精品解析：四川成都市树德中学2025-2026学年高一下学期5月阶段性测试数学试题

树德中学2025级高一下期阶段性测试数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数 （i是虚数单位）在复平面内对应的点位于第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【解析】 【详解】, 从而复数在复平面内对应的点为，位于第三象限. 2. 水平放置的三角形的直观图如图，其中，那么原三角形是一个（ ） A. 等边三角形 B. 腰和底边不相等的等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜二测画法的性质即可求解原图性质. 【详解】结合直观图的画法，画出原如下图： 其中，, 所以，. 所以为等腰三角形，且腰和底边不相等. 故选：B 3. 已知是平面内不共线的两向量，则下列向量组不能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，由，得与不共线，可作平面向量的基底，A不是； 对于B，由，得与不共线，可作平面向量的基底，B不是； 对于C，由，得与共线，不可作平面向量的基底，C是； 对于D，由，得与不共线，可作平面向量的基底，D不是. 4. 中内角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 由正弦定理可得， 所以， 又因为， 所以. 5. 已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简得到，利用投影向量的公式进行求解. 【详解】因为，所以，化简得， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 6. 一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东，距离为海里，灯塔C在A的北偏东，距离为海里，该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏西方向，则此时渔船距离灯塔C为（ ）海里 A. B. C. D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】正弦定理和余弦定理综合应用. 【详解】 灯塔 在A的南偏东 ，渔船到 后， 在 的南偏西 ， 所以，，因此 ， 在 中，由正弦定理 因为 ，，，所以 灯塔 在北偏东 ，渔船沿正东航行，因此 ， 在 中，已知 ，，， 由余弦定理 因此 海里. 7. 已知且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用切化弦以及三角恒等变换化简得出，结合可得出的值，再结合题干等式有意义可得出的值，即可求得的值. 【详解】 ，所以， 因为，所以，所以或， 所以或， 当时，无意义；当时，代数式有意义， 故，即，所以. 8. 如图，在长方体中，E，F，G分别为棱AB，BC，的中点，点K在棱上．以下说法正确的是（ ） A. 若 四点共面，则直线， 三线共点 B. ，使得直线 平面 C. ，直线与直线异面 D. 与三直线，，同时相交的直线有无数条 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，B选项，分别取，的中点，连接，，取为的中点，可得六点共面，即可判断；对于C，取的中点，的中点，的中点为，可得四点共面即可判断；对于D，在上任取一点且点异于点，过作平行于，与交于，连接，可得四点共面，则与平面有一个交点连接，可得与直线，，三条线同时相交即可判断选项. 【详解】分别取，的中点， 连接，， 取为的中点， 此时易得， 所以六点共面， 因为平面，直线， 所以与直线为异面直线，则直线，不共点，故A错误； 对于B，假设直线平面，则五点共面， 由A选项可得为的中点，不在平面内，所以假设不成立，即不存在，使得直线平面； 对于C，取的中点，的中点，的中点为 所以， 由中位线的性质可知， 所以，则四点共面，所以直线与直线不是异面直线， 即当为靠近点的四等分点，四点共面，直线与直线不是异面直线，故C错误； 对于D，在上任取一点且点异于点，过作平行于，与交于，连接， 所以，则四点共面， 则与平面不平行，不在平面内，所以与平面有一个交点 连接，延长则与相交，所以与直线，，三条线同时相交， 由于上异于的点有无数个，则与三直线，，同时相交的直线有无数条，故D正确. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关于多面体的说法错误的是（ ） A. 是正棱锥是四面体是正四面体} B. 是正棱柱是平行六面体是正方体} C. 有两个面相互平行，且为边数相等的多边形，其余各面均为梯形的多面体是棱台 D. 存在八面体，其八个面都是等边三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】应用棱锥，棱柱，棱台及八面体的结合特征判断选项. 【详解】是正棱锥是四面体是正三棱锥}，A选项错误； 是正棱柱是平行六面体是正四棱柱}，B选项错误； 有两个面相互平行，且为边数相等的多边形，其余各面均为梯形的多面体不一定是棱台，需要满足侧棱的延长线交于一点，C选项错误； 存在八面体，正八面体由八个全等正三角形构成，D选项正确； 10. 已知i是虚数单位，下列关于复数，的说法正确的是（ ） A. 若是纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，是关于x的实系数一元二次方程的两根，则 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.根据纯虚数定义求解；B.举出反例；C. 由求根公式得，从而得到；D.根据复数的几何意义求解. 【详解】若是纯虚数，则，解得 ，A 正确； 若 ，不一定有 ，举个反例：取 ，，则 ， 但，，显然不相等，B错误； 若 是实系数一元二次方程 的两根， 所以， ，，所以，C正确 若 ，设 ， 则 在复平面上的轨迹是：到点 和原点距离相等的点的集合，即两点连线的垂直平分线, 两点与的中点为 ，连线斜率为 ，故垂直平分线的斜率为，方程为： 的几何意义是原点到直线 上点的距离， 最小值为原点到直线的距离：,即的最小值为, D正确. 11. 如图，面积为的扇形折成圆锥的侧面后，、两点重合于点，扇弧上的点即圆锥底面圆周上的点，为圆锥底面直径，且，设，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的高为 B. 当时， C. 当时， D. 当取得最大值时，沿圆锥侧面从走到的最短路程是 【答案】BD 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，根据平面向量数量积的运算性质以及圆锥的侧面积公式可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可解得的值，可判断A选项；求出的大小，结合平面向量数量积的定义可判断B选项；推导出，进而推导出点为的中点，可知点与点重合，可判断C选项；根据取得最大值时，求出、的值，结合余弦定理求出、的长，可判断D选项. 【详解】对于A选项，设圆锥的母线长为，底面半径为，高为， 由题意可知为的中点，所以， ①， 又因为该圆锥的侧面积为②， 联立①②可得，，故该圆锥的高为，A错； 对于B选项，设 ，翻折前，，则， 翻折后，则，故，B对； 对于C选项，翻折前，以、为邻边作平行四边形， 因为，则平行四边形为菱形，则，故， 因为，则，故、、三点共线， 所以，故为的中点， 故翻折后，点与点重合，C错； 对于D选项，设 ，其中，则，解得， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设，其中，则， 由，即， 所以，所以， 所以， 设锐角满足，， 所以， 因为，则， 故当时，即当时，取最大值， 此时， ， 由余弦定理可得， ， 所以，故当取得最大值时，沿圆锥侧面从走到的最短路程是，D对. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上） 12. 设l表示直线，表示平面，用集合符号语言完善基本事实二：“与不重合，，，，______．” 【答案】 【解析】 【分析】由平面基本事实二即可得答案. 【详解】因为一条直线上的两点在平面内，则这条直线就在平面内. 又因为，，，，与不重合， 所以. 13. 函数图象的一个对称中心为，且，则的值为_____． 【答案】5或8 【解析】 【详解】因为函数图象的一个对称中心为， 所以 ，所以，因为， 所以，或. 14. 已知的内角为A，B，C，满足，点D，E，F分别将边AB，BC，CA分成，，的两部分，若，则_____． 【答案】##0.625 【解析】 【分析】以为原点，为轴，过作的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，表示出各点坐标，利用化简即可求解. 【详解】设的内角为A，B，C所对的边分别为， 以为原点，为轴，过作的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 所以， 由，根据正弦定理得， 因为，，， 所以，，， 所以， ， 因为，所以， 则， 则 ， 即， 因为，所以 ，因为， 则，所以. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为． （1）求其体积； （2）若某球与此圆台体积相同，求此球的表面积． 【答案】（1） （2）28 【解析】 【分析】（1）先求出圆台的高，再根据体积公式计算即可； （2）由球的体积公式求得，再由表面积公式求解即可. 【小问1详解】 设圆台高为， 则． 其体积为． 【小问2详解】 设球的半径为， 由题意， 即， 解得 则其表面积为． 16. 如图，在梯形中，，，． （1）用，表示； （2）若与交于点，用，表示． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形，运用向量的加法、减法和数乘运算即可； （2）方法一，利用三角形相似，将其用表示出来，再由（1）即可求得； 方法二，利用向量共线，将用两种形式表示出来，列出方程组，求解即得. 【小问1详解】 由图，． 【小问2详解】 设，则 ． 设，则，则，解得， 所以． 方法二： （方法一）延长，交的延长线于. 易证，则，得， 易证，则， 设，则，，得， 得， 所以. 17. 已知的部分图象如下图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象． ①若的图象正好是某简谐振动的图象，求此简谐振动的初相； ②求在区间上的零点． 【答案】（1） （2）①；②、 【解析】 【分析】（1）由图象可得出的值，以及函数的最小正周期的值，结合正弦型函数的周期公式可得出的值，再结合 以及的取值范围可得出的值，即可得出函数的解析式； （2）①利用三角函数图象变换得出函数的解析式，结合初相的定义可得结果； ②由 可得，再结合可得出的值，即可得解. 【小问1详解】 由图象可知，函数的最小正周期 ， 且，可得，所以， 由图可得 ，可得， 又因为函数在附近单调递增，则， 所以， 因为，可得，， 所以． 【小问2详解】 ①将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）， 可得函数的图象， 再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位， 可得函数的图象，所以对应简谐振动初相为； ②由 ，可得， 因为，所以，所以或，解得或， 故函数在区间上的零点为、. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，且． （1）求角B的大小； （2）D为AC边上的一点，BD是角B的平分线，且，求的面积； （3）若为锐角三角形，求AC边上的高的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)由正弦定理将边转化为角求解； (2)利用三角形的面积公式和余弦定理综合求解； (3)由正弦定理将边转化为角，再由角的限制范围求解三角函数的值域. 【小问1详解】 在中，由正弦定理可得， 由得，∴， ∴，∴ ， ∴，∴ 又，∴，又，所以． 【小问2详解】 由面积，得， 即 ． 在中，由余弦定理得，则， 联立，得 或（舍）， ∴． 【小问3详解】 由正弦定理得，故， 故 ， 由于为锐角三角形，，故， 因此，，，因此， 设AC边上的高为h，，所以． 19. 已知内角所对的边分别为，外心为O，内心为I，外接圆半径为，内切圆半径为r，定义为的“偏离比”． （1）若，，求； （2）若，求偏离比的取值范围； （3）请在下列两问中选择其一完成（两问题均做按第一个问题评分）． 问题一： 新信息一：三元均值不等式：若，则，当且仅当时取等号； 新信息二：琴生不等式：若，则，当且仅当时取等号． 请将偏离比表示为只含有的代数式，并以此求的最小值． 问题二： 新信息：相交弦定理：某圆的两弦AB，CD交于圆内一点P，则．请将OI长度表示为只含有R，r的代数式，并以此求偏离比的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）选择问题一：，取得最小值2； 选择问题二：，取得最小值． 【解析】 【分析】（1）过点O作，垂足为，由，可得，由，可得，,再由正弦定理求解即可； （2）由题意可得，，代入化简得，根据三角函数的性质求解即可； （3）选择问题一：化简得，结合所给信息及正弦定理求解即可； 选择问题二：由内心、外心及相交弦定理可得，由,可得,代入求解即可. 【小问1详解】 过点O作，垂足为， 则为的中点， 由, 则, 又因为,, 所以， 则, 由正弦定理：, 所以； 【小问2详解】 由题意：， ， 所以 ， 因为，所以， 所以 所以； 【小问3详解】 若选择问题一： 由面积公式可知， 所以， 由正弦定理，所以， 所以， 因为，，，， 所以， 因为， 所以， 当且仅当，为等边三角形时取得最小值2； 若选择题二： 如图：设的外接圆圆心为O，内切圆圆心为I，过点I作IF垂直AC于点F．连接AI并延长交圆O于点D，连接DO并延长交圆O于点E． 因为I为的内心，所以AI为的平分线， 得，则． 所以和相似， 得， 又，， 有． 连接IB，则，又， 所以， 即，所以，有． 作直线OI与圆O交于M、N两点， 由相交弦定理得： 得， 即，， 由, 得， 所以， 所以， 当且仅当 ，即外心，内心重合， 即为等边三角形时取得最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学2025级高一下期阶段性测试数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数 （i是虚数单位）在复平面内对应的点位于第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 2. 水平放置的三角形的直观图如图，其中，那么原三角形是一个（ ） A. 等边三角形 B. 腰和底边不相等的等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 3. 已知是平面内不共线的两向量，则下列向量组不能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 4. 中内角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东，距离为海里，灯塔C在A的北偏东，距离为海里，该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏西方向，则此时渔船距离灯塔C为（ ）海里 A. B. C. D. 12 7. 已知且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方体中，E，F，G分别为棱AB，BC，的中点，点K在棱上．以下说法正确的是（ ） A. 若 四点共面，则直线， 三线共点 B. ，使得直线 平面 C. ，直线与直线异面 D. 与三直线，，同时相交的直线有无数条 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关于多面体的说法错误的是（ ） A. 是正棱锥是四面体是正四面体} B. 是正棱柱是平行六面体是正方体} C. 有两个面相互平行，且为边数相等的多边形，其余各面均为梯形的多面体是棱台 D. 存在八面体，其八个面都是等边三角形 10. 已知i是虚数单位，下列关于复数，的说法正确的是（ ） A. 若是纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，是关于x的实系数一元二次方程的两根，则 D. 若，则的最小值为 11. 如图，面积为的扇形折成圆锥的侧面后，、两点重合于点，扇弧上的点即圆锥底面圆周上的点，为圆锥底面直径，且，设，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的高为 B. 当时， C. 当时， D. 当取得最大值时，沿圆锥侧面从走到的最短路程是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上） 12. 设l表示直线，表示平面，用集合符号语言完善基本事实二：“与不重合，，，，______．” 13. 函数图象的一个对称中心为，且，则的值为_____． 14. 已知的内角为A，B，C，满足，点D，E，F分别将边AB，BC，CA分成，，的两部分，若，则_____． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为． （1）求其体积； （2）若某球与此圆台体积相同，求此球的表面积． 16. 如图，在梯形中，，，． （1）用，表示； （2）若与交于点，用，表示． 17. 已知的部分图象如下图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象． ①若的图象正好是某简谐振动的图象，求此简谐振动的初相； ②求在区间上的零点． 18. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，且． （1）求角B的大小； （2）D为AC边上的一点，BD是角B的平分线，且，求的面积； （3）若为锐角三角形，求AC边上的高的取值范围． 19. 已知内角所对的边分别为，外心为O，内心为I，外接圆半径为，内切圆半径为r，定义为的“偏离比”． （1）若，，求； （2）若，求偏离比的取值范围； （3）请在下列两问中选择其一完成（两问题均做按第一个问题评分）． 问题一： 新信息一：三元均值不等式：若，则，当且仅当时取等号； 新信息二：琴生不等式：若，则，当且仅当时取等号． 请将偏离比表示为只含有的代数式，并以此求的最小值． 问题二： 新信息：相交弦定理：某圆的两弦AB，CD交于圆内一点P，则．请将OI长度表示为只含有R，r的代数式，并以此求偏离比的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $