9.2 用样本估计总体（9大题型）训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

9．2 用样本估计总体 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：频率分布直方图的绘制及实际应用 2 题型二：频率分布直方图相关求值计算 6 题型三：折线图、扇形图、条形图的识图与数据分析 7 题型四：百分位数在原始数据中的求解应用 10 题型五：百分位数在统计表格与统计图中的求解应用 10 题型六：平均数、中位数、众数在原始数据中的分析应用 12 题型七：利用频率分布直方图求平均数、中位数、众数 14 题型八：方差与标准差的数据分析及实际应用 16 题型九：借助样本平均数、样本标准差估计总体特征 17 02 重难点拓展 20 题型一：频率分布直方图的绘制及实际应用 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）为了解一片经济林的生长情况，随机测量100株树木的底部周长，得到如下数据：（单位：cm） 135  98  102  110  99  121  110  96  100  103  125  97  117  113  110  92  102  109 104  112  109  124  87  131  97  102  123  104  104  128  105  123  111  103  105  92 114  108  104  102  129  126  97  100  115  111  106  117  104  109  111  89  110  121   80  120  121  104  108  118  129  99  90  99  121  123  107  111  91  100  99  101  116 97  102  108  111  95  107  101  102  108  117  99  118  106  119  97  126  108  123   119  98  121  101  113  102  103  104  108 (1)编制频率分布表； (2)绘制频率分布直方图、折线图； (3)估计该片经济林中底部周长小于100cm的树木约占多少，周长不小于120cm的树木约占多少？ 【解析】（1）从数据中可以看出，这组数据的最大值为135cm，最小值为80cm，故极差为55cm，可将其分为11组，组距为5． 从第一组开始，将各组的频数和频率／组距填入表中： 分组 频数 频率 频率／组距 1 0.01 0.002 2 0.02 0.004 4 0.04 0.008 14 0.14 0.028 24 0.24 0.048 15 0.15 0.030 12 0.12 0.024 9 0.09 0.018 11 0.11 0.022 6 0.06 0.012 2 0.02 0.004 合计 100 1 0.2 （2）这组数据的频率分布直方图、折线图如下图所示． （3）从频率分布表可以看出，该样本中小于100cm的频率为，不小于120cm的频率为， 故可估计该片经济林中底部周长小于100cm的树林约占21%，周长不小于120cm的约占19%． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料（单位：cm）： 区间界限 人数 5 8 10 22 33 区间界限 人数 20 11 6 5 (1)列出样本的频率分布表（频率保留两位小数）； (2)画出频率分布直方图； (3)估计身高低于134cm的人数占总人数的百分比． 【解析】（1）列出样本频率分布表： 分组 频数 频率 5 0.04 8 0.07 10 0.08 22 0.18 33 0.28 20 0.17 11 0.09 6 0.05 5 0.04 合计 120 1.00 （2）画出频率分布直方图，如图所示， （3）因为样本中身高低于134cm的人数的频率为 所以估计身高低于134cm的人数约占总人数的． 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）某学校为了了解和掌握学生的期末数学成绩的情况，随机地取出了100名考生的数学成绩（单位：分），数据如下： 135    98    102    110    99    121    110    96 100    103   125    97     117   113    110    92 102    109   104    112    105   124    87     131 97     102   123    104    104   128    109    123 111    103   105    92     114   108    104    102 129    126   97     100    115   111    106    117 104    109   111    89     110   121    80     120 121    104   108    118    129   99     90     99 121    123   107    111    91    100    99     101 116    97    102    108    101   95     107    101 102    108   117    99     118   106    119    97 126    108   123    119    98    121    101    113 102    103   104   108 (1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图． 【解析】（1）在这100个数据中，最大值为135，最小值为80，极差为． 取组距为5，则组数为． 频率分布表如下： 分组 频数 频率 [80，85） 1 0.01 [85，90） 2 0.02 [90，95） 4 0.04 [95，100） 14 0.14 [100，105） 24 0.24 [105，110） 15 0.15 [110，115） 12 0.12 [115，120） 9 0.09 [120，125） 11 0.11 [125，130） 6 0.06 [130，135] 2 0.02 合计 100 1.00 （2）根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图，如图所示． 题型二：频率分布直方图相关求值计算 4．（2025·四川成都·一模）某校高三年级1000名学生参加体育健康标准测试，从中随机抽取部分学生的成绩（规定满分为100分），得到如图频率分布直方图，则估计该次考试成绩在区间内的学生人数为（    ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】C 【解析】根据题意，成绩在区间的频率为， 则估计成绩在区间的人数为：人， 故选：C. 5．（2025高三·江苏·专题练习）某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为（    ） A．68 B．27 C．66 D．86 【答案】A 【解析】由图表可知今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率为 ， 故参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为. 故答案为：A 6．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量（单位：）调查，将得到的数据按分为6组，画出的频率分布直方图如图所示，则在被调查的用户中，月用电量落在内的户数为（    ） A．35 B．40 C．42 D．45 【答案】B 【解析】易知，所以， 即， 而月用电量落在内的户数为. 故选：B 题型三：折线图、扇形图、条形图的识图与数据分析 7．（多选题）（2026·安徽安庆·一模）某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 【答案】CD 【解析】对于A，由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为（亿元）， 4月的地方一般公共预算收入为（亿元），故A错误； 对于B，8月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），故B错误； 对于C，由图表可知，2025年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元）， 而2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），比2025年9月少，故C正确； 对于D，由C选项可知，2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为（亿元），故D正确． 8．（多选题）（20-21高一下·江苏徐州·期末）某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中（    ）    A．女生人数多于男生人数（    ） B．层次男生人数多于女生人数 C．层次男生人数为24人 D．层次人数最少 【答案】AC 【解析】对于A选项，由题可知，女生层次的有18人，层次的有48人，层次的有30人，层次的有18人，层次的有6人，故女生共有人， 男生有人，所以女生人数多于男生人数，故A选项正确； 对于B选项，由扇形图知，男生层次的有人，而女生有18人，故女生多于男生，错误； 对于C选项，层次的有人，故正确； 对于D选项，层次的有人，层次的有人，故层次的人数不是最少的. 故选：AC 9．（多选题）（25-26高二上·陕西西安·月考）为了关注学生的健康成长，某校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则样本中（   ） A．身高在A层次中的女生人数比男生多 B．身高在B层次中的人数最多 C．身高在D层次的女生，占女生人数的比例超过15% D．身高在E层次中的男生有3人 【答案】BCD 【解析】对于A，样本中女生人数为人，则样本中男生人数为60人， 样本中A层次身高的男生人数为人，女生人数为4人， 所以，样本中A层次身高的女生少于男生，A错误； 对于B，因为男生中B层次的比例最大，女生中B层次的人数最多， 所以样本中B层次身高人数最多，B正确； 对于C，样本中D层次身高的女生有8人，占女生人数的比例为，C正确； 对于D，样本中E层次身高的男生有人，D正确. 故选：BCD 题型四：百分位数在原始数据中的求解应用 10．（2026·河北廊坊·一模）样本数据2，5，7，11，14，16，20，25的第80百分位数为________． 【答案】20 【解析】样本数据有8个数，由， 得样本数据的第80百分位数为第7个数20. 11．（2026·湖北·一模）已知名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是________. 【答案】4.05 【解析】因为， 故第百分位数为第个数和第个数的平均数即为. 12．（25-26高二上·上海·期末）样本数据1，3，7，10，14，19，21，25，35，67的第70百分位数为______. 【答案】 【解析】因为， 所以个数的第70百分位数为， 故答案为： 题型五：百分位数在统计表格与统计图中的求解应用 13．（23-24高一下·安徽六安·期末）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流. (1)应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ (2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图②所示. （i）估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数； （ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数. 【解析】（1）根据分层抽样知： 应抽取小吃类家， 生鲜类家，所以应抽取小吃类28家，生鲜类12家. （2）（i）根据题意可得，解得， 设75百分位数为x，因为， 所以， 解得， 所以该直播平台商家平均日利润的第75百分位数为487.5元. （ii）， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280. 14．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）衡阳县第一中学为预备2026年的全国高中数学联赛预赛，在该校先选取了前60名的学生（含60名），进行选拔，随后根据分数线选取参赛选手，该60名学生的成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是（本场选拔总分为100分）. (1)估计该一中学生选拔成绩的平均值（提示：同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） (2)这次选拔测试成绩的第60百分位数可估计为? (3)若学校定75分为标准选拔分数线，则参赛人数大约为? 【解析】（1）由图可估计选拔成绩的平均值为， （2）成绩位于的频率为， 成绩位于的频率为， 因此第60百分位数位于，设为， 则，故， （3）由（2）可知75分为第60百分位数，故能参赛的人约有个. 15．（24-25高一下·江苏泰州·期末）从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率直方图如图所示.观察图形，回答以下问题： (1)这一组的频率和频数分别为多少？ (2)估计该次环保知识竞赛的及格率（60分以上为及格）； (3)估计这组数据的80百分位数. 【解析】（1）频率为，频数为； （2）及格率为； （3）因为数据落在的频率为0.7， 数据落在的频率为0.25. 设这组数据的80百分位数为， 所以， 所以，故， 即这组数据的80百分位数为83.5. 题型六：平均数、中位数、众数在原始数据中的分析应用 16．（多选题）（25-26高一上·安徽·期末）某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试（满分10分），其中男生135人，女生90人.现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本.样本中有8位女生的测试成绩，分别是6，7，7，7，8，9，10，10，样本中男生测试成绩的平均数为7.5，则（    ） A．样本中有12位男生的测试成绩 B．样本中女生测试成绩的70%分位数是8.5 C．样本中女生测试成绩的方差为2 D．样本中所有学生测试成绩的平均数为7.75 【答案】AC 【解析】高一年级男生、女生之比为，由样本中有8位女生的成绩，则样本中有12位男生的测试成绩，故A正确； 由，则样本中女生测试成绩的70%分位数是第6项9，故B错误； 样本中女生测试成绩的平均数为8，则其方差为，故C正确； 样本中所有学生测试成绩的平均数为，故D错误. 故选：AC 17．（多选题）（25-26高一上·广西钦州·期末）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为备战奥运会，运动员们都在积极参加集训．已知某射击运动员在一次集训中10次射击的分数分别为：5，6，7，8，9，9，8，8，10，10，则这组数据的（    ）． A．平均数为8 B．众数为9 C．第60百分位数为8 D．方差为2.4 【答案】AD 【解析】10次射击的分数由小到大排列为：5，6，7，8，8，8，9，9，10，10， 对于A，平均数，A正确； 对于B，众数为8，B错误； 对于C，由，得第60百分位数为，C错误； 对于D，方差为，D正确. 故选：AD 18．（多选题）（25-26高一上·陕西渭南·期末）为弘扬数学文化，激发同学们学习数学的兴趣，某校“数学强基社团”组织开展数学文化知识竞赛，8个小组所得分数依次为75，80，82，85，85，88，90，95.关于这组数据，下列说法正确的是（   ） A．众数是85 B．平均数是85 C．75%分位数是89 D．方差是34 【答案】ABC 【解析】对于A，这组数据中85出现2次，出现的次数最多，所以这组数据的众数是85，故A正确； 对于B，由条件得，故B正确； 对于C，由条件得，可知该组数据的第75百分位数是从小到大排列的第6个数和第7个数的平均值即，故C正确； 对于D，由条件得， 故D错误. 故选：ABC. 题型七：利用频率分布直方图求平均数、中位数、众数 19．（25-26高一上·广西梧州·期末）某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问名学生，并对这名学生的个性化作业进行评分（满分：100分），其中所有学生的成绩范围是.根据得分将他们的成绩分成，，，，，六组，制成如图所示的频率分布直方图，其中成绩在的学生人数为30人. (1)求，的值； (2)估计这名学生成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）和中位数（精确到0.01）. 【解析】（1）由题意可得， 易知， 解得. （2）平均数为. 因为，， 所以中位数在之间，设中位数为， 则，解得. 即中位数为. 20．（25-26高一上·陕西渭南·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； (2)求样本成绩的众数、中位数和平均数； 【解析】（1）因为频率分布直方图中所有矩形的面积和为1， 所以，解得. 样本成绩在内的频率为，在内的频率为， 所以第75百分位数，所以，解得，即样本成绩的第75百分位数是84. （2）因为最高矩形对应的区间为，所以样本成绩的众数约为； 由（1）知样本成绩在内的频率为，而成绩在内的频率为， 所以中位数，所以，解得，即样本成绩的中位数约为； 由得样本成绩的平均数约为74. 21．（24-25高一下·四川成都·期末）为了提高市民的环保意识，某市举行了环保知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低40分，最高100分）． (1)求a的值； (2)从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的众数和平均数； (3)认定成绩位于前百分之六十的考生为良好，请你估计良好认定的分数线是多少．（保留整数） 【解析】（1）在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为1， 可得，解得， （2）估计本次竞赛成绩的众数为分， 估计本次竞赛成绩的平均数为 分. （3）由题意，成绩位于前百分之六十的考生为良好，则良好认定的分数线是第40百分位数， 前两个矩形面积之和为， 前三个矩形面积之和为， 设第40百分位数为，则， 则，解得， 因此，估计良好认定的分数线为68分. 题型八：方差与标准差的数据分析及实际应用 22．（25-26高二上·广东茂名·期末）已知一组数据：，则这组数据的方差为_____. 【答案】2 【解析】方法一：，，，，的平均数， 所以方差为 . 方法二（特殊值法）： 令，则，，，，与1，2，3，4，5的方差是一样的， 经计算得平均数，这组数据的方差为. 故答案为:2. 23．（25-26高一上·江西南昌·期末）某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男、女人数之比为，则估计全体单位职工体重的方差为___________． 【答案】169 【解析】依题意，单位职工平均体重为（千克），则单位职工体重的方差为． 故答案为：169 24．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知样本数据的标准差为，则数据的方差为______，数据的方差为______． 【答案】 11 44 【解析】根据题意可得数据的方差为11，则数据的方差为． 故答案为：11；44. 题型九：借助样本平均数、样本标准差估计总体特征 25．（25-26高一上·山西忻州·期末）某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：100分）分成，，…，六组，得到如图所示频率分布直方图.    (1)求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前20%的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数； (3)若落在中的样本数据的平均数是54，方差是6，落在中的样本数据的平均数是66，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 【解析】（1）由频率分布直方图，得，解得； 平均数为. （2）设“获得该荣誉证书的最低分数”为，由分数介于的频率为、 分数介于的频率为，得获得该荣誉证书的最低分数介于之间， 则有，解得，所以获得该荣誉证书的最低分数为86. （3）由落在中的样本数据的平均数是54，方差是6，落在中的样本数据的平均数是66，方差是3， 所以这两组数据的总平均数为， 方差为. 26．（25-26高一上·山西忻州·期末）某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：100分）分成六组，得到如图所示频率分布直方图. (1)求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数； (3)若落在中的样本数据的平均数是54，方差是6，落在中的样本数据的平均数是66，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 【解析】（1）由题可得， 所以样本数据的平均数约为； （2）成绩较高的前的学生对应的频率为， 成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 设获得该荣誉证书的最低分数为x，则； （3）由题可得成绩在和的频数分别为， 所以这两组数据的总平均数和方差. 27．（25-26高一上·江西南昌·期末）某奶茶店统计了300名顾客的单次消费金额（单位：元），并将所有数据按照，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)估计这300名顾客的单次消费金额的平均数；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若频率分布直方图中第一组单次消费金额的方差为1，第二组单次消费金额的方差为6，估计第一组与第二组所有顾客单次消费金额的方差． 附：若数据，，，的平均数为，方差为，数据，，，的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新的数据，设新数据的平均数为，则新数据 的方差为． 【解析】（1）由题意可得， 解得． （2）估计这300名顾客的单次消费金额的平均数为． （3）因为第一组的频率为，第二组的频率为， 所以第一组与第二组所有顾客单次消费金额的平均数为， 为第一组数据所占比例，即，同理， 所以估计第一组与第二组所有顾客单次消费金额的方差． 1．（25-26高三下·江西·阶段检测）为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 【答案】D 【解析】设对应矩形的高度为，则，解得，A选项正确； 由图可知，的数据最多，众数的估计值为，B选项正确； 平均值为：，C选项正确； 样本数据的频率为， 样本数据的频率为， 故样本成绩的第70百分位数落在内，所以D选项错误. 2．（2026·广东江门·二模）某工厂抽检了100个零件，并统计了这些零件的直径（单位：）数据，得到如下表格： 直径/mm 46 47 48 49 50 51 52 53 54 频数 5 8 12 15 20 18 12 6 4 由表可知这100个零件的直径的第60百分位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为被抽检的零件中，直径小于或等于的零件共有个， 且， 所以这个零件的直径的第百分位数为． 3．（2026·湖南·三模）一组数据为50，40，20，19，16，16，14，10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（    ） A．40 B．39 C．36 D．35 【答案】D 【解析】将题中数据按从小到大排列为10，14，16，16，19，20，40，50，则众数为16， 因为，所以第60百分位数为19， 所以众数与第60百分位数之和为. 4．（25-26高一下·江苏南京·期中）某同学记录了当地4月最后8天每天的最低气温（单位：℃），分别为12，14，12，16，12，11，15，17，则该组数据的第70百分位数为（   ） A．12 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【解析】数据整理为11，12，12，12，14，15，16，17， 又，则该组数据的第70百分位数为第6个数15． 5．（25-26高一下·宁夏银川·期中）已知一组数据为：26，28，32，38，38，40，48，则这组数据的80%分位数为（ ） A．40 B．38 C．37 D．35 【答案】A 【解析】由于，所以这组数据的80%分位数为第6个数40. 故选：A. 6．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知2018-2024年中国冰雪运动核心市场规模（单位：亿元）依次为：454.3，487.5，445.2，594.9，713.9，833.1，1083.0.对于这7个数据，则（    ） A．该组数据的极差是628.7 B．该组数据的中位数是594.9 C．该组数据的40%分位数是445.2 D．该组数据的平均数小于630 【答案】B 【解析】A，由该组数据最大数与最小数分别为与，故该组数据的极差是，故A错误； B，将该组数据从小到大排序：445.2，454.3，487.5，594.9，713.9，833.1，1083.0，故该组数据的中位数是594.9，故B正确； C，由，故该组数据的分位数是487.5，故C错误； D，该组数据的平均数为，故D错误. 7．（24-25高一下·江苏无锡·期末）经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（   ） A．； B．若，则所有的数据都为0； C．若，则的平均数为6； D．若，则的方差为12； 【答案】D 【解析】对于A：，错误； 对于B：数据，，…，的方差时，说明所有的数据，，…，都相等，但不一定为0，错误； 对于C：数据，，…，的平均数为，数据的平均数为，错误； 对于D：数据，，…，的方差为，数据的方差为，正确. 8．（25-26高一下·江西景德镇·月考）已知一组数据由5个正整数组成，下列描述中，能确保这组数据中一定没有出现8的是（    ） A．平均数为4，中位数3 B．平均数为4，众数为4 C．平均数为4，方差为3.6 D．中位数为5，方差为3.6 【答案】C 【解析】对于选项A：例如1，1，3，7，8，平均数为4，中位数3，故A错误； 对于选项B：例如1，3，4，4，8，平均数为4，众数为4，故B错误； 对于选项D：例如2，5，5，5，8，中位数为5，方差为3.6，故D错误； 对于选项C：假设出现8，设5个正整数为，其平均数为4，方差为3.6， 则，即， 且，可得， 因为，，，，， 当且仅当时，等号成立， 则， 可得，即，显然不成立， 假设不成立，所以一定没有出现8，故C正确. 9．（多选题）（25-26高一下·江苏南京·期中）若是样本数据：，，，的平均数（，，，不全相等），则（   ） A．，，，的极差等于，，，，的极差 B．，，，的平均数等于，，，，的平均数 C．，，，的中位数等于，，，，的中位数 D．，，，的标准差大于，，，，的标准差 【答案】ABD 【解析】不妨设，此时，A中极差均为，故A对； ，所以，故B对； C中前者中位数为，后者中位数为或或，故C错； D中前者标准差为， 后者标准差为，故D对. 10．（多选题）（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）有一组样本数据，其平均数为5，方差为，中位数为．在这组数中，去掉一个最大的数10和一个最小的数1，余下8个数据的中位数为，方差为，极差为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】不妨设，则． 因为与的中位数都是， 所以，故A正确． 当时，，故B错误． ，故C错误． 由已知得． 因为，所以， 去掉一个最大的数10和一个最小的数1，余下8个数据的和为， 所以由 ， 所以余下8个数据的方差 所以，故D正确． 11．（多选题）（2026·云南昆明·二模）已知一组数据由6个正整数构成，且同时满足以下条件：①平均数为10；②中位数为9；③8是唯一的众数；④极差为12，则这组数据（    ） A．必含有9 B．恰含有2个8 C．方差是定值 D．第25百分位数为8 【答案】BD 【解析】这组数据一共有6个数，中位数为9，从小到大排列，中间2个数的平均数为9， 又有唯一的众数为8，则有三个8或两个8， 若有三个8，则从小到大排列这组数据为、8、8、10、、，且， 又极差为12，所以，则， 又因为平均数为10，则，即，与矛盾，所以数据不合题意舍去； 所以恰有两个8，其余数字均出现一次，B选项正确； 则从小到大排列这组数据为、8、8、10、、，且平均数为10， 则，所以， 又极差为12，所以，则， 最小数字可以是，则，，数据为， 方差为； 最小数字可以是，则，，数据为， 方差为； 则这组数据可以不含有9，A选项错误；C选项错误； 因为，所以第25百分位数是这组数据从小到大排列的第二个数8，D选项正确； 12．（2026·辽宁·模拟预测）大连某高中高三备课组有男老师60人，女老师40人，其中男老师平均年龄为35岁，方差为6；女老师平均年龄为30岁，方差是1，则所有高三备课组老师的平均年龄为_____，方差为_____ 【答案】 33岁 10 【解析】由题意得，该高中高三备课组老师的平均年龄为岁， 则该高中高三备课组老师的方差 . 故答案为：33岁；10. 13．（25-26高一上·上海·自主招生）一组数据1，2，■，4，■，6，7，其中有两个数据被涂黑，平均值为4，那么这组数据方差的最小值为______． 【答案】/ 【解析】先设两个被涂黑的数分别为 根据平均数为，可知，可得， 再根据方差公式， 又因为，可知， 代入可得，所以当且时最小，最小值为. 故答案为： 14．（25-26高一·全国·寒假作业）某班有50名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名学生的成绩统计有误，学生甲实际得分是80分却误记为60分，学生乙实际得分是70分却误记为90分，更正后的平均分数为_________，方差是_________. 【答案】 70 67 【解析】设更正前甲、乙的成绩依次为，其余同学的成绩依次为， 则，即， ， 即. 更正后平均分数为， 方差为 . 答案：70 ；67 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）某市共有50万户居民，城市调查队按千分之一的比例进行入户调查，抽样调查的结果如下（分组数据用各组中间值作为本组数据的代表）： 家庭人均月收入／元 合计 工作人员家庭（户） 20 60 200 80 40 400 管理人员家庭（户） 5 10 50 20 15 100 (1)一般工作人员家庭人均月收入的估计值及方差的估计值； (2)管理人员家庭人均月收入的估计值及方差的估计值； (3)总体人均月收入的估计值及总体方差的估计值． 【解析】（1）， . （2）， . （3）， . 16．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）为贯彻二十大精神，弘扬优秀传统文化，某校举行了一次“传统文化知识竞赛”.为了解本次竞赛成绩，该校随机抽取了部分学生的成绩（单位：分），作为样本进行统计，并将样本数据分为五组，分析整理后形成了频率分布直方图，如图所示，其中.根据相关信息，解决下列问题. (1)求、的值并估计本次参加竞赛的学生的成绩的第百分位数； (2)已知在此次竞赛成绩中随机抽取了名学生的成绩：、、、，这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与方差. 附：方差计算公式：. 【解析】（1）由得，. 由，， 所以第80百分位数位于，记为，则. 化简得：，解得，所以第百分位数为. （2）设剔除、两个分数后，剩余的个分数分别记为、、、， 由题意得：，所以，. 由，所以，. 则. 故剩余个分数的平均数为，方差为. 17．（24-25高一上·贵州遵义·期末）某学校高一年级某班男同学与女同学的人数之比为，在学校的一次月考中，某数学教师为分析本班的成绩，作了如下统计： 女同学成绩频数分布表 成绩值区间 合计 频数 3 4 10 2 1 20 男同学成绩频率分布直方图 (1)估计本班女同学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)根据男同学成绩的频率分布直方图，比较男同学成绩的平均数与中位数的大小； (3)已知女同学成绩的方差为169，男同学成绩的方差为104，估计该班全体同学成绩的方差（平均用四舍五入取整数计算，方差结果取整数）. 参考公式：总体划分为女生和男生2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记总的样本平均数和样本方差分别为，，则. 【解析】（1）由题意得 . （2）因为小长方形面积和为1， 所以，解得， 设平均数为，中位数为， 由题意得 ， ， 因为， 所以中位数在中， 由中位数性质得， 解得，而， 可得中位数大于平均数. （3）因为男同学与女同学的人数之比为， 且女生有20人，所以男生有人， 由题意得， 则样本方差为. 18．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）某地区举办“机器人创新大赛”，现从参加该比赛的所有参赛者中随机抽取200名参赛者，将这200名参赛者的比赛成绩（单位：分）按，，，，，分成6组，并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)用样本估计总体，估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数；（每组数据用该区间的中间值作代表） (3)已知落在内比赛成绩的平均数为64.5，方差是14，落在内比赛成绩的平均数是70.5，落在内比赛成绩的方差是4，求落在内比赛成绩的平均数与落在内比赛成绩的方差. 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 【解析】（1）由，得. （2）估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数为. （3）由图可得的频率与的频率之比为， 的频率与的频率之比为. 设落在内比赛成绩的平均数为，则，解得. 落在内比赛成绩的方差， 所以落在内比赛成绩的平均数为74.5，落在内比赛成绩的方差为32. 19．（24-25高一下·山东济宁·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的上四分位数； (3)已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 【解析】（1）因为每组小矩形的面积之和为1， 所以，则； （2）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设上四分位数为m，由，得， 故上四分位数为84； （3）成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 9．2 用样本估计总体 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：频率分布直方图的绘制及实际应用 2 题型二：频率分布直方图相关求值计算 3 题型三：折线图、扇形图、条形图的识图与数据分析 4 题型四：百分位数在原始数据中的求解应用 6 题型五：百分位数在统计表格与统计图中的求解应用 6 题型六：平均数、中位数、众数在原始数据中的分析应用 8 题型七：利用频率分布直方图求平均数、中位数、众数 8 题型八：方差与标准差的数据分析及实际应用 10 题型九：借助样本平均数、样本标准差估计总体特征 10 02 重难点拓展 13 题型一：频率分布直方图的绘制及实际应用 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）为了解一片经济林的生长情况，随机测量100株树木的底部周长，得到如下数据：（单位：cm） 135  98  102  110  99  121  110  96  100  103  125  97  117  113  110  92  102  109 104  112  109  124  87  131  97  102  123  104  104  128  105  123  111  103  105  92 114  108  104  102  129  126  97  100  115  111  106  117  104  109  111  89  110  121   80  120  121  104  108  118  129  99  90  99  121  123  107  111  91  100  99  101  116 97  102  108  111  95  107  101  102  108  117  99  118  106  119  97  126  108  123   119  98  121  101  113  102  103  104  108 (1)编制频率分布表； (2)绘制频率分布直方图、折线图； (3)估计该片经济林中底部周长小于100cm的树木约占多少，周长不小于120cm的树木约占多少？ 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料（单位：cm）： 区间界限 人数 5 8 10 22 33 区间界限 人数 20 11 6 5 (1)列出样本的频率分布表（频率保留两位小数）； (2)画出频率分布直方图； (3)估计身高低于134cm的人数占总人数的百分比． 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）某学校为了了解和掌握学生的期末数学成绩的情况，随机地取出了100名考生的数学成绩（单位：分），数据如下： 135    98    102    110    99    121    110    96 100    103   125    97     117   113    110    92 102    109   104    112    105   124    87     131 97     102   123    104    104   128    109    123 111    103   105    92     114   108    104    102 129    126   97     100    115   111    106    117 104    109   111    89     110   121    80     120 121    104   108    118    129   99     90     99 121    123   107    111    91    100    99     101 116    97    102    108    101   95     107    101 102    108   117    99     118   106    119    97 126    108   123    119    98    121    101    113 102    103   104   108 (1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图． 题型二：频率分布直方图相关求值计算 4．（2025·四川成都·一模）某校高三年级1000名学生参加体育健康标准测试，从中随机抽取部分学生的成绩（规定满分为100分），得到如图频率分布直方图，则估计该次考试成绩在区间内的学生人数为（    ） A．100 B．200 C．300 D．400 5．（2025高三·江苏·专题练习）某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为（    ） A．68 B．27 C．66 D．86 6．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量（单位：）调查，将得到的数据按分为6组，画出的频率分布直方图如图所示，则在被调查的用户中，月用电量落在内的户数为（    ） A．35 B．40 C．42 D．45 题型三：折线图、扇形图、条形图的识图与数据分析 7．（多选题）（2026·安徽安庆·一模）某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 8．（多选题）（20-21高一下·江苏徐州·期末）某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中（    ）    A．女生人数多于男生人数（    ） B．层次男生人数多于女生人数 C．层次男生人数为24人 D．层次人数最少 9．（多选题）（25-26高二上·陕西西安·月考）为了关注学生的健康成长，某校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则样本中（   ） A．身高在A层次中的女生人数比男生多 B．身高在B层次中的人数最多 C．身高在D层次的女生，占女生人数的比例超过15% D．身高在E层次中的男生有3人 题型四：百分位数在原始数据中的求解应用 10．（2026·河北廊坊·一模）样本数据2，5，7，11，14，16，20，25的第80百分位数为________． 11．（2026·湖北·一模）已知名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是________. 12．（25-26高二上·上海·期末）样本数据1，3，7，10，14，19，21，25，35，67的第70百分位数为______. 题型五：百分位数在统计表格与统计图中的求解应用 13．（23-24高一下·安徽六安·期末）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流. (1)应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ (2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图②所示. （i）估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数； （ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数. 14．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）衡阳县第一中学为预备2026年的全国高中数学联赛预赛，在该校先选取了前60名的学生（含60名），进行选拔，随后根据分数线选取参赛选手，该60名学生的成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是（本场选拔总分为100分）. (1)估计该一中学生选拔成绩的平均值（提示：同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） (2)这次选拔测试成绩的第60百分位数可估计为? (3)若学校定75分为标准选拔分数线，则参赛人数大约为? 15．（24-25高一下·江苏泰州·期末）从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率直方图如图所示.观察图形，回答以下问题： (1)这一组的频率和频数分别为多少？ (2)估计该次环保知识竞赛的及格率（60分以上为及格）； (3)估计这组数据的80百分位数. 题型六：平均数、中位数、众数在原始数据中的分析应用 16．（多选题）（25-26高一上·安徽·期末）某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试（满分10分），其中男生135人，女生90人.现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本.样本中有8位女生的测试成绩，分别是6，7，7，7，8，9，10，10，样本中男生测试成绩的平均数为7.5，则（    ） A．样本中有12位男生的测试成绩 B．样本中女生测试成绩的70%分位数是8.5 C．样本中女生测试成绩的方差为2 D．样本中所有学生测试成绩的平均数为7.75 17．（多选题）（25-26高一上·广西钦州·期末）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为备战奥运会，运动员们都在积极参加集训．已知某射击运动员在一次集训中10次射击的分数分别为：5，6，7，8，9，9，8，8，10，10，则这组数据的（    ）． A．平均数为8 B．众数为9 C．第60百分位数为8 D．方差为2.4 18．（多选题）（25-26高一上·陕西渭南·期末）为弘扬数学文化，激发同学们学习数学的兴趣，某校“数学强基社团”组织开展数学文化知识竞赛，8个小组所得分数依次为75，80，82，85，85，88，90，95.关于这组数据，下列说法正确的是（   ） A．众数是85 B．平均数是85 C．75%分位数是89 D．方差是34 题型七：利用频率分布直方图求平均数、中位数、众数 19．（25-26高一上·广西梧州·期末）某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问名学生，并对这名学生的个性化作业进行评分（满分：100分），其中所有学生的成绩范围是.根据得分将他们的成绩分成，，，，，六组，制成如图所示的频率分布直方图，其中成绩在的学生人数为30人. (1)求，的值； (2)估计这名学生成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）和中位数（精确到0.01）. 20．（25-26高一上·陕西渭南·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； (2)求样本成绩的众数、中位数和平均数； 21．（24-25高一下·四川成都·期末）为了提高市民的环保意识，某市举行了环保知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低40分，最高100分）． (1)求a的值； (2)从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的众数和平均数； (3)认定成绩位于前百分之六十的考生为良好，请你估计良好认定的分数线是多少．（保留整数） 题型八：方差与标准差的数据分析及实际应用 22．（25-26高二上·广东茂名·期末）已知一组数据：，则这组数据的方差为_____. 23．（25-26高一上·江西南昌·期末）某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男、女人数之比为，则估计全体单位职工体重的方差为___________． 24．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知样本数据的标准差为，则数据的方差为______，数据的方差为______． 题型九：借助样本平均数、样本标准差估计总体特征 25．（25-26高一上·山西忻州·期末）某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：100分）分成，，…，六组，得到如图所示频率分布直方图.    (1)求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前20%的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数； (3)若落在中的样本数据的平均数是54，方差是6，落在中的样本数据的平均数是66，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 26．（25-26高一上·山西忻州·期末）某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：100分）分成六组，得到如图所示频率分布直方图. (1)求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数； (3)若落在中的样本数据的平均数是54，方差是6，落在中的样本数据的平均数是66，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 27．（25-26高一上·江西南昌·期末）某奶茶店统计了300名顾客的单次消费金额（单位：元），并将所有数据按照，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)估计这300名顾客的单次消费金额的平均数；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若频率分布直方图中第一组单次消费金额的方差为1，第二组单次消费金额的方差为6，估计第一组与第二组所有顾客单次消费金额的方差． 附：若数据，，，的平均数为，方差为，数据，，，的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新的数据，设新数据的平均数为，则新数据 的方差为． 1．（25-26高三下·江西·阶段检测）为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 2．（2026·广东江门·二模）某工厂抽检了100个零件，并统计了这些零件的直径（单位：）数据，得到如下表格： 直径/mm 46 47 48 49 50 51 52 53 54 频数 5 8 12 15 20 18 12 6 4 由表可知这100个零件的直径的第60百分位数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南·三模）一组数据为50，40，20，19，16，16，14，10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（    ） A．40 B．39 C．36 D．35 4．（25-26高一下·江苏南京·期中）某同学记录了当地4月最后8天每天的最低气温（单位：℃），分别为12，14，12，16，12，11，15，17，则该组数据的第70百分位数为（   ） A．12 B．14 C．15 D．16 5．（25-26高一下·宁夏银川·期中）已知一组数据为：26，28，32，38，38，40，48，则这组数据的80%分位数为（ ） A．40 B．38 C．37 D．35 6．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知2018-2024年中国冰雪运动核心市场规模（单位：亿元）依次为：454.3，487.5，445.2，594.9，713.9，833.1，1083.0.对于这7个数据，则（    ） A．该组数据的极差是628.7 B．该组数据的中位数是594.9 C．该组数据的40%分位数是445.2 D．该组数据的平均数小于630 7．（24-25高一下·江苏无锡·期末）经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（   ） A．； B．若，则所有的数据都为0； C．若，则的平均数为6； D．若，则的方差为12； 8．（25-26高一下·江西景德镇·月考）已知一组数据由5个正整数组成，下列描述中，能确保这组数据中一定没有出现8的是（    ） A．平均数为4，中位数3 B．平均数为4，众数为4 C．平均数为4，方差为3.6 D．中位数为5，方差为3.6 9．（多选题）（25-26高一下·江苏南京·期中）若是样本数据：，，，的平均数（，，，不全相等），则（   ） A．，，，的极差等于，，，，的极差 B．，，，的平均数等于，，，，的平均数 C．，，，的中位数等于，，，，的中位数 D．，，，的标准差大于，，，，的标准差 10．（多选题）（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）有一组样本数据，其平均数为5，方差为，中位数为．在这组数中，去掉一个最大的数10和一个最小的数1，余下8个数据的中位数为，方差为，极差为，则（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·云南昆明·二模）已知一组数据由6个正整数构成，且同时满足以下条件：①平均数为10；②中位数为9；③8是唯一的众数；④极差为12，则这组数据（    ） A．必含有9 B．恰含有2个8 C．方差是定值 D．第25百分位数为8 12．（2026·辽宁·模拟预测）大连某高中高三备课组有男老师60人，女老师40人，其中男老师平均年龄为35岁，方差为6；女老师平均年龄为30岁，方差是1，则所有高三备课组老师的平均年龄为_____，方差为_____ 13．（25-26高一上·上海·自主招生）一组数据1，2，■，4，■，6，7，其中有两个数据被涂黑，平均值为4，那么这组数据方差的最小值为______． 14．（25-26高一·全国·寒假作业）某班有50名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名学生的成绩统计有误，学生甲实际得分是80分却误记为60分，学生乙实际得分是70分却误记为90分，更正后的平均分数为_________，方差是_________. 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）某市共有50万户居民，城市调查队按千分之一的比例进行入户调查，抽样调查的结果如下（分组数据用各组中间值作为本组数据的代表）： 家庭人均月收入／元 合计 工作人员家庭（户） 20 60 200 80 40 400 管理人员家庭（户） 5 10 50 20 15 100 (1)一般工作人员家庭人均月收入的估计值及方差的估计值； (2)管理人员家庭人均月收入的估计值及方差的估计值； (3)总体人均月收入的估计值及总体方差的估计值． 16．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）为贯彻二十大精神，弘扬优秀传统文化，某校举行了一次“传统文化知识竞赛”.为了解本次竞赛成绩，该校随机抽取了部分学生的成绩（单位：分），作为样本进行统计，并将样本数据分为五组，分析整理后形成了频率分布直方图，如图所示，其中.根据相关信息，解决下列问题. (1)求、的值并估计本次参加竞赛的学生的成绩的第百分位数； (2)已知在此次竞赛成绩中随机抽取了名学生的成绩：、、、，这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与方差. 附：方差计算公式：. 17．（24-25高一上·贵州遵义·期末）某学校高一年级某班男同学与女同学的人数之比为，在学校的一次月考中，某数学教师为分析本班的成绩，作了如下统计： 女同学成绩频数分布表 成绩值区间 合计 频数 3 4 10 2 1 20 男同学成绩频率分布直方图 (1)估计本班女同学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)根据男同学成绩的频率分布直方图，比较男同学成绩的平均数与中位数的大小； (3)已知女同学成绩的方差为169，男同学成绩的方差为104，估计该班全体同学成绩的方差（平均用四舍五入取整数计算，方差结果取整数）. 参考公式：总体划分为女生和男生2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记总的样本平均数和样本方差分别为，，则. 18．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）某地区举办“机器人创新大赛”，现从参加该比赛的所有参赛者中随机抽取200名参赛者，将这200名参赛者的比赛成绩（单位：分）按，，，，，分成6组，并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)用样本估计总体，估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数；（每组数据用该区间的中间值作代表） (3)已知落在内比赛成绩的平均数为64.5，方差是14，落在内比赛成绩的平均数是70.5，落在内比赛成绩的方差是4，求落在内比赛成绩的平均数与落在内比赛成绩的方差. 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 19．（24-25高一下·山东济宁·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的上四分位数； (3)已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $