解三角形、空间角及频率分布直方图等测试题(07)-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦空间几何、统计与概率、向量解三角形三大模块，以教材原题改编为载体，系统整合知识逻辑，培养空间观念、数据意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间几何|6题（如第1、7、17题）|线面关系判断、空间角计算、折叠问题|从线面垂直基础到空间角（异面直线、二面角）应用，构建空间观念| |统计与概率|5题（如第3、4、14题）|图表分析、抽样估计、数据计算|从抽样方法到频率分布直方图/条形图，培养数据意识与数学语言表达| |向量与解三角形|4题（如第2、9、16题）|向量表示、三角恒等变换|向量运算与正弦定理结合，强化数学思维的推理能力|

永年二中高一数学必修二——解三角形、空间角及频率分布直方图等测试题07 班级 姓名 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（人教A版必修二习题8.6第1(2)题）设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”，则“lm且ln”，反之若“lm且ln”，当m//n时，推不出“l”，∴ “l”是“lm且ln”的充分不必要条件，选A． 2．（人教A版必修二习题6.4第2题改编）已知点P在所在平面内，且，则点P是的（ ） A.外心 B. 外心 C.垂心 D. 重心 【答案】C 【分析】由移项利用向量减法变形为，得出PB为CA边上的高，同理得PC为AB边上的高，故为垂心. 【详解】，.即，同理由，可得.所以P是的垂心.故选：C. 3．为调查学生的体育达标情况，用简单随机抽样的方法，了解全校2026名学生的体育达标情况，抽取100名学生作为样本，第个（）学生的体育达标情况记为变量值，则表示的含义是（    ） A．全校学生体育达标的人数 B．样本学生体育达标的人数 C．全校学生体育达标率 D．全校学生体育达标率的估计值 【答案】D 【详解】由题意知，表示抽取的100名学生中，达标的人数之和，则表示这100名学生中体育达标的频率，即为全校学生体育达标率的估计值. 4．一农庄的某种水果成熟后，质地较好的水果的重量在80～120g间，现随机抽查100个这种水果，将其质量（单位：g）分组为，，，，，，，，并绘制出频率分布直方图如图，则这100个水果质量在区间（单位：g）内的个数为（   ） A．66 B．68 C．70 D．72 【答案】C 【详解】由长方形的面积之和为1，得， 所以，所以水果质量在区间（单位：g）内的个数为个. 5．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法中正确的是（   ） A．丁险种参保人数超过六成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．54周岁以上人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 【答案】D 【详解】对于A，由条形图可知丁险种参保比例为，故A错误； 对于B，由扇形图可知，41岁以上参保人数占比为，故B错误； 对于C，由扇形图与折线图可知18－29周岁人群参保人数占比，人均参保费用在元， 而54岁及以上人群参保比例虽只占，但人均参保费用为6000元，所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C错误；对于D，由扇形图与折线图可知，人均参保费用约，故D正确. 6．设α是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】选项A和D，通过举出例子判断正误；选项B，由线面垂直的判定定理得结果正确；选项C，利用线面垂直的性质，可得，从而判断出结果的正误. 【详解】对于选项A，如图1，当，满足时，与可以斜交，故选项A错误，对于选项B，因为，所以，因为，则，故选项B正确，对于选项C，因为，所以，因为，所以，故选项C错误，对于选项D，若，则与可以相交、平行或异面，如图2，满足，而与异面，故选项D错误， 7．（人教A版必修二复习参考题8综合运用第11题改编）如图，在四面体中，平面，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且．若三角形为边长为2的正三角形，，ze 异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点E，将异面直线化为共面直线，解三角形即可. 【详解】取的中点E，连接，易知，则或其补角为异面直线和所成的角，因为平面，平面，所以， 即，显然，所以为直角三角形，通过解三角形可得，即异面直线和所成角的余弦值为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8．为了关注学生的健康成长，某校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则样本中（   ） A．身高在A层次中的女生人数比男生多 B．身高在B层次中的人数最多 C．身高在D层次的女生，占女生人数的比例超过15% D．身高在E层次中的男生有3人 【答案】BCD 【分析】结合已知和两个统计图表，对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】对于A，样本中女生人数为人，则样本中男生人数为60人，样本中A层次身高的男生人数为人，女生人数为4人，所以，样本中A层次身高的女生少于男生，A错误；对于B，因为男生中B层次的比例最大，女生中B层次的人数最多，所以样本中B层次身高人数最多，B正确；对于C，样本中D层次身高的女生有8人，占女生人数的比例为，C正确； 对于D，样本中E层次身高的男生有人，D正确. 9．已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（ ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】AC 【分析】将已知等式两边平方可判断A；根据垂直向量的数量积为0可判断B；利用性质计算可判断C；由向量夹角公式直接计算可判断D. 【详解】，将，的代入，可得，故A正确； ，故B错误；，故，C正确. 设与的夹角为，则， 故，又，故，D错误.故选：AC. 10．（人教A版必修二复习参考题8综合运用第11题改编）如图，在四面体中，是的中点，是的中点，点在线段上，且．下列结论正确的是（   ） A． B．直线与异面 C．直线与异面 D．平面 【答案】BCD 【分析】根据线线垂直、异面直线的定义即可判断ABC，根据线面平行的判定定理即可判断D. 【详解】对于A，由题干条件不能确定垂直关系，A错误；对于B：结合图形,由异面直线定义知直线与异面，B正确；对于CD，取的中点，且是的中点，所以且，取的四等分点，使，且，所以，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，且平面，平面，与相交，所以平面，直线与异面，故CD正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11．如图所示是某校高一年级学生到校方式的条形统计图，根据图形可得出骑自行车人数占高一年级学生总人数的百分比为________. 【答案】 【详解】某校高一年级学生总数为(人)，骑自行车人数为90，骑自行车人数占高一年级学生总数的百分比为. 12．若复数z满足，则________. 【答案】5 【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模． 【详解】由题意有，故． 13．（人教A版必修二复习参考题8综合运用第11题改编）如图，在四面体中，平面BCD．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且．若为正三角形，且，则二面角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】作出该二面角的平面角，假设正三角形边长为4，利用勾股定理求出相关线段长，再利用三角函数定义即可得到余弦值. 【详解】取线段中点，分别连接，因为为等边三角形，则，则，设的边长为4，则，因为平面BCD，且平面， 则，则，所以，所以即为二面角的平面角，因为M是AD的中点，则，，， 则. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14. （人教A版必修二P184练习第1题）（1）数据的平均数为，数据的平均数为，证明：. （2） （人教A版必修二习题9.1第7题（2））已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，得到各层的样本平均数分别为.如果样本量是按比例分配，第1.2.3层的个体数分别为L，M，N，样本量分别为l，m，n， 证明：. 【解析】（1）由题意得， .，即. （2）样本平均数为.在比例分配的分层随机抽样中，，. 15．（人教A版必修二习题6.3第11题问题改编）如图，在中，，点是的中点，点，分别是，的三等分点，且，.设，. (1)用，表示，；(2)若，，求. 【答案】(1)；(2)8 【分析】（1）根据向量的线性运算可求；（2）由已知先求解，然后利用，展开计算即可. 【详解】（1）已知，，点是的中点，则，又因为， 所以，根据向量减法的三角形法则，因为， 且，所以，又，根据向量减法的三角形法则； （2）已知，则，，又因为，则， 所以，所以. 16.记的内角的对边分别为，已知． （1）证明：；（2）若，求的周长． 【解析】（1）证明：因为， 所以， 所以， 即，所以； （2）因为，由（1）得，由余弦定理可得， 则，所以，故，所以， 所以的周长为. 17．（人教A版必修二复习参考题8综合运用第10题改编）如图，在边长为2的正方形中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点 (1)求证:; (2)求三棱锥的体积; (3)求点到平面的距离为; (4)求三棱锥的外接球的体积. 【分析】（1）由折叠可知三条直线两两垂直，利用线面垂直的判定定理，可先证明平面，再由线面垂直性质证求证； （2）由折叠可知三条直线两两垂直，，可求解. 【详解】（1）正方形中，，，折起后，有，， 平面，，∴平面，∵平面PEF，∴. （2）正方形中，，折叠后可知三条直线两两垂直，， ，. （3）设点到平面的距离为，由，得，解得，即点到平面的距离为； （4）因为，所以三棱锥的外接球即为以为同一顶点的长方体的外接球，所以，所以，所以三棱锥的外接球的体积为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二——解三角形、空间角及频率分布直方图等测试题07 班级 姓名 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（人教A版必修二习题8.6第1(2)题）设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（人教A版必修二习题6.4第2题改编）已知点P在所在平面内，且，则点P是的（ ） A.外心 B. 外心 C.垂心 D. 重心 3．为调查学生的体育达标情况，用简单随机抽样的方法，了解全校2026名学生的体育达标情况，抽取100名学生作为样本，第个（）学生的体育达标情况记为变量值，则表示的含义是（    ） A．全校学生体育达标的人数 B．样本学生体育达标的人数 C．全校学生体育达标率 D．全校学生体育达标率的估计值 4．一农庄的某种水果成熟后，质地较好的水果的重量在80～120g间，现随机抽查100个这种水果，将其质量（单位：g）分组为，，，，，，，，并绘制出频率分布直方图如图，则这100个水果质量在区间（单位：g）内的个数为（   ） A．66 B．68 C．70 D．72 5．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法中正确的是（   ） A．丁险种参保人数超过六成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．54周岁以上人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 6．设α是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（人教A版必修二复习参考题8综合运用第11题改编）如图，在四面体中，平面，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且．若三角形为边长为2的正三角形，，ze 异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8．为了关注学生的健康成长，某校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则样本中（   ） A．身高在A层次中的女生人数比男生多 B．身高在B层次中的人数最多 C．身高在D层次的女生，占女生人数的比例超过15% D．身高在E层次中的男生有3人 9．已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（ ） A． B． C． D．与的夹角为 10．（人教A版必修二复习参考题8综合运用第11题改编）如图，在四面体中，是的中点，是的中点，点在线段上，且．下列结论正确的是（   ） A． B．直线与异面 C．直线与异面 D．平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11．如图所示是某校高一年级学生到校方式的条形统计图，根据图形可得出 骑自行车人数占高一年级学生总人数的百分比为________. 12．若复数z满足，则________. 13．（人教A版必修二复习参考题8综合运用第11题改编）如图，在四面体 中，平面BCD．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上， 且．若为正三角形，且，则二面角的余弦值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14. （人教A版必修二P184练习第1题）（1）数据的平均数为，数据的平均数为，证明：. （2） （人教A版必修二习题9.1第7题（2））已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，得到各层的样本平均数分别为.如果样本量是按比例分配，第1.2.3层的个体数分别为L，M，N，样本量分别为l，m，n，证明：. 15．（人教A版必修二习题6.3第11题问题改编）如图，在中，，点是的中点，点，分别是，的三等分点，且，.设，. (1)用，表示，； (2)若，，求. 16.记的内角的对边分别为，已知． （1）证明：；（2）若，求的周长． 17．（人教A版必修二复习参考题8综合运用第10题改编）如图，在边长为2的正方形中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点 (1)求证:; (2)求三棱锥的体积; (3)求点到平面的距离为; (4)求三棱锥的外接球的体积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $