移动到点的过程中，长逐渐变小， 而△的面积为定值，故逐渐变小，即逐渐减小，②正确； 对于③，，作，垂足为，连接， 则，，此时， 则点轨迹为在上的线段，如图示， 为等腰三角形，则其底边上的高为， 故当向点运动时，逐渐变小，故在线段上存在一点，使得， 同理在靠近的那一侧也存在一点，使得， 当时，，则点轨迹的长度为，③错误； 对于④，设，交于，则为的中点， 由于，，故，， 即为二面角的平面角，而，， 故，即为锐角， 则，即， 当点由向运动时，将变小， 即可知当二面角的平面角的正切值为时，点位于处， 由于，此时平面截正方体所得截面即为矩形， 面积为，④正确． 故答案为：①②④． 93．（2023春•平谷区期末）已知棱长为2的正方体，点是线段上一动点．给出如下推断： ①对任意点，总有； ②存在点，使得平面； ③三棱锥体积的最大值为4． 则所给推断中正确的是 　． 【解答】解：对于①， 连接，底面为正方形，， 底面，底面，， ，、平面，平面， 平面，，故①正确； 对于②， 取的中点，连接，设，连接， ，，，， 四边形为平行四边形，则， 平面，平面，平面， 此时，当为与的交点时，有平面， 存在点，使得平面，故②正确； 对于③， 的面积是确定的，要使三棱锥体积的最大值， 只须点到平面的距离最远，即点与点重合时可取最大值， 可得， 因为，， ，故③错误． 故答案为：①②． 94．（2023春•东城区期末）如图，直三棱柱中，，，为棱的中点，为线段上的动点．以下结论中正确的是（　　） A．存在点，使 B．不存在点，使 C．对任意点，都有 D．存在点，使平面 【解答】解： 选项，由于平面，，平面，则，一定异面，选项错误； 选项，根据直三棱柱性质，平面，平面，故， 又，，，平面， 故平面， 又平面， 故， 显然， 即， 故，重合时，，选项错误； 选项，直棱柱的侧面必是矩形， 而， 故矩形成为正方形， 则， 选项已经分析过，平面， 由平面， 故， 又，，平面， 故平面， 又平面， 则必然成立，选项正确； 选项，取中点，连接，， 根据棱柱性质可知，和平行且相等， 故平面可扩展成平面， 过作，垂足为， 根据平面，平面， 故， 显然， 故， 由，，，平面， 故平面， 若平面， 则， 过作，交 于，连接，于是共面， 又，，平面， 故平面， 由于平面， 故，延长交于， 易得， 则， 而在线段上， 这是不可能的，选项错误． 故选：． 95．（2025春•海淀区校级期末）如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点为正方形内（含边界）动点，若，则的最小值是　 　 ． 【解答】解：取，的中点，，连接，，，，，， 故， 因为，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，，平面， 所以平面，因为平面， 所以， 因为，，， 所以△△， 故， 所以， 故，因为平面，平面， 所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 当点在线段上时，平面，故， 其中，，， ， 故为钝角， 则的最小值为的长度． 故答案为：． 96．（2025春•通州区期末）如图，在长方体中，，，点，分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：在长方体中，取，的中点，，连接，，， 由点为的中点，得，， 则四边形是平行四边形， 所以，又．， 则四边形是平行四边形， 于是， 取中点，在上取点，使得，连接，，， 而，则四边形为平行四边形， 所以，而平面，平面， 于是平面， 由为的中点，得， 而平面，平面， 则平面，又，，平面， 因此平面平面， 由直线平面，点平面， 则点在平面与平面的交线上， 从而点的轨迹是线段， 而， 所以点的轨迹长度为． 故选：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 立体几何初步 高频考点概览 考点 01 空间几何体的结构 考点 02 空间几何体的直观图 考点 03 空间几何体的表面积 考点 04 空间几何体的体积 考点 05 与球有关的切接问题 考点 06 空间点、直线、平面之间的位置关系 考点 07 证明线面平行 考点 08 证明面面平行 考点 09 证明线线垂直 考点 10 证明线面垂直 考点 11 证明面面垂直 考点 12 异面直线所成的角 考点 13 直线与平面所成的角 考点 14 二面角 考点 15 空间几何体的截面问题 考点 16 空间几何体的动点问题 考点01 空间几何体的结构 1．（2025春•北京期末）下列命题错误的是（　　） A．侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B．底面是正多边形的棱柱一定是正棱柱 C．棱柱的侧面都是平行四边形 D．斜棱柱的侧面有可能是矩形 2．（2021春•房山区期末）下列命题正确的是（　　） A．正方形的直观图是正方形 B．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 C．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 D．圆锥有无数条母线 3．（2025春•海淀区校级期末）下列说法不正确的是（　　） A．平行六面体的侧面和底面均为平行四边形 B．直棱柱的侧棱长与高相等 C．斜棱柱的侧棱长大于斜棱柱的高 D．直四棱柱是长方体 4．（2021春•丰台区期末）已知正三棱锥，底面的中心为点，给出下列结论： ①底面； ②棱长都相等； ③侧面是全等的等腰三角形． 其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（2025春•海淀区校级期末）一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（　　） 考点02 空间几何体的直观图 A．8 B． C．16 D． 6．（2023春•大兴区校级期末）如图，△为水平放置的斜二测画法的直观图，且，，则的周长为　　． 7．（2022春•福州期末）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边上的中线的实际长度为　　． 考点03 空间几何体的表面积 8．（2025春•海淀区校级期末）如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，则该八面体的表面积为 　　 ． 9．（2025秋•海淀区校级月考）正四棱柱的高为，体对角线长为，则正四棱柱的侧面积为（　　） A．10 B．24 C．36 D．40 10．（2025春•海淀区校级期末）已知一个圆锥的底面半径为3，其体积为，则该圆锥的侧面积为（　　） A． B． C． D． 11．（2024春•昌平区期末）已知正四棱锥的底面边长为2，高为，则它的侧面积为 　　． 12．（2025秋•海淀区期末）某景观亭（如图的上部可视为正四棱锥（如图．已知长为4米，且平面平面，则正四棱锥的侧面积为 平方米．（注棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积） 13．（2024春•延庆区期末）在四棱锥中，底面为正方形，，，，则此四棱锥的侧面积为（　　） A． B． C． D． 14．（2023秋•昌平区期末）《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台．如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（　　） A． B． C． D． 考点04 空间几何体的体积 15．（2024春•延庆区期末）已知一个圆锥的母线长为2，底面半径为，则该圆锥的体积为 　　． 16．（2025秋•海淀区校级期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．将一个正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，于是得到一种八个面为正三角形、六个面为正方形的半正多面体，如图所示，已知，则此半正多面体的体积为 ． 17．（2025春•丰台区期末）唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱构成的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示，已知半球的半径为，圆柱的高也为，则银杯盛酒部分的容积为（　　） A． B． C． D． 18．（2023春•顺义区期末）如图，圆锥的底面直径和高均是2，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积是（　　） A． B． C． D． 19．（2020春•海淀区校级期末）如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积为，那么圆柱的体积为（　　） A． B． C． D． 20．（2024秋•北京校级期末）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为 　　． 21．（2024秋•石景山区期末）在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（　　） A．4 B．2 C． D． 22．（2024秋•海淀区校级期末）在三棱锥中，△是边长为2的等边三角形，，，则该棱锥的体积为（　　） A．1 B． C．2 D．3 23．（2025春•西城区期末）已知菱形的边长为2，．将菱形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为（　　） A． B． C．1 D． 24．（2025春•顺义区期末）在直角△中，斜边，直角边．若以该直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体．则该几何体的体积为（　　） A． B． C． D． 考点05 与球有关的切接问题 25．（2023春•延庆区期末）已知一个长方体的长、宽、高分别为4、4、2，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（　　） A． B． C． D．以上都不对 26．（2020春•丰台区期末）如图所示，球内切于正方体，如果该正方体的棱长为，那么球的体积为　　 A． B． C． D． 27．（2023春•海淀区校级期末）已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（　　） A． B． C． D． 28．（2021春•丰台区校级期末）体积为1的正方体的内切球的体积是 　　． 29．（2025春•北京期末）已知一个棱长为2的正方体的8个顶点都在一个球面上，则球的表面积为 　　 ，体积为 　　 ． 30．（2022秋•朝阳区校级期末）已知正三棱锥，若，平面，则三棱锥的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 31．（2022秋•石景山区期末）在四棱锥中，面，底面是正方形，，则此四棱锥的外接球的半径为 　　． 32．（2022春•丰台区校级期末）已知直三棱柱的六个顶点都在球的表面上，若，，，，则球的体积是（　　） A． B． C． D． 考点06 空间点、直线、平面之间的位置关系 33．（2025春•海淀区校级期末）若空间三条直线、、满足，，则直线与（　　） A．一定平行 B．一定相交 C．一定是异面直线 D．一定垂直 34．（2025春•昌平区期末）已知，是不重合的平面，，是不重合的直线，下列命题中正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 35．（2025秋•通州区期末）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线．下列四个命题： ①若，，，则 ②若，，，则 ③若，，，则 ④若，，则或 其中所有真命题的序号是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 36．（2025秋•海淀区校级期末）如图，点为正方形的中心，△为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（　　） A．，且直线，是相交直线 B．，且直线，是相交直线 C．，且直线，是异面直线 D．，且直线，是异面直线 37．（2025春•海淀区校级期末）在空间中，直线直线，直线，满足：，，，，则直线，位置关系为（　　） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 38．（2025春•西城区校级期末）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 39．（2025春•海淀区校级期末）空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列命题正确的命题是（　　） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，且，则 40．（2024春•北京期末）设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题（　　） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则． 其中正确命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 41．（2025春•海淀区校级期末）如图，正方体中，、分别是线段、线段的中点．则以下和直线相交的是直线（　　） A． B． C． D． 考点07 证明线面平行 42．（2024春•丰台区期末）如图，在三棱锥中，，分别是线段，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）过直线作平面，若平面与直线交于点，直线平面．求证：是线段的中点． 43．（2023春•大兴区校级期末）在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（　　） A． B． C． D． 44．（2025春•西城区校级期末）在正方体中，点和点分别为和的中点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）证明：平面． 45．（2022秋•南关区校级期末）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 46．（2023春•东城区校级期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点． （Ⅰ）求的体积； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求证：平面． 47．（2025春•通州区期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点，分别为，的中点． （Ⅰ）平面； （Ⅱ）平面． 考点08 证明面面平行 48．（2025春•海淀区校级期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，，分别是，，的中点，平面平面．证明： （1）； （2）平面平面． 49．（2023春•大兴区校级期末）如图，在三棱锥中，、、、分别是、、、的中点，且，． （1）证明：； （2）证明：平面平面． 50．（2024春•闽清县校级期末）已知正四棱柱中，是的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）在线段上是否存在点，当时，平面平面？若存在，求出的值并证明；若不存在，请说明理由． 考点09 证明线线垂直 51．（2024春•昌平区期末）如图，在几何体中，侧面是正方形，平面平面，，，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）判断直线与是否相交，说明理由． 52．（2023春•平谷区期末）三棱锥中，面，，、分别是、中点，过的一个平面交面于． （1）证明：； （2）证明：． 53．（2023春•房山区期末）如图，在正方体中，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求证：，，，四点共面． 54．（2023春•海淀区校级期末）如图，在长方体中，，，点和点在棱上，且． （1）求证：平面； （2）求证：． 考点10 证明线面垂直 55．（2022春•平谷区期末）如图，在三棱锥中，底面，，，分别为，的 中点．设平面与平面交于直线． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：． 56．（2025春•北京期末）如图，在四棱锥中，已知，，分别是，，的中点，底面是一个平行四边形，，平面平面，且，． （1）求证：平面平面 （2）求证：平面； （3）求证：． 57．（2023春•延庆区期末）如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，且底面，，点为棱的中点，平面与棱交于点． （1）求证：； （2）求证：平面． 58．（2023春•朝阳区期末）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，平面平面，是的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）设棱与平面交于点，求的值． 59．（2023春•西城区期末）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 考点11 证明面面垂直 60．（2025春•北京期末）如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，． （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）求四棱锥的体积． 61．（2024春•延庆区期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段上的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求证：平面平面． 62．（2023春•房山区期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点． （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 63．（2025春•顺义区期末）如图，在几何体中，侧面是正方形，，，，，且与平面所成角为． 求证：平面平面； （Ⅱ）求四棱锥的体积； （Ⅲ）若平面与棱交于点，求四边形的面积． 64．（2024春•顺义区期末）如图，在五面体中，底面为正方形，，，，为的中点，为的中点，，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）求五面体的体积． 65．（2024春•东城区期末）如图，在四棱锥中，平面，，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）设点为的中点，过点，的平面与棱交于点，且平面，求的值． 考点12 异面直线所成的角 66．（2025春•通州区期末）如图，在正方体中，点，，分别为，，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 67．（2023春•西城区校级期末）已知正方体，直线与直线所成角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 68．（2025春•海淀区校级期末）如图，在正方体中，，分别为、的中点，则异面直线与所成的角等于 　　 ． 69．（2021春•西城区校级期末）如图，四边形是正方形，平面，且，则直线与直线所成角的大小是　　 A． B． C． D． 70．（2023春•房山区期末）在正方体中，异面直线，所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 71．（2025春•东城区期末）如图，正方体的棱长为6，动点在棱上，为棱上一点，，点在线段上，且满足． （Ⅰ）当为中点时，异面直线与所成角的大小为 　　 ； （Ⅱ）的长的最小值是 　　 ． 考点13 直线与平面所成的角 72．（2025春•丰台区期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，为棱的中点，平面与棱交于点． （1）求证：为棱的中点； （2）求直线与平面所成角的正切值． 73．（2024春•顺义区期末）如图，在正方体中，为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）写出直线与平面所成角的正弦值（只需写出结论）． 74．（2024春•北京校级期末）如图，在四棱锥中，平面平面，且，．四边形满足，，．为侧棱上的任意一点，且平面与侧棱交于点． （1）求证：平面平面； （2）设直线与平面所成的角为，求的最大值； （3）是否存在点，使得直线与平面垂直？若存在，写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由． 75．（2024春•北京期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，是棱上的一点． （1）若，求证：平面； （2）若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值． 考点14 二面角 76．（2025春•顺义区期末）如图，在四棱柱中，四边形为梯形，，，为中点． 求证：平面； （Ⅱ）若平面，，且， 求证：； 写出二面角的正切值．（结论不要求证明） 77．（2025春•通州区期末）如图，在四面体中，，，，点为的中点，点为上一点，且，四面体的体积为． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）若，恰为二面角的平面角，求△的面积． 78．（2024春•丰台区期末）如图，在三棱柱中，，，平面平面． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，当直线与平面所成角为时， （ⅰ）求证：平面平面； （ⅱ）求二面角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 考点15 空间几何体的截面问题 79．（2023春•朝阳区校级期末）如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后得到的，现用一平面去截这个几何体，则截面图形不可能是（　　） A． B． C． D． 80．（2024春•东城区期末）一木块如图所示，所有棱长都等于，点为三角形的中心，过点将木块锯开，截面平行于直线和，则截面面积为 　　． 81．（2022春•朝阳区期末）已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，则下列结论中正确的是（　　） ①直线与直线垂直； ②直线与平面平行； ③点与点到平面的距离相等； ④平面截正方体所得的截面面积为． A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 82．（2024春•北京期末）如图，在棱长为4的正方体中，，分别是棱、的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（　　） A．16 B． C．18 D． 83．（2023春•海淀区校级期末）如图，正方体中，点、、、分别为棱，，，的中点，点为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是（　　） ①与异面； ②平面； ③平面截正方体所得的截面图形始终是四边形； ④平面平面． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 84．（2025春•西城区校级期末）在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是 　　 ． ①点从点运动到点的过程中，三棱锥的体积不变； ②对于每一个点，在棱上总存在一点，使得平面； ③平面截正方体所得截面图形的面积的取值范围为； ④二面角的平面角的正切值最大为． 85．（2024春•通州区期末）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 　　． ①直线与直线相交； ②当时，为四边形； ③当为的中点时，平面截正方体所得的截面面积为； ④当时，截面与，分别交于，，则． 考点16 空间几何体的动点问题 86．（2025春•东城区期末）在正方体中，，为侧面上一动点，若，则的长的最大值为（　　） A． B． C． D． 87．（2023春•通州区期末）如图，在棱长为1的正方体 中，为棱上的动点且不与重合，为线段 的中点．给出下列四个命题： ①三棱锥 的体积为； ②； ③的面积为定值； ④四棱锥是正四棱锥． 其中所有正确命题的序号是 　　． 88．（2023春•西城区校级期末）如图，在正方体中，，点为直线上的动点，则下列四个命题： ①连接，总有平面； ②平面； ③动点到直线的距离的最小值是； ④设，则三棱锥的体积随着增大而增大． 其中正确的命题的序号是 　　． 89．（2016春•海淀区校级期末）如图，在正三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，为棱上的动点，则周长的最小值为　　． 90．（2023春•丰台区期末）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，上的动点，给出下列四个结论： ①当为线段的中点时，，两点之间距离的最小值为； ②当为线段的中点时，三棱锥的体积为定值； ③存在点，，使得平面； ④当为靠近点的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为． 其中所有正确结论的序号是 　　． 91．（2023春•昌平区期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，．为的中点，为内一动点（不与，，三点重合）． 给出下列四个结论： ①直线与所成角的大小为； ②； ③的最小值为； ④若，则点的轨迹所围成图形的面积是． 其中所有正确结论的序号是 　　． 92．（2024春•海淀区校级期末）如图，在棱长为4的正方体中，点是线段上的动点（包含端点），点在线段上，且，给出下列四个结论： ①存在点，使得直线平面； ②点沿直线从点移动到点的过程中，四面体的体积逐渐减小； ③若，则点轨迹的长度为； ④当二面角的平面角的正切值为时，平面截正方体所得截面图形的面积为． 其中所有正确结论的序号是 　　． 93．（2023春•平谷区期末）已知棱长为2的正方体，点是线段上一动点．给出如下推断： ①对任意点，总有； ②存在点，使得平面； ③三棱锥体积的最大值为4． 则所给推断中正确的是 　． 94．（2023春•东城区期末）如图，直三棱柱中，，，为棱的中点，为线段上的动点．以下结论中正确的是（　　） A．存在点，使 B．不存在点，使 C．对任意点，都有 D．存在点，使平面 95．（2025春•海淀区校级期末）如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点为正方形内（含边界）动点，若，则的最小值是　 　 ． 96．（2025春•通州区期末）如图，在长方体中，，，点，分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（　　） A．2 B． C． D． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $