专题05不等式与不等式组期末复习讲义 (20大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题05不等式与不等式组期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握不等式、不等式的解、解集相关概念，熟记不等式 3 条基本性质，重点区分乘除负数变号。 2.会解一元一次不等式，能在数轴上规范表示解集；掌握一元一次不等式组解法，会找公共解集。 3.熟记不等式组四种解集口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到。 4.理解利用不等式（组）解决实际问题的建模逻辑，掌握关键词：至少、至多、不大于、不少于。 1.灵活运用不等式性质变形，规避变号易错点，提升解不等式计算准确率。 2.借助数轴数形结合，快速确定不等式组解集，能根据解集反向求参数。 3.从应用题中抓取不等关系，建立一元一次不等式 / 不等式组数学模型。 4.能结合整数解、非负解条件，分类讨论参数取值。 1.基础：选择填空（性质辨析、数轴解集、简单求解）零失误。 2.中档：规范解不等式、不等式组大题，数轴画图格式标准，步骤不丢步骤分。 3.拔高：攻克含参不等式、整数解求参数、实际方案选型应用题，拿下期末压轴大题。 题型01.不等式的定义 题型02.不等式的解集 题型03.不等式的性质 题型04一元一次不等式的定义 题型05.求不等式解集 题型06.求不等式的整数解 题型07.数轴上表示不等式解集 题型08.求不等式解的最值 题型09.列一元一次不等式 题型10.不等式解决实际问题 题型11.不等式解决几何问题 题型12.求不等式组的解集 题型13.求不等式组的整数解 题型14.由不等式组的解集求参数 题型15.由不等式组解集的情况求参数 题型16.不等式组和方程组结合的问题 题型17.列一元一次不等式组 题型18.不等式组的行程与分配问题 题型19.不等式组的经济问题 题型20.不等式组的方案选择问题 知识点01:基础概念板块（选择填空必考，辨析细节） 1. 不等式相关概念 不等式：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）连接的式子； 关键词释义：≥（不少于、至少、不低于）；≤（至多、不超过、不大于）。 符号 读法 意义 “≠” 不等于 表示两个量不相等，但无法确定谁大谁小，只说明二者存在差异 “＜” 小于 表示左边的量严格小于右边的量，不包含相等的情况 “＞” 大于 表示左边的量严格大于右边的量，不包含相等的情况 “≤” 小于或等于 即 “不大于”，表示左边的量小于右边，或与右边相等，两种情况满足其一即可 “≥” 大于或等于 即 “不小于”，表示左边的量大于右边，或与右边相等，两种情况满足其一即可 不等式的解：能使不等式成立的单个未知数的值（无数个）； 不等式的解集：所有解的集合，可用代数式、数轴两种形式表示； 解不等式：求解集的全过程。 2. 一元一次不等式 定义三要素：①只含1 个未知数；②未知数最高次数为1；③整式不等式（未知数不在分母、根号）； 标准形式：ax+b>0(a≠0)、ax+b<0(a≠0)。 3. 一元一次不等式组 (1).定义：几个含相同未知数的一元一次不等式合在一起； (2).不等式组的解集：各个不等式解集的公共部分，无公共部分则不等式组无解。 (3).两个一元一次不等式组成的不等式组四类解集（设(a<b） 知识点02:核心：不等式的三条基本性质（全章易错核心） 性质 文字表述 数学符号表示 关键注意点 性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 若 a＞b， 则 a±c ＞ b±c。 加减任意数 / 式子，方向不变 性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 若 a＞b，c＞0， 则 ac ＞ bc，＞ 。 乘除正数，方向不变 性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 若 a＞b，c＜0， 则 ac ＜ bc， ＜ 易错点：乘除负数，必须变号 高频考点：已知变形后不等式方向，反推字母正负（期末小题必考）。 知识点03:一元一次不等式（组）标准解法 1.解一元一次不等式的步骤（与解一元一次方程对比） 步骤 具体操作 与解方程的区别 1.去分母 两边同乘各分母的最小公倍数 同乘负数时，不等号变号 2.去括号 用分配律去括号，注意符号 与解方程一致 3.移项 把含未知数项移到左边，常数项移到右边 移项变号（与解方程一致） 4.合并同类项 左边：ax；右边：常数 与解方程一致 5.系数化为 1 两边同除以未知数系数 a a＜0 时，不等号变号 关键：系数化为 1 时，若系数为负数，不等号反向（全卷最高失分点） 2. 数轴画图规则 空心圆圈：不含这个数（＞、＜） 实心圆点：包含这个数（≥、≤） 方向口诀：大于向右画，小于向左画 知识点04:五大必考中档专题：含参不等式（期末填空、解答重难点） 专题 1：根据解集情况求参数 已知不等式 / 不等式组解集（无解、全体实数、x>a等），结合数轴反向锁定参数范围。 专题 2：根据整数解个数求参数（最热考题） 已知解集内整数个数（如恰好 3 个正整数解），借助数轴临界点锁定参数取值范围，注意端点取舍。 专题 3：方程（组）与不等式结合 先解含参方程组，用参数表示x、y，再根据x>0、x+y≤5等不等关系列不等式求参。 专题 4：不等式与代数式结合 已知代数式取值范围，列式构造不等式求解未知数。 专题 5：分段新定义不等式 根据题干新运算列式，转化为常规一元一次不等式求解。 知识点05:一元一次不等式（组）的实际应用（解答题必考） 步骤 具体要求 注意事项 审 通读题干，梳理已知量、未知量，找出隐含的不等关系 圈画 “至少、至多、不超过、不足” 等关键词 设 合理设出未知数，一般直接设所求量 不出现多个未知数，表述简洁规范 列 根据不等关系，列出一元一次不等式（组） 准确选用不等号，保证式子符合题意 解 按照解法步骤求出不等式（组）的解集 乘除负数时，不等号务必变向 验 结合实际场景检验解集 人数、物品数量、车辆数等必须为正整数 答 依据题意作答，完整回应问题 语言通顺，不要遗漏限制条件 知识点06:常见应用题型核心公式 题型 核心公式 销售利润 单件利润 = 售价−进价；总利润 = 单件利润 × 销量 经济方案 总费用 = 单价 × 数量 + 固定成本 行程 路程 = 速度 × 时间 分配 总量 = 单份数量 × 份数 ± 余量 知识点07:全章高频易错集锦（教师错题本专用，复习必讲） 1.性质易错：两边同除负数忘记改变不等号方向； 2.去分母易错：去分母时常数项漏乘最小公倍数； 3.数轴易错：≥≤画实心、＞＜画空心混淆； 4.参数端点易错：整数解题型，极易漏掉参数等于临界值的情况； 5.应用题易错：关键词翻译错误（至少当成＞、至多当成＜）；实际问题未知数取正整数，忽略取值限制。 题型01.不等式的定义 1．用适当的符号表示下列关系：是非负数___． 【答案】 【分析】根据非负数的定义，非负数是大于或等于的数，据此列出不等式即可. 【详解】解：因为非负数是指大于或等于的数，是非负数，所以可得. 2．给出下面式子：①；②；③；④．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】依据不等式的定义（用不等号表示不相等关系的式子），对每个式子逐一判断是否为不等式．本题主要考查不等式的定义，明确不等式是用不等号（、、、、 等）表示不等关系的式子，熟练掌握该定义是判断式子是否为不等式的关键． 【详解】解：判断①：，用“”表示不等关系，符合不等式定义，是不等式． 判断②：，用“”表示相等关系，是等式，不是不等式． 判断③：，用“”表示不等关系，符合不等式定义，是不等式． 判断④：，用“”表示不等关系，符合不等式定义，是不等式． 综上，①③④是不等式，共个， 故选 C ． 3．一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图、代数式求值、不等式等知识点，理解流程图是解题的关键． 先把代入可得，由；再把代入可得；由，重复计算，直到，方可输出． 【详解】解：把代入可得，由； ∴把代入可得，由； 把代入可得，由； 把代入可得，由，输出． 故选C． 题型02.不等式的解集. 4．若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】由数轴可知，左边端点是空心圆，右边端点是实心点，所以不等式的解集是． 【详解】解：由数轴可知，不等式的解集是． 5．下列说法中：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集为，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的解的定义，准确计算是解题的关键，根据不等式解的定义分别判断①②③是否正确即可解答． 【详解】解：①把代入不等式，成立，故是不等式的一个解，正确； ②把代入不等式，成立，故是不等式的解，正确； ③不等式的解集为，正确． 故选C. 6．下列说法：①是不等式的一个解；②不是不等式的解；③不等式的解有无数个．其中正确的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】分别判断①②③是否正确即可解答. 【详解】解：①把代入不等式，成立，故是不等式的一个解，正确；②把代入不等式，不成立，故不是不等式的解，正确； ③不等式的解有无数个，正确． 故选D. 【点睛】本题考查了不等式的解的定义，准确计算是解题的关键. 题型03.不等式的性质 7．已知，则________（填“”“”或“”）． 【答案】< 【详解】解：， 不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得， 不等式两边同时加上，不等号方向不变，得． 8．在数轴上表示数的点如图所示，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴可知，然后通过不等式的性质即可求解． 【详解】解：根据数轴可知，， ∵， ∴． 9．已知实数满足：，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质求解即可； 【详解】解： 根据等式的基本性质1，将的两边同时减，得， 根据不等式的基本性质2，将的两边同时乘3，得， 将代入，得，即， 根据不等式的基本性质3，将的两边同时乘，得， 将代入，得， 所以，即， 综上，．故选：B． 题型04一元一次不等式的定义 10．已知 是关于的一元一次不等式，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数为，且未知数的系数不为，据此列等式求解即可． 【详解】解：根据一元一次不等式的定义可得，的次数满足，且的系数为 解方程，得． 11．若是关于的一元一次不等式，则_______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数等于，未知数的系数不为，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， 且． 由得或， 由得， ． 12．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意得：且，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的不等式的解集为， ∴ ，且 ， ∴ ，解得： ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ，即 ， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解集的定义，解不等式，不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解集的定义，解不等式的基本步骤是解题的关键． 题型05.求不等式解集 13．不等式的解集是____________． 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质，通过移项、合并同类项、将未知数系数化为1，即可求出解集． 【详解】解： 移项得： 合并同类项得： 系数化为得：． 14．若关于x，y的方程组的解x，y满足，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】将方程组的两个方程相减，得到关于的表达式，再根据列出一元一次不等式，求解不等式得到的取值范围． 【详解】解：， 由，得， 即， ， ， 解得． 15．规定表示m，n中较小的数（m，n均为实数，且），若，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新定义的规则得到x与的大小关系，再解不等式即可得到结果． 【详解】解：∵，表示中较小的数，且 ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 16．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 在数轴上表示解集略； （2）解： 在数轴上表示解集略； （3）解： 在数轴上表示解集略； （4）解： 在数轴上表示解集略． 题型06.求不等式的整数解 17．不等式 的正整数解有______个． 【答案】3 【分析】先解不等式得到解集，再找出解集中的正整数，统计正整数的个数即可． 【详解】解：∵， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为得 ， ∴ 不等式的正整数解为，共个． 18．如图，要使输出值大于100，则输入的最小正整数是_____． 【答案】 21 【分析】根据程序图分为奇数和偶数两种情况求出的最小值，通过比较找出最小的值． 【详解】解：当为偶数时， 可得：， 解得：， 是正整数， ； 当为奇数时， 可得：， 解得：， 为正整数， ， 输入的最小正整数是． 19．下列说法错误的是（    ） A．不等式的整数解有无数个 B．不等式的非负整数解有有限个 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的解和解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的方法和一元一次不等式解的定义是解题的关键．根据不等式的解和解一元一次不等式的相关概念求解并判断，即可解题． 【详解】解：A、不等式的整数解有无数个，正确，不符合题意； B、不等式的非负整数解有无限个，选项说法错误，符合题意； C、不等式的解集是，正确，不符合题意； D、， ，即是不等式的一个解，正确，不符合题意； 故选：B． 20．已知关于x、y的二元一次方程组 (1)用含k的式子表示方程组的解（即用k表示x和y）； (2)若方程组的解满足，求k的取值范围； (3)在（2）的条件下，求k取最小整数时方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组，得到用k表示的x和y即可； （2）把方程组中②代入即可求出k的取值范围； （3）根据（2）中k的范围确定k的整数值，代入（1）中x和y的表达式即可求出此时方程组的解． 【详解】（1）解：已知二元一次方程组 ， 由①②得 ， 解得， 将代入②，得 ， 因此方程组的解为； （2）解：由②可知，代入得 ， 解得； （3）解：的最小整数为， 将代入x和y的表达式得 ，， 因此此时方程组的解为． 题型07.数轴上表示不等式解集 21．请写出一个关于x的不等式组，其不等式组的解集如图所示，则这个不等式组是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】只需写出两个不等式，其解集的交集恰好为即可 【详解】解：观察数轴发现：一个不等式的解集为，一个不等式的解集为，且这个不等式组的解集为， 因此，这个不等式组是． 22．如果关于x的不等式x≥的解集在数轴上表示如图所示，那么a的值为_____．    【答案】-3 【分析】根据不等式的解集及其在数轴上的表示得出关于a的方程，解之可得答案． 【详解】解：根据题意知：＝﹣2， ∴a﹣1＝﹣4， 则a＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式及不等式解集在数轴上的表示，解题的关键是根据解集在数轴上的表示得出关于a的方程． 23．不等式 在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式与数轴之间的关系是解题的关键． 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．再结合选项进行判定即可． 【详解】解：在数轴上表示左侧的所有实数，不含于解集即为空心点； 故选A． 24．定义新运算：对于任意实数，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： (1)求的值 (2)若的值小于13，求的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来． 【答案】(1)13 (2)，数轴见解析 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义得到不等式，求解后在数轴上表示即可. 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意得： 数轴表示如图所示： 题型08.求不等式解的最值 25．不等式的最大整数解是__________． 【答案】4 【分析】求出不等式的解集，即可得出答案． 【详解】解：不等式两边同时乘以6得：，即 解得 故该不等式的最大整数解是4 故答案为：4 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解等知识点，能求出不等式的解集是解此题的关键． 26．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，用x表示z得到，则，所以，再利用，得到，解不等式得到，所以，然后解不等式得到t的最大值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为1． 27．已知、、是非负实数，且，，求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的解法，正确的理解题意是解题的关键． 解方程组，用含的式子表示出、的值，根据，求得的取值范围而求得的最小值． 【详解】解：由得， ∵、、是非负实数， ∴， 解得． ∴． ∵， ， ∴， ∴的最小值为． 题型09.列一元一次不等式 28．“的倍与的差大于”列出的不等式是___． 【答案】 【分析】先将题目中的文字表述转化为代数式，明确“大于”对应的不等符号，即可列出正确不等式． 【详解】解：的倍可表示为，的倍与的差可表示为， 根据“差大于”，可列出不等式：． 29．某服装店购进了一批服装，这批服装每件的进价为200元，每件的售价为300元，现在该服装店准备将这批服装降价处理，打折出售，若使得每件衣服的利润不低于10元，则根据题意可列不等式为________． 【答案】 【分析】先确定打折后的实际售价，再根据“利润实际售价进价”，结合利润不低于10元的条件列出不等式即可． 【详解】解：由题意得，打折后每件服装的实际售价为元， 每件服装的利润为实际售价减去进价，进价为元， 因此利润可表示为 ，因为利润不低于元，即利润大于等于元， 因此可列不等式为 ． 30．一辆汽车从地出发，要在之前到达距离地的地，设平均车速为，根据题意可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，汽车45分钟行驶的路程大于，依此列出不等式即可． 【详解】解：设平均车速为， 45分钟 小时， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等式关系是解题的关键． 题型10.不等式解决实际问题. 31．某学校八年级同学到劳动基地进行实践活动，第一天的任务是用100斤黄豆磨豆浆．由于操作不熟练，开始的半小时只磨完9斤黄豆，基地要求完成全部任务的时间不超4小时，若设在剩余时间内每小时需磨完斤黄豆，则可列一元一次不等式为______． 【答案】 【分析】设在剩余时间内每小时需磨完x斤黄豆，根据完成任务量大于或等于100列不等式求解即可． 【详解】解：设在剩余时间内每小时需磨完x斤黄豆， 依题意得：． 32．一部电梯的额定限载量为，甲、乙两人用电梯把一批货物从一楼搬到六楼．已知甲、乙两人的体重分别为和，货物每箱质量为，若两人一起乘梯搬货物，则一次最多搬运________箱货物． 【答案】 【分析】根据电梯额定限载量得到总重量的不等关系，求解后取最大正整数即可得到结果． 【详解】解：设每次搬运箱货物，则总重量为， 根据题意，列不等式得， 解不等式得， 为正整数， 的最大值为，即两人一起乘梯搬货物，则一次最多搬运28箱货物． 33．甲杯和乙杯中分别盛有质量均为克的糖水(杯子足够大)．其中甲杯中含有糖a克(克)，乙杯中含有糖克．现从乙杯盛出克糖水，倒入甲杯并搅拌均匀．嘉嘉给出算式：① ；②a；③；④；⑤下列能反映甲杯的糖水变甜的关系式是（   ）(提示：浓度) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，列不等式，理解题意找到数量关系是解决问题即可．甲杯的糖水变甜，即甲杯混合后的浓度需大于原浓度，分别表示出原浓度和混合后浓度据此解答即可． 【详解】解：原甲杯浓度：， 乙杯浓度：， 从乙杯取克糖水倒入甲杯的糖量：， 混合后甲杯总糖量：， 混合后甲杯总质量：克， 混合后浓度： ， 甲杯变甜的条件：混合后浓度>原浓度， 即． 故选：D． 题型11.不等式解决几何问题 34．如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明到A站之间的距离，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出不等式是解此题的关键． 【详解】解：设小明到A站之间的距离， 由题意可得：， 解得：， ∴小明到A站之间的距离最大为， 故选：A． 35．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 36．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当或时，的面积为 (3)当时，的面积大于 【分析】（1）根据，，可以求出点运动的路程，根据点运动速度即可求出需要的时间； （2）当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值；当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值； （3）当点在上运动时，可得，当点在上运动时，可得，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 点的运动速度为个单位长度每秒， 点整个运动过程中，共需秒； （2）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 综上所述，当或时，的面积为； （3）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当时，的面积大于． 题型12.求不等式组的解集 37．写出不等式组的最小整数解_________． 【答案】2 【分析】分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，取两个解集的交集得到不等式组的解集，再从解集中确定最小整数解． 【详解】解：不等式组： 解不等式得， 解不等式得， 可得不等式组的解集为， 因此该不等式组的最小整数解为． 38．解不等式组： 【答案】 【分析】分别解两个不等式，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定该不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， ∴该不等式组的解集为． 39．解不等式组． 【答案】 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可. 【详解】解：， 解①得； 解②得， ． 题型13.求不等式组的整数解 40．不等式组的整数解是_____． 【答案】，0，1 【分析】先分别求解不等式组中每个一元一次不等式，再确定不等式组的解集，最后找出解集中的整数即可． 【详解】解：， 解不等式①可得， 解不等式②可得， ∴不等式组的解集为， ∴该不等式组的整数解为，0，1． 41．若一元一次不等式组的整数解有个，则“”表示的不等式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得，因为不等式组有5个整数解，可得“”表示的不等式可以是，对照各选项选择即可． 【详解】解：由，得：， 一元一次不等式组的整数解有个， 整数解为、、、、， 不等式组的解集为， 则“”表示的不等式可以是， 的解集为， 的解集为， 的解集为， 的解集为， ∴选项符合． 42．解不等式组：，并写出它的最小整数解． 【答案】 不等式组的解集为，最小整数解为 【分析】先求出不等式组的解集，再从不等式组的解集中找出最小整数解． 【详解】解：， 解不等式①，， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； 解不等式②，， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 不等式组的解集为， 不等式组的最小整数解为． 43．我们规定：不等式组，，，的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”d＝______；“整点”为______； (2)若关于x的不等式组的“长度”，求a的值； (3)若关于x的不等式组恰有3个“整点”，求a的取值范围． 【答案】(1)3；，0，1 (2) (3) 【分析】（1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）由不等式，分和两种情况，求出解集，结合进行判断即可； （3）用a表示不等式组的解集，根据恰有3个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为：，0，1； 故答案为：3；，0，1； （2）解：， 由不等式， 当时，， 结合得解集为：4和中的较小值， “长度”， ， 解得，满足，符合题意； 当时，， 不等式组无解，不合题意； 综上可知，a的值为； （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 该不等式组有3个“整点”， ∴，其中， 设3个整数解为k，，， 则， 变形得， ， ，， 根据有3个“整点”，可得整数解可能为，，0，或，0，1，或0，1，2， 其中，当整数解为，，0，即时， 可得 解得a的取值范围为，符合题意； 当整数解为，0，1，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 当整数解为0，1，2，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 综上可知，a的取值范围为． 题型14.由不等式组的解集求参数 44．不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的m的值：__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据求不等式组解集的规律：同小取小，可确定的取值范围． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴根据同小取小可得， ∴（答案不唯一）． 45．如果不等式组的解为，则m的值为______． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再根据已知不等式组的解集，对比可得的值． 【详解】解：解不等式，可得， 解不等式，可得， 因此不等式组的解集为， 已知不等式组的解集为， ∴． 46．关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、不等式组整数解等知识，首先解方程得到，根据该方程的解为整数可知为奇数；再解不等式组，得到解集为且，由该不等式组有且仅有3个整数解确定，结合为奇数，得到或15，求和即可． 【详解】解：∵方程 的解为整数， 展开得，即， ∴为整数， 故为偶数， ∵5为奇数， ∴为奇数，即为奇数， 对于不等式组 ， 解不等式①，可得，即， ∴， 解不等式②，可得，两边乘5得， 即， ∴， ∴， 故该不等式组的解为且， ∵有且仅有3个整数解， ∴整数解为， ∴， ∴，即， ∴为整数，可能值为， 又∵为奇数，故或15， 当时，，为整数； 当时，，为整数． 且不等式组整数解均为，满足条件． ∴满足条件的整数和为． 故选：D． 47．对于任意实数a，b，定义关于@的运算是：． （1）若，则x的值可以是______（只要写出一个）． （2）若不等式组的解集为，则m的取值范围是______． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了定义新运算，熟练掌握解一元一次不等式和一元一次不等式组，根据不等式组的解集求参数，是解题的关键． （1）根据新定义可得不等式，解之即可得到答案； （2）根据新定义可得不等式，即为，求出此不等式的解集，再根据不等式组的解集即可求出m的取值范围． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 取． 故答案为：3． （2）∵， 由①，得， 解得， ∴， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴． 故答案为：． 题型15.由不等式组解集的情况求参数 48．若是一元一次不等式组的一个解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式组的解法：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解求解即可． 【详解】∵是一元一次不等式组的一个正数解， ∴， 故答案为：． 49．已知关于y的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的所有整数a的值之和为______． 【答案】 【分析】先解不等式组得到解集，再根据不等式组有且只有个整数解确定的取值范围，找出范围内所有整数，计算其和即可． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式，不等式两边同乘得， 展开得，移项得， ∴不等式组的解集为， 不等式组有且只有个整数解， 三个整数解为，可得， ∴， ∴， ∴满足条件的所有整数为，和为． 50．已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解两个不等式得到不等式组的解集，再根据解集中整数的个数确定整数解，进而推导参数a的取值范围． 【详解】解：解不等式得 ， 解不等式得 ， ∴不等式组的解集为： ， ∵解集中有且仅有3个整数， ∴满足条件的3个整数为， 由此可得的取值范围是：． 51．若关于的不等式的解都能使不等式成立，求的取值范围． 【答案】 【分析】先解两个不等式，再根据使都成立，可得，进一步求解即可． 【详解】解：解不等式， 得， 解不等式， 得， 依题意，得， 解得：． 题型16.不等式组和方程组结合的问题 52．已知，且，则k的取值范围是_______． 【答案】/ 【分析】先解方程组得出，然后根据得出，解关于k的不等式组即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解不等式组，解题的关键是根据方程组求出，得出关于k的不等式组． 53．设，，，，，是整数，且满足下列条件： ①，，2，3，，100； ②； ③，则的最小值和最大值的和为 __． 【答案】160 【分析】由题意可设，，，，中有个，个0，个1，个2，再由已知列关于，，，的方程组，把，，用表示，求出的范围，即可求解的最小值和最大值的和． 【详解】解：由题意可设，，，，中有个，个0，个1，个2， 则，，， 可得，，， ， 由，解得：， 当时，的最小值为20， 当时，的最大值为140． 的最小值和最大值的和为160． 故答案为：160． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是用含的式子表示出，，． 54．已知关于，的方程组的解为非负数，求的取值范围． 【答案】 【详解】解： ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：． ∵关于，的方程组的解为非负数， ∴ 解得：． 题型17.列一元一次不等式组. 55．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 56．野生兰草适宜生长在温度为的山区．已知海拔每升高，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为．设野生兰草在海拔高度为的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算目标海拔相对已知海拔的升高量，再根据气温变化规律得到目标海拔处的气温，最后结合适宜温度范围列出不等式组即可． 【详解】解：∵野生兰草适宜温度为，已知海拔处气温为，目标海拔为， ∴目标海拔相对已知海拔的升高量为， ∵海拔每升高，气温下降， ∴总下降气温为，因此处的气温为， 根据适宜温度范围可得不等式． 57．某研学小组由a名男生和b名女生组成，已知男生人数多于女生人数，女生人数的2倍多于男生人数． (1)列出a、b满足的不等式． (2)该研学小组最少有多少名学生？ 【答案】(1)（，为正整数） (2)该研学小组最少有名学生 【分析】（1）根据题干描述的人数关系列出对应不等式，即可作答； （2）通过枚举法，对b从小到大取值讨论，找到满足不等式的最小正整数a，b，计算总人数即可得到最少人数． 【详解】（1）解：根据题意，男生人数多于女生人数，可得，女生人数的2倍多于男生人数，可得，人数为正整数，且a，b为正整数， 因此a，b满足的不等式为（a，b为正整数） （2）解：要得到最少总人数，即求的最小值，且a，b为正整数， 对b从小到大取值讨论： 当时，不等式组变为，即，没有符合条件的正整数a； 当时，不等式组变为，即，符合条件的正整数.此时总人数为（名）， 答：该研学小组最少有5名学生． 题型18.不等式组的行程与分配问题 58． “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 【答案】6 【分析】设学校八年级共有x个班级，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学校八年级共有x个班级，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取6， ∴学校八年级共有6个班级． 59．综合实践：城市交通中的“绿波带”． 在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯． 为响应泉州洛江“智慧交通”建设号召，某模拟线路上依次设有A、B、C三个路口，相邻路口间距为，，汽车以速度（，单位：m/s）从路口出发匀速行驶，出发时路口绿灯刚好开始亮起．各路口红绿灯均按“绿灯30s、红灯30s”交替循环，绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．请解决以下问题： (1)假设汽车以的速度匀速行驶： ①若A、B、C红绿灯完全同步（即同时绿灯、同时红灯），判断汽车能否全程绿灯通过A、B、C三个路口；若不能，计算从A路口出发到通过C路口的所需时间． ②为实现绿波通行，调整B、C绿灯亮起时间：设B路口绿灯相对A路口延迟秒亮起，C路口绿灯相对A路口延迟秒亮起（，）．要求汽车到达B路口、C路口时能顺利通过路口，即到达时刻在绿灯亮起后到绿灯熄灭前（含端点），直接写出、的取值范围． (2)若红绿灯按如下规则亮起：A路口绿灯亮起后，B路口绿灯亮起；A路口绿灯亮起后，C路口绿灯亮起．求汽车能全程绿灯匀速通过A、B、C三个路口的“绿波速度”的取值范围． 【答案】(1)①不能全程绿灯通过，从A到C需要124秒；②， (2) 【分析】（1）先求A到B的时间：，推导出不能全程绿灯通过，继而求出在B路口等待红灯时间：，B到C的时间：，则总时间为，即可解答； ②先求出B路口的第一次绿灯时段，C路口的第二次绿灯时段，A到C总路程，再根据题意列不等式组求解即可； （2）先求出B路口的第一次绿灯时段，C路口的第二次绿灯时段，A到C总路程，再根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：①A到B的时间：， A路口秒绿灯，秒红灯． 汽车36秒到达B路口，遇到红灯， 因此不能全程绿灯通过； 在B路口等待红灯时间：， B到C的时间：， 总时间： 答：不能全程绿灯通过，从A到C需要124秒． ②B路口绿灯比A晚x秒亮起，绿灯时间段为至． 汽车36秒到达B路口，B路口为绿灯， ∴，解得， ∵， ∴x的取值范围是：， C路口绿灯每次都延迟，因此： 第1次绿灯：， 第2次绿灯：， 汽车到达C路口的时间：， 由题意，100秒在第二次绿灯内， ∴， 解得， ∵， ∴y的取值范围是； （2）解：B比A晚24秒绿灯，B路口的绿灯时段：， 对B路口：， 解得， C比A晚15秒绿灯， 因此： C路口的第1次绿灯：， C路口的第2次绿灯：，即 A到C总路程：， 对C路口： ， 解得， ∵， ∴． 60．用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板．若要用15张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒多少个？ 【答案】(1)解：3；4 (2)解：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； (3)解：最多可以制作横式纸盒20个． 【分析】本题考查二元一次方程和不等式的应用，找准数量关系，列等式或不等式解题即可； （1）根据无盖纸盒的图示可以得到结果； （2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据所需纸板的数量列方程组解题即可； （3）设a张大纸板全部裁成A型，b张全部裁成B型，c张同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板,可以制作横式纸盒个，根据题意列不等式组，求最大值即可． 【详解】（1）解：由题意可得，1个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张型和1张型， 故答案为：3，4； （2）解：设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据题意得， ，解得， 答：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； （3）解：设a张大纸板全部裁成A型，b张全部裁成B型，c张同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板,可以制作横式纸盒个， ∴， 由①得， 代入③得：， ∴， ∴（）， 由， 则， 得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵t是整数， 解得t的最大值为20， 在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒20个． 题型19.不等式组的经济问题 61．为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球的数量，且总费用不超过2900元，学校最多买多少个A品牌的足球？ 【答案】25个 【分析】根据题目中的两个不等关系列出不等式组，求解后取x的最大值即可得到结果． 【详解】解：设购买A品牌足球的数量为，则购买B品牌足球的数量为 个， 根据题意列不等式组 ， 解第①个不等式得：， 解第②个不等式得：， 因此不等式组的解集为：， 所以的最大值为． 答：学校最多买25个A品牌的足球． 62．根据所给材料，完成下列任务． 背景 贵州拥有丰富的非物质文化遗产资源与自然资源，吸引着国内外大量游客，某文创店经销“自然风景”和“非遗技艺”两款冰箱贴． 素材一 该文创店在进货时发现，购进个“自然风景”冰箱贴和5个“非遗技艺”冰箱贴共需元；购进5个“自然风景”冰箱贴和个“非遗技艺”冰箱贴共需元． 素材二 为满足市场需求，该文创店决定购进两款冰箱贴共个，其中“自然风景”冰箱贴的数量不超过“非遗技艺”冰箱贴的，且购进两款冰箱贴的总费用不超过1060元． (1)每个“自然风景”和“非遗技艺”冰箱贴的进价分别是多少元？ (2)该文创店有哪几种进货方案？ 【答案】(1)每个“自然风景”冰箱贴的进价是8元，每个“非遗技艺”冰箱贴的进价是12元 (2)该文创店共有3种进货方案，分别是：购进“自然风景”冰箱贴35个和“非遗技艺”冰箱贴65个；购进“自然风景”冰箱贴36个和“非遗技艺”冰箱贴64个；购进“自然风景”冰箱贴37个和“非遗技艺”冰箱贴63个． 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进“自然风景”冰箱贴个，则购进“非遗技艺”冰箱贴个，根据题意列出不等式组，求出m的范围，确定方案． 【详解】（1）设每个“自然风景”冰箱贴的进价是元，每个“非遗技艺”冰箱贴的进价是元． 根据题意，得， 解得， 答：每个“自然风景”冰箱贴的进价是8元，每个“非遗技艺”冰箱贴的进价是元． （2）设购进“自然风景”冰箱贴个，则购进“非遗技艺”冰箱贴个． 根据题意，得 解得． 为正整数， 的取值为，，． 当时，； 当时，； 当时，． 答：该文创店共有3种进货方案，分别是：购进“自然风景”冰箱贴35个和“非遗技艺”冰箱贴65个；购进“自然风景”冰箱贴36个和“非遗技艺”冰箱贴64个；购进“自然风景”冰箱贴37个和“非遗技艺”冰箱贴63个． 63．国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． (1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ (2)甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ (3)已知每辆A型车的进价为15万元，每辆B型车的进价为20万元，在（2）的购车方案中，哪种方案的利润最高？最高利润是多少万元？ 【答案】(1)每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元； (2)共有2种购车方案，方案1：购买2辆A型车，4辆B型车；方案2：购买3辆A型车，3辆B型车； (3)购买2辆A型车4辆B型车的方案利润最高，最高利润是30万元． 【分析】（1）设未知数根据两周的销售额列二元一次方程组，求解得到两种车的售价； （2）设A型车购买数量，根据A型车数量要求和购车费要求列一元一次不等式组，求整数解得到所有购车方案； （3）分别计算各方案的总利润，比较大小得到最高利润的方案和最高利润． 【详解】（1）解：设每辆A型车的售价为万元，每辆B型车的售价为万元，依题意得： ， 解得：， 答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元； （2）解：设购买辆A型车，则购买辆B型车，依题意得： ， 解得：， 又为正整数， 可以为2，3， 共有2种购车方案，方案1：购买2辆A型车，4辆B型车；方案2：购买3辆A型车，3辆B型车； （3）解：由题意得，每辆A型车的利润为（万元），每辆B型车的利润为（万元）， 方案1的总利润：（万元）， 方案2的总利润：（万元）， ， 购买2辆A型车，4辆B型车的方案利润最高，最高利润是30万元． 题型20.不等式组的方案选择问题 64．去冬今春，由于天气持续高温，某地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”，某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共420件，其中饮用水比蔬菜多140件． (1)求饮用水和蔬菜各有多少件？ (2)现计划租用甲、乙两种货车共10辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来． 【答案】(1)饮用水有280件，蔬菜有件 (2)有3种方案，方案一：甲4辆，乙6辆；方案二：甲5辆，乙5辆；方案三：甲6辆，乙4辆． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组； （1）设饮用水有x件，则蔬菜有件，根据饮用水和蔬菜共420件，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设租用甲货车a辆，乙货车辆，根据每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可得出各安排方案； 【详解】（1）解：设饮用水有x件，则蔬菜有件，由题意可得： ， 解得：， ∴饮用水有280件， 蔬菜有件． 答：饮用水有280件，蔬菜有件 （2）设租用甲货车a辆，乙货车辆，则： ， 解得：， ∴a为整数， ∴或或 ∴有3种方案，方案一：甲4辆，乙6辆；方案二：甲5辆，乙5辆；方案三：甲6辆，乙4辆． 65．珍惜水资源，保护水环境，防止水污染，为扩大污水处理规模，某污水处理厂计划投入一笔资金购进A、B两种污水处理装备，已知购进件A种装备和件B种装备共需万元，购进件A种装备和件B种装备共需万元． (1)求购进件A种装备和件B种装备各需多少万元？ (2)若该污水处理厂计划购进A、B两种装备共件，且投入资金不少于万元又不超过11万元，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ (3)在（2）的方案下，由于国家对环保事业的扶持力度加大，每件A种装备降价万元，每件B种装备降价万元，在投入资金最少的情况下，该污水处理厂计划将节省的资金全部用于再次购买A、B两种装备（可以只购买一种）请求出再次购买装备的方案有哪几种？ 【答案】(1)购进1件A种装备需万元，购进1件B种装备需万元 (2)共有3种购买方案： 方案1：购进A种装备4件，B种装备6件； 方案2：购进A种装备5件，B种装备5件； 方案3：购进A种装备6件，B种装备4件 购进A种装备4件，B种装备6件需要的资金最少，最少资金为万元 (3)再次购买共有3种方案：方案1：购买A种装备0件，B种装备21件； 方案2：购买A种装备2件，B种装备12件； 方案3：购买A种装备4件，B种装备3件 【分析】（1）设购进1件A种装备需万元，购进1件B种装备需万元，根据题意列出二元一次方程并求解，即可获得答案； （2）设购进A种装备件，则购买B种装备件，根据题意列出一元一次不等式组并求解，结合的取值范围，即可确定答案； （3）由（2）可知，投入资金最少的方案是购进A种装备4件，B种装备6件，进而计算出节省的资金总额；设再次购买A种装备件，B种装备件，根据题意列出二元一次方程并整理，结合为非负整数，即可确定再次购买方案． 【详解】（1）解：设购进1件A种装备需万元，购进1件B种装备需万元， 根据题意，可得，解得， 答：购进1件A种装备需万元，购进1件B种装备需万元； （2）设购进A种装备件，则购买B种装备件， 根据题意，可得， 解得， ∵a是正整数， ∴共有3种购买方案： 方案1：购进A种装备4件，B种装备6件，总费用为万元； 方案2：购进A种装备5件，B种装备5件，总费用为万元； 方案3：购进A种装备6件，B种装备4件，总费用为万元． ∴方案1，购进A种装备4件，B种装备6件需要的资金最少，最少资金为万元． （3）由（2）可知，投入资金最少的方案是购进A种装备4件，B种装备6件， ∴节省的总资金为：（万元）， 降价后，每件A种装备价格为万元，每件B种装备价格为万元， 设再次购买A种装备件，B种装备件，其中为非负整数， 根据题意得， 整理得，即， 由，可得，即， 当时，符合要求； 当时，，不是整数，不符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，不是整数，不符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，不符合要求， ∴共有3种再次购买方案： 方案1：购买A种装备0件，B种装备21件； 方案2：购买A种装备2件，B种装备12件； 方案3：购买A种装备4件，B种装备3件． 66．为了抓住世博会商机，某商店决定购进两种世博会纪念品，若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元；若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元． (1)求购进两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定拿出元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进种纪念品的数量不少于种纪念品数量的倍，且不超过种纪念品数量的倍，那么该商店共有几种进货方案？ 【答案】(1)购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元 (2)种 【分析】设购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元，根据题意列出方程组解答即可求解； 设购进种纪念品个，购进种纪念品个，根据题意得，即得，进而由得到，解不等式组求出的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：设购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元， 由题意得，， 解得， 答：购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元； （2）解：设购进种纪念品个，购进种纪念品个， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 解得， 为正整数， ，，， ∴共有种进货方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05不等式与不等式组期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握不等式、不等式的解、解集相关概念，熟记不等式 3 条基本性质，重点区分乘除负数变号。 2.会解一元一次不等式，能在数轴上规范表示解集；掌握一元一次不等式组解法，会找公共解集。 3.熟记不等式组四种解集口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到。 4.理解利用不等式（组）解决实际问题的建模逻辑，掌握关键词：至少、至多、不大于、不少于。 1.灵活运用不等式性质变形，规避变号易错点，提升解不等式计算准确率。 2.借助数轴数形结合，快速确定不等式组解集，能根据解集反向求参数。 3.从应用题中抓取不等关系，建立一元一次不等式 / 不等式组数学模型。 4.能结合整数解、非负解条件，分类讨论参数取值。 1.基础：选择填空（性质辨析、数轴解集、简单求解）零失误。 2.中档：规范解不等式、不等式组大题，数轴画图格式标准，步骤不丢步骤分。 3.拔高：攻克含参不等式、整数解求参数、实际方案选型应用题，拿下期末压轴大题。 题型01.不等式的定义 题型02.不等式的解集 题型03.不等式的性质 题型04一元一次不等式的定义 题型05.求不等式解集 题型06.求不等式的整数解 题型07.数轴上表示不等式解集 题型08.求不等式解的最值 题型09.列一元一次不等式 题型10.不等式解决实际问题 题型11.不等式解决几何问题 题型12.求不等式组的解集 题型13.求不等式组的整数解 题型14.由不等式组的解集求参数 题型15.由不等式组解集的情况求参数 题型16.不等式组和方程组结合的问题 题型17.列一元一次不等式组 题型18.不等式组的行程与分配问题 题型19.不等式组的经济问题 题型20.不等式组的方案选择问题 知识点01:基础概念板块（选择填空必考，辨析细节） 1. 不等式相关概念 不等式：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）连接的式子； 关键词释义：≥（不少于、至少、不低于）；≤（至多、不超过、不大于）。 符号 读法 意义 “≠” 不等于 表示两个量不相等，但无法确定谁大谁小，只说明二者存在差异 “＜” 小于 表示左边的量严格小于右边的量，不包含相等的情况 “＞” 大于 表示左边的量严格大于右边的量，不包含相等的情况 “≤” 小于或等于 即 “不大于”，表示左边的量小于右边，或与右边相等，两种情况满足其一即可 “≥” 大于或等于 即 “不小于”，表示左边的量大于右边，或与右边相等，两种情况满足其一即可 不等式的解：能使不等式成立的单个未知数的值（无数个）； 不等式的解集：所有解的集合，可用代数式、数轴两种形式表示； 解不等式：求解集的全过程。 2. 一元一次不等式 定义三要素：①只含1 个未知数；②未知数最高次数为1；③整式不等式（未知数不在分母、根号）； 标准形式：ax+b>0(a≠0)、ax+b<0(a≠0)。 3. 一元一次不等式组 (1).定义：几个含相同未知数的一元一次不等式合在一起； (2).不等式组的解集：各个不等式解集的公共部分，无公共部分则不等式组无解。 (3).两个一元一次不等式组成的不等式组四类解集（设(a<b） 知识点02:核心：不等式的三条基本性质（全章易错核心） 性质 文字表述 数学符号表示 关键注意点 性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 若 a＞b， 则 a±c ＞ b±c。 加减任意数 / 式子，方向不变 性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 若 a＞b，c＞0， 则 ac ＞ bc，＞ 。 乘除正数，方向不变 性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 若 a＞b，c＜0， 则 ac ＜ bc， ＜ 易错点：乘除负数，必须变号 高频考点：已知变形后不等式方向，反推字母正负（期末小题必考）。 知识点03:一元一次不等式（组）标准解法 1.解一元一次不等式的步骤（与解一元一次方程对比） 步骤 具体操作 与解方程的区别 1.去分母 两边同乘各分母的最小公倍数 同乘负数时，不等号变号 2.去括号 用分配律去括号，注意符号 与解方程一致 3.移项 把含未知数项移到左边，常数项移到右边 移项变号（与解方程一致） 4.合并同类项 左边：ax；右边：常数 与解方程一致 5.系数化为 1 两边同除以未知数系数 a a＜0 时，不等号变号 关键：系数化为 1 时，若系数为负数，不等号反向（全卷最高失分点） 2. 数轴画图规则 空心圆圈：不含这个数（＞、＜） 实心圆点：包含这个数（≥、≤） 方向口诀：大于向右画，小于向左画 知识点04:五大必考中档专题：含参不等式（期末填空、解答重难点） 专题 1：根据解集情况求参数 已知不等式 / 不等式组解集（无解、全体实数、x>a等），结合数轴反向锁定参数范围。 专题 2：根据整数解个数求参数（最热考题） 已知解集内整数个数（如恰好 3 个正整数解），借助数轴临界点锁定参数取值范围，注意端点取舍。 专题 3：方程（组）与不等式结合 先解含参方程组，用参数表示x、y，再根据x>0、x+y≤5等不等关系列不等式求参。 专题 4：不等式与代数式结合 已知代数式取值范围，列式构造不等式求解未知数。 专题 5：分段新定义不等式 根据题干新运算列式，转化为常规一元一次不等式求解。 知识点05:一元一次不等式（组）的实际应用（解答题必考） 步骤 具体要求 注意事项 审 通读题干，梳理已知量、未知量，找出隐含的不等关系 圈画 “至少、至多、不超过、不足” 等关键词 设 合理设出未知数，一般直接设所求量 不出现多个未知数，表述简洁规范 列 根据不等关系，列出一元一次不等式（组） 准确选用不等号，保证式子符合题意 解 按照解法步骤求出不等式（组）的解集 乘除负数时，不等号务必变向 验 结合实际场景检验解集 人数、物品数量、车辆数等必须为正整数 答 依据题意作答，完整回应问题 语言通顺，不要遗漏限制条件 知识点06:常见应用题型核心公式 题型 核心公式 销售利润 单件利润 = 售价−进价；总利润 = 单件利润 × 销量 经济方案 总费用 = 单价 × 数量 + 固定成本 行程 路程 = 速度 × 时间 分配 总量 = 单份数量 × 份数 ± 余量 知识点07:全章高频易错集锦（教师错题本专用，复习必讲） 1.性质易错：两边同除负数忘记改变不等号方向； 2.去分母易错：去分母时常数项漏乘最小公倍数； 3.数轴易错：≥≤画实心、＞＜画空心混淆； 4.参数端点易错：整数解题型，极易漏掉参数等于临界值的情况； 5.应用题易错：关键词翻译错误（至少当成＞、至多当成＜）；实际问题未知数取正整数，忽略取值限制。 题型01.不等式的定义 1．用适当的符号表示下列关系：是非负数___． 2．给出下面式子：①；②；③；④．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 题型02.不等式的解集. 4．若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是__________． 5．下列说法中：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集为，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 6．下列说法：①是不等式的一个解；②不是不等式的解；③不等式的解有无数个．其中正确的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型03.不等式的性质 7．已知，则________（填“”“”或“”）． 8．在数轴上表示数的点如图所示，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 9．已知实数满足：，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型04一元一次不等式的定义 10．已知 是关于的一元一次不等式，则的值为_____． 11．若是关于的一元一次不等式，则_______． 12．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型05.求不等式解集 13．不等式的解集是____________． 14．若关于x，y的方程组的解x，y满足，则k的取值范围是______． 15．规定表示m，n中较小的数（m，n均为实数，且），若，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 16．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型06.求不等式的整数解 17．不等式 的正整数解有______个． 18．如图，要使输出值大于100，则输入的最小正整数是_____． 19．下列说法错误的是（    ） A．不等式的整数解有无数个 B．不等式的非负整数解有有限个 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 20．已知关于x、y的二元一次方程组 (1)用含k的式子表示方程组的解（即用k表示x和y）； (2)若方程组的解满足，求k的取值范围； (3)在（2）的条件下，求k取最小整数时方程组的解． 题型07.数轴上表示不等式解集 21．请写出一个关于x的不等式组，其不等式组的解集如图所示，则这个不等式组是________． 22．如果关于x的不等式x≥的解集在数轴上表示如图所示，那么a的值为_____．    23．不等式 在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 24．定义新运算：对于任意实数，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： (1)求的值 (2)若的值小于13，求的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来． 题型08.求不等式解的最值 25．不等式的最大整数解是__________． 26．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．已知、、是非负实数，且，，求的最小值． 题型09.列一元一次不等式 28．“的倍与的差大于”列出的不等式是___． 29．某服装店购进了一批服装，这批服装每件的进价为200元，每件的售价为300元，现在该服装店准备将这批服装降价处理，打折出售，若使得每件衣服的利润不低于10元，则根据题意可列不等式为________． 30．一辆汽车从地出发，要在之前到达距离地的地，设平均车速为，根据题意可列不等式为（    ） A． B． C． D． 题型10.不等式解决实际问题. 31．某学校八年级同学到劳动基地进行实践活动，第一天的任务是用100斤黄豆磨豆浆．由于操作不熟练，开始的半小时只磨完9斤黄豆，基地要求完成全部任务的时间不超4小时，若设在剩余时间内每小时需磨完斤黄豆，则可列一元一次不等式为______． 32．一部电梯的额定限载量为，甲、乙两人用电梯把一批货物从一楼搬到六楼．已知甲、乙两人的体重分别为和，货物每箱质量为，若两人一起乘梯搬货物，则一次最多搬运________箱货物． 33．甲杯和乙杯中分别盛有质量均为克的糖水(杯子足够大)．其中甲杯中含有糖a克(克)，乙杯中含有糖克．现从乙杯盛出克糖水，倒入甲杯并搅拌均匀．嘉嘉给出算式：① ；②a；③；④；⑤下列能反映甲杯的糖水变甜的关系式是（   ）(提示：浓度) A． B． C． D． 题型11.不等式解决几何问题 34．如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 35．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 36．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 题型12.求不等式组的解集 37．写出不等式组的最小整数解_________． 38．解不等式组： 39．解不等式组． 题型13.求不等式组的整数解 40．不等式组的整数解是_____． 41．若一元一次不等式组的整数解有个，则“”表示的不等式可以是（     ） A． B． C． D． 42．解不等式组：，并写出它的最小整数解． 43．我们规定：不等式组，，，的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”d＝______；“整点”为______； (2)若关于x的不等式组的“长度”，求a的值； (3)若关于x的不等式组恰有3个“整点”，求a的取值范围． 题型14.由不等式组的解集求参数 44．不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的m的值：__________． 45．如果不等式组的解为，则m的值为______． 46．关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 47．对于任意实数a，b，定义关于@的运算是：． （1）若，则x的值可以是______（只要写出一个）． （2）若不等式组的解集为，则m的取值范围是______． 题型15.由不等式组解集的情况求参数 48．若是一元一次不等式组的一个解，则的取值范围是______． 49．已知关于y的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的所有整数a的值之和为______． 50．已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 51．若关于的不等式的解都能使不等式成立，求的取值范围． 题型16.不等式组和方程组结合的问题 52．已知，且，则k的取值范围是_______． 53．设，，，，，是整数，且满足下列条件： ①，，2，3，，100； ②； ③，则的最小值和最大值的和为 __． 54．已知关于，的方程组的解为非负数，求的取值范围． 题型17.列一元一次不等式组. 55．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________． 56．野生兰草适宜生长在温度为的山区．已知海拔每升高，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为．设野生兰草在海拔高度为的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（    ） A． B． C． D． 57．某研学小组由a名男生和b名女生组成，已知男生人数多于女生人数，女生人数的2倍多于男生人数． (1)列出a、b满足的不等式． (2)该研学小组最少有多少名学生？ 题型18.不等式组的行程与分配问题 58． “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 59．综合实践：城市交通中的“绿波带”． 在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯． 为响应泉州洛江“智慧交通”建设号召，某模拟线路上依次设有A、B、C三个路口，相邻路口间距为，，汽车以速度（，单位：m/s）从路口出发匀速行驶，出发时路口绿灯刚好开始亮起．各路口红绿灯均按“绿灯30s、红灯30s”交替循环，绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．请解决以下问题： (1)假设汽车以的速度匀速行驶： ①若A、B、C红绿灯完全同步（即同时绿灯、同时红灯），判断汽车能否全程绿灯通过A、B、C三个路口；若不能，计算从A路口出发到通过C路口的所需时间． ②为实现绿波通行，调整B、C绿灯亮起时间：设B路口绿灯相对A路口延迟秒亮起，C路口绿灯相对A路口延迟秒亮起（，）．要求汽车到达B路口、C路口时能顺利通过路口，即到达时刻在绿灯亮起后到绿灯熄灭前（含端点），直接写出、的取值范围． (2)若红绿灯按如下规则亮起：A路口绿灯亮起后，B路口绿灯亮起；A路口绿灯亮起后，C路口绿灯亮起．求汽车能全程绿灯匀速通过A、B、C三个路口的“绿波速度”的取值范围． 60．用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板．若要用15张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒多少个？ 题型19.不等式组的经济问题 61．为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球的数量，且总费用不超过2900元，学校最多买多少个A品牌的足球？ 62．根据所给材料，完成下列任务． 背景 贵州拥有丰富的非物质文化遗产资源与自然资源，吸引着国内外大量游客，某文创店经销“自然风景”和“非遗技艺”两款冰箱贴． 素材一 该文创店在进货时发现，购进个“自然风景”冰箱贴和5个“非遗技艺”冰箱贴共需元；购进5个“自然风景”冰箱贴和个“非遗技艺”冰箱贴共需元． 素材二 为满足市场需求，该文创店决定购进两款冰箱贴共个，其中“自然风景”冰箱贴的数量不超过“非遗技艺”冰箱贴的，且购进两款冰箱贴的总费用不超过1060元． (1)每个“自然风景”和“非遗技艺”冰箱贴的进价分别是多少元？ (2)该文创店有哪几种进货方案？ 63．国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． (1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ (2)甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ (3)已知每辆A型车的进价为15万元，每辆B型车的进价为20万元，在（2）的购车方案中，哪种方案的利润最高？最高利润是多少万元？ 题型20.不等式组的方案选择问题 64．去冬今春，由于天气持续高温，某地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”，某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共420件，其中饮用水比蔬菜多140件． (1)求饮用水和蔬菜各有多少件？ (2)现计划租用甲、乙两种货车共10辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来． 65．珍惜水资源，保护水环境，防止水污染，为扩大污水处理规模，某污水处理厂计划投入一笔资金购进A、B两种污水处理装备，已知购进件A种装备和件B种装备共需万元，购进件A种装备和件B种装备共需万元． (1)求购进件A种装备和件B种装备各需多少万元？ (2)若该污水处理厂计划购进A、B两种装备共件，且投入资金不少于万元又不超过11万元，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ (3)在（2）的方案下，由于国家对环保事业的扶持力度加大，每件A种装备降价万元，每件B种装备降价万元，在投入资金最少的情况下，该污水处理厂计划将节省的资金全部用于再次购买A、B两种装备（可以只购买一种）请求出再次购买装备的方案有哪几种？ 66．为了抓住世博会商机，某商店决定购进两种世博会纪念品，若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元；若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元． (1)求购进两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定拿出元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进种纪念品的数量不少于种纪念品数量的倍，且不超过种纪念品数量的倍，那么该商店共有几种进货方案？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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