学易金卷：高二数学下学期期末模拟卷01（北京专用：人教A版选择性必修第二册+选择性必修第三册 ）

**基本信息** 本卷覆盖高二选择性必修二、三内容，以Sora文生视频、产品抽样等现实情境为载体，通过概率统计、数列、导数等知识考查，体现数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|二项分布、独立性检验、条件概率|基础概念与计算结合，如第2题独立性检验| |填空题|5/25|导数计算、数列新定义、排列组合|创新情境设计，如第13题“θ等差数列”| |解答题|6/85|概率应用、导数应用、数列求和|科技前沿与实际问题融合，如第17题Sora培训利润分析|

2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷01………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册+选择性必修第三册。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设ξ～B（n，p），已知，则n与p值分别为（　　） A. 4， B. 12， C. 12， D. 24， 2．随机询问50名大学生调查爱好某项运动是否和性别有关.利用2×2列联表计算得，则下列结论正确的是（ ） 附： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 A. 在犯错误的概率不大于0.005的前提下认为“是否爱好该项运动与性别有关” B. 在犯错误的概率不大于0.005的前提下认为“是否爱好该项运动与性别无关” C. 在犯错误的概率不大于0.001的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不大于0.001的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别无关” 3．某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的，乙车间占，丙车间占．已知这3个车间的次品率依次为，，，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次品，则该次品由乙车间生产的概率为（ ） A. B. C. D. 4．对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则（   ）    A． B． C． D． 5．已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 6．某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种脐橙10000个，估计单果质量不低于150g的脐橙个数为（ ） 附：若，则，，. A. 8413 B. 9772 C. 9974 D. 9987 7. 若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 8. 关于x的方程有两个不同实根，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9.投掷红、蓝两个骰子，设：蓝色骰子的点数为1或2，：两骰子的点数之和小于5，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数在处取得极小值，则（   ） A. B. C. 或 D. 3 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知，则______. 12.已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则_____． 13. 若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，则称成一个“等差数列”．已知集合，则由中的三个元素组成的所有数列中，“等差数列”的个数为__________. 14. 将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有________种不同涂法；若相邻区域不同色且4种颜色全部使用，则共有________种不同涂法． 15. 已知函数与的图像如下图所示，设函数. 给出下列四个结论 ①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数； ②函数在区间和上是增函数，在区间上是减函数； ③函数有三个极值点； ④函数有三个零点. 其中，所有正确结论的序号是_____________ . 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（满分13分）现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件： （1）一共有多少种不同的取法？ （2）若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ （3）若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ 17．（满分13分） 人工智能中的文生视频模型Sora（以下简称Sora），能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示. Sora的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 18 72 没有应用 36 42 78 合计 90 60 150 （1）根据表格中所给数据，依据的独立性检验，判断Sora的应用与视频从业人员的减少有关？ （2）某公司视频部现有员工100人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有两轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora. ①求员工经过培训能应用Sora的概率； ②已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，不能应用Sora的员工创造的利润与培训前相同；Sora培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 18.（满分14分）已知函数，. （1）若存在正数，使得，求实数的取值范围； （2）设在处的切线方程为. ①求的解析式； ②当时，恒成立，求的值. 19.（满分15分）通过抛掷质地均匀的硬币产生随机数列，具体产生方式为：若第次抛掷的结果为反面朝上，则；结果为正面朝上，则.所有总项数为项的数列组成集合. （1）已知，且所有项的和为，求的概率； （2）可用软件产生类似的随机数列，也满足.若“”的概率为，“”的概率为，“且”的概率为，求“且”的概率； （3）在集合中任取两个不同元素、.记.的均值为，证明：. 20.（满分15分）记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 21.（满分15分）已知函数． （1）讨论的极值点个数； （2）证明：，； （3）若关于x的方程有两个不同实根，，求a的取值范围，并证明：． 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷01 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册+选择性必修第三册。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设ξ～B（n，p），已知，则n与p值分别为（　　） A. 4， B. 12， C. 12， D. 24， 【答案】B 【解析】由题意，∵ξ～B（n，p），，∴ ∴p，n＝12 故选B． 2．随机询问50名大学生调查爱好某项运动是否和性别有关.利用2×2列联表计算得，则下列结论正确的是（ ） 附： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 A. 在犯错误的概率不大于0.005的前提下认为“是否爱好该项运动与性别有关” B. 在犯错误的概率不大于0.005的前提下认为“是否爱好该项运动与性别无关” C. 在犯错误的概率不大于0.001的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不大于0.001的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别无关” 【答案】A 【解析】：∵ ∴在犯错误的概率不大于0.005的前提下认为“是否爱好该项运动与性别有关”， A正确，B错误； ∵ ∴没有充分的证据说明在犯错误的概率不大于0.001的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别有关”， C、D错误； 故选：A． 3．某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的，乙车间占，丙车间占．已知这3个车间的次品率依次为，，，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次品，则该次品由乙车间生产的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】记事件A表示甲车间生产的产品，记事件表示乙车间生产的产品，记事件表示丙车间生产的产品，记事件表示抽取到次品， 则, ， 取到次品的概率为 ， 若取到的是次品，此次品由乙车间生产的概率为： . 故选：C 4．对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】图知，对应的与负相关，且对应的相关性更强，即； 对应的与正相关，且对应的相关性更强，即， 所以. 故选：A. 5．已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】D 【解析】二项式的展开式中所有项的系数和为32， 令，得，所以. 若，且，则. 所以，所以. 故选D． 6．某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种脐橙10000个，估计单果质量不低于150g的脐橙个数为（ ） 附：若，则，，. A. 8413 B. 9772 C. 9974 D. 9987 【答案】D 【解析】由可知，，， 则， 故单果质量不低于150g的脐橙个数约为10000×0.9987=9987. 故选：D 7. 若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】B 【解析】依题意，数列满足，， ，所以 ，也符合，所以，是单调递增数列， 由，解得， 所以的最大值为. 故选：B 8. 关于x的方程有两个不同实根，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】方程，令函数， 而，则函数在R上单调递增，又方程等价于， 因此， 令函数，依题意，方程有两个不同实根， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 又，当时，恒有， 则当且仅当时，方程有两个不同实根， 所以实数a的取值范围为. 故选B． 9.投掷红、蓝两个骰子，设：蓝色骰子的点数为1或2，：两骰子的点数之和小于5，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】投掷红、蓝两个骰子，共有个样本点，其中 事件B包含，共个样本点， 事件包含，共个样本点， 所以. 10. 已知函数在处取得极小值，则（   ） A. B. C. 或 D. 3 【答案】B 【解析】由已知. 又函数在处取得极小值， 所以有，解得或. 当时，有. 解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增； 解可得，，所以在上单调递减. 所以，函数在处取得极小值，满足条件； 当时，有. 解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增； 解可得，，所以在上单调递减. 所以，函数在处取得极大值，不满足条件，舍去. 综上，. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知，则______. 【答案】4 【解析】令 ，则 ，，原等式左边转化为  ， 就是该式展开后 项的系数， 中项系数为 ； 中项系数为  ； 所以  . 12.已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则_____． 【答案】3 【解析】由导数的定义，可得函数在处的导数满足： ， 则 解得. 13. 若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，则称成一个“等差数列”．已知集合，则由中的三个元素组成的所有数列中，“等差数列”的个数为__________. 【答案】1012 【解析】由三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足， 知，消去，并整理得，所以（舍去），， 于是有.在集合中，三个元素组成的所有数列必为整数数列， 所以必为2的倍数，且．故这样的数组共1012组. 故答案为：1012. 14. 将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有________种不同涂法；若相邻区域不同色且4种颜色全部使用，则共有________种不同涂法． 【答案】 ①. 1024； ②. 48 【解析】空一：每块区域任意涂上一种颜色，即每块区域都有4种选择， 则有种不同涂法； 空二：若同色：先涂有4种，然后涂有种， 此时共有种； 若不同色：先涂有种，然后涂有种，最后涂有1种， 此时共有种. 综上，共有种. 15. 已知函数与的图像如下图所示，设函数. 给出下列四个结论 ①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数； ②函数在区间和上是增函数，在区间上是减函数； ③函数有三个极值点； ④函数有三个零点. 其中，所有正确结论的序号是_____________ . 【答案】②③④ 【解析】由图像可知实的图像在区间、、函数值分别为正、负、正，而虚的图像在区间、、分别单调递增、单调递减、单调递增，由导数与函数单调性的关系易知实的是的图像，虚线是的图像. 所以①错误，②正确； 因为，即，由图可知恰有三个零点，故④正确； 又因为， 由图像可知、、时，，即， 又在区间上，的图像在的图像的上方，即 在区间上，的图像在的图像的下方，即 在区间上，的图像在的图像的上方，即 在区间上，的图像在的图像的下方，即 所以、、分别为极大值点、极小值点、极大值点，即函数有三个极值点 所以③正确 故答案为②③④ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（满分13分）现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件： （1）一共有多少种不同的取法？ （2）若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ （3）若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ 【解析】（1）所求的抽法总数，就是从30件产品中取出3件的组合数 ． （4分） （2）抽取可以分成两步完成： 第一步，在2件次品中抽出1件，有种方法； 第二步，在28件合格品中抽出2件，有种方法． 由分步乘法计数原理知，不同的抽法为． （9分） （3）满足条件的取法可以分成两类：恰有1件次品的取法和恰有2件次品的取法． 第一类，恰有1件次品的取法有种， 第二类，恰有2件次品的取法有种． 由分类加法计数原理知，不同的抽法为． （13分） 17．（满分13分） 人工智能中的文生视频模型Sora（以下简称Sora），能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示. Sora的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 18 72 没有应用 36 42 78 合计 90 60 150 （1）根据表格中所给数据，依据的独立性检验，判断Sora的应用与视频从业人员的减少有关？ （2）某公司视频部现有员工100人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有两轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora. ①求员工经过培训能应用Sora的概率； ②已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，不能应用Sora的员工创造的利润与培训前相同；Sora培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【解析】（1） ，样本容量. （2分） 已知对应的临界值 ， （4分） 由于 ，因此拒绝原假设， 即认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关. （6分） （2） ①设事件分别为第一、二、三轮培训获“优秀”， 则，且三轮相互独立. （7分） 能应用Sora的条件是“两轮及以上获优秀”，包含以下4种情况： 优秀，不优秀： 优秀，不优秀： 优秀，不优秀： 均优秀： 总概率 （10分） ②设调走人，则剩余人. 原年利润：万元 培训后：能应用Sora的员工有 人，每人利润万元；不能应用的员工有 人，每人利润万元. 年利润不低于原利润的条件为 化简得 由于为整数，故 ，即视频部最多可调离14人 （15分） 18.（满分14分）已知函数，. （1）若存在正数，使得，求实数的取值范围； （2）设在处的切线方程为. ①求的解析式； ②当时，恒成立，求的值. 【解析】（1），，解得，故的定义域为， ， （3分） 当时，即时且时，恒成立， 则在上为增函数. ∴对一切正数，恒成立，舍去. （5分） 当时，即时且时，， 则在上为减函数. ∴对一切正数，，符合题意. 综上所述，的取值范围为. （7分） （2）①，， ，， 则在处的切线的斜率为，切点为， 则在处的切线方程为； （9分） ②设，， ， 由题意，当时，恒成立， 则，解得， 当时，即时，当时，， 在上是单调递增函数，则，此时，，矛盾. （10分） 当时，即时，当时，， 在上是单调递增函数，则， 此时，，矛盾. （11分） 当时，即时，， 在上是单调递减函数， 则当时，，恒成立， 当时，，恒成立，故满足题意； （12分） 当时，又，即时， 当时，，在上是单调递增函数， 则， 此时，，矛盾. 综上可得，的值为. （14分） 19.（满分15分）通过抛掷质地均匀的硬币产生随机数列，具体产生方式为：若第次抛掷的结果为反面朝上，则；结果为正面朝上，则.所有总项数为项的数列组成集合. （1）已知，且所有项的和为，求的概率； （2）可用软件产生类似的随机数列，也满足.若“”的概率为，“”的概率为，“且”的概率为，求“且”的概率； （3）在集合中任取两个不同元素、.记.的均值为，证明：. 【解析】（1）由题意满足的数列有个， 其中满足，即中满足有2项为1，10项为0的数列有个， 所以. （4分） （2）记事件“”，“”，由题意得， 求＂且＂的概率即求的值， （6分） 法一：， 又， ， 所以＂且＂的概率为； （8分） 法二: ， 所以＂且＂的概率为. （8分） （3）因为数列是从集合中任意取出的两个不同数列， 所以的可能取值为：对应的取值为：， 当时，数列对应位置的项中有项取值不同，有项取值相同； 从项中选择取值不同的项位置，有种情况， 和在这项的任一位置数字不同，每个位置都有2种情况， 比如第个位置可以是， 也可以是，共有种情况；其余项，两者均在同一位置数字相同， 每个位置都有两种情况，共有种情况，由于， 所以此问题为组合问题，故所有的情况会重复1次，故共有种情况， 又因为集合中元素的个数共有个， 所以， （10分） 所以，的分布列为： ， 同理， ， 时， ， 当时，该式也成立， （13分） ， . （15分） 20.（满分15分）记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意可得，解得， （5分） 所以 ； （7分） （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； （10分） 当时，则，可得 ； 综上所述：. （15分） 21.（满分15分）已知函数． （1）讨论的极值点个数； （2）证明：，； （3）若关于x的方程有两个不同实根，，求a的取值范围，并证明：． 【解析】（1）函数的定义域为，导函数， 当，由可得， （2分） 函数在上单调递增，函数没有极值点， 令，可得， 方程的判别式， 当时，，， 函数在上单调递增，函数没有极值点， 当时，由可得，所以， 故，函数在上单调递增，函数没有极值点， 当时，方程有两个不同的根， 设其根为， 因为，所以，所以， （3分） 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以函数在时，取极大值，当时，取极小值， 综上，当时，函数没有极值点， 当时，函数有两个极值点，为其极大值点，为其极小值点； （5分） （2）由（1）当时，函数在上单调递增， 所以当时，， 取可得，，即， 所以，，，， 所以， 所以，； （10分） （3）因为， 所以方程可化为， 所以， 由已知方程有两个解不同的实数解， 设，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 且当时，，当时，， 又，，当时，， 函数的大致图象如下: 所以，故， 所以a的取值范围， 不妨设，则，故， 由已知， ， 所以，， 所以， 所以 ， （13分） 令，则， 所以， 由（1）当时，函数在上单调递增， 所以当时，， 所以，故， 所以， 所以 （15分） / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷01 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A C A D D B B A B 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11.4 12．3 13.1012 14． ①. 1024； ②. 48 15.②③④ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（满分13分） 【解析】（1）所求的抽法总数，就是从30件产品中取出3件的组合数 ． （4分） （2）抽取可以分成两步完成： 第一步，在2件次品中抽出1件，有种方法； 第二步，在28件合格品中抽出2件，有种方法． 由分步乘法计数原理知，不同的抽法为． （9分） （3）满足条件的取法可以分成两类：恰有1件次品的取法和恰有2件次品的取法． 第一类，恰有1件次品的取法有种， 第二类，恰有2件次品的取法有种． 由分类加法计数原理知，不同的抽法为． （13分） 17．（满分13分） 【解析】（1） ，样本容量. （2分） 已知对应的临界值 ， （4分） 由于 ，因此拒绝原假设， 即认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关. （6分） （2） ①设事件分别为第一、二、三轮培训获“优秀”， 则，且三轮相互独立. （7分） 能应用Sora的条件是“两轮及以上获优秀”，包含以下4种情况： 优秀，不优秀： 优秀，不优秀： 优秀，不优秀： 均优秀： 总概率 （10分） ②设调走人，则剩余人. 原年利润：万元 培训后：能应用Sora的员工有 人，每人利润万元；不能应用的员工有 人，每人利润万元. 年利润不低于原利润的条件为 化简得 由于为整数，故 ，即视频部最多可调离14人 （15分） 18．（满分14分） 【解析】（1），，解得，故的定义域为， ， （3分） 当时，即时且时，恒成立， 则在上为增函数. ∴对一切正数，恒成立，舍去. （5分） 当时，即时且时，， 则在上为减函数. ∴对一切正数，，符合题意. 综上所述，的取值范围为. （7分） （2）①，， ，， 则在处的切线的斜率为，切点为， 则在处的切线方程为； （9分） ②设，， ， 由题意，当时，恒成立， 则，解得， 当时，即时，当时，， 在上是单调递增函数，则，此时，，矛盾. （10分） 当时，即时，当时，， 在上是单调递增函数，则， 此时，，矛盾. （11分） 当时，即时，， 在上是单调递减函数， 则当时，，恒成立， 当时，，恒成立，故满足题意； （12分） 当时，又，即时， 当时，，在上是单调递增函数， 则， 此时，，矛盾. 综上可得，的值为. （14分） 19．（满分15分） 【解析】（1）由题意满足的数列有个， 其中满足，即中满足有2项为1，10项为0的数列有个， 所以. （4分） （2）记事件“”，“”，由题意得， 求＂且＂的概率即求的值， （6分） 法一：， 又， ， 所以＂且＂的概率为； （8分） 法二: ， 所以＂且＂的概率为. （8分） （3）因为数列是从集合中任意取出的两个不同数列， 所以的可能取值为：对应的取值为：， 当时，数列对应位置的项中有项取值不同，有项取值相同； 从项中选择取值不同的项位置，有种情况， 和在这项的任一位置数字不同，每个位置都有2种情况， 比如第个位置可以是， 也可以是，共有种情况；其余项，两者均在同一位置数字相同， 每个位置都有两种情况，共有种情况，由于， 所以此问题为组合问题，故所有的情况会重复1次，故共有种情况， 又因为集合中元素的个数共有个， 所以， （10分） 所以，的分布列为： ， 同理， ， 时， ， 当时，该式也成立， （13分） ， . （15分） 20．（满分15分） 【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意可得，解得， （5分） 所以 ； （7分） （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； （10分） 当时，则，可得 ； 综上所述：. （15分） 21. （满分15分） 【解析】（1）函数的定义域为，导函数， 当，由可得， （2分） 函数在上单调递增，函数没有极值点， 令，可得， 方程的判别式， 当时，，， 函数在上单调递增，函数没有极值点， 当时，由可得，所以， 故，函数在上单调递增，函数没有极值点， 当时，方程有两个不同的根， 设其根为， 因为，所以，所以， （3分） 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以函数在时，取极大值，当时，取极小值， 综上，当时，函数没有极值点， 当时，函数有两个极值点，为其极大值点，为其极小值点； （5分） （2）由（1）当时，函数在上单调递增， 所以当时，， 取可得，，即， 所以，，，， 所以， 所以，； （10分） （3）因为， 所以方程可化为， 所以， 由已知方程有两个解不同的实数解， 设，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 且当时，，当时，， 又，，当时，， 函数的大致图象如下: 所以，故， 所以a的取值范围， 不妨设，则，故， 由已知， ， 所以，， 所以， 所以 ， （13分） 令，则， 所以， 由（1）当时，函数在上单调递增， 所以当时，， 所以，故， 所以， 所以 （15分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册+选择性必修第三册。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设ξ～B（n，p），已知，则n与p值分别为（　　） A. 4， B. 12， C. 12， D. 24， 2．随机询问50名大学生调查爱好某项运动是否和性别有关.利用2×2列联表计算得，则下列结论正确的是（ ） 附： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 A. 在犯错误的概率不大于0.005的前提下认为“是否爱好该项运动与性别有关” B. 在犯错误的概率不大于0.005的前提下认为“是否爱好该项运动与性别无关” C. 在犯错误的概率不大于0.001的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不大于0.001的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别无关” 3．某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的，乙车间占，丙车间占．已知这3个车间的次品率依次为，，，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次品，则该次品由乙车间生产的概率为（ ） A. B. C. D. 4．对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则（   ）    A． B． C． D． 5．已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 6．某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种脐橙10000个，估计单果质量不低于150g的脐橙个数为（ ） 附：若，则，，. A. 8413 B. 9772 C. 9974 D. 9987 7. 若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 8. 关于x的方程有两个不同实根，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9.投掷红、蓝两个骰子，设：蓝色骰子的点数为1或2，：两骰子的点数之和小于5，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数在处取得极小值，则（   ） A. B. C. 或 D. 3 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知，则______. 12.已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则_____． 13. 若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，则称成一个“等差数列”．已知集合，则由中的三个元素组成的所有数列中，“等差数列”的个数为__________. 14. 将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有________种不同涂法；若相邻区域不同色且4种颜色全部使用，则共有________种不同涂法． 15. 已知函数与的图像如下图所示，设函数. 给出下列四个结论 ①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数； ②函数在区间和上是增函数，在区间上是减函数； ③函数有三个极值点； ④函数有三个零点. 其中，所有正确结论的序号是_____________ . 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（满分13分）现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件： （1）一共有多少种不同的取法？ （2）若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ （3）若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ 17．（满分13分） 人工智能中的文生视频模型Sora（以下简称Sora），能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示. Sora的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 18 72 没有应用 36 42 78 合计 90 60 150 （1）根据表格中所给数据，依据的独立性检验，判断Sora的应用与视频从业人员的减少有关？ （2）某公司视频部现有员工100人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有两轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora. ①求员工经过培训能应用Sora的概率； ②已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，不能应用Sora的员工创造的利润与培训前相同；Sora培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 18.（满分14分）已知函数，. （1）若存在正数，使得，求实数的取值范围； （2）设在处的切线方程为. ①求的解析式； ②当时，恒成立，求的值. 19.（满分15分）通过抛掷质地均匀的硬币产生随机数列，具体产生方式为：若第次抛掷的结果为反面朝上，则；结果为正面朝上，则.所有总项数为项的数列组成集合. （1）已知，且所有项的和为，求的概率； （2）可用软件产生类似的随机数列，也满足.若“”的概率为，“”的概率为，“且”的概率为，求“且”的概率； （3）在集合中任取两个不同元素、.记.的均值为，证明：. 20.（满分15分）记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 21.（满分15分）已知函数． （1）讨论的极值点个数； （2）证明：，； （3）若关于x的方程有两个不同实根，，求a的取值范围，并证明：． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷01 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12． ____________________ 13． ____________________ 14．___________________ ____________________ 15.____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 17．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷01 答题卡 ! 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 12 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共6个小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(13分) 17.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 0.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷01 答题卡 姓 名 准考证号： 注意事项 1.答题前， 考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.1 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.1 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5,正确填涂 选择题（每小题4分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 3 [A][B][C][D] 艾痴 7[A]B][C]D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C]D] 三、 填空题（每小题5分，共25分) 12 13. 妇 14 器 数学第1页（共6页） 请在各题且的答题区域内作答、超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(13分) 17.(13分) 数学第2页（共6页） 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效射 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 数学第3页（共6页） 请静题锋棘超墨色的第容究效！ 19.(15分) 数学第4页（共6页） 请在套题目的套题股域肉作套；韬田熏密超形苭限域的套奏宪效： 20.(15分) 数学第5页（共6页） 嘻在客辍目的套及域肉作套，整熏密超形幼瞿宪区域的答秦堯效灯 请在各题目 21.(15分) 数学第6页（共6页）2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷01 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.HA][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 13. 14 15. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共6个小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(13分) 17.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 0.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！