四川广安市加德学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（B卷）

**基本信息** 以广安市白塔测量、正方体折叠等真实情境和动态问题为载体，考查复数、向量、立体几何等知识，注重空间观念与推理能力，体现数学眼光观察现实世界、数学思维分析问题的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、向量性质、斜二测画法|基础概念辨析，如第3题通过直观图还原原图形考查空间想象| |多选题|3/18|复数运算、解三角形|多维度考查，如第10题结合外接圆面积与面积最值| |填空题|3/15|向量共线、正四棱台体积|简洁计算，第13题考查棱台体积公式应用| |解答题|5/77|正方体证明与体积、解三角形动点、折叠问题|综合应用，第17题正方体线面平行与体积计算，第19题折叠问题动态探究，培养逻辑推理与转化思想|

广安加德学校高2025级2025--2026下期半期考试 数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题只有一个选项符合题目要求． 1. 复数的虚部为（　　） A. B. C. D. 2. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ） A. 若是共线的单位向量，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为（    ） A. 2 B. C. 4 D. 6 4 为锐角三角形是的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设m、n是两条不重合直线，是两个不重合平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如图，在棱长为2正四面体中，点D为边的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7.位于位于广安市渠河畔的白塔是广安市的有名风景点．现采用三角高程测量法测量白塔的高度．如图是三角高程测量法的示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面的投影，，满足，，在点C处测得点B的仰角为，与的高度差为30m，在点B处测得点A的仰角为，则A，B两点到水平面的高度差约为（ ）（） A. 69m B. 72m C. 79m D. 82m 8. 已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，复数，，则（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 为实数 D. 的虚部为-5 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ） A. B. 外接圆的面积为 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 11. 如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使A，B，C三点重合于点，得到三棱锥，下列关于该三棱锥的说法正确的有（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 点G，H分别是，上的动点，则周长的最小值为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卷相应的横线上．_． 12. 已知向量，，若，则_____. 13. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长是，则它的体积是_____. 14. 在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，若，则的最大值为_________. 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数. （1）当时，求；（2）设，在复平面内对应的点分别为，，若，求的值.． 16. 如图，已知在平面四边形中，． （1）设，若，求； （2）是否存在，使得平分，若存在，求的长；若不存在，说明理由. 17.如图，在边长为2的正方体中，为中点， （1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）求三棱锥的体积. 18. 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若. （1）求角的大小；（2）若，点是上的动点， ①若点满足，求面积；②若，求的取值范围. 19. 如图①，已知等腰梯形的外接圆圆心在底边上，，，是上半圆上的动点（不包含，两点），点是线段上的动点，将半圆所在的平面沿直径折起，得到图②所示图形，据此解答下列各小题： （1）当平面时，求的值； （2）若，，求与平面所成角的正弦值； （3）若，平面平面，设与平面所成的角为，二面角的平面角为，求取得最大值时的值. 广安加德学校高2025级2025--2026下期半期考试（B卷） 数学答案 1. C 2. B 3. D  4 .A   5. D 6. A 7. D 8. C 9. BD 10. BC 11. ACD 12. -2 13. 14. 15. （1）当时，，则， ， . （2）由题，，所以，， 则， 由，则，解得或. 16. （1）解：在中，因为， 由余弦定理得， 可得， 在中，因为，可得， 因为，所以． （2）假设存在，因为平分，可得， 由余弦定理，可得，解得， 所以， 但此时，所以假设不成立，不存在BD符合题意. 17.解（1）在边长为2的正方体中，设交于点，连结，是中点，而为中点，则， 又平面平面，所以平面 （2）在边长为2的正方体中，平面， 平面， 底面为正方形，， 平面平面， 由线面垂直判定定理 平面 平面 （3）在边长为2的正方体中，平面， 所以三棱锥的体积为18. 在中，内角的对边分别为，且，. 18.（1）由得，， 则，由正弦定理得 ； （2）①在中，由余弦定理：得： ，化简：① 由得 即：，代入数据化简得： ②，联立①②得代入②式解得： ， ； ②记则， 在中，由正弦定理得： 在等腰中， 由题意，则， ，即的取值范围为. 19. 【答案】（1） （2）与平面所成角的正弦值 （3）取得最大值时 【解析】 （1）连接交于点M，连接， 因为，，所以， 则平面平面， 依题意，平面，平面，所以， 所以，等腰梯形中，， 所以； （2）因为等腰梯形的外接圆圆心在底边上，所以， 所以，又因为，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 过作于，连接，所以平面， 则为与平面所成的角， 由（1）可得， ，， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以， 所以与平面所成角的正弦值； （3）作于，连接， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以是在平面内的射影， 因为，所以， 所以即为与平面所成的角为，则， 过作，垂足为，连结， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 所以，所以，， 所以， 当且仅当时，取得最大值，即取的最大值， 所以取得最大值时. . ( 7 ) 学科网（北京）股份有限公司 $