1.1集合的概念-2026年新高一数学暑假人教A版必修第一册（预习讲义）

暑假预习讲义-------专题1.1 集合的概念 一、教学目标 1. 掌握集合与元素的基础定义，理解元素与集合的从属关系，熟记常用数集的标准符号并能熟练运用。 2. 明晰集合中元素的三大基本性质，掌握集合的两种核心表示方法：列举法、描述法，能够用两种方法规范表示基础集合。 3. 体会数学概念与现实生活的关联，提升利用集合知识分析、解决简单实际问题的能力。 二、教学重难点 1. 教学重点 元素与集合的从属关系判断，运用数学符号语言规范刻画、表示集合。 2. 教学难点 集合中元素三大特性的理解及解题应用。 知识点01 集合的基础概念 元素与集合的定义及符号表示 (1) 元素：通常情况下，我们将被研究的每一个对象统称为元素，元素一般用小写英文字母表示。 (2) 集合：由若干个具有共同特征的元素所构成的整体称为集合（简称集），集合一般用大写英文字母表示。 【即学即练】 下列四组对象中，能够构成集合的是（       ） A．本班身高较高的同学  B．寿命较长的人群  C．的近似值  D．平方等于自身的实数 答案：D 详细解析：集合的核心特性为确定性，模糊、无统一判定标准的对象无法构成集合。A、B选项中“较高”“较长”无明确判定标准，C选项近似值取值不唯一，均不满足确定性；D选项平方等于自身的实数只有，对象确定，可构成集合。 知识点02 集合元素的三大特性 (1) 确定性：对于任意一个给定的集合，其包含的元素是明确的。换言之，任意一个对象，都能明确判定其是否属于该集合。简记为元素确定、归属唯一。 (2) 互异性：同一个集合内的所有元素互不相同，集合中不存在重复元素。简记为元素互异、无重复。 (3) 无序性：集合中的元素排列无先后顺序，元素位置可任意调换，集合保持不变。简记为元素无序、顺序无关。 【即学即练】 已知集合，则集合中元素的个数为（       ） A．6 B．3 C．4 D．5 答案：C 详细解析：根据集合元素互异性，集合中重复元素只保留一个。集合化简后为，共4个元素。 知识点03 元素与集合的从属关系 (1) 属于：若对象是集合中的元素，则称属于集合，记作。 (2) 不属于：若对象不是集合中的元素，则称不属于集合，记作。 【即学即练】 1. 已知集合，若，则的值不可能是（       ） A．-1 B．0 C．2 D．3 答案：A 详细解析：由可知只能取，本身不在集合中，不可能为的取值，直接锁定答案。 2. 已知集合，若，则实数的值为（       ） A．1 B．1或0 C．0 D．-1或0 答案：C 详细解析：由得，解得。若，集合为，违反互异性，舍去，故。 知识点04 常用数集及专用符号 非负整数集（自然数集），记作 ；正整数集，记作（或） ；整数集，记作 ；有理数集，记作 ；实数集，记作 。 【即学即练】 1. 用符号“”或“”填空： （1）0；（2）1；（3）； （4）；（5）-2。 解析：自然数集包含0，整数集包含正负整数与0，实数集包含全体有理、无理数；是无理数，不属于有理数集；负整数不属于正整数集。 2. 下列从属关系正确的个数是（     ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 详细解析：①②④正确，③错误（），共3个正确。 知识点05 集合的两种表示方法 1．列举法 将集合的全部元素逐一罗列出来，并用大括号“”包裹的集合表示方法，叫做列举法。 注意：(1) 元素之间必须用逗号分隔；(2) 罗列的元素必须是确定的；(3) 集合中元素互不重复；(4) 集合元素可以是任意研究对象。 2．描述法 (1) 定义：设为一个集合，将集合中所有具备共同特征的元素构成的集合记作，该方法即为描述法，部分场景可用冒号、分号替代竖线。 (2) 书写规范：在大括号内先标注集合元素的通用符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写明集合元素的共同特征。 【即学即练】 1. 用列举法表示下列集合： （1）； 答案： 解析：为正整数，满足，依次取值可得对应点坐标。 （2）大于2且小于20的所有质数构成的集合； 答案： 解析：质数定义：大于1，且只能被1和自身整除的整数，筛选区间内所有质数即可。 （3）绝对值小于等于4的所有整数构成的集合； 答案： 解析：由得，取出区间内全部整数。 2. 平面直角坐标系中，剔除、两点后的所有点构成的集合为（       ） A． B． C． 答案：C 详细解析：，故不等式等价于排除两个定点。A错：会剔除无数直线点；B错：逻辑或无法定点剔除；C精准符合题意。 题型01 集合的含义 典例1 以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；（2）所有的数学难题；（3）北京市中考分数580以上的同学；（4）中国古代四大发明；（5）我国的大河流；（6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 答案：B 解析：不能构成集合：(1)(2)(5)（标准模糊，无确定性）；可以构成集合：(3)(4)(6)，共3个不能构成。 判断一组对象能否组成集合的标准：关键看确定性，标准清晰可判定则为集合，同时兼顾互异性、无序性。 变式1 下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 答案：BD 解析：A模糊无确定性；B国家固定，可构成集合；C由互异性只有3个元素；D正确。 变式2 给出下列说法：①所有接近于的数构成一个集合；②2024年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合；③高科技产品构成一个集合；④所有不大于5的自然数构成一个集合；⑤组成的集合含有4个元素．其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 答案：D 解析：①③标准模糊错误；②④确定正确；⑤由互异性只有3个元素，错误。 变式3 已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（   ） A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集 B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集 C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集 D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集 答案：C 解析：两直线斜率：。相交（单元素集）；平行无交点（空集），无重合情况，不存在无限集解，C错误。 题型02 元素与集合的关系 典例1 集合，且，则有（   ） A． B． C． D． 答案：C 解析：为偶数集，为偶数，则仍为偶数，属于集合；为奇数，不属于。 判断方法：①直接观察枚举型集合；②推理验证描述型集合，代入特征判定。 变式1 下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 答案：B 解析：元素用，集合用，0是自然数，B正确。 变式2 已知非空数集M满足：①若，则；②若，则。下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 答案：CD 解析：若、会出现分母为0，排除AB；代入验证CD推导成立。 变式3 若，则称A是伙伴关系集合．集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是（   ） A． B． C． D． 答案：ABC 解析：1的倒数为自身，2与互为倒数，D不满足伙伴关系。 题型03 集合中元素的特性及应用 典例1 已知集合，且，求的值。 答案：或3 解析：分情况讨论：①，集合重复舍去；②，满足条件；③，得或（舍）。 变式1 若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：C 解析：集合相等则元素完全一致，由互异性得。 变式2 设，集合，若，则______。 答案： 解析：，得。 变式3 已知集合，若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．2或 答案：A 解析：，满足互异性；无其他取值。 题型04 用列举法表示集合 典例1 已知集合。(1)若，求集合；(2)若集合A中各元素之和等于3，求实数的值，并用列举法表示集合。 答案：(1)；(2) 解析：(1)代入得，解方程得两根1、2；(2)二次方程两根和为3，得。 变式1 下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合可表示为 D．集合与是同一个集合 答案：B 解析：B选项描述法冗余错误，标准写法为。 变式2 方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 答案：B 解析：方程组解集为点集，需用坐标形式大括号包裹。 变式3 下面四个说法中不正确的是（ ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．0与表示同一个集合 答案：CD 解析：C违反互异性；D中0是元素，是集合，概念不同。 题型05 用描述法表示集合 典例1 集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 答案：A 解析：集合包含0到4的自然数，A完全匹配。 变式1 已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 答案：D 解析：区间开区间不含-2，故。 变式2 下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体整数 D．不等式的解集表示为 答案：A 解析：B缺少整数限制；C为全体实数；D解集为，仅A正确。 变式3 一次函数与的图象的交点组成的集合是（   ） A． B． C． D． 答案：C 解析：联立方程解得，交点为点集，标准形式为。 【基础巩固选择题】 一、基础巩固选择题 1. 下列对象能构成集合的是（ ） A．班级里性格开朗的同学 B．所有较大的实数 C．小于5的自然数 D．接近10的小数 答案：C 解析：集合核心属性为确定性，A、B、D选项描述模糊，无统一判定标准，无法构成集合；小于5的自然数为，对象确定，可构成集合。 2. 下列元素与集合的关系正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 解析：，A错误；是无理数，属于实数集，B正确；是无理数，不属于有理数集，C错误；正整数集不含负数，D错误。 3. 集合的元素个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 答案：B 解析：根据集合元素互异性，重复元素只保留一个，化简得，共3个元素。 4. 用描述法表示集合，正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 解析：A包含0，不符合；B为全体小于5的实数；D为1到5的全体实数；C精准对应1、2、3、4四个整数。 5. 已知集合，下列关系式错误的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 解析：集合元素为0、1、2，3不属于该集合，故C错误。 6. 集合的含义是（ ） A．包含0的集合 B．空集，不含任何元素 C．仅有一个元素的集合 D．全体实数构成的集合 答案：B 解析：空集的定义为不含任何元素的集合，是最基础的特殊集合。 【能力提升填空题】 1. 化简集合，结果为________。 答案： 解析：由集合元素互异性，去除重复元素，保留唯一元素即可。 2. 已知，则实数的值为________。 答案：4或3 解析：分类讨论：若，则集合为，符合题意；若，则，集合为，无重复，结合题意，所以或3。 3. 绝对值小于3的所有整数组成的集合为________。 答案： 解析：由得，区间内整数为-2、-1、0、1、2。 4. 已知集合，则________（填或）。 答案： 解析：集合为偶数集，5是奇数，不属于偶数集。 5. 集合用列举法表示为________。 答案： 解析：解方程，得实数根。 6. 若集合中只有两个元素，则满足的条件是________。 答案： 解析：由元素互异性，需满足，解得。 【综合解答题】 1. 判断下列对象能否构成集合，并说明理由。 （1）所有正整数；（2）身材高挑的女生；（3）大于1且小于10的整数。 答案与解析： （1）能构成集合。正整数定义明确，对象确定，满足集合确定性； （2）不能构成集合。“身材高挑”无统一判定标准，不满足确定性； （3）能构成集合。对应元素为，对象明确唯一。 2. 已知集合，若，求实数的值。 答案：或 解析：由得，因式分解得，解得或。代入验证，集合均无重复元素，满足互异性，均成立。 3. 分别用列举法和描述法表示“大于-2且小于5的所有整数组成的集合”。 答案： 列举法：； 描述法：。 解析：筛选区间内所有整数，即可得到对应元素，按照两种集合规范写法书写即可。 4. 已知集合，写出集合的所有元素，并求出元素个数。 答案：元素为，共4个元素。 解析：根据描述法定义，取大于2、小于等于6的自然数，依次枚举可得全部元素，统计个数即可。 5. 设集合，用列举法表示集合。 答案： 解析：为正整数，满足，依次取值：、、、，无其他正整数解，罗列所有点坐标即可。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假预习讲义-------专题1.1 集合的概念 一、教学目标 1. 掌握集合与元素的基础定义，理解元素与集合的从属关系，熟记常用数集的标准符号并能熟练运用。 2. 明晰集合中元素的三大基本性质，掌握集合的两种核心表示方法：列举法、描述法，能够用两种方法规范表示基础集合。 3. 体会数学概念与现实生活的关联，提升利用集合知识分析、解决简单实际问题的能力。 二、教学重难点 1. 教学重点 元素与集合的从属关系判断，运用数学符号语言规范刻画、表示集合。 2. 教学难点 集合中元素三大特性的理解及解题应用。 知识点01 集合的基础概念 元素与集合的定义及符号表示 (1) 元素：通常情况下，我们将被研究的每一个对象统称为元素，元素一般用小写英文字母表示。 (2) 集合：由若干个具有共同特征的元素所构成的整体称为集合（简称集），集合一般用大写英文字母表示。 【即学即练】 下列四组对象中，能够构成集合的是（       ） A．本班身高较高的同学  B．寿命较长的人群  C．的近似值  D．平方等于自身的实数 知识点02 集合元素的三大特性 (1) 确定性：对于任意一个给定的集合，其包含的元素是明确的。换言之，任意一个对象，都能明确判定其是否属于该集合。简记为元素确定、归属唯一。 (2) 互异性：同一个集合内的所有元素互不相同，集合中不存在重复元素。简记为元素互异、无重复。 (3) 无序性：集合中的元素排列无先后顺序，元素位置可任意调换，集合保持不变。简记为元素无序、顺序无关。 【即学即练】 已知集合，则集合中元素的个数为（       ） A．6 B．3 C．4 D．5 知识点03 元素与集合的从属关系 (1) 属于：若对象是集合中的元素，则称属于集合，记作。 (2) 不属于：若对象不是集合中的元素，则称不属于集合，记作。 【即学即练】 1. 已知集合，若，则的值不可能是（       ） A．-1 B．0 C．2 D．3 2. 已知集合，若，则实数的值为（       ） A．1 B．1或0 C．0 D．-1或0 知识点04 常用数集及专用符号 非负整数集（自然数集），记作 ；正整数集，记作（或） ；整数集，记作 ；有理数集，记作 ；实数集，记作 。 【即学即练】 1. 用符号“”或“”填空： （1）0；（2）1；（3）； （4）；（5）-2。 解析：自然数集包含0，整数集包含正负整数与0，实数集包含全体有理、无理数；是无理数，不属于有理数集；负整数不属于正整数集。 2. 下列从属关系正确的个数是（     ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 知识点05 集合的两种表示方法 1．列举法 将集合的全部元素逐一罗列出来，并用大括号“”包裹的集合表示方法，叫做列举法。 注意：(1) 元素之间必须用逗号分隔；(2) 罗列的元素必须是确定的；(3) 集合中元素互不重复；(4) 集合元素可以是任意研究对象。 2．描述法 (1) 定义：设为一个集合，将集合中所有具备共同特征的元素构成的集合记作，该方法即为描述法，部分场景可用冒号、分号替代竖线。 (2) 书写规范：在大括号内先标注集合元素的通用符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写明集合元素的共同特征。 【即学即练】 1. 用列举法表示下列集合： （1）； （2）大于2且小于20的所有质数构成的集合； （3）绝对值小于等于4的所有整数构成的集合； 2. 平面直角坐标系中，剔除、两点后的所有点构成的集合为（       ） A． B． C． 题型01 集合的含义 典例1 以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；（2）所有的数学难题；（3）北京市中考分数580以上的同学；（4）中国古代四大发明；（5）我国的大河流；（6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 判断一组对象能否组成集合的标准：关键看确定性，标准清晰可判定则为集合，同时兼顾互异性、无序性。 变式1 下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 变式2 给出下列说法：①所有接近于的数构成一个集合；②2024年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合；③高科技产品构成一个集合；④所有不大于5的自然数构成一个集合；⑤组成的集合含有4个元素．其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 变式3 已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（   ） A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集 B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集 C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集 D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集 题型02 元素与集合的关系 典例1 集合，且，则有（   ） A． B． C． D． 变式1 下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 变式2 已知非空数集M满足：①若，则；②若，则。下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 变式3 若，则称A是伙伴关系集合．集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是（   ） A． B． C． D． 题型03 集合中元素的特性及应用 典例1 已知集合，且，求的值。 变式1 若，则a的值为（    ） 变式2 设，集合，若，则______。 变式3 已知集合，若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．2或 题型04 用列举法表示集合 典例1 已知集合。(1)若，求集合；(2)若集合A中各元素之和等于3，求实数的值，并用列举法表示集合。 变式1 下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合可表示为 D．集合与是同一个集合 变式2 方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 变式3 下面四个说法中不正确的是（ ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．0与表示同一个集合 题型05 用描述法表示集合 典例1 集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 变式1 已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 变式2 下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体整数 D．不等式的解集表示为 变式3 一次函数与的图象的交点组成的集合是（   ） A． B． C． D． 【基础巩固选择题】 一、基础巩固选择题 1. 下列对象能构成集合的是（ ） A．班级里性格开朗的同学 B．所有较大的实数 C．小于5的自然数 D．接近10的小数 2. 下列元素与集合的关系正确的是（ ） A． B． C． D． 3. 集合的元素个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 4. 用描述法表示集合，正确的是（ ） A． B． C． D． 5. 已知集合，下列关系式错误的是（ ） A． B． C． D． 6. 集合的含义是（ ） A．包含0的集合 B．空集，不含任何元素 C．仅有一个元素的集合 D．全体实数构成的集合 【能力提升填空题】 1. 化简集合，结果为________。 2. 已知，则实数的值为________。 3. 绝对值小于3的所有整数组成的集合为________。 4. 已知集合，则________（填或）。 5. 集合用列举法表示为________。 6. 若集合中只有两个元素，则满足的条件是________。 【综合解答题】 1. 判断下列对象能否构成集合，并说明理由。 （1）所有正整数；（2）身材高挑的女生；（3）大于1且小于10的整数。 2. 已知集合，若，求实数的值。 3. 分别用列举法和描述法表示“大于-2且小于5的所有整数组成的集合”。 4. 已知集合，写出集合的所有元素，并求出元素个数。 5. 设集合，用列举法表示集合。 1 学科网（北京）股份有限公司 $