专题02 用样本估计总体5题型训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦用样本估计总体核心考点，以5大题型构建从基础计算到综合应用的逻辑链条，强化数据意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |频率分布直方图计算|6题|考查频率、频数、矩形高度等基础计算|数据可视化基础，为后续数字特征分析铺垫| |百分位数计算|3题|含数据排序、区间定位与插值计算|衔接数据分布特征，体现样本估计的精确性| |众数/中位数/平均数应用|7题|涵盖直接计算、实际情境应用及直方图估计|核心数字特征，反映数据集中趋势| |方差/标准差求解|4题|包括简单计算、分组数据及合并样本方差|刻画数据离散程度，完善统计量体系| |频率分布直方图综合|4题|整合图表分析、数字特征与实际问题|综合应用前4模块知识，提升数据分析与建模能力|

专题02 用样本估计总体 【题型1 频率分布直方图的相关计算问题】 【题型2 百分位数的计算】 【题型3 众数、中位数、平均数的应用】 【题型4 方差、标准差的求解及应用】 【题型5 有关频率分布直方图综合应用】 【题型1 频率分布直方图的相关计算问题】 1．（24-25高一下·北京通州·期末）某市为了减少水资源浪费，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了200户用户居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则用水量小于1.5立方米的用户数为（    ） A．20 B．30 C．50 D．60 2．（2025·广东深圳·一模）某地区教研机构对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了200分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这些学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在内的学生人数为（   ）    A．300 B．400 C．600 D．1200 3．（2025·辽宁沈阳·二模）为了了解学校质量监测成绩，现随机抽取该校200名学生的成绩作为样本进行分析，并绘制频率分布直方图，若该频率分布直方图的组距为10，且样本中成绩在区间这一组内的学生有40人，则在频率分布直方图中该组数据对应的矩形高度为（   ） A．0.02 B．0.2 C．0.04 D．0.4 4．（23-24高三上·天津·阶段检测）为了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，对所得的体重数据（单位：）进行分组，区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．画出频率分布直方图（如图所示），已知第一组，第二组和第三组的频率之比为，且第一组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（    ） A．48 B．5 C．54 D．60 5．（24-25高一下·云南昭通·期末）某品牌电动汽车公司为了解车主使用电动车辅助驾驶功能的情况，进行了问卷调查，从中抽取了100位车主进行抽样分析，得出这100位车主每人在100次驾驶途中使用辅助驾驶功能的次数的频率分布直方图如图，则________． 6．（24-25高一下·天津·阶段检测）为了解人们对环保知识的认知情况，某调查机构对A地区随机选取n个居民进行了环保知识问卷调查(满分为100分)，并根据问卷成绩(不低于60分记为及格)绘制成如图所示的频率分布直方图(分为，，，，，六组)，若问卷成绩最后三组频数之和为360，则下列结论正确的是______. ① ②问卷成绩在内的频率为0.3 ③ ④以样本估计总体，若对地区5000人进行问卷调查，则约有1250人不及格 【题型2 百分位数的计算】 7．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）数据的分位数为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 8．（24-25高一下·安徽合肥·期末）一组数据按从小到大排列为：1，2，4，6，7，10，．这组数据的第60百分位数等于他们的平均数，则为（    ） A．12 B．15 C．17 D．19 9．（24-25高一下·河南商丘·期末）某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了名学生，得到这名学生对食堂用餐质量给出的评分数据（评分均在[50，100]内），将所得数据分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，估计学生对食堂用餐质量的评分的第百分位数为（   ） A．82.5 B．81.5 C．87.5 D．85 【题型3 众数、中位数、平均数的应用】 10．（23-24高一下·广西南宁·期末）高二（1）班有40名学生，其中男生有16名，已知男生平均体重为68.4kg，总平均体重为60.1kg，则女生的平均体重约为（   ） A．55.8kg B．54.6kg C．52.4kg D．51.8kg 11．（24-25高一下·河北雄安·期末）样本数据的中位数为（   ） A．5.5 B．6 C．6.5 D．7 12．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）样本数据2，8，13，13，20的众数为（    ） A．2 B．8 C．13 D．20 13．（24-25高一下·广西来宾·期末）抽样调查了某班30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）．在这组数据的平均数、中位数、众数和方差中，鞋厂最感兴趣的是（   ） 鞋码号 33 34 35 36 37 人数 2 6 20 1 1 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 14．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知数据，，，的平均数为5，数据，，，的平均数为6，则数据，，…，，，，…，的平均数为（   ） A． B．5 C．6 D． 15．（2024·四川成都·模拟预测）某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生的成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），估计该校高三学生此项体育成绩的中位数为_______.（结果保留整数）    16．（24-25高一下·四川巴中·期末）某大品牌家电公司从销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间（单位：百万元）内，将其分成5组：，，，，，并整理得到如右的频率分布直方图，据此估计销售员工销售额的平均值为__________（百万元），（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 【题型4 方差、标准差的求解及应用】 17．（24-25高一下·福建福州·期末）样本数据3，5，8，2，4，2的方差是___________ ； 18．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）衡阳市一中高一某班45名学生成立了A、B两个数学兴趣小组，A组25人，B组20人，经过一个月的强化培训后进行了一次测试，在该次测试中，A组的平均成绩为82分，方差为8，B组的平均成绩为86.5分，方差为2，则在这次测试中全班学生成绩的方差为________. 19．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分，且前5位同学的成绩分别是70，76，72，70，72．则这6位同学成绩的标准差________． 20．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知60个样本数据的平均数为3，其中，则这60个数据的方差为______. 【题型5 有关频率分布直方图综合应用】 21．（24-25高一下·山东济宁·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的上四分位数； (3)已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 22．（24-25高一下·四川成都·期末）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了40名工人某天生产该产品的数量，得到频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中的值． (2)求这40名工人一天生产该产品的数量的众数，80%分位数和平均数． 23．（24-25高一下·四川遂宁·期末）遂宁市为进一步发展遂宁文旅，提升遂宁经济，现对“五一”假期部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中. (1)求图中的值，并估计此次调查中综合满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. (2)求此次调查综合满意度的第75百分位数 (3)若参与本次调查游客共有2000名，请估计在参与调查的2000名游客中综合满意度打分不低于平均分的人数. 24．（24-25高一下·浙江杭州·期末）对800名学生的成绩进行统计（满分：100分），将数据分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和80%分位数（保留1位小数）； (2)现从中采用分层随机抽样的方法抽取20人若成绩在的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和55.4；第四组的学生实际成绩的平均数与方差分别为87分和2，求第三组的学生实际成绩的平均数与方差． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 用样本估计总体 【题型1 频率分布直方图的相关计算问题】 【题型2 百分位数的计算】 【题型3 众数、中位数、平均数的应用】 【题型4 方差、标准差的求解及应用】 【题型5 有关频率分布直方图综合应用】 【题型1 频率分布直方图的相关计算问题】 1．（24-25高一下·北京通州·期末）某市为了减少水资源浪费，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了200户用户居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则用水量小于1.5立方米的用户数为（    ） A．20 B．30 C．50 D．60 【答案】C 【分析】根据频数、频率及样本容量的关系即可求得答案． 【详解】根据直方图可得用水量小于1.5立方米的用户数为． 故答案为：C． 2．（2025·广东深圳·一模）某地区教研机构对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了200分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这些学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在内的学生人数为（   ）    A．300 B．400 C．600 D．1200 【答案】B 【分析】根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1求出的值，进而求出结果． 【详解】由频率分布直方图可得，， 解得， 所以成绩在内的学生人数为． 故选：B． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）为了了解学校质量监测成绩，现随机抽取该校200名学生的成绩作为样本进行分析，并绘制频率分布直方图，若该频率分布直方图的组距为10，且样本中成绩在区间这一组内的学生有40人，则在频率分布直方图中该组数据对应的矩形高度为（   ） A．0.02 B．0.2 C．0.04 D．0.4 【答案】A 【分析】根据频率分布直方图性质求解, 【详解】由题意成绩在区间内学生的频率为，因此， 故选：A 4．（23-24高三上·天津·阶段检测）为了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，对所得的体重数据（单位：）进行分组，区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．画出频率分布直方图（如图所示），已知第一组，第二组和第三组的频率之比为，且第一组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（    ） A．48 B．5 C．54 D．60 【答案】A 【分析】先由题意求出前三组频率之和，进而求出第一组的频率，从而再结合第一组频数即可得解. 【详解】由题前三组频率之和为， 又第一组、第二组和第三组的频率之比为， 所以第一组的频率为，又第一组的频数为， 所以报考飞行员的学生人数为人. 故选：A. 5．（24-25高一下·云南昭通·期末）某品牌电动汽车公司为了解车主使用电动车辅助驾驶功能的情况，进行了问卷调查，从中抽取了100位车主进行抽样分析，得出这100位车主每人在100次驾驶途中使用辅助驾驶功能的次数的频率分布直方图如图，则________． 【答案】0.010 【分析】应用频率和为1计算求解参数. 【详解】由，得． 故选： 6．（24-25高一下·天津·阶段检测）为了解人们对环保知识的认知情况，某调查机构对A地区随机选取n个居民进行了环保知识问卷调查(满分为100分)，并根据问卷成绩(不低于60分记为及格)绘制成如图所示的频率分布直方图(分为，，，，，六组)，若问卷成绩最后三组频数之和为360，则下列结论正确的是______. ① ②问卷成绩在内的频率为0.3 ③ ④以样本估计总体，若对地区5000人进行问卷调查，则约有1250人不及格 【答案】②③④ 【分析】根据频率分布直方图的小矩形的面积之和为1求出的值，进而求得n的值判断选项①③；由图求出问卷成绩在的小矩形的面积，得到对应的频率判断②；求出不及格的频率即可求解判断④. 【详解】由，得， ，①错误，③正确； 成绩在内的频率为，②正确. 若对A地区5000人进行问卷调查，则约有人不及格，④正确. 故答案为：②③④ 【题型2 百分位数的计算】 7．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）数据的分位数为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【答案】A 【分析】根据题意，利用百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】将数据从小到大排序，可得，共有6个数据，则， 因为不是整数，则该组数据的分位数为第3个上，即数据的分位数为. 故选：A. 8．（24-25高一下·安徽合肥·期末）一组数据按从小到大排列为：1，2，4，6，7，10，．这组数据的第60百分位数等于他们的平均数，则为（    ） A．12 B．15 C．17 D．19 【答案】D 【分析】根据百分位数的计算规则，算出第60百分位数，再算出平均数，列出关于的等式，计算得出的值. 【详解】位置，根据百分位数的计算规则，第60百分位数是第5个数据，即7， 因为这组数据的第60百分位数等于他们的平均数，所以， 解得. 故选：D 9．（24-25高一下·河南商丘·期末）某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了名学生，得到这名学生对食堂用餐质量给出的评分数据（评分均在[50，100]内），将所得数据分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，估计学生对食堂用餐质量的评分的第百分位数为（   ） A．82.5 B．81.5 C．87.5 D．85 【答案】D 【分析】先判断第百分位数所在组，然后根据频率直方图面积之和等于确定取值. 【详解】因为，， 所以第60百分位数位于，设为， 则， 解得，即估计学生对食堂用餐质量的评分的第百分位数为. 故选：D． 【题型3 众数、中位数、平均数的应用】 10．（23-24高一下·广西南宁·期末）高二（1）班有40名学生，其中男生有16名，已知男生平均体重为68.4kg，总平均体重为60.1kg，则女生的平均体重约为（   ） A．55.8kg B．54.6kg C．52.4kg D．51.8kg 【答案】B 【分析】设女生的平均体重为，根据平均数的计算公式列式求解即可. 【详解】由题意可知：高二（1）班有24名女生，有16名男生， 设女生的平均体重为，则，解得． 故选：B． 11．（24-25高一下·河北雄安·期末）样本数据的中位数为（   ） A．5.5 B．6 C．6.5 D．7 【答案】A 【分析】将给定数据由小到大排列，利用中位数的定义求解. 【详解】样本数据由小到大排列为，共个数， 所以所求中位数是. 故选：A 12．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）样本数据2，8，13，13，20的众数为（    ） A．2 B．8 C．13 D．20 【答案】C 【分析】根据众数的定义求解. 【详解】这组数据中出现次数最多的是13，所以众数是13. 故选：C. 13．（24-25高一下·广西来宾·期末）抽样调查了某班30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）．在这组数据的平均数、中位数、众数和方差中，鞋厂最感兴趣的是（   ） 鞋码号 33 34 35 36 37 人数 2 6 20 1 1 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】鞋厂最感兴趣的是销售量，即可根据数据的数字特征来判定. 【详解】鞋厂最感兴趣的是销售量最多的鞋号，即为数据的众数，故鞋厂最感兴趣的是众数. 故选 ：C. 14．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知数据，，，的平均数为5，数据，，，的平均数为6，则数据，，…，，，，…，的平均数为（   ） A． B．5 C．6 D． 【答案】D 【分析】根据平均数的计算公式可得答案. 【详解】因为数据，，，的平均数为5，数据，，，的平均数为6， 所以数据，，…，，，，…，的平均数为. 故选：D. 15．（2024·四川成都·模拟预测）某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生的成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），估计该校高三学生此项体育成绩的中位数为_______.（结果保留整数）    【答案】76 【分析】先根据频率分布直方图求出的值，然后根据中位数的定义求出结果即可. 【详解】由频率分布直方图可得，解得， 由，， 设中位数为，则， 有，解得. 故答案为：76. 16．（24-25高一下·四川巴中·期末）某大品牌家电公司从销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间（单位：百万元）内，将其分成5组：，，，，，并整理得到如右的频率分布直方图，据此估计销售员工销售额的平均值为__________（百万元），（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 【答案】14.52 【分析】根据频率和为1求得，再由频率直方图求平均值即可. 【详解】由题设，可得， 所以平均值为. 故答案为： 【题型4 方差、标准差的求解及应用】 17．（24-25高一下·福建福州·期末）样本数据3，5，8，2，4，2的方差是___________ ； 【答案】/ 【分析】先计算出平均数后再计算方差即可得. 【详解】， . 故答案为：. 18．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）衡阳市一中高一某班45名学生成立了A、B两个数学兴趣小组，A组25人，B组20人，经过一个月的强化培训后进行了一次测试，在该次测试中，A组的平均成绩为82分，方差为8，B组的平均成绩为86.5分，方差为2，则在这次测试中全班学生成绩的方差为________. 【答案】/ 【分析】利用分层抽样的方差公式计算即可. 【详解】设，，，，，， 则全班学生成绩的平均数为， 全班学生成绩的方差为 ， 故答案为： 19．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分，且前5位同学的成绩分别是70，76，72，70，72．则这6位同学成绩的标准差________． 【答案】7 【分析】先根据平均数计算第6位同学的成绩再根据方差公式计算求解即可. 【详解】前5位同学的成绩分别是70，76，72，70，72，6位同学的平均成绩为75分，设第6位学生分数为， 所以，所以， 所以方差为， 所以标准差为. 故答案为：7. 20．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知60个样本数据的平均数为3，其中，则这60个数据的方差为______. 【答案】 【分析】根据题意，利用数据平均数和方差的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】由60个样本数据的平均数为3，可得，可得， 又由方程 . 故答案为：. 【题型5 有关频率分布直方图综合应用】 21．（24-25高一下·山东济宁·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的上四分位数； (3)已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】(1)； (2)84； (3)总平均数为65；总方差为37. 【分析】（1）由频率直方图小矩形的面积和为1列方程求参数； （2）由百分位数的定义及直方图求上四分位数； （3）应用分层抽样的均值和方差公式求总平均数和总方差. 【详解】（1）因为每组小矩形的面积之和为1， 所以，则； （2）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设上四分位数为m，由，得， 故上四分位数为84； （3）成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为 . 22．（24-25高一下·四川成都·期末）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了40名工人某天生产该产品的数量，得到频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中的值． (2)求这40名工人一天生产该产品的数量的众数，80%分位数和平均数． 【答案】(1) (2)，，64 【分析】（1）由各个矩形面积之和为1列方程求解即可； （2）根据频率分布直方图中众数、百分位数以及平均数的定义逐一计算即可. 【详解】（1）由频率分别直方图的性质，可得， 解得． （2）由频率分布直方图，可得众数为， 因为前2组的频率和为，前3组的频率和为, 所以80%分位数在第3组，设80%分位数为， 则，解得，所以80%分位数为73， 这40名工人一天生产该产品的数量的平均数为：， 所以这40名工人一天生产该产品的数量的平均数为64． 23．（24-25高一下·四川遂宁·期末）遂宁市为进一步发展遂宁文旅，提升遂宁经济，现对“五一”假期部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中. (1)求图中的值，并估计此次调查中综合满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. (2)求此次调查综合满意度的第75百分位数 (3)若参与本次调查游客共有2000名，请估计在参与调查的2000名游客中综合满意度打分不低于平均分的人数. 【答案】(1)，76.5 (2)85 (3)1045 【分析】（1）结合已知根据频率分布直方图中各个小矩形面积之和为1列式得，根据频率分布直方图的平均数公式求解即可； （2）先确定累计频率为0.75所在的区间，然后根据频率列式求解即可； （3）先求出不低于平均分的频率，然后求解人数即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，， 又，解得， 平均分为. （2）由频率分布直方图可得，前3组频率之和为0.6，第四组频率为0.3， 故第75百分位数在，则. （3）由（1）知平均分为， 故不低于平均分的频率为， 则打分不低于平均分的人数为 . 24．（24-25高一下·浙江杭州·期末）对800名学生的成绩进行统计（满分：100分），将数据分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和80%分位数（保留1位小数）； (2)现从中采用分层随机抽样的方法抽取20人若成绩在的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和55.4；第四组的学生实际成绩的平均数与方差分别为87分和2，求第三组的学生实际成绩的平均数与方差． 【答案】(1)众数为65，80%分位数为76.7 (2)平均数为72，方差为1 【分析】（1）根据频率分布直方图的众数和平均数的定义和计算方法，即可求解； （2）根据题意，得到分数在区间的学生为5人，其平均成绩与方差分别为，第四组学生实际成绩的平均数和方差为，设第三组平均数和方差为，进而结合分层抽样的平均数和方差公式即可求解. 【详解】（1）根据频率分布直方图的众数的定义，可得这800名学生成绩的众数为， 前2组的频率为， 前3组的频率为， 所以80%分位数位于，设80%分位数为， 由，解得，即80%分位数为76.7. （2）根据题意，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人， 各段抽取的人生分别为：6人，8人，3人，2人和1人， 其中分数在区间的学生为5人，其平均成绩与方差分别为， 设第四组学生实际成绩的平均数和方差为， 设第三组学生实际成绩的平均数和方差为， 由，可得， 可得，解得， 所以第三组的学生实际成绩的平均数为72与方差为1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $