山西省现代双语学校集团2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章一第九章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.复数z=一i(9一8i)的虚部为 A.-8 B.8 C.-9 D.9 2.某小学有学生3300人，卫生部门为了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300 的样本，则适合的抽样方法是 A.抽签法 B.随机数法 C.简单随机抽样 D.分层随机抽样 3.已知向量a=(1,m),b=(2,一1)，若a∥(a十2b),则实数m的值为 A.-2 B-2 C.2 D.z 4.如图，梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，B'C'∥A'D',A'B'=1, A'D'=2B'C=2,则平面图形ABCD的周长为 A.4十√2 B B.4-√2 C.5+√5 D.5-√5 5.设m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列结论正确的是 A.若m∥n,m∥a,则n∥a B.若a⊥B,m⊥B,则m∥a C.若m∥a,m∥B,则a∥3 D.若m⊥a,n⊥a,则m∥n 【高一数学第1页（共4页）】 26-L-659A 6.如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，D为母线SB的中点，C是AB的中点，SO=AB =2,则直线SA与CD所成角的余弦值为 A号 唔 c n写 7.如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮 的规格，现测得如下数据：AB=40√3cm,AC=28cm,BD= 20cm,A=B=否，则破裂的断点C,D两点间的距离为 A.28 cm B.14√3cm C.26 cm D.13√3cm 8.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,AB=BC=2DC=2,E为AC上 D 一点，且满足AE=BE,则AE·BD= A.1 E c多 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某城市连续7天的最低温度（单位：℃）为0,2,5,5,6,7,3，则这组数据的 A.极差为7 B.40%分位数为4 C.平均数为4 D.方差为5 10.在△ABC中，角A,B,C对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是 A.若A>B,则sinA>sinB B.若sinA十sin2B>sinC,则△ABC是锐角三角形 C.若A=30°，b=5,a=2,则△ABC有两解 D.若△ABC的面积为S,且S=}(a2+B-2),则C=至 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1BCD1中，E,F分别是C1D1, DD1的中点，P是线段EF上的一动点，则下列说法正确的是 A.BD1⊥AB1 B.过点E,A,C的平面截该正方体所得的截面面积为4√2 C.点P到平面AB1C的距离为定值 D,当直线CP与平面AB,C所成角的正弦值取得最大值时，CP=3y2 【高一数学第2页（共4页）】 26-L-659A 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某班有男生40人，女生30人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班抽出一个容 量为28的样本，如果样本按比例分配，则女生应抽取 人 13.已知甲、乙两个圆台的上底面的半径均为n,下底面的半径均为r2(r<r2),母线长分别为 3(,-1)和5(。一)，记甲，乙两个圆台的体积分别为.V,则哈 14.在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，PA⊥AC,PB⊥BC,PC=4,则点 P到平面ABC的距离为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知复数1,2在复平面内对应的点分别为Z1(0,1),Z2(2,一1). (1)若之=1一2，求之； (2)若复数之=之1十m之1之2在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围。 16.(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C=BC,点D是棱A1B的中点. (1)求证：BC∥平面ADC; (2)若AB=√2AA1,求证：A1B⊥AC 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,,且+c-a=sinB sin C (1)求角A的大小； (2)若a=7,△ABC的面积为3y,求的值： a (3)若c=2,sinC+cosC=√2，求b的值. 【高一数学第3页（共4页）】 26-L-659A 18.(本小题满分17分) 某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩 作为样本进行统计，将其成绩（满分：100分）分成[40,50)，[50,60)，…，「90,100]六组，得 到如图所示频率分布直方图， 频率 组距 0.025 0.020 0.010 0.005 O 405060708090100分数 (1)求图中α的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表)； (2)若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前20%的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估 计获得该荣誉证书的最低分数； (3)若落在[50,60)中的样本数据的平均数是54，方差是6，落在[60,70)中的样本数据的平 均数是66，方差是3，求这两组数据的总平均数x和方差s2. 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,AB=BC=AP=2, AD=4. (1)证明：CD⊥平面PAC; (2)求二面角B-PC-D的大小； (3)点T是棱PC上的动点（不包括端点），求直线TD与平面ABCD成角的正切值的取 值范围 【高一数学第4页（共4页）】 26-L-659A高一数学参考答案、提示及评分细则 1.Cz=一i(9一8i)=一8-9i,所以复数之的虚部为一9.故选C 2.D由于不同年级的学生身体发育情况差别较大，因此适合采用分层随机抽样的方法.故选D. 3.Ba+2b-(5,m-2),因为a/a+2b),所以5m-(m-2)=0,解得m=-2:故选B 4.C由题意可知，原平面图形为直角梯形ABCD,AB=2,AD=2,BC=1,CD= √22+(2-1)z=√5，周长为AD+AB+BC+CD=2+2+1+√5=5+√5.故 B 选C 5.D若m∥n,m∥a,则n∥a或nCa,A错误；若a⊥B,mLB,则m∥a或mCa,B错 误；若m∥a,m∥B,则a∥B或a与B相交，C错误；若mLa,n⊥a,根据线面垂直的 O(4A) D 性质定理可知，m∥n,D正确.故选D. 6.D如图，连接OC,OD,易得OC⊥OD,又O,D分别是AB,SB的中点，所以OD∥SA,所以直线SA与CD所 成角为∠CD0或其补角)，因为SA=V2+=5,0D=号sA=号，CD=√（受）+1：=是，所以 cos∠CD0咒号.故选D E 、、D C A B 第6题图 第7题图 7.A如图，延长AC,BD交于点E,因为A=B=晋，所以E-,在△ABE中，由正弦定理，得二-E sin B sin A= smE,得AE=BE= AB 03×气=40(cm).由题意得CE=40-28=12(cm),DE=40-20=20(cm 2 2巫 号，在△CDE中，由余弦定理得CD=√BC+ED-2BC·EDos E=√12+20-2X12X20cos号 √784=28(cm),故C,D两点之间的距离为28cm.故选A. 8A过点E作GLAB于G,令∠EAB=0,由AE=BE,得AG=司AB=1,A2=SG-a59得BC =2,∠AcB=,所以.励-恋.(c+动)-应.成号证.A=购02as9-号· 02·os=1.放选A 9.AC将这7个数据从小到大排序为0,2,3,5,5,6,7，则极差为7一0=7，A正确；7×40%=2.8,40%分位数 对应排序后第3个数，为3，B错误；平均数为+2+3十5十5+6+7=4，C正确： 方差为0-4+2-4)十3-4+5-)+5=)+6-4)+7-)-9，D错误故选AC 7 【高一数学参考答案第1页（共4页）】 26-L-659A 10.AD对于A,由A>B,可得a>b,由正弦定理可得sinA>sinB,所以A正确；对于B,由正弦定理得a2+ >,所以c0sC二Q十。C>0,所以C为锐角，但A,B可能为钝角，不能确定△ABC为锐角三角形，放B 结误对于C,已知A=30,6二5，a=2,根据正弦定理可知m0=B解得smB=号>1，所以无解，C 2 错误；对于D,若△ABC的面积为S,因为S=(a2+-2),则号absin C=-子X2 abesC,所以sinC- QosC则amC-部-1，由于C∈(0，x),则C-圣，放D正确：放选AD 11.AC因为A1D⊥平面ABBA1,ABC平面ABBA1,所以AD⊥AB,又AB⊥AB,AB∩AD=A, A1B,A1DC平面A1D1B,所以AB:⊥平面A1D1B,又BD1C平面A1DB,所以BD⊥AB1,A正确；取 A1D,的中点G,连接EG,GA,EC,易得EG∥AC,所以过点E,A,C的平面截该正方体所得的截面为梯形 BGAC,又C一E,AC=2W2,AGCE=5,易得梯形BGAC的高为是，所以发面面积为2+22×是 2 √2 号，故B错误，因为点E,F分别是CD,DD,的中点，易得EF∥AB,又EFt平面ABC,AB,C平面 ABC,所以EF∥平面ABC,又点P是线段EF上的一动点，所以点P到平面AB1C的距离为定值，故C 正确；因为点P到平面AB,C的距离为定值，所以当CP最小时，直线CP与平面AB,C所成角的正弦值取 得最大值，此时P是EP的中点，CP-3,故D错误故选AC 12,12女生应轴取的人数为28×0即30=12人 1&号 由题可得两个圆台的高分别为h甲=√3(r2一n)]一(r2-1)=2√2(r2一n),hz= 5n)=26(),所以验专S+S+/SSm鲤=2 (S++)ha hz2W6(2-n) = 3 14.2PA⊥AC,PBLBC,PC=4,△ABC是边长为3的等边三角形，所以PA=PB=√PC一AC2=√7，取 AB的中点D,则PD1AB,CDLAB,.PD=VPA-A-零，CD-39,又PDNCD=-D,PD,CDC平 面PCD,所以ABL平面PCD,在△PCD中，由余弦定理得cos∠PDC=DPappCnc所 2DP·DC s☑PDC-ZPIC-希过点P作直线CD的垂线，垂足为C,则PG=PDne∠PC-2,又 PGC平面PCD,所以AB⊥PG,又PG⊥CD,AD∩CD=D,AD,CDC平面ABC,所以PG⊥平面ABC,即点 P到平面ABC的距离为PG=2. 15.解：(1)由题知，之1=i,2=2一i,…2分 所以之=之1-2=i-(2-i)=-2十2i,… …4分 故|z=√/（-2)2十22=2√2.…… …6分 (2)z=1+m212=i+mi(2-i)=m+(2m+1)i, 8分 m<0, 因为复数z在复平面内对应的点位于第二象限，所以〈 10分 2m+1>0, 解得-<m<0, 12分 【高一数学参考答案第2页（共4页）】 26-L-659A 故实数m的取值范围为(-是，0）：. 13分 16.证明：(1)连接A1C交AC1于点E,连接DE,如图所示. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形ACC1A1是平行四边形，所以A1E= EC,又点D是棱A1B1的中点，所以B1C∥DE,…3分 又DEC平面ADC,BC丈平面ADC,所以B,C∥平面ADC.…6分A D B (2)因为AC=BC,点D是棱A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1, 在直三棱柱ABC-A1BC中，AA1⊥平面A1BC,又CDC平面A1BC,所 以AA⊥CD,又AA∩AB=A1,AA1,A1BC平面ABBA1,所以CD⊥平 面ABB1A,……9分 又A1BC平面ABB1A1,所以CD⊥A1B.…10分 因为AAD-A号m∠BA:B器号所以∠AAD=∠BA,B, 又∠AAD+∠ADA=,所以∠BAB+∠ADA=受，所以ADLAB,…12分 又C1D∩AD=D,C1D,ADC平面ADC1,所以A1B⊥平面ADC,…14分 又AC平面ADC,所以A1B⊥AC.…15分 17.解：(1)因为+c-a2-sinB C2 sin C' 由正弦定理得+心-A,化简得+2-Q2=c, 由余弦定理可得cosA=+c2一a2=」 3分 2bc 又0<A<元，所以A=于 5分 (2因为△ABC的面积为2 inA-停c-3,解得6c=6. 7分 由(1)可得+c2-a2=bc,所以(b+c)2=a2+3bc=7+3X6=25,即b+c=5,…9分 所以+c=5=57 a√77 10分 (3)由sinC+cosC=2sin(c+T)=√2，得sin(c+T)=1, 因为Cc(0,x),所以C+∈(，)，所以C+晋=登，即C- 004…44…… 12分 所以smB=n(A+C0=oC叶CoosA=号x号+3×号-52 2 4 …14分 由正弦定理品B5C可知6- 2X6+2 4 -=√3+1. 小… sin C 15分 2 18.解：(1)由频率分布直方图可得(0.005+0.01十0.02+a+0.025十0.01)×10=1，解得a=0.03.…2分 样本数据平均数为45×0.05+55×0.1+65×0.20+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74.…5分 (2)因为成绩小于80分的频率为1-0.1一0.25=0.65，成绩小于90分的频率为1一0.1=0.9， 所以竞赛成绩的80%分位数在[80,90)中，…7分 则80+10×80%-，65%=86，所以80%分位数为86， 0.25 所以获得该荣誉证书的最低分数为86分. 11分 (3)根据题意，成绩在[50,60)内的人数为100×(0.01×10)=10， 【高一数学参考答案第3页（共4页）】 26-L-659A 成绩在[60,70)内的人数为100×(0.02×10)=20， 10 20 所以这两组数据的总平均数x一10十20X54十10十20X66=62,… 14分 总方差子=10”0[6+(54-62)]+0200[3+(66-62)门=36， 20 17分 19.(I)证明：AD∥BC,AB⊥AD,AB=BC-=2,所以∠BAC=∠BCA=∠CAD=T,AC=22, 所以在△ACD中，由余弦定理得CD-V√AC+AD-2AC·AD cs晋=√8+16-4W2X4X号 =2√2， 2 …2分 所以AC2十CD2=AD2,所以CD⊥AC. 3分 因为PA⊥底面ABCD,CDC平面ABCD,所以CD LPA. 又PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,所以CD⊥平面PAC. 4分 (2)解：取BP的中点E,过点D作DF⊥平面PBC,DF交平面PBC于点F,连接CF 因为PA⊥平面ABCD,PAC平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABCD. 因为平面PAB∩平面ABCD=AB,BC⊥AB,所以BC⊥平面PAB. 5分 因为AEC平面PAB,所以AE⊥BC 因为AB=AP=2,PE=BE,所以AE⊥BP,AE=√2， 又BP,BCC平面PBC,PB∩BC=B,所以AE⊥平面PBC. …6分 因为AD∥BC,BCC平面PBC,AD寸平面PBC,所以AD∥平面PBC, 7分 所以点A到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离，所以DF=√2. 由(I)知CD⊥平面PAC,因为PCC平面PAC,所以CD⊥PC. 因为DF⊥平面PBC,PCC平面PBC,所以DF⊥PC.… 8分 又DF,CDC平面CDF,DF∩CD=D,所以PC⊥平面CDF 因为CFC平面CDF,所以PC⊥CF.… 9分 由PC⊥CF,CDLPC,平面PBC∩平面PCD=PC,知∠FCD是二面角B-PC-D的平面角的补角. 由DF=VE,CD=2E,DF⊥CF,得∠FCD=吞. 所以二面角B-PC-D的大小为餐 … 11分 (3)解：过点T作TG平行于PA,交AC于点G,连接GD. 因为PA⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD. 因为TG∥PA,所以TG⊥AB,TG⊥AD. 因为AB∩AD=A,AB,ADC平面ABCD,所以TG⊥平面ABCD, 所以TD与底面ABCD所成的角为∠TDG.…13分 设QG0<<2.所以器-器即警元所以7G=号，GD 2 √x2+8. 。。。。。。 15分 Lz 所以tan∠TDG= TG 2 GD √Jx2+8 V2(1+) 由函数y 单调递增，得0<tan∠TDCK2, √2(1+) 所以直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为(O,号)】 17分 【高一数学参考答案第4页（共4页）】 26-L-659A高一数学 答题卡 准考证 号 学 校 [0][0][0][0][0][0][0][0][0][0] [1][1][1][1][1][1][1][1][1][1] 姓 名 [2][2][2][2][2][2][2][2][2][2] [3][3][3][3][3][3][3][3][3][3] [4][4][4][4][4][4][4][4][4][4] 班 级 [5][5][5][5][5][5][5] [5][5][5] [6][6][6][6][6][6][6][6][6][6] [7][7][7][7][7][7][7][7][7][7] 考场 [8][8][8][8][8][8][8][8]8][8] [9][9][9][9][9][9][9][9][9][9] 1.答题前，考生务必清楚地将自已的姓名、准考证号填写在规 注 定的位置，核准条形码上的准考证号、姓名与本人相符并完 全正确及考试科目也相符后，将条形码粘贴在规定的位置。 意2选韩题必须使用2B船笔填涂；非选稀题必须使用05毫米 事 黑色屬水签字笔作答，字体工整、笔迹清楚。 贴条形码区 3.考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题 项 区域范围书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不准折叠、不得弄破。 填涂样例 正确填涂：■ 错误填涂：中X☐p口 缺考标记：☐ 选择题（请用2B铅笔填涂） 1 CA][B]CC]CD] 5 CA]CB]CC]CD] 9 CA]CB]CC]CD] 2 [A][B][C][D] 6CA][B][C][D] 10 CA]CB]CC]CD] 3 [A][B][C]CD] 7CA][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4 CA][B][C][D] 8[A][B][C][D] 非选择题（请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写） 12.(5分) 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高一数学第1页（共2页）26-L-659A 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(本小题满分15分) D R 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高一数学第2页（共2页）26-L-659A 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！