专题06 数列（期末复习讲义，10重难题型+分层验收）高一数学下学期沪教版

专题06 数列（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01基本量运算（选择填空基础） 题型02 由Sₙ求aₙ（大题高频第一问） 题型03递推公式求通项（难点压轴） 题型04 等差数列Sₙ最值问题 题型05数列四大求和（解答题必考） 题型06 等差、等比数列证明与判定 题型07 数学归纳法证明题 题型08数列单调性与参数范围问题 题型09无穷等比数列各项和（拓展题型） 题型10 数列与不等式压轴题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 数列基本概念 基础：可根据通项公式求数列任意项，掌握基础数列辨析，能直接套用公式由求。 中档：熟练掌握分段讨论方法，求解通项时必验证取值，规避增根、漏解问题。 拔高：可根据递推公式列举数列规律，读懂新定义数列题型，完成基础转化求解。 1. 必考基础小题，填空题高频考查，是数列板块入门核心考点； 2. 高频易错点：忽略单独验证，直接套用，是期末高频失分陷阱； 3. 常作为解答题第一小问铺垫考点。 等差数列（核心必考） 基础：掌握“知三求二”，熟练五个基本量的基础运算。 中档：灵活运用等差性质简化运算，掌握定义法、中项法证明等差数列。 拔高：利用二次函数性质求解最值，解决等差数列实际应用建模问题。 1. 全卷核心重点，选择、填空、解答题全覆盖，分值占比最高； 2. 基础题必考，中档题侧重性质运用，大题常设等差证明、基础计算题型； 3. 公式变形、性质活用是期末命题核心方向。 等比数列（重难点） 基础：熟练基本量运算，掌握等比数列定义判定，牢记求和公式分类讨论规则。 中档：活用等比中项、下标性质快速求值、化简，能规范证明等比数列。 拔高：解决等差、等比综合题型，掌握含参等比数列分类讨论，求解数列项、最值问题。 1. 必考重难点，易错点集中，区分度极高； 2. 期末高频失分点：求和忽略单独讨论、等比中项遗漏正负双解；3. 常与等差数列结合命制综合大题，填空压轴高频考查。 数列通项求解（大题必考） 基础：熟练掌握累加、累乘两种基础模型，能规范完成基础计算。 中档：熟练处理与混合型递推式子，通过作差消去求通项。 拔高：掌握简单递推式构造新数列的方法，解决非常规通项求解问题。 1. 解答题固定必考小问，是高一期末数学中档题分水岭； 2. 命题侧重常规基础模型，不考查复杂超纲构造方法； 3. 重点考查公式运用规范性、分类讨论思维。 数列求和（压轴必考） 基础：熟练运用公式求和、简单分组求和，保证计算零失误。 中档：掌握常规裂项相消方法，精准判断剩余项数，规范解题步骤。 拔高：熟练掌握错位相减四步解题法（列式、乘公比、错位相减、化简），攻克压轴题型。 1. 错位相减法为高一期末解答固定压轴考点； 2. 裂项相消高频出现在填空压轴题，分值高、套路固定； 3. 分组求和常结合奇偶分段数列命题，综合性强。 数列综合&新定义（拔高） 基础：可将综合数列拆分为基础等差、等比数列分别求解。 中档：熟练掌握奇偶项分组求解、分段求和的解题思路。 拔高：快速读懂新定义题型，将陌生数列问题转化为基础等差、等比模型求解。 1. 上海期末特色命题，每年必考1道新定义或分段数列题型； 2. 多用于填空压轴或解答题最后一问，是尖子生拉分核心； 3. 侧重考查数学建模、阅读理解、综合转化能力，无超纲知识点。 知识点01 数列基本概念 1. 数列定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列，记作。数列的每一个数叫做数列的项，第项记作，。 核心特征：数列定义域为正整数集，图像是平面直角坐标系中离散的孤立点，区别于连续函数。 2. 数列分类 按项数：有穷数列、无穷数列 按单调性：递增数列（）、递减数列（）、常数列（）、摆动数列 3. 通项公式与前项和公式（重点补充） （1）通项公式定义：，是刻画数列第项与项数对应关系的解析式，一个数列的通项公式不一定唯一，部分数列无通项公式。 通项公式两大分类： 显式通项：直接由表示，如等差、等比数列通项，可直接求任意项； 隐式通项（递推型）：通过项与项之间的关系间接定义，无直接形式，需通过累加、累乘、构造法求解显式通项。 （2）前项和公式定义：数列前项依次累加的结果，记作，核心定义式：。 前项和核心辨析： ：数列第一项的和即为首项本身； ：相邻前项和的差值为第项； ：可快速推导后项，是递推解题常用变形。 4. 与核心万能公式（必考重点拓展） 易错提醒+考场规范：由求必须分两步求解、一步验证。① 先利用时求通用表达式；② 单独计算时；③ 验证首项是否符合通用表达式，符合则统一通项，不符合则必须写分段通项公式，期末解答题不验证直接扣分。 高频结论补充：已知的函数解析式，若为无常数项的二次/一次函数，数列为等差数列；若为指数型函数，数列为等比数列（可用于快速判断数列类型）。 知识点02 等差数列 1. 定义 对于数列，若任意，都有（为常数），则为等差数列，为公差。 2. 核心公式 通项公式： 推广通项：（已知任意两项求公差、通项专用） 前n项和公式： 函数特征：（关于的一次函数）；（无常数项的二次函数） 3. 单调性 ，数列单调递增 ，数列单调递减 ，数列为常数列 4. 等差数列核心性质 1.下标和性质：若（），则 2.中项性质：（三项成等差的充要条件） 3.片段和性质：仍成等差数列 5. 等差数列四种判定方法 1.定义法（证明题首选）：（常数） 2.中项法： 3.通项法：（为常数） 4.求和法：（为常数，无常数项） 知识点03 等比数列 1. 定义 对于数列，，若任意，都有（为非零常数），则为等比数列，为公比。 硬性条件：等比数列所有项不为，公比 2. 核心公式 通项公式： 推广通项： 前n项和公式（必考分类讨论）： 3. 等比数列核心性质 1.下标和性质：若（），则 2.中项性质：（三项成等比的充要条件，三项均不为） 3.片段和性质：当时，成等比数列 4. 等比数列三种判定方法 1.定义法：（非零常数） 2.中项法： 3.通项法：（常数） 5. 单调性规律 或 ，数列递增 或 ，数列递减 ，常数列；，摆动数列 知识点04 递推数列求通项（期末解答高频） 核心三类基础递推模型，为期末必考题型，适配所有基础解答题第一小问。 1. 累加法 适用模型： 推导结论：，单独验证 2. 累乘法 适用模型： 推导结论：，单独验证 3. 构造等比数列法 适用模型：（，为常数） 构造方法：设，解得 结论：为以为公比的等比数列 知识点05 数学归纳法（沪教版必考证明题型） 1. 核心步骤（两步一结论，缺一不可） 奠基步骤：验证（通常）时，命题成立； 归纳递推：假设（）时命题成立，以此为条件，证明时命题也成立； 总结结论：由以上两步可得，命题对所有且恒成立。 2. 高频考点 常用于证明数列等式、数列不等式、整除问题，禁止跳过归纳假设直接代入验证，属于核心扣分点。 题型一 基本量运算（选择填空基础） 解｜题｜技｜巧 解题技巧：优先使用下标和、下标积性质简化计算，避免盲目列方程组硬解，大幅提升解题速度。 【典例1】．（24-25高一下·上海闵行·期末）设数列是以d为公差的等差数列，是其前n项和，，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．或为的最大值 【典例2】．（23-24高一下·上海·期末）若数列为等差数列，，，则_________. 【典例3】．（23-24高一下·上海·期末）在等比数列中，已知，，则公比______． 【典例4】．（23-24高一下·上海·期末）已知数列均为等差数列，设，且，，则使成立的的最大值为_____. 【变式1】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图1是边长为1的等边三角形，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”……依此进行“n次分形”，其中n为正整数.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度，要得到一个长度不小于30的分形图，则n的最小整数值是（取）（　　）    A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2】．（24-25高一下·上海·期末）已知等差数列的公差为1，前10项和为5，则_______. 【变式3】．（24-25高一下·上海浦东新·期末）等差数列中，则通项公式_________． 【变式4】．（23-24高一下·上海·期末）已知等比数列满足，，则______． 【变式5】．（24-25高一下·上海·期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，……”，意思是：有一个人要走378里路，第1天健步行走，从第2天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.由此可得，该人第6天走了________里路. 题型二 由Sₙ求aₙ（大题高频第一问） 答｜题｜模｜板 固定标准解题步骤： ① 求首项：令n=1，a₁=S₁； ② 求通式：令n≥2，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁； ③ 验证合并：检验n=1时的值是否符合n≥2的通项，符合则统一公式，不符合则分段书写。 【典例1】．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)令，试问：数列是否有最大项？若有，指出第几项最大；若没有，请说明理由． 【变式1】．（23-24高一下·上海·期末）设数列的前项和为．已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)若是公比为4的等比数列，且，，也是等比数列．设，若数列是严格减数列，求的取值范围． 【变式2】．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求所有使不等式成立的的取值集合． 【变式3】．（23-24高一下·上海松江·期末）已知数列的前项和为，数列是首项为3，公比为3的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若，是否存在正整数，使得依次成等差数列？若存在，求出所有的有序数组；若不存在，说明理由. 题型三 递推公式求通项（难点压轴） 【典例1】．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知数列的首项，且满足，则（    ） A．63 B．128 C．255 D．256 【典例2】．（24-25高一下·上海·期末）已知数列满足，且对任意正整数，恒有，则所有可能值的个数为_____. 【变式1】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知数列满足，则_________. 【变式2】．（24-25高一下·上海·期末）若数列满足，则最多有_____项 【变式3】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，.证明：当时，. 题型四 等差数列Sₙ最值问题 【典例1】．（24-25高一下·上海·期末）已知等差数列的前项和为，若，且，则的最大值为________． 【典例2】．（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知等差数列，是数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值，并求取最大值时的值. 【变式1】．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知等差数列，，……，则该数列的前n项和（    ） A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 【变式2】．（23-24高一下·上海·期末）设等差数列的公差为，其前项和为，且满足. (1)求的值； (2)当为何值时最大，并求出此最大值. 【变式3】．（24-25高一下·上海·期末）已知数列是等差数列，为数列的前项和，； (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 题型五 数列四大求和（解答题必考） 【典例1】．（22-23高一下·上海虹口·期末）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【典例2】．（24-25高一下·上海青浦·期末）某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为90%，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%． (1)求今年1月到12月该消毒剂的总产量（精确到升）； (2)从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在120升以内（不含120升）？ 参考公式：月产消毒剂中不合格的量=月产量×（1－月产品合格率） 【变式1】．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加. （参考数据：） (1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？ (2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元.那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？ 【变式2】．（24-25高一下·上海·期末）已知是首项为1的等差数列，是其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设是由数列及的公共项按照从小到大的顺序排列而成的数列，是其前项和，用直接写出的表达式； (3)设数列满足，，，是数列的前项和，若对于任意的正整数，恒成立，求的最小值. 【变式3】．（24-25高一下·上海·期末）设数列的前项和为，若，则称具有 “性质”． (1)已知数列具有＂性质M＂，其前5项依次为，求的取值范围； (2)已知数列各项均为正数，且成等差数列．判断是否具有 “性质”，并说明理由； (3)设数列是公比为的等比数列，若数列与都具有＂性质M＂，求的取值范围. 【变式4】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知函数. (1)求证为定值； (2)若数列的通项公式为（为正整数，、、、），求数列的前项和； (3)设数列满足，.设.若（2）中的满足，恒成立，试求的最大值. 题型六 等差、等比数列证明与判定 答｜题｜模｜板 解答题证明：仅使用定义法或中项法，严谨规范不扣分； 选择填空题：可直接用通项形式、求和公式形式快速判定，节省时间。 【典例1】．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知数列是等比数列，、、为正整数，则“”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【典例2】．（24-25高一上·上海·期末）已知数列的首项为，且满足 (1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【变式1】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）公元263年，刘徽首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得值为3.14，我国称这种方法为割圆术，直到1200年后，西方人才找到了类似的方法，后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率.我们作单位圆的外切和内接正边形，记外切正边形周长的一半为，内接正边形周长的一半为.通过计算容易得到:（其中是正边形的一条边所对圆心角的一半） (1)求的通项公式; (2)求证:对于任意正整数依次成等差数列; (3)试问对任意正整数是否能构成等比数列?说明你的理由. 【变式2】．（23-24高一下·上海·期末）对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”．已知，，． (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”， （ⅰ）求的值；     （ⅱ）比较和的大小，并说明理由． (2)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 【变式3】．（23-24高一下·上海·期末）设是给定的正整数．对于数列，，…，，令集合． (1)对于数列，，，直接写出集合；（用列举法表示） (2)设常数．若，，…，是以为首项，为公差的等差数列，求证：集合的元素个数为； (3)若，，…，是等比数列，且，公比．求集合的元素个数，并求集合中所有元素之和． 题型七 数学归纳法证明题 【典例1】．（24-25高一下·上海·期末）观察下列式子：为正整数，则可以猜想结论（     ）. A．； B． C．； D． 【典例2】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是__________. 【典例3】．（24-25高一下·上海·期末）（1）已知等差数列满足：，求实数的值； （2）已知数列的前项和满足：，证明：是等比数列，并求； （3）已知数列、满足：，用数学归纳法证明：对任意，点都在直线上． 【变式1】．（24-25高一上·上海静安·期末）设函数对任意实数都有 (1)若，猜想的函数解析式，并用数学归纳法对其进行证明 (2)设（1）中函数值域中所有正值从小到大依次排列的数列为，设的前项和为，小张同学猜想：，请你运用数学归纳法对其进行证明 (3)设，若在区间上严格递增，求：的取值范围 【变式2】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自年月以来的第个月（年月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量内销量与出口量的和）分别为和（单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：，（其中、为常数），已知万件，万件，万件. (1)求、的值，并写出与满足的关系式； (2)利用数学归纳法证明销售总量一直小于万件，并判断总销量是否逐月递增，说明理由. 【变式3】．（23-24高一下·上海徐汇·期末）对给定实数p，若数列满足以下三个条件：①，；②对任意正整数n，；③对任意正整数m､n，.则称数列为“数列”. (1)对前4项为2､､0､2的数列，可以是数列吗？说明理由； (2)若是数列，求的值； (3)是否存在常数p，使得存在数列，对任意正整数n，均满足？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由. 题型八 数列单调性与参数范围问题 解｜题｜技｜巧 核心技巧：作差法判定单调性，aₙ₊₁-aₙ>0恒成立则数列递增，aₙ₊₁-aₙ<0恒成立则递减； 注意：数列定义域为n∈N*，求参数最值需取整数边界，不可直接套用连续函数端点。 【典例1】．（23-24高一上·上海·期末）若（为正整数）是严格减数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】．（23-24高一下·上海徐汇·期末）数列的通项公式为，若为递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例3】．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知数列是严格增数列且（为正整数），则实数的取值范围为_____. 【变式1】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知数列的通项公式为，且为递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2024高一下·上海·期末）已知通项公式为的数列为严格增数列，则实数的取值范围是______. 【变式3】．（22-23高一下·上海虹口·期末）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项； (3)若，且数列是严格递增数列，求实数的取值范围. 【变式4】．（23-24高一下·上海·期末）已知数列满足．设． (1)求证：数列是等比数列，并求数列通项公式； (2)设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式5】．（23-24高一下·上海·期末）已知数列满足，（，）.又数列满足. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列是严格增数列，求的取值范围. 题型九 无穷等比数列各项和（拓展题型） 答｜题｜模｜板 适用条件：公比满足|q|<1且q≠0； 求和公式：S= 易｜错｜点｜拨 易错提醒：不满足|q|<1时，无无穷各项和，不可盲目套公式。 【典例1】．（24-25高一下·上海·期末）在等比数列中，，，则_____ 【典例2】．（24-25高一下·上海宝山·期末）设无穷等比数列所有奇数项之和为，则等比数列所有项的和的取值范围是___． 【典例3】．（23-24高一下·上海·期末）设数列为无穷等比数列，，且，则数列的公比__________. 【变式1】．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知无穷数列满足，，则______． 【变式2】．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知无穷等比数列，，，则公比___________． 【变式3】．（22-23高一下·上海静安·期末）设数列为等差数列，已知，， (1)求； (2)设，求的值. 【变式4】．（24-25高一下·上海·期末）已知为正整数，数列满足，，数列满足； (1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式和值； (2)若集合中有且仅有三个元素，求实数的取值范围. 题型十 数列与不等式压轴题 解｜题｜技｜巧 核心解题技巧：裂项放缩、等比放缩，将复杂通项放缩为可求和的标准数列，通过求和化简后证明不等式；需精准把控放缩尺度，避免放缩过度导致解题失败。 【典例1】．（24-25高一下·上海·期末）已知数列的前项和为，通项公式，数列的通项公式，数列满足． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和以及的值； (3)若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【典例2】．（24-25高一下·上海·期末）定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．已知数列中，，． (1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式： (2)记数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由； (3)若数列是“数列”，是否存在正整数，，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数，；若不存在，请说明理由． 【典例3】．（23-24高一下·上海·期末）设数列的前项和是，且满足，其中为实数，. (1)求证：是等比数列. (2)当，时，另一数列的通项公式是（其中常数是整数），对于任意，都有成立，求整数的最小值. (3)当，时，记集合，，将中所有元素按从小到大的顺序排列为一个新数列，求使成立的最小的的值. 【变式1】．（23-24高一下·上海·期末）设向量，函数在上的最小值与最大值的和为，又数列满足. (1)求证：； (2)求数列的通项公式； (3)设，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由. 【变式2】．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知数列的前n项和满足，． (1)求的通项公式； (2)若表示不超过x的最大整数，如，求的值； (3)设，，问是否存在正整数m，使得对任意正整数n均有恒成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由． 【变式3】．（22-23高一下·上海普陀·期末）某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月提高． (1)求今年1月到12月该消毒剂的总产量；（精确到1升） (2)从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在100升以内? 【变式4】．（22-23高一下·上海杨浦·期末）设数列的前项和是，且满足. (1)求的值； (2)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)若数列的通项公式是（其中常数是整数），对于任意，都有成立，求整数的最小值. 【变式5】．（2024高一下·上海闵行·期末）已知数列满足，，数列可以是无穷数列，也可以是有穷数列，如取时，可得无穷数列：1，2，，，...；取时，可得有穷数列：，，0. （1）若，求的值； （2）若对任意，恒成立.求实数的取值范围； （3）设数列满足，，求证：取数列中的任何一个数，都可以得到一个有穷数列. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知等比数列前项和为，则下列结论一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，有穷数列共有7项，其通项公式为.对于任意满足的正整数，记为中正数的个数，则下列情形不可能成立的是（   ）. A．且 B．且 C．且 D．且 3．（23-24高一下·上海·期末）对于不为常数数列的无穷数列，其中，设其前项的和为，若满足；对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“可控数列”．现给出下列两个命题： （1）存在等差数列为“可控数列”； （2）存在等比数列为“可控数列”．则下列说法正确的是（   ） A．命题（1）（2）均成立 B．命题（1）成立，命题（2）不成立 C．命题（1）不成立，命题（2）成立 D．命题（1）（2）均不成立 二、填空题 4．（25-26高一下·上海普陀·期末）__________. 5．（24-25高一下·上海·期末）已知数列的首项，（为正整数），则数列的通项公式________． 6．（24-25高一下·上海·期末）若数列满足，则数列的通项公式__________. 7．（24-25高一下·上海·期末）血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间（即从患者服药时开始到此刻的时间）为___________小时． 8．（25-26高一上·上海·期末）如图，已知三角形的面积为1，取线段的中点和线段的中点，得到三角形，再取线段的中点和线段的中点，得到三角形，这样的过程可以无限继续下去，则所有三角形面积的和是___________ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、选择题 9．（24-25高一下·上海·期末）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则数列严格增 B．若，则数列严格增 C．若数列严格增，则 D．若数列严格增，则 二、填空题 10．（24-25高一下·上海·期末）已知等差数列中，，，则________． 11．（24-25高一下·上海·期末）已知数列为等差数列，前项和为，若，，则________． 12．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知复数，满足，其中i为虚数单位，表示的共轭复数，则______． 三、解答题 13．（24-25高一下·上海金山·期末）记公差大于零的等差数列的前项和为，已知是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 14．（24-25高一下·上海黄浦·期末）设数列同时满足以下条件：①中的任意一项；②为减数列；③的所有项的和为m．记所有这样的不同数列的个数为．例如：当时，所有的不同数列为：与．从而． (1)求，； (2)若是首项为2，公比为2的等比数列，求； (3)若，则与之间有何关系？请求出的通项公式． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、填空题 15．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知，且，若，当且仅当___________时，取到最大值． 二、解答题 16．（25-26高一下·上海普陀·期末）已知是等差数列，是等比数列，且，，，. (1)求的通项公式； (2)设，（），求数列的前项和. 17．（23-24高一下·上海·期末）在数列中，已知． (1)求的通项公式； (2)计算：． 18．（24-25高一下·上海·期末）某果园有两种水果种植方案.方案一：第1年种植苹果，预计收获量为6吨，以后每年的收获量比上一年增加0.6吨；方案二：第1年种植梨，预计收获量为8吨，以后每年的收获量在上一年的基础上增加4%.果农小张在第1年初分别采用两种方案开始种植苹果和梨，设第（为正整数）年苹果的收获量为，梨的收获量为（单位：吨），可知，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列最大项的值（精确到0.1）以及相应项的序数，并说明其实际意义. 19．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知等比数列，前项和为，满足. (1)求的值及的通项公式； (2)求的值； (3)若数列满足，求数列的前项和. 20．（23-24高一下·上海·期末）一个如果定义在上的函数使得，则称是一个元置换，可以用一个的数表来简单表示，例如表示一个4元置换，对于一个元置换和，按照的递推关系定义的数列称为关于生成的数列． (1)对于3元置换，直接写出2关于的生成数列的前四项； (2)给出两条新定义： ①对于一个数列，如果存在正整数，使得对于任意正整数，都有，则称是一个周期数列，并称是的一个周期； ②对于一个元置换，如果存在正整数，使得对任意，都是关于的生成数列的一个周期，则称是元置换的一个周期． 对于5元置换，求的一个周期； (3)王老师有一个特制机关盒和一把特制钥匙，锁孔内部有10个互不相同的可移动的凹槽，钥匙上有10个对应的固定的齿，必须所有的齿与对应的凹槽同时匹配后，再按下开关，才能打开机关盒，钥匙每顺时针转动一圈，就会按照某个10元置换运作，将在第个位置的凹槽转移到第个位置上．机关盒原本处于打开状态，但一位贪玩的同学将机关盒关上后，又把钥匙顺时针转动了一圈，且操作不当弄坏了零件，导致钥匙只能继续顺时针转动，而且只有一次按下开关的机会，如果按下开关时所有的齿与凹槽没有匹配上，机关盒就会彻底报废．问：王老师还有办法打开机关盒吗？他要至少继续顺时针转动钥匙多少次，才能保证能打开机关盒？ 21．（24-25高一下·上海·期末）给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”． (1)设是首项为1，公比为的等比数列，，判断数列是否与“接近”，并说明理由； (2)设数列的前三项为：，是一个与“接近”的数列，求集合的元素个数； (3)设是公差为的等差数列，若存在数列满足：与“接近”，且在中至少有100个为正数，求的取值范围． 22．（23-24高一下·上海静安·期末）在某一个十字路口，每次亮绿灯的时长为（为时间单位：秒），那么每次绿灯亮时，在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口？ 该问题涉及车长、车距、车速，前方堵塞状况包括行人非机动车等因素．为了将问题简化，在路况车况驾驶状态等都良好的前提下，提出如下基本假设： 1．通过路口的车辆长度都相等； 2．等待通行时，前后相邻两辆车的车距都相等； 3．绿灯亮时，汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动，到达最高限速汽车开始匀速行驶； 4．离路口信号灯最近的第一辆车在绿灯亮后延迟时间开始动起来．前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，在延迟时间内，车辆保持静止； 5．按照交通安全法规行驶，行车秩序良好，没有碰擦或堵塞等现象发生． 一名建模爱好者收集数据整理如下： 1．车长设为，取，车距设为，取，第一辆车离停车线距离为； 2．加速度记作，取，汽车在匀加速运动时段行驶路程； 3．前后车启动延迟时间记为，取； 4．第辆车启动延迟时间为； 5．该十字路口限速，换算为； 6．第辆车到达最高限速的时间为取． 设第辆车在绿灯持续时间内驶离停车线的距离为．根据上述假设与数据，，依次类推．请你解决下列问题： (1)求；（结果保留一位小数，单位：） (2)对于第辆车，写出函数的分段表达式； (3)求在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01基本量运算（选择填空基础） 题型02 由Sₙ求aₙ（大题高频第一问） 题型03递推公式求通项（难点压轴） 题型04 等差数列Sₙ最值问题 题型05数列四大求和（解答题必考） 题型06 等差、等比数列证明与判定 题型07 数学归纳法证明题 题型08数列单调性与参数范围问题 题型09无穷等比数列各项和（拓展题型） 题型10 数列与不等式压轴题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 数列基本概念 基础：可根据通项公式求数列任意项，掌握基础数列辨析，能直接套用公式由求。 中档：熟练掌握分段讨论方法，求解通项时必验证取值，规避增根、漏解问题。 拔高：可根据递推公式列举数列规律，读懂新定义数列题型，完成基础转化求解。 1. 必考基础小题，填空题高频考查，是数列板块入门核心考点； 2. 高频易错点：忽略单独验证，直接套用，是期末高频失分陷阱； 3. 常作为解答题第一小问铺垫考点。 等差数列（核心必考） 基础：掌握“知三求二”，熟练五个基本量的基础运算。 中档：灵活运用等差性质简化运算，掌握定义法、中项法证明等差数列。 拔高：利用二次函数性质求解最值，解决等差数列实际应用建模问题。 1. 全卷核心重点，选择、填空、解答题全覆盖，分值占比最高； 2. 基础题必考，中档题侧重性质运用，大题常设等差证明、基础计算题型； 3. 公式变形、性质活用是期末命题核心方向。 等比数列（重难点） 基础：熟练基本量运算，掌握等比数列定义判定，牢记求和公式分类讨论规则。 中档：活用等比中项、下标性质快速求值、化简，能规范证明等比数列。 拔高：解决等差、等比综合题型，掌握含参等比数列分类讨论，求解数列项、最值问题。 1. 必考重难点，易错点集中，区分度极高； 2. 期末高频失分点：求和忽略单独讨论、等比中项遗漏正负双解；3. 常与等差数列结合命制综合大题，填空压轴高频考查。 数列通项求解（大题必考） 基础：熟练掌握累加、累乘两种基础模型，能规范完成基础计算。 中档：熟练处理与混合型递推式子，通过作差消去求通项。 拔高：掌握简单递推式构造新数列的方法，解决非常规通项求解问题。 1. 解答题固定必考小问，是高一期末数学中档题分水岭； 2. 命题侧重常规基础模型，不考查复杂超纲构造方法； 3. 重点考查公式运用规范性、分类讨论思维。 数列求和（压轴必考） 基础：熟练运用公式求和、简单分组求和，保证计算零失误。 中档：掌握常规裂项相消方法，精准判断剩余项数，规范解题步骤。 拔高：熟练掌握错位相减四步解题法（列式、乘公比、错位相减、化简），攻克压轴题型。 1. 错位相减法为高一期末解答固定压轴考点； 2. 裂项相消高频出现在填空压轴题，分值高、套路固定； 3. 分组求和常结合奇偶分段数列命题，综合性强。 数列综合&新定义（拔高） 基础：可将综合数列拆分为基础等差、等比数列分别求解。 中档：熟练掌握奇偶项分组求解、分段求和的解题思路。 拔高：快速读懂新定义题型，将陌生数列问题转化为基础等差、等比模型求解。 1. 上海期末特色命题，每年必考1道新定义或分段数列题型； 2. 多用于填空压轴或解答题最后一问，是尖子生拉分核心； 3. 侧重考查数学建模、阅读理解、综合转化能力，无超纲知识点。 知识点01 数列基本概念 1. 数列定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列，记作。数列的每一个数叫做数列的项，第项记作，。 核心特征：数列定义域为正整数集，图像是平面直角坐标系中离散的孤立点，区别于连续函数。 2. 数列分类 按项数：有穷数列、无穷数列 按单调性：递增数列（）、递减数列（）、常数列（）、摆动数列 3. 通项公式与前项和公式（重点补充） （1）通项公式定义：，是刻画数列第项与项数对应关系的解析式，一个数列的通项公式不一定唯一，部分数列无通项公式。 通项公式两大分类： 显式通项：直接由表示，如等差、等比数列通项，可直接求任意项； 隐式通项（递推型）：通过项与项之间的关系间接定义，无直接形式，需通过累加、累乘、构造法求解显式通项。 （2）前项和公式定义：数列前项依次累加的结果，记作，核心定义式：。 前项和核心辨析： ：数列第一项的和即为首项本身； ：相邻前项和的差值为第项； ：可快速推导后项，是递推解题常用变形。 4. 与核心万能公式（必考重点拓展） 易错提醒+考场规范：由求必须分两步求解、一步验证。① 先利用时求通用表达式；② 单独计算时；③ 验证首项是否符合通用表达式，符合则统一通项，不符合则必须写分段通项公式，期末解答题不验证直接扣分。 高频结论补充：已知的函数解析式，若为无常数项的二次/一次函数，数列为等差数列；若为指数型函数，数列为等比数列（可用于快速判断数列类型）。 知识点02 等差数列 1. 定义 对于数列，若任意，都有（为常数），则为等差数列，为公差。 2. 核心公式 通项公式： 推广通项：（已知任意两项求公差、通项专用） 前n项和公式： 函数特征：（关于的一次函数）；（无常数项的二次函数） 3. 单调性 ，数列单调递增 ，数列单调递减 ，数列为常数列 4. 等差数列核心性质 1.下标和性质：若（），则 2.中项性质：（三项成等差的充要条件） 3.片段和性质：仍成等差数列 5. 等差数列四种判定方法 1.定义法（证明题首选）：（常数） 2.中项法： 3.通项法：（为常数） 4.求和法：（为常数，无常数项） 知识点03 等比数列 1. 定义 对于数列，，若任意，都有（为非零常数），则为等比数列，为公比。 硬性条件：等比数列所有项不为，公比 2. 核心公式 通项公式： 推广通项： 前n项和公式（必考分类讨论）： 3. 等比数列核心性质 1.下标和性质：若（），则 2.中项性质：（三项成等比的充要条件，三项均不为） 3.片段和性质：当时，成等比数列 4. 等比数列三种判定方法 1.定义法：（非零常数） 2.中项法： 3.通项法：（常数） 5. 单调性规律 或 ，数列递增 或 ，数列递减 ，常数列；，摆动数列 知识点04 递推数列求通项（期末解答高频） 核心三类基础递推模型，为期末必考题型，适配所有基础解答题第一小问。 1. 累加法 适用模型： 推导结论：，单独验证 2. 累乘法 适用模型： 推导结论：，单独验证 3. 构造等比数列法 适用模型：（，为常数） 构造方法：设，解得 结论：为以为公比的等比数列 知识点05 数学归纳法（沪教版必考证明题型） 1. 核心步骤（两步一结论，缺一不可） 奠基步骤：验证（通常）时，命题成立； 归纳递推：假设（）时命题成立，以此为条件，证明时命题也成立； 总结结论：由以上两步可得，命题对所有且恒成立。 2. 高频考点 常用于证明数列等式、数列不等式、整除问题，禁止跳过归纳假设直接代入验证，属于核心扣分点。 题型一 基本量运算（选择填空基础） 解｜题｜技｜巧 解题技巧：优先使用下标和、下标积性质简化计算，避免盲目列方程组硬解，大幅提升解题速度。 【典例1】．（24-25高一下·上海闵行·期末）设数列是以d为公差的等差数列，是其前n项和，，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．或为的最大值 【答案】C 【知识点】求等差数列前n项和的最值、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列的前n项和公式，求出公差和首项之间的等量关系，分别判断各选项正误. 【详解】由可得，即，故B正确； 因为，所以，即A正确； 因为，，故，即C错误； 因为，，知是递减数列，又，所以为最大值，即D正确. 故选：C. 【典例2】．（23-24高一下·上海·期末）若数列为等差数列，，，则_________. 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等差数列的性质，根据条件求出公差，进而得解. 【详解】因为数列为等差数列，， 所以公差，则. 故答案为：. 【典例3】．（23-24高一下·上海·期末）在等比数列中，已知，，则公比______． 【答案】 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】将用首项和公比来表示，建立关于公比的等式求解即可． 【详解】解：， 解得：． 故答案为：． 【典例4】．（23-24高一下·上海·期末）已知数列均为等差数列，设，且，，则使成立的的最大值为_____. 【答案】33 【知识点】求二次函数的解析式、利用等差数列的性质计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】数列均为等差数列，则通项公式为关于的一次函数，，则必定为关于的二次函数，然后借助已知条件求出通项公式，解不等式即可. 【详解】由等差数列的通项公式性质，知道必定为关于的二次函数，且，， 则为二次函数顶点. 设，将代入，知， 则，当时，单调递减， 计算知道，而， 故的最大值为：33. 故答案为：33． 【变式1】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图1是边长为1的等边三角形，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”……依此进行“n次分形”，其中n为正整数.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度，要得到一个长度不小于30的分形图，则n的最小整数值是（取）（　　）    A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】依题意可得“每次分形”图的长度可看成是首项为4，公比为的等比数列，从而可得到“n次分形”图的长度为，列出不等式，结合，即可求解． 【详解】依题意可得“n次分形”图的长度是“次分形”图的长度的， 由“一次分形”图的长度为， 所以“每次分形”图的长度可看成是首项为4，公比为的等比数列， 所以“n次分形”图的长度为， 故，即，两边取对数得， 所以， 又，故n的最小整数值是9． 故选：B. 【变式2】．（24-25高一下·上海·期末）已知等差数列的公差为1，前10项和为5，则_______. 【答案】 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列的前项和公式求解. 【详解】由题意，解得， 故答案为： 【变式3】．（24-25高一下·上海浦东新·期末）等差数列中，则通项公式_________． 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】计算等差数列的基本量，利用等差数列通项公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，所以， 所以， 故答案为：. 【变式4】．（23-24高一下·上海·期末）已知等比数列满足，，则______． 【答案】 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】由已知结合等比数列的通项公式可求公比及首项，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，由已知得， 解得，所以. 故答案为：. 【变式5】．（24-25高一下·上海·期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，……”，意思是：有一个人要走378里路，第1天健步行走，从第2天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.由此可得，该人第6天走了________里路. 【答案】6 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据给定条件，利用等比数列前项和公式列式求解. 【详解】依题意，此人每天走的路程构成以为公比的等比数列，前6项和， 则，解得，所以（里）. 故答案为：6 题型二 由Sₙ求aₙ（大题高频第一问） 答｜题｜模｜板 固定标准解题步骤： ① 求首项：令n=1，a₁=S₁； ② 求通式：令n≥2，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁； ③ 验证合并：检验n=1时的值是否符合n≥2的通项，符合则统一公式，不符合则分段书写。 【典例1】．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)令，试问：数列是否有最大项？若有，指出第几项最大；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)有最大项且最大项为第8，9项 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、确定数列中的最大（小）项 【分析】（1）利用，结合已知条件求解数列的通项公式； （2）由（1）可得，然后通过判断其单调性可求得结果. 【详解】（1）当时，， 所以． 又当时，也满足上式， 所以． （2）由（1）知， 当时，， 所以. 所以当时，，即；当时，，即；当时，，即. 所以数列有最大项且最大项为第8，9项. 【变式1】．（23-24高一下·上海·期末）设数列的前项和为．已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)若是公比为4的等比数列，且，，也是等比数列．设，若数列是严格减数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、根据数列的单调性求参数、等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）由将转化成即可根据等差数列定义和通项公式求解，进而得解. （2）由已知条件可求出，进而得，根据数列是严格减数列，则即可求解. 【详解】（1）因为， 故即， 所以当时， 左右两边除以有， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 故由得， （2）由（1）以及题意得， 即，， 所以，故， 因为数列是严格减数列， 所以， 所以，即， 故，即的取值范围为. 【变式2】．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求所有使不等式成立的的取值集合． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用与的关系式，分类讨论与两种情况即可得解； （2）利用等比数列前项和公式整理得，从而判断得单调递增，再检验计算即可得解. 【详解】（1）数列的前项和， 当时，， 当时，满足上式， ， 则； （2）记， 则， 显然，当时，单调递增， 经计算，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故使不等式成立的的取值集合为． 【变式3】．（23-24高一下·上海松江·期末）已知数列的前项和为，数列是首项为3，公比为3的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若，是否存在正整数，使得依次成等差数列？若存在，求出所有的有序数组；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据通项公式与前项和的关系，结合累加法求解即可； （2）将题意转换为存在，使得成立，即求的最大值.再计算的正负区间，确定的最大项即可； （3）逐步分析，先判断当时不满足，再分析当，时也不满足，从而得到，再分析时有两组解或，再证明当时，不成等差数列即可 【详解】（1）因为…① 所以当时，…② ①-②得：，整理得 则由累加法可得： 整理得： 又当时，上式也成立，所以的通项公式为 （2）由题知，，因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即求的最大值. 又，故当时，，即，当时，，故当或时，取得最大值,所以的取值范围为 （3），由（2）因为，且，故若，则，，故，即不成等差数列，故. 若，则，又，故不成等差数列，故. 当时，此时，此时，解得.此时或，，，为或 当时，因为，且，故，即，故，即当时，.又，故，故不成等差数列. 综上所述，有序数组为或 【点睛】本题主要考查了根据递推公式求解通项公式的方法，同时也考查了数列中的恒成立问题，以及整数类的存在性问题，需要根据题意逐步分析是否满足条件，并且适当用放缩的方法证明不等式，属于难题 题型三 递推公式求通项（难点压轴） 【典例1】．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知数列的首项，且满足，则（    ） A．63 B．128 C．255 D．256 【答案】C 【知识点】由递推关系式求通项公式 【分析】根据递推公式可证明是等比数列，求得其通项公式可求. 【详解】由可得，且， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 故，则. 故选：C 【典例2】．（24-25高一下·上海·期末）已知数列满足，且对任意正整数，恒有，则所有可能值的个数为_____. 【答案】4951 【知识点】整数与整除、由递推关系式求通项公式、累加法求数列通项 【分析】由题意，每个步骤有两种选择：0或，所以的最小为1，最大时，利用累加可求得最大值为14851，又，所以，而在区间中被3整除余1的有4951个即可求解. 【详解】由题意，每个步骤有两种选择：0或，所以的最小为1， 最大时，则， 累加得，即最大值为14851， 又， 我们用数学归纳法证明：在集合中，所有子集的和可以取到的所有整数（空集的元素和设为零，）. 证明：当时， ，此时有 四个子集，空集、， 它们的元素和为，故所有子集的和可以取到的所有整数， 设当时，在集合中，所有子集的和可以取到的所有整数， 则当时，集合， 此时中的每个整数为与某子集的元素的和的和， 又时，， 故所有子集的元素和为 由数学归纳法可知原命题成立. 由已证命题可得集合的所有子集的和可以取到的所有整数， 所以，而在区间中被3整除余1的有4951个， 故答案为：4951. 【变式1】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知数列满足，则_________. 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式 【分析】由可得，从而得到为常数数列，进而可求. 【详解】因为，，所以， 所以为常数数列，且，所以. 故答案为：. 【变式2】．（24-25高一下·上海·期末）若数列满足，则最多有_____项 【答案】102 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，结合求解即可. 【详解】，，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，又， 所以， 当时，，即， 所以最多有102项. 故答案为：102. 【变式3】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，.证明：当时，. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【知识点】错位相减法求和、由递推关系证明等比数列、数列不等式恒成立问题、由递推关系式求通项公式 【分析】（1）分类讨论得出数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，从而可求得通项公式； （2）由（1）求出，用错位相减法求得和后，然后根据设新数列，结合数列单调性进而证明结论. 【详解】（1）因为， 所以当时，，即， 所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此； 当时，， 因为，所以，所以为常数， 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此. 故数列的通项公式为 （2）由（1）知， ① ② ①②得， 所以 令， 则对恒成立， 所以时，， 所以当时，， 即当时， 题型四 等差数列Sₙ最值问题 【典例1】．（24-25高一下·上海·期末）已知等差数列的前项和为，若，且，则的最大值为________． 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和的最值、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由等差数列前项和的性质可得公差，再利用二次函数性质可求最大值. 【详解】设等差数列的公差为，， ， 解得，， 所以当时，取得最大值为. 故答案为：. 【典例2】．（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知等差数列，是数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值，并求取最大值时的值. 【答案】(1) (2)8， 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）由等差数列基本量的计算即可求解公差和首项，进而可求通项， （2）根据等差数列求和公式，结合二次函数的性质即可求解最值. 【详解】（1）由题意， （2） 当时，取最大值为8. 【变式1】．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知等差数列，，……，则该数列的前n项和（    ） A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 【答案】A 【知识点】二次函数法求等差数列前n项和的最值 【分析】根据通项首项为负，公差为正判断即可. 【详解】易得该等差数列首项为负，公差为正， 故该数列的前n项和， 故当或时取得最小值，无最大值. 故选：A 【变式2】．（23-24高一下·上海·期末）设等差数列的公差为，其前项和为，且满足. (1)求的值； (2)当为何值时最大，并求出此最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算、二次函数法求等差数列前n项和的最值、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）运用等差数列的求和公式和性质求解即可； （2）求出，用二次函数知识来解题即可． 【详解】（1），则，， 故的值为. （2）由（1）知道，，， ， 由于开口向下，且对称轴为. 而，则或者时，最大. ． 【变式3】．（24-25高一下·上海·期末）已知数列是等差数列，为数列的前项和，； (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 【答案】(1) (2)和 【知识点】二次函数法求等差数列前n项和的最值、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据等差数列通项公式解题即可; （2）根据等差数列的前项和公式，再由二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为数列是等差数列，所以， 因为，所以， 所以， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，数列的前项和， 因为，所以当或时，有最大值，即. 所以数列的最大项和. 题型五 数列四大求和（解答题必考） 【典例1】．（22-23高一下·上海虹口·期末）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】由Sn求通项公式、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】（1）利用的关系求解数列的通项公式； （2）根据数列的通项公式，分为和两种情况对化简求解即可. 【详解】（1）当时，，即， 当时，， 时，满足上式， 所以. （2）因为，所以当时，；当时，， 当时，， 当时， ， 所以. 【典例2】．（24-25高一下·上海青浦·期末）某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为90%，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%． (1)求今年1月到12月该消毒剂的总产量（精确到升）； (2)从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在120升以内（不含120升）？ 参考公式：月产消毒剂中不合格的量=月产量×（1－月产品合格率） 【答案】(1)升 (2)12 【知识点】求等比数列前n项和、指数函数模型的应用（2） 【分析】（1）设今年第个月生产了升消毒剂，再根据，结合等比数列的求和公式求解即可； （2）设第个月生产的消毒剂中不合格的量为升，由题意，再分析的单调性，结合，即可求解. 【详解】（1）设今年第个月生产了升消毒剂，则有， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以今年1月到12月该消毒剂的总产量为：（升） （2）设第个月生产的消毒剂中不合格的量为升，由（1）有， 所以， 所以，由，解得， 所以当时，， 又， ， 所以从第12月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在120升以内. 【变式1】．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加. （参考数据：） (1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？ (2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元.那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？ 【答案】(1)约万元 (2)11年 【知识点】等比数列的简单应用、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）利用乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加8%，即可求出他在第5年的年薪； （2）求出小李在甲公司工作连续工作n年的工资总收入，小李在乙公司工作10年的总收入，建立不等式，即可得出结论． 【详解】（1）小李在乙公司工作第年的年薪为, 小李在乙公司连续工作年，万元， 所以，小李在乙公司连续工作5年，他在第5年的年薪约是万元； （2）由题意，小李在甲公司工作连续工作年的工资总收入为， 小李在乙公司工作10年的总收入， 则， 即, ，， 小李在甲公司至少要连续工作11年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入. 【变式2】．（24-25高一下·上海·期末）已知是首项为1的等差数列，是其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设是由数列及的公共项按照从小到大的顺序排列而成的数列，是其前项和，用直接写出的表达式； (3)设数列满足，，，是数列的前项和，若对于任意的正整数，恒成立，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3)627 【知识点】二项展开式的应用、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、求等比数列前n项和 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的基本量运算可得答案； （2）设求出n为偶数，进而求出两数列的公共项通项公式，利用等比数列求和公式可得答案； （3）利用错位相减法求出，结合单调性和恒成立可得答案. 【详解】（1）设的公差为，的公比为，则， 解得，所以，. （2）设，则， ， 因为为正整数，所以能被4整除，所以为偶数， 即公共项为，. （3）因为，所以，所以； 又，所以， ， ， 两式相减可得 . ， . 因为，所以； 所以， 时，令， 则， 即为递增数列，所以，解得， 故的最小值为. 【变式3】．（24-25高一下·上海·期末）设数列的前项和为，若，则称具有 “性质”． (1)已知数列具有＂性质M＂，其前5项依次为，求的取值范围； (2)已知数列各项均为正数，且成等差数列．判断是否具有 “性质”，并说明理由； (3)设数列是公比为的等比数列，若数列与都具有＂性质M＂，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)具有 “性质”，理由见解析； (3). 【知识点】求等比数列前n项和、利用定义求等差数列通项公式、数列新定义、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据新定义列不等式求参数范围； （2）应用关系及等差数列的定义求通项公式，再结合定义判断结论； （3）由题设可得，讨论的范围，结合等比数列的前n项和公式把不等式组等价转化可得结果. 【详解】（1）由题意得且，可得， 故，即的取值范围为. （2）由题设，有，则， 两式相减得，，则， 因为，所以，故， 由得， 所以是首项、公差均为1的等差数列，故， 所以，故具有“性质M”. （3）由数列是公比为的等比数列，得， 因为具有“性质M”，所以， ①当时，， 所以时，数列具有“性质M”，故满足题意． ②当时，，则． 因为数列具有“性质M”，所以对任意恒成立. 当时，等价于， 等价于对任意恒成立． 因为，所以， 所以， 因为二次函数在为增函数， 所以，故， 所以当时，数列具有“性质M”． 当时，等价于1）， 等价于，对任意恒成立， 所以， 由得，，解得，与矛盾. 综上所述，的取值范围是． 【变式4】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知函数. (1)求证为定值； (2)若数列的通项公式为（为正整数，、、、），求数列的前项和； (3)设数列满足，.设.若（2）中的满足，恒成立，试求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】裂项相消法求和、指数幂的运算、数列不等式恒成立问题、倒序相加法求和 【分析】（1）利用指数的运算性质可证得为定值； （2）利用（1）中的结论可得出，并计算出的值，利用倒序相加法可求得； （3）由已知条件可得出，利用裂项相消法可求出，分析数列的单调性，求出的最小值，根据可得出关于的不等式，即可得出正整数的最大值. 【详解】（1）证明：， 因此，. （2）解：由（1）可知，， 则，其中，即， 所以，，且， ，① ，② ①②得，因此，. （3）解：因为，， 对任意的，，则，则， 所以，， 因为，则，所以，， 所以，数列单调递增， 因为，，， 当时，的最小值为， 因为恒成立，则，解得， 所以，正整数的最大值为. 题型六 等差、等比数列证明与判定 答｜题｜模｜板 解答题证明：仅使用定义法或中项法，严谨规范不扣分； 选择填空题：可直接用通项形式、求和公式形式快速判定，节省时间。 【典例1】．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知数列是等比数列，、、为正整数，则“”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、等比数列下标和性质及应用 【分析】结合等比数列的性质判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可判断出答案. 【详解】由题意知数列是等比数列，设其公比为q， 则，， 当时，显然成立； 当时，不妨取，此时，满足， 但不成立， 故“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 【典例2】．（24-25高一上·上海·期末）已知数列的首项为，且满足 (1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见详解； (2) 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、分组（并项）法求和、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据等差数列的定义分析怎么，再根据等差数列通项公式求； （2）分类讨论n的奇偶性，利用并项求和法运算求解. 【详解】（1）因为，且，可知， 可得，即， 可知数列是以首项为，公差为4的等差数列， 可得，所以. （2）由（1）可知：， 若n为偶数，则； 若n为奇数，则； 综上所述：. 【变式1】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）公元263年，刘徽首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得值为3.14，我国称这种方法为割圆术，直到1200年后，西方人才找到了类似的方法，后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率.我们作单位圆的外切和内接正边形，记外切正边形周长的一半为，内接正边形周长的一半为.通过计算容易得到:（其中是正边形的一条边所对圆心角的一半） (1)求的通项公式; (2)求证:对于任意正整数依次成等差数列; (3)试问对任意正整数是否能构成等比数列?说明你的理由. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)能；理由见解析. 【知识点】三角恒等变换的化简问题、等差中项的应用、等比中项的应用、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）利用圆内接正多边形的意义，结合直角三角函数求解作答. （2）（3）利用（1）的结论及已知，借助三角恒等变换、等差数列、等比数列定义推理作答. 【详解】（1）如图，等腰中，，则， 所以.    （2）显然，， 由已知及（1）得，，，，， 并且，因此， 所以对于任意正整数依次成等差数列. （3）因为，， 则，，并且， 因此， ， 所以，对任意正整能构成等比数列. 【变式2】．（23-24高一下·上海·期末）对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”．已知，，． (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”， （ⅰ）求的值；     （ⅱ）比较和的大小，并说明理由． (2)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 【答案】(1)（ⅰ），（ⅱ），理由见解析 (2)不存在，理由见解析 【知识点】等比中项的应用、数学归纳法、数列新定义 【分析】（1）（ⅰ）由题设定义得出，，再计算的值；（ⅱ）先比较前四项，再由数学归纳法证明，时，； （2）由题设定义得出与的通项公式，进而构造函数证明数列中每一项，都有中的项与之相等，再由反证法假设数列中存在连续三项构成等比数列，由等比中项的性质推出矛盾，从而得出证明. 【详解】（1）解：（ⅰ）由题意，，； 所以 （ⅱ）当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 当，时，，数学归纳法证明如下 （1）当时，，命题成立； （2）假设当时，命题成立， 即，则当时， （*） ∵，，即命题也成立由 由（1）（2）可知，当，时，． （2），则，， 设，即，则， 设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等， 单调递增，所以新， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到， 当时，等式不成立；当时，为偶数，等式不成立； 所以等式无正整数解． 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列． 【点睛】方法点睛：对于新定义题目，必须先看清楚题目是如何定义的，然后依据定义小心验证自己的理解是否有偏差题目，了解之后再考虑提炼第二问的解决方法. 【变式3】．（23-24高一下·上海·期末）设是给定的正整数．对于数列，，…，，令集合． (1)对于数列，，，直接写出集合；（用列举法表示） (2)设常数．若，，…，是以为首项，为公差的等差数列，求证：集合的元素个数为； (3)若，，…，是等比数列，且，公比．求集合的元素个数，并求集合中所有元素之和． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，． 【知识点】等差数列的单调性、求等比数列前n项和、集合新定义 【分析】（1）由新定义和集合的列举法，可得所求集合； （2）运用等差数列为递增数列，以及性质，即可得到所求个数； （3）由等比数列的通项公式和性质，结合新定义计算可得所求结论． 【详解】（1）因为数列，，，则. （2）因为构成以为首项，()为公差的等差数列， 所以有()，以及()． 此时，集合中的元素有以下大小关系： ． 因此，集合中含有个元素． （3）依题意可得，设， 设集合，． ①先证中的元素个数为，即从集合中任取两个元素，它们的和互不相同． 不妨设，于是． 显然，即． 假设，可得， 即． 因为，，所以，又， 于是，等式不成立． 因此，． 同理可证． ②再证． 不妨设，于是． 显然，． 假设，可得， 即， 因为，所以，又，于是， 等式不成立． 因此，． 由①②，得，且． 此时，集合中的元素个数为． 集合中所有元素的和为． 题型七 数学归纳法证明题 【典例1】．（24-25高一下·上海·期末）观察下列式子：为正整数，则可以猜想结论（     ）. A．； B． C．； D． 【答案】C 【知识点】数与式中的归纳推理 【分析】由归纳推理结合题意可得答案. 【详解】注意到， 则可猜想：，AD错误， 或，B错误C正确. 故选：C 【典例2】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是__________. 【答案】 【知识点】数学归纳法 【分析】由题意时，，即可得到第一步需要验证的不等式． 【详解】因为，且可知：的第一个取值为， 由题意可知，当时，， 所以第一步需验证的不等式为． 故答案为：. 【典例3】．（24-25高一下·上海·期末）（1）已知等差数列满足：，求实数的值； （2）已知数列的前项和满足：，证明：是等比数列，并求； （3）已知数列、满足：，用数学归纳法证明：对任意，点都在直线上． 【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）证明见解析 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、等差中项的应用、数学归纳法、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）利用等差数列的性质即可求解； （2）利用第n项和前n项和的关系可得，继而变形为，结合等比数列定义即可证明结论，再利用等比数列的通项公式即可求得答案； （3）利用数学归纳法即可证明. 【详解】（1）由题意知等差数列满足：， 则， 则，即， 即. 经验证时满足题意，故. （2）由于， 故当时，，即， 则，即， 是以为首项，为公比的等比数列， 则，. （3）要证点在直线上，即证， 下面用数学归纳法证明． ①当时，，，等式成立， ②假设当（为正整数）时，等式成立，即，即， 那么当时，，等式也成立， 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任意都成立， 故原命题成立. 【变式1】．（24-25高一上·上海静安·期末）设函数对任意实数都有 (1)若，猜想的函数解析式，并用数学归纳法对其进行证明 (2)设（1）中函数值域中所有正值从小到大依次排列的数列为，设的前项和为，小张同学猜想：，请你运用数学归纳法对其进行证明 (3)设，若在区间上严格递增，求：的取值范围 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】数学归纳法证明数列问题、根据函数的单调性求参数值 【分析】（1）先根据，求，，猜测的表达式，再用数学归纳法证明.注意一定要分情况讨论. （2）利用数学归纳法证明等式：. （3）先用累加法求的不等式，再根据二次函数的单调性求参数的取值范围. 【详解】（1）令得：. 又， 令，则； 令，，则. 猜测：当时，.（下面利用数学归纳法证明） 首先，当时，猜测成立； 其次，假设（）时，即猜测成立，. 则当时，. 即时，猜测也成立. 即当时，. 又令，，则； 令，则； 令，，则. 猜测：当为负整数时，亦有：.（数学归纳法证明略） 综上：，. （2）（1）中函数值域中所有正值从小到大依次排列的数列为，则. 当时，，，命题成立； 假设时，命题成立，即. 当时，， 所以 . 所以当时，命题也成立. 综上可知：，成立. （3）因为，， 所以. 所以，，，，，. 各式相加得：. 因为在区间上严格递增，所以函数的对称轴， 所以. 【点睛】关键点点睛：再第一问中，一定要注意对，，分情况讨论，最后综合得到答案. 【变式2】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自年月以来的第个月（年月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量内销量与出口量的和）分别为和（单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：，（其中、为常数），已知万件，万件，万件. (1)求、的值，并写出与满足的关系式； (2)利用数学归纳法证明销售总量一直小于万件，并判断总销量是否逐月递增，说明理由. 【答案】(1)，， (2)证明见解析，总销量逐月递增，理由见解析 【知识点】递推数列的实际应用、判断数列的增减性、数学归纳法证明数列问题、求递推关系式 【分析】（1）依题意可得，分别令、，可得出关于、的方程组，即可解得这两个未知数的值，进而可得出与满足的关系式； （2）利用数学归纳法可证得，再利用作差法可证得数列为单调递增数列，即可得出结论. 【详解】（1）依题意可得， 所以，，① ，② 联立①②可得，，所以，. （2）因为，，猜想，对任意的，， 假设当时，猜想成立，即， 则当时，， 这说明，当时，猜想也成立，故对任意的，. 因为，则，即， 因此，数列为单调递增数列，即总销量逐月递增. 【变式3】．（23-24高一下·上海徐汇·期末）对给定实数p，若数列满足以下三个条件：①，；②对任意正整数n，；③对任意正整数m､n，.则称数列为“数列”. (1)对前4项为2､､0､2的数列，可以是数列吗？说明理由； (2)若是数列，求的值； (3)是否存在常数p，使得存在数列，对任意正整数n，均满足？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)1 (3)存在，2 【知识点】数列新定义、数学归纳法证明数列问题、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】(1)由题意考查的值即可说明数列不是数列； (2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定的值； (3)构造数列，易知数列是的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数的值. 【详解】（1）由性质③结合题意可知，矛盾，故前4项的数列，不可能是数列. （2）性质①， 由性质③，因此或，或， 若，由性质②可知，即或，矛盾； 若，由有，矛盾. 因此只能是. 又因为或， 所以或. 若，则， 不满足，舍去. 当，则前四项为:0，0，0，1， 下面用归纳法证明： 当时，经验证命题成立，假设当时命题成立， 当时： 若，则，利用性质③： ，此时可得：； 否则，若，取可得：， 而由性质②可得：，与矛盾. 同理可得： ，有； ，有； ，又因为，有 即当时命题成立，证毕. 综上可得：，. （3）令，由性质③可知： ， 由于， 因此数列为数列. 由（2）可知: 若； ，， 因此，此时，，满足题意. 题型八 数列单调性与参数范围问题 解｜题｜技｜巧 核心技巧：作差法判定单调性，aₙ₊₁-aₙ>0恒成立则数列递增，aₙ₊₁-aₙ<0恒成立则递减； 注意：数列定义域为n∈N*，求参数最值需取整数边界，不可直接套用连续函数端点。 【典例1】．（23-24高一上·上海·期末）若（为正整数）是严格减数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】根据题意，转化为对于恒成立，进而得到对于恒成立，即可求解. 【详解】由数列是严格减数列，所以对于恒成立， 又由， 可得，即对于恒成立， 又由，所以. 故选：C. 【典例2】．（23-24高一下·上海徐汇·期末）数列的通项公式为，若为递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】由递增数列得，化简即可求的取值范围. 【详解】因为为递增数列，所以， 因为，所以， 化简可得， 因为在上单调递增，且恒大于0， 则在上单调递减， 则数列递减，因为， 所以当时，，所以. 故选：A 【典例3】．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知数列是严格增数列且（为正整数），则实数的取值范围为_____. 【答案】 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】由题意可知对任意的，，参变分离得出，结合数列的单调性可得出实数的取值范围. 【详解】因为数列是严格增数列，则对任意的，， 即，可得， 显然数列为递减数列，故， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式1】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知数列的通项公式为，且为递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】根据数列为单调递增数列，可得到恒成立，即可求得答案. 【详解】∵数列的通项公式为，数列是递增数列， ∴，恒成立 即，恒成立，而随n的增大而增大， 即当时，取得最小值2，则， 所以实数 的取值范围是 ， 故选：B. 【变式2】．（2024高一下·上海·期末）已知通项公式为的数列为严格增数列，则实数的取值范围是______. 【答案】 【知识点】判断数列的增减性、根据数列的单调性求参数 【分析】依题意有，解得，求出即可得k的取值范围. 【详解】，若为递增数列，则， 有，解得， 则，时，所以，则k的取值范围为. 故答案为：. 【变式3】．（22-23高一下·上海虹口·期末）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项； (3)若，且数列是严格递增数列，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据数列的单调性求参数、利用an与sn关系求通项或项、确定数列中的最大（小）项 【分析】（1）利用与的关系求通项公式即可； （2）求出数列的通项公式，利用数列的单调性求出最大项； （3）分离出，利用数列的单调性求出的取值范围即可. 【详解】（1）当时，， 当时，,不满足上式， 故数列的通项公式为； （2）由已知得， 当时，， ，则，， 所以当时，单调递增， ， 所以数列的最大项是该数列的第项； （3）由已知得，， 则，解得， 当时， ， 要使，即， 设， 则， 所以数列为单调递增数列，即， 综上，实数的取值范围为. 【变式4】．（23-24高一下·上海·期末）已知数列满足．设． (1)求证：数列是等比数列，并求数列通项公式； (2)设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、根据数列的单调性求参数、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）由数列的递推式，两边同时加上2，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求； （2）求得，推得递减，可得，由不等式恒成立思想，可得所求取值范围． 【详解】（1）证明：由， 可得， 即数列是首项和公比均为3的等比数列， 则，即； （2）数列， 则， 可得递减，可得，对任意正整数，不等式恒成立， 可得，即有，即的取值范围是. 【变式5】．（23-24高一下·上海·期末）已知数列满足，（，）.又数列满足. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列是严格增数列，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】由定义判定等比数列、判断数列的增减性、根据数列的单调性求参数、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）根据给定的递推公式，裂项变形，再利用等比数列定义判断即得. （2）由（1）求出数列的通项，再由单调性列出不等式，分离参数，借助单调性求解即得. 【详解】（1）当时，，即，亦即， 又，即，所以数列是等比数列. （2）由（1），，即，， 依题意，对任意的正整数成立， 即对任意的正整数成立， 而数列严格增，且对任意的正整数成立， 因此，又，解得， 所以的取值范围是. 题型九 无穷等比数列各项和（拓展题型） 答｜题｜模｜板 适用条件：公比满足|q|<1且q≠0； 求和公式：S= 易｜错｜点｜拨 易错提醒：不满足|q|<1时，无无穷各项和，不可盲目套公式。 【典例1】．（24-25高一下·上海·期末）在等比数列中，，，则_____ 【答案】8或 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、无穷等比数列各项的和 【分析】先求等比数列的第三项和公比，再根据无穷等比数列的求和公式计算即得. 【详解】设等比数列公比为， 由题意，. 所以或. 又. 当时，； 当时，. 故答案为：8或 【典例2】．（24-25高一下·上海宝山·期末）设无穷等比数列所有奇数项之和为，则等比数列所有项的和的取值范围是___． 【答案】． 【知识点】无穷等比数列各项的和 【分析】根据给定条件，利用无穷等比数列所有项和公式，结合公比的范围分类求解. 【详解】设无穷等比数列的公比为，则， 由无穷等比数列所有奇数项之和为，得， 则该无穷等比数列所有项和为， 当时，，当时，， 所以所求范围是. 故答案为：. 【典例3】．（23-24高一下·上海·期末）设数列为无穷等比数列，，且，则数列的公比__________. 【答案】 【知识点】无穷等比数列各项的和 【分析】根据给定条件，利用无穷递缩等比数列所有项和公式列式计算即得. 【详解】依题意，，，解得. 故答案为： 【变式1】．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知无穷数列满足，，则______． 【答案】 【知识点】数列的极限、无穷等比数列各项的和 【分析】依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，设的前项和为，根据等比数列求和公式求出，再取极限即可. 【详解】因为，，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以， 设的前项和为，则， 所以. 故答案为： 【变式2】．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知无穷等比数列，，，则公比___________． 【答案】 【知识点】无穷等比数列各项的和 【分析】依题意得到，再利用无穷等比数列和的公式得到与，解方程组即可得解. 【详解】因为无穷等比数列，，则，， 所以是首项为，公比为的等比数列， 又，得，即， 则，又， 则，得． 故答案为：． 【变式3】．（22-23高一下·上海静安·期末）设数列为等差数列，已知，， (1)求； (2)设，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、无穷等比数列各项的和 【分析】（1）根据已知条件，由求解即可； （2）利用（1）中结论，得到数列为首项为，公比为的等比数列，从而得解. 【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为， 则，解得，， 所以. （2）因为，则， 所以，， 所以数列为首项为，公比为的等比数列， 故. 【变式4】．（24-25高一下·上海·期末）已知为正整数，数列满足，，数列满足； (1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式和值； (2)若集合中有且仅有三个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；； (2) 【知识点】由递推关系证明等比数列、根据数列的单调性求参数、写出等比数列的通项公式、无穷等比数列各项的和 【分析】（1）根据数列的递推公式构造数列，利用等比数列的定义证明并求出其通项与数列的无穷项的和； （2）利用（1）结论将题设不等式化简为，求出数列的前几项，判断该数列在时的增减性，根据题意即得实数的取值范围. 【详解】（1）由可得，即得， 因，则得，， 故数列是等比数列，首项为，公比为， 则.于是. （2）由（1）可得，则可化成， 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，. 且当时，，即数列从第三项起单调递减， 要使集合中有且仅有三个元素，需使， 即实数的取值范围为. 题型十 数列与不等式压轴题 解｜题｜技｜巧 核心解题技巧：裂项放缩、等比放缩，将复杂通项放缩为可求和的标准数列，通过求和化简后证明不等式；需精准把控放缩尺度，避免放缩过度导致解题失败。 【典例1】．（24-25高一下·上海·期末）已知数列的前项和为，通项公式，数列的通项公式，数列满足． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和以及的值； (3)若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)，； (3). 【知识点】求等比数列前n项和、数列不等式恒成立问题、由递推关系证明等比数列、数列的极限 【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可； （2）用等比数列求和公式以及极限的运算计算求解； （3）由题化简可得，利用数列的单调性计算求出最大值，即可得解． 【详解】（1）由，， 因为（）， ∴数列是公比为，首项为1的等比数列. （2）因为，所以， . （3）因为，所以， 所以，所以恒成立，所以， 设，易知，，， 当时，，令，故单调递减， 即， 所以，所以. 【典例2】．（24-25高一下·上海·期末）定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．已知数列中，，． (1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式： (2)记数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由； (3)若数列是“数列”，是否存在正整数，，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数，；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)是“数列”，理由见解析； (3)存在，且，. 【知识点】由定义判定等比数列、利用定义求等差数列通项公式、数列不等式能成立（有解）问题、数列新定义 【分析】（1）根据题设得，进而知是以首项为，公差的等差数列，写出通项公式； （2）由题设得，利用关系得，应用构造法得是以首项为，公比为的等比数列，求数列通项公式，即可得结论； （3）根据已知得，假设存在正整数，，使得，进而求出对应参数值，即可得结论. 【详解】（1）因为，且数列为“数列”， 所以，即， 所以是以首项为，公差的等差数列， 所以； （2）由已知条件可得，，故，所以． 当时，根据通项公式可得， ①②得，又也成立，所以，                                       设，即，所以，又， 所以是以首项为，公比为的等比数列． 所以，即，                                  所以， 所以是以首项为，公比为的等比数列，故数列是“数列”； （3）由数列是“数列”得， 所以，即，所以， 所以时，， 当时上式也成立，故．                假设存在正整数，，使得，即， 由，可知，所以， 又因为，为正整数，所以，                     又， 所以，则．                           ，则， ，，故存在满足条件的正整数，，且，. 【典例3】．（23-24高一下·上海·期末）设数列的前项和是，且满足，其中为实数，. (1)求证：是等比数列. (2)当，时，另一数列的通项公式是（其中常数是整数），对于任意，都有成立，求整数的最小值. (3)当，时，记集合，，将中所有元素按从小到大的顺序排列为一个新数列，求使成立的最小的的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)14 (3)36 【知识点】分组（并项）法求和、由递推关系证明等比数列、数列不等式能成立（有解）问题、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据题意推得，进而变形利用等比数列的定义证明等比数列； （2）根据（1）和条件结合得到，通过判断单调性，从而得出整数的最小值； （3）根据条件得出中所有元素按从小到大的顺序排列为一个新数列，进而求前n项和，再利用求解最小的的值； 【详解】（1）证：时，，作差得 即，由题，，故（且） 而时，，即也成立 由易得，故，即是以为公比的等比数列. （2）由（1），是以1为首项，为公比的等比数列，所以， 由题意，，则， 所以时，，单调递增；时，，单调递减， 又，只需， 即，所以整数的最小值为14. （3）由（1），，，故. 对于数列的项，其前面的项1，3，5，…，，共有项，，共有项， 所以为数列的项， 且. 由（项），，， 因为，，所以，，. ， 因此所求的最小值为36. 【变式1】．（23-24高一下·上海·期末）设向量，函数在上的最小值与最大值的和为，又数列满足. (1)求证：； (2)求数列的通项公式； (3)设，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或9 【知识点】数列不等式恒成立问题、利用an与sn关系求通项或项、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据数量积的坐标运算与二次函数的单调性求解即可； （2）根据数列前项和与通项公的关系求解即可； （3）利用，结合作除法根据求解的最大项即可. 【详解】（1）证明：由已知， 而函数在上是增函数，所以 （2）因为，所以， 两式相减，得，当时不满足， 所以数列的通项公式为 （3）因为， 又， 当，即时随的增大而增大. 又，即，即当或9时取最大值. 所以存在或9，使得成立 【变式2】．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知数列的前n项和满足，． (1)求的通项公式； (2)若表示不超过x的最大整数，如，求的值； (3)设，，问是否存在正整数m，使得对任意正整数n均有恒成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)存在，最大值为674. 【知识点】数列不等式恒成立问题、利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和 【分析】（1）利用给定的递推公式求得，结合“当时，”进行计算即可. （2）在时，可得，再求和确定范围，按定义即可作答. （3）利用裂项相消法求和，再判断单调性即可求解作答. 【详解】（1）因为， 则当时，， 又因为， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列， 于是得，即， 当时，，又满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，当时，， 则 当时，，即对任意的，都有， 所以 （3）由（1）知，， 则有， 因，则数列单调递增，， 因对任意正整数均有成立，于是得，解得，而，则， 所以存在正整数，使得对任意正整数均有总成立，的最大值为674. 【变式3】．（22-23高一下·上海普陀·期末）某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月提高． (1)求今年1月到12月该消毒剂的总产量；（精确到1升） (2)从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在100升以内? 【答案】(1)19896 (2)13 【知识点】求等比数列前n项和、数列不等式能成立（有解）问题、判断数列的增减性 【分析】（1）设今年第n个月生产了升消毒剂，再根据，结合等比数列的求和公式求解即可； （2）设第n个月生产的消毒剂中不合格的量为升，由题意，再分析的单调性，结合，求解即可 【详解】（1）设今年第n个月生产了升消毒剂，则，，从而所求年产量为（升）. 故今年消毒剂的年产量为19896升. （2）设第n个月生产的消毒剂中不合格的量为升， 由题意，，. 则，由，得到， 故当时，， 而， ， 故从第13个月起，不合格的量将始终小于100升. 故从第13个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在100升以内. 【变式4】．（22-23高一下·上海杨浦·期末）设数列的前项和是，且满足. (1)求的值； (2)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)若数列的通项公式是（其中常数是整数），对于任意，都有成立，求整数的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)14 【知识点】数列不等式恒成立问题、利用an与sn关系求通项或项、由递推关系证明等比数列、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）中令即可求解； （2）利用与的关系，等比数列的定义及通项公式求解即可； （3）由题意，利用的单调性求解. 【详解】（1），解得. （2），时，， 两式作差得到， 即，由于， 所以是以1为首项，为公比的等比数列， 所以. （3），由题意，， ， 所以时，，单调递增； 时，，单调递减， ，， 由题意只需，即， 所以整数的最小值为14. 【变式5】．（2024高一下·上海闵行·期末）已知数列满足，，数列可以是无穷数列，也可以是有穷数列，如取时，可得无穷数列：1，2，，，...；取时，可得有穷数列：，，0. （1）若，求的值； （2）若对任意，恒成立.求实数的取值范围； （3）设数列满足，，求证：取数列中的任何一个数，都可以得到一个有穷数列. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析. 【知识点】数列不等式恒成立问题、由递推数列研究数列的有关性质、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】（1）根据题意，得到，逐项计算，求出，即可得出结果； （2）根据，得出，因此只需即可，由题中条件，求出，得出不等式求解，即可得出结果； （3）由题意，得到，设，，逐项计算，得出，即可证明结论成立. 【详解】（1）由得， ∴，，，； （2）若，则，， 即，故只要即可， 因为，所以，∴，解得； （3）由得， 设，，则 ，，， 故有项，为有穷数列. 即取数列中的任何一个数，都可以得到一个有穷数列. 【点睛】本题主要考查由递推公式求数列中的项，考查由数列不等式恒成立求参数的问题，考查有穷数列的证明，属于常考题型. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知等比数列前项和为，则下列结论一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】对于选项ABD，举特殊等比数列排除即可；对于选项C，可分类讨论公比和两种情况证明，从而得解． 【详解】对于选项A，可列举公比的等比数列， 显然满足，但，故A错误； 对于选项B，可列举公比的等比数列， 显然满足，但，故B错误； 对于选项C，因为，即，所以， 当公比时，，故有； 当公比时，，故，，仍然有； 综上：，故C正确； 对于选项D，可列举公比的等比数列， 显然满足，但，故D错误． 故选：C． 2．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，有穷数列共有7项，其通项公式为.对于任意满足的正整数，记为中正数的个数，则下列情形不可能成立的是（   ）. A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【知识点】数列新定义、判断数列的增减性 【分析】利用二次函数的性质可得，逐项分别判断即可. 【详解】，又， 所以， 对于A，若且，则即可，故A是可能，不符合题意， 对于B，若，则可知，则，故B不可能，符合题意， 对于C，若且，则即可，故C是可能的，不符合题意， 对于D，若且，则即可，故D是可能的，不符合题意. 故选：B. 3．（23-24高一下·上海·期末）对于不为常数数列的无穷数列，其中，设其前项的和为，若满足；对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“可控数列”．现给出下列两个命题： （1）存在等差数列为“可控数列”； （2）存在等比数列为“可控数列”．则下列说法正确的是（   ） A．命题（1）（2）均成立 B．命题（1）成立，命题（2）不成立 C．命题（1）不成立，命题（2）成立 D．命题（1）（2）均不成立 【答案】C 【知识点】数列新定义、数列的极限、判断命题的真假 【分析】对于（1），依题意化简不等式得，根据等差数列的通项公式与求和公式的特征，利用极限思想即可判断；对于（2）取，计算，取，即可判断条件满足. 【详解】（1）若等差数列不是常数列，则公差，则可看成关于的一次函数， 由得，可看成关于的二次函数， 当足够大时，根据极限的思想可判断上式不成立，故命题（1）不成立； （2）取，则， 则对任意的正整数，不妨取，，符合题意. 故命题（2）正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查新定义数列的概念应用，属于难题. 解题方法为，按照新定义数列要求，将不等式进行化简和计算判断，运用极限思想排除命题（1）；对于等比数列，要说明存在性命题的正确，只需寻找到符合条件的数列和的值即可. 二、填空题 4．（25-26高一下·上海普陀·期末）__________. 【答案】 【知识点】分组（并项）法求和、求等差数列前n项和 【详解】 5．（24-25高一下·上海·期末）已知数列的首项，（为正整数），则数列的通项公式________． 【答案】 【知识点】由递推关系证明等比数列、写出等比数列的通项公式、由递推关系式求通项公式 【分析】由数列递推式，利用构造法得为等比数列，再根据等比数列通项公式求解即可. 【详解】， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列， ， 故答案为：. 6．（24-25高一下·上海·期末）若数列满足，则数列的通项公式__________. 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用和的关系，降标作差即可求出. 【详解】因，则， 两式相减得， 当时，，不符合上式， 故. 故答案为： 7．（24-25高一下·上海·期末）血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间（即从患者服药时开始到此刻的时间）为___________小时． 【答案】 【知识点】等差数列与等比数列综合应用、利用定义求等差数列通项公式、写出等比数列的通项公式 【分析】设检测第次时，给药时间为，根据等差数列的定义得，设当给药时间为小时的时候，患者血药浓度为，血药浓度峰值为，根据等比数列的定义得，进而求得，即可求给药时间. 【详解】设检测第次时，给药时间为，则是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以， 设当给药时间为小时的时候，患者血药浓度为，血药浓度峰值为， 则数列是首项为，公比为0.4的等比数列，所以， 令，即，解得， 当血药浓度为峰值的时，给药时间为． 故答案为： 8．（25-26高一上·上海·期末）如图，已知三角形的面积为1，取线段的中点和线段的中点，得到三角形，再取线段的中点和线段的中点，得到三角形，这样的过程可以无限继续下去，则所有三角形面积的和是___________ 【答案】 【知识点】无穷等比数列各项的和 【分析】根据三角形面积性质，结合等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】因为三角形的面积为1，取线段的中点和线段的中点，得到三角形， 所以三角形的面积为， 又因为再取线段的中点和线段的中点，得到三角形， 所以三角形的面积为， 所以三角形面积构成的数列为： ，，，， 所以该数列是以为首项，为公比的无穷等比数列， 所以所有三角形面积的和是. 故答案为： 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、选择题 9．（24-25高一下·上海·期末）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则数列严格增 B．若，则数列严格增 C．若数列严格增，则 D．若数列严格增，则 【答案】D 【知识点】前n项和与通项关系、求等比数列前n项和、等比数列的单调性、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】A项、B项、C项可通过举反例判断，由数列是单调递增可证得，，进而可判断D项. 【详解】设等比数列,, 对于A，由，得，则，即， 所以当时，满足，但不是单调递增，故A错误； 对于B，由，得，则， 所以当时，满足，满足，但不是单调递增，故B错误； 对于C，当时，由，，此时满足数列单调递增,但， 故C错误； 对于D，由数列是单调递增，则，所以,故， 即，所以，且， 又因为所以即，故D正确. 故选:D 二、填空题 10．（24-25高一下·上海·期末）已知等差数列中，，，则________． 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由等差数列前n项和公式得，结合已知及等差数列的性质和通项公式得，即可得. 【详解】由题设， 由，，则， 设数列的公差为，所以， 易得，故， 所以. 故答案为： 11．（24-25高一下·上海·期末）已知数列为等差数列，前项和为，若，，则________． 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】应用等差数列求和公式结合项的性质计算求解. 【详解】数列为等差数列，前项和为， 因为，，则． 故答案为：. 12．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知复数，满足，其中i为虚数单位，表示的共轭复数，则______． 【答案】2025 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的相等、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】由知，，依题意得，，进而可得. 【详解】由得， 所以，，由知，， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以； 数列为摆动数列，所以， 故. 故答案为：. 三、解答题 13．（24-25高一下·上海金山·期末）记公差大于零的等差数列的前项和为，已知是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】裂项相消法求和、等比中项的应用、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）由等比中项的性质及等差数列的通项公式可得结果； （2）由等差数列的前项和公式及裂项相消法求前项和可得结果. 【详解】（1）由已知，，即， 解得（舍）或， . （2）由（1）得，， ， 14．（24-25高一下·上海黄浦·期末）设数列同时满足以下条件：①中的任意一项；②为减数列；③的所有项的和为m．记所有这样的不同数列的个数为．例如：当时，所有的不同数列为：与．从而． (1)求，； (2)若是首项为2，公比为2的等比数列，求； (3)若，则与之间有何关系？请求出的通项公式． 【答案】(1)， (2)48 (3)， 【知识点】数列新定义、写出等比数列的通项公式、求等差数列前n项和、累加法求数列通项 【分析】（1）根据定义可列举求值； （2）由定义可按规律列举求值； （3）根据题意，然后利用累加法求通项即可. 【详解】（1）当时，所有的不同数列为：，， ，， 当时，所有的不同数列为：，， ,,及共12种，， 所以，. （2）由题知， 设,不全为零， 则 , 则，，，，，， ，， . （3），， ，即， ， ， 累加得，又， ， 所以，. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、填空题 15．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知，且，若，当且仅当___________时，取到最大值． 【答案】2或3/3或2 【知识点】数列新定义、数列求和的其他方法、累加法求数列通项、数量积的运算律 【分析】利用累加法可得 , 利用向量的数量积可得 , 从而化简 , 利用二次函数的性质即可得. 【详解】因为 , 所以 ， 所有的式子相加可得 , 因为 , 且 ， 所以 ， 所以 ， 其对称轴方程为 , 又为整数, 所以 或 3 时, 取得最大值. 故答案为: 2或3. 【点睛】关键点睛：理解新定义，利用累加法得 公式, 利用向量的数量积、数列的求和、二次函数的最值等知识综合解题，考查运算求解能力，属于较难题. 二、解答题 16．（25-26高一下·上海普陀·期末）已知是等差数列，是等比数列，且，，，. (1)求的通项公式； (2)设，（），求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】（1）运用等比数列、等差数列通项公式计算即可； （2）运用分组求和及等差数列、等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为， 已知，，则，则，， 又因为，，则，， 根据等差数列的通项公式，则，即，解得， 所以等差数列的通项公式为. （2）由（1）知，，，则， 因为，（），所以， 则数列前项和为， 其中，， 因此，即数列的前项和为. 17．（23-24高一下·上海·期末）在数列中，已知． (1)求的通项公式； (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【知识点】构造法求数列通项、裂项相消法求和、等差数列的简单应用 【分析】（1）依题意得，而，则数列为等差数列，即可求解； （2）由裂项相消求和． 【详解】（1）解：由，得，得，而， 则数列为等差数列，其首项为1，公差为1， 则， 故的通项公式为：， （2）由（1）知，， 所以 ． 18．（24-25高一下·上海·期末）某果园有两种水果种植方案.方案一：第1年种植苹果，预计收获量为6吨，以后每年的收获量比上一年增加0.6吨；方案二：第1年种植梨，预计收获量为8吨，以后每年的收获量在上一年的基础上增加4%.果农小张在第1年初分别采用两种方案开始种植苹果和梨，设第（为正整数）年苹果的收获量为，梨的收获量为（单位：吨），可知，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列最大项的值（精确到0.1）以及相应项的序数，并说明其实际意义. 【答案】(1)； (2)；；答案见解析. 【知识点】写出等比数列的通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、确定数列中的最大（小）项 【分析】（1）应用等差数列等比数列通项公式计算求解； （2）根据已知通项公式作差得出最大值是即可求解. 【详解】（1）因为为以6为首项，以为公差的等差数列，所以； 因为为以8为首项，以为公比的等比数列，所以； （2）， 当，即时，； 当，即时，； 所以当时，取得最大值，所以数列最大项的值为， 相应项的序数是，实际意义是第18年苹果的收获量比梨的收获量多的最大； 19．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知等比数列，前项和为，满足. (1)求的值及的通项公式； (2)求的值； (3)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】分组（并项）法求和、前n项和与通项关系、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据与的关系求出前3项，再由题意知为等比数列即可求出及公比和首项即可求解； （2）把（1）的结论代入化简，再根据等比数列前项和公式即可求解； （3）分组求和即可求解. 【详解】（1）由可得， ， ， 因为数列是等比数列，所以， 即，所以，. 所以，，符合题意； （2）由（1）知，，所以， 令，则，， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以. （3）因为， 所以. 20．（23-24高一下·上海·期末）一个如果定义在上的函数使得，则称是一个元置换，可以用一个的数表来简单表示，例如表示一个4元置换，对于一个元置换和，按照的递推关系定义的数列称为关于生成的数列． (1)对于3元置换，直接写出2关于的生成数列的前四项； (2)给出两条新定义： ①对于一个数列，如果存在正整数，使得对于任意正整数，都有，则称是一个周期数列，并称是的一个周期； ②对于一个元置换，如果存在正整数，使得对任意，都是关于的生成数列的一个周期，则称是元置换的一个周期． 对于5元置换，求的一个周期； (3)王老师有一个特制机关盒和一把特制钥匙，锁孔内部有10个互不相同的可移动的凹槽，钥匙上有10个对应的固定的齿，必须所有的齿与对应的凹槽同时匹配后，再按下开关，才能打开机关盒，钥匙每顺时针转动一圈，就会按照某个10元置换运作，将在第个位置的凹槽转移到第个位置上．机关盒原本处于打开状态，但一位贪玩的同学将机关盒关上后，又把钥匙顺时针转动了一圈，且操作不当弄坏了零件，导致钥匙只能继续顺时针转动，而且只有一次按下开关的机会，如果按下开关时所有的齿与凹槽没有匹配上，机关盒就会彻底报废．问：王老师还有办法打开机关盒吗？他要至少继续顺时针转动钥匙多少次，才能保证能打开机关盒？ 【答案】(1) (2) (3)有办法， 【知识点】数列新定义、递推数列的实际应用、由递推数列研究数列的有关性质、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】（1）直接根据生成数列的定义即可； （2）先确定所有可能的生成数列的周期，再确定的一个周期； （3）先证明需要转动的次数加后一定是的倍数，从而得到转动次数至少是，最后再验证转动次可以保证打开机关盒，即可得到答案. 【详解】（1）直接根据，，，得，，. 所以前四项为. （2）直接根据，，知关于的生成数列分别为： ，，，，. 这些数列的最小周期为或，所以正整数是的一个周期当且仅当既是的倍数也是的倍数，即是的倍数. 从而，的一个周期是. （3）若要保证转动钥匙次以后机关盒一定成功打开，即要保证对任意的置换，都是的周期. 一方面，若对任意的置换，都是的周期： 特别地，对，考虑置换，是的周期. 注意到关于的生成数列为，该数列的最小周期为， 故是的倍数. 从而对，是的倍数，故特别地，是的倍数. 而两两互质，故是的倍数，从而，得； 另一方面，若，则. 直接验证可知，是中每个数的倍数. 由于对任意的置换和任意的，设关于的生成数列为. 由于是单射和满射，故其存在逆映射. 由于，故在中必有一对相等的数. 则由，，可知，这里的定义是个的复合. 此即，所以，从而对任意的正整数都有，即. 这表明是数列的周期，而，故是的倍数. 所以是数列的周期. 以上讨论表明，对任意的置换和任意的，都是数列的周期. 所以，对任意元置换，都是的周期，从而满足条件. 综合以上两方面可知，至少继续顺时针转动钥匙次，才能保证能打开机关盒. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于理解置换的定义，基于置换的定义研究相应生成数列的周期，从而解决所求问题. 21．（24-25高一下·上海·期末）给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”． (1)设是首项为1，公比为的等比数列，，判断数列是否与“接近”，并说明理由； (2)设数列的前三项为：，是一个与“接近”的数列，求集合的元素个数； (3)设是公差为的等差数列，若存在数列满足：与“接近”，且在中至少有100个为正数，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)3个 (3) 【知识点】数列新定义 【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断； （2）由新定义可得，求得的范围，即可得到所求个数； （3）运用等差数列的通项公式可得，讨论公差，，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围． 【详解】（1）（1）是， 理由：是首项为1，公比为的等比数列， 可得，， 则， 可得数列与接近. （2）（2）与 “接近”，， ， 由于,其中, 互不相等，有3个元素. （3）与“接近”， ， 是公差为的等差数列，， ①当时，则，此时中无正数； ②当时，存在， 满足：，即与“接近”， 满足：， 即这100个都为正数； 综上，的取值范围是. 22．（23-24高一下·上海静安·期末）在某一个十字路口，每次亮绿灯的时长为（为时间单位：秒），那么每次绿灯亮时，在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口？ 该问题涉及车长、车距、车速，前方堵塞状况包括行人非机动车等因素．为了将问题简化，在路况车况驾驶状态等都良好的前提下，提出如下基本假设： 1．通过路口的车辆长度都相等； 2．等待通行时，前后相邻两辆车的车距都相等； 3．绿灯亮时，汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动，到达最高限速汽车开始匀速行驶； 4．离路口信号灯最近的第一辆车在绿灯亮后延迟时间开始动起来．前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，在延迟时间内，车辆保持静止； 5．按照交通安全法规行驶，行车秩序良好，没有碰擦或堵塞等现象发生． 一名建模爱好者收集数据整理如下： 1．车长设为，取，车距设为，取，第一辆车离停车线距离为； 2．加速度记作，取，汽车在匀加速运动时段行驶路程； 3．前后车启动延迟时间记为，取； 4．第辆车启动延迟时间为； 5．该十字路口限速，换算为； 6．第辆车到达最高限速的时间为取． 设第辆车在绿灯持续时间内驶离停车线的距离为．根据上述假设与数据，，依次类推．请你解决下列问题： (1)求；（结果保留一位小数，单位：） (2)对于第辆车，写出函数的分段表达式； (3)求在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口． 【答案】(1)， (2) (3)至多有7辆汽车通过该十字路口 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）根据已知条件可得答案； （2）对第辆车，列出函数的分段表达式，相当于已经解决一般化的问题． 通过对小汽车三个运动阶段的分析，整理可得答案； （3）由于十字路口亮绿灯的时长为，求的最大，分别计算到可得答案. 【详解】（1）， ； （2）对第辆车，列出函数的分段表达式，相当于已经解决一般化的问题． 通过对小汽车三个运动阶段的分析，整理得： ， 其中，， 或者写成 ； （3）由于十字路口亮绿灯的时长为，即， 于是，该实际问题可表述为数学问题：求的最大，与计算的方法相同，计算， ， 第8辆车没有行驶到停车线时绿灯已经结束，没能通过十字路口． 在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向至多有7辆汽车通过该十字路口， 【点睛】思路点睛：利用数学建模，根据题意这次建模就只考虑小轿车的情况，根据小轿车的长度差距不大，对相关因素进行分析，从而可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设即可. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $