精品解析：山西现代双语学校联校2025-2026学年高一下学期四月份考试数学试卷

山西现代双语学校联校高一年级四月份考试卷 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先利用复数的除法，求出复数，再求共轭复数，然后判定所在象限. 【详解】由题意知，，则， 故复数在复平面内对应的点为，在第四象限. 2. 已知，，若与共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】由与共线，可得：，解得：, 所以，则. 3. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则. 4. 设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理计算即可. 【详解】由共线向量定理可知存在实数，使得， 即，又与是不共线向量， 所以解得. 故选：B． 5. 在中,内角所对的边分别为且.若,则的形状是 A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】 在中,由余弦定理的推论:,结合,可得,结合和正弦定理,即可求得答案. 【详解】在中,由余弦定理的推论: ① 将代入①得 故:, 又 由 根据正弦定理可得, ,即, 为一个内角为的等腰三角形, 即为等边三角形. 故选:C. 【点睛】本题考查了根据正弦定理和余弦定理来判断三角形形状,解题关键是掌握正弦定理和余弦定理,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 6. 若平面向量模长相等，且，则（    ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为，则，两侧同时平方，再由平面向量模长相等求解即可. 【详解】因为，所以，所以，所以， 因为平面向量模长相等，设， 所以，所以解得. 7. 如图，在平面四边形ABCD中， 若点E为边CD上的动点，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。 详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设 = 所以当时，上式取最小值 ，选A. 点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。 8. 内角的对边分别为，满足，且，则（ ） A. 为锐角 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理得，由，得，从而确定的范围，由，得，计算即可. 【详解】， 又， ，整理得： ， ， ， ， 当且仅当时等号成立， 又，， ，为钝角， ，， ，， ，即， ，，解得：， ， ， ． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用复数模的意义、乘法运算，结合共轭复数的意义逐项计算判断. 【详解】对于A，，，A正确； 对于B，，则，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，，，，D错误. 故选：ABC 10. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是钝角三角形 C. 的最大内角是最小内角的2倍 D. 若，则外接圆半径为 【答案】CD 【解析】 【分析】由已知可求的值，然后分别结合正弦定理，余弦定理及二倍角公式，同角三角函数平方关系分别对选项进行检验． 【详解】由，可得， 故可设，，， 由正弦定理可得，，A错误； 由题意可知为最大角，由余弦定理可得，， 故为锐角，从而可知是锐角三角形，B错误； 因为最小内角为最小角，，故， 故，C正确； 由，，结合正弦定理可得， 故，D正确． 故选：CD 11. 已知点在以为直径的圆上运动，且，动点为平面内一点，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为 C. 的最大值为10 D. 的最小值为8 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合点和点的轨迹可以判断A选项；由向量的数量积公式可知的最小值，判断B选项；利用向量的线性表示，得到，结合向量夹角的范围得到的范围，即得最大值和最小值，判断C、D两个选项. 【详解】A选项，设中点为，∵，，且， ∴，∴ 由题意可知，∵， ∴， 即，当，即同向时取得最小值1.故A正确； B选项，， ∵，即， ∴当，即反向时，取得最小值， ∴， 由图可知，当三点共线且在的两侧时，取得最大值为3， ∴，即最小值为，故正确； 选项C、D，， ∴ ， 而 ∵，∴， ∴ ∴， ∴， 即的最大值是10，最小值是6，故C正确，D错误． 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若M(3，－2)，N(－5，－1)且，则P点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【详解】分析：设点，表示出，代入，即可求出点的坐标. 详解：设点， 则， 又， ， ，故答案为. 点睛：本题主要考查了平面向量的坐标运算问题，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 13. 已知向量，的夹角为，，，若，则_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算及向量垂直的充要条件，列出相应的方程，求解可得. 【详解】因为向量，的夹角为，，， . ， ， 解得． 故答案为：. 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为___________. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】利用三角形射影定理结合正弦定理可得，再由和角的正切公式，配方变形即可计算作答. 【详解】在中，由射影定理及得：， 由正弦定理边化角为：，于是得， 由得，，即角是钝角，， ， 当且仅当，即时取“=”， 所以tanA的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，． （1）当时，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1），可得，再根据复数的乘法运算即可求解； （2）根据复数的分类，即可求； （3）根据复数的乘法、除法运算法则可得，然后根据复数的几何意义在复平面对应点所在的象限可求实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，． 【小问2详解】 因为为纯虚数，所以，所以． 【小问3详解】 ， 该复数在复平面内对应的点在第二象限， 则，解得， 故实数的取值范围是． 16. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算列式求解的值，从而得模长； （2）根据向量的坐标的线性运算得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值； （3）根据向量夹角与数量积的关系求解即可. 【小问1详解】 因为向量，且， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，且， 所以，解得. 【小问3详解】 因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A； （2）若，面积为，求内角A的角平分线AD的长度． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）应用两角和差的正弦余弦公式计算即可； （2）首先根据三角形面积公式得，再利用，代入数据计算即可. 【小问1详解】 由已知得． 又， 故． 因为，所以，即． 因为，所以． 【小问2详解】 由题意知，解得， 根据得， 即，解得. 18. 在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答. ①；②；③的面积为（如多选，则按选择的第一个记分） 问题：在中，角，，的对边分别为，，，且  . （1）求角； （2）若，求面积的最大值； （3）在（2）的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）选①：由正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式化简得到求解；选②先切化弦，再利用正弦定理得到求解；选③利用三角形面积公式和正弦定理得到，再利用余弦定理求解. （2）利用余弦定理和基本不等式即可解题； （3）由正弦定理得到，从而有求解. 【小问1详解】 若选①：由正弦定理得， 则， ， ， ． 若选②：，切化弦，得到， 则由正弦定理得，，即，， ， 若选③：， 则， 由正弦定理得， ， . 【小问2详解】 由余弦定理得，， 则，当且仅当“”时，取“＝”号，即． ，则，当且仅当“”时取得最大值． 【小问3详解】 由正弦定理得， 则， ，由于为锐角三角形， 则， . . 19. 已知平面直角坐标系中，点，点（其中，为常数，且），点为坐标原点． （1）设点为线段上靠近的三等分点，，求的值； （2）如图所示，设点，，，…，是线段的等分点，其中，， ①当时，求的值（用含，的式子表示）； ②当，时，求的最小值． （说明：可能用到的计算公式：，）． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算化简即可得解； （2）①由特殊到一般，可得对满足条件的，，即可化简求向量的模； ②根据条件用表示出向量，再由数量积化简，转化为关于的式子，分类讨论求最值. 【小问1详解】 因为 而点为线段上靠近点的三等分点， 则，可得，所以. 【小问2详解】 ①由题意得，， ，， 所以， 事实上，对任意正整数，且时， ，， 有， 所以， 所以. ②当，时， ，， ， 令， 当，2，3时， 当或3时，上式有最小值为 当时， 当，6，7时，，当或6时，上式有最小值为 综上，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：解题时要有特殊到一般的类比思想，发现一般性规律，化简所求复杂向量求和，对于第二问的第二小问，利用数量积化简后需要分类讨论，对能力要求很高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西现代双语学校联校高一年级四月份考试卷 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，，若与共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 3. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 4. 设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ） A. 2 B. C. D. 5. 在中,内角所对的边分别为且.若,则的形状是 A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 6. 若平面向量模长相等，且，则（    ） A. B. 0 C. D. 7. 如图，在平面四边形ABCD中， 若点E为边CD上的动点，则的最小值为 A. B. C. D. 8. 内角的对边分别为，满足，且，则（ ） A. 为锐角 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是钝角三角形 C. 的最大内角是最小内角的2倍 D. 若，则外接圆半径为 11. 已知点在以为直径的圆上运动，且，动点为平面内一点，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为 C. 的最大值为10 D. 的最小值为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若M(3，－2)，N(－5，－1)且，则P点的坐标为__________. 13. 已知向量，的夹角为，，，若，则_____________． 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，． （1）当时，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 16. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A； （2）若，面积为，求内角A的角平分线AD的长度． 18. 在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答. ①；②；③的面积为（如多选，则按选择的第一个记分） 问题：在中，角，，的对边分别为，，，且  . （1）求角； （2）若，求面积的最大值； （3）在（2）的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围. 19. 已知平面直角坐标系中，点，点（其中，为常数，且），点为坐标原点． （1）设点为线段上靠近的三等分点，，求的值； （2）如图所示，设点，，，…，是线段的等分点，其中，， ①当时，求的值（用含，的式子表示）； ②当，时，求的最小值． （说明：可能用到的计算公式：，）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $